Liczby kwantowe I

Liczby kwantowe

● niezachowanie liczby barionowej - modele GUT – rozpad protonu

● liczba leptonowa

● spin

● skrętność ( helicity )

● parzystość przestrzenna

Teorie wielkiej unifikacji – rozpad protonu

2

●

unifikacja oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych :

grupa symetrii oddz. elektrosłabych SU(2)_weak x U(1)_em i grupa symetrii oddz. silnych SU(3)_kolor ”zanurzone” w większej grupie symetrii

Symetria ta ujawniałaby się przy bardzo wysokiej energii ( E_GUT ~ 1016 _{GeV )}

– przy tej skali energii efektywne stałe sprzężenia poszczególnych oddziaływań przecinają się w jednym punkcie – jedna uniwersalna stała sprzężenia

α

●

●

●

(12 nowych kolorowych bozonów cechowania z ładunkiem elektr. -4/3 i -1/3)

●

●

3

Model Standardowy : SU(3)_kolor x SU(2)_weak x U(1)_em

●

- zależność efektywnych stałych sprzężenia od energii (od odległości)

●

( związana z abelową grupą U(1) ) rośnie wraz z energią

●

maleją wraz z energią (dla oddz. silnych takie zachowanie wynikajace z symetrii cechowania SU(3) nosi nazwę asymptotycznej swobody )

α_S > α_weak > α_em

Ekstrapolacja stałych sprzężenia od energii odp. skali elektrosłabej

( E ~100 GeV, do takiej skali energii są pomiary) do skali unifikacji GUT

stałe sprzężenia przecinają się w jednym punkcie → α_GUT

Punkt unifikacji

Masa unifikacji 1015 _GeV

●

SU(5) : E_GUT ~ 3 · 1014

●

stałe sprzężenia nie przecinają się w jednym punkcie

●

stałych sprzężenia w jednym punkcie Siła oddziaływania

SU(3) SU(2)

Rozpad protonu

}

π

0

}

π

0

Proton ( uud )

}

_π

+

}

π

+

Diagramy opisujące rozpad protonu w modelu SU(5) w wyniku wymiany ciężkich bozonów X i Y (leptokwarków), M_X(Y) ~1015 _GeV/c2

Model SU(5) bez supersymetrii :

2 p 2 GUT 4 X p

M

AM

α

τ

=

Przewidywania SU(5) niezgodne z wynikami eksperymentalnymi

≈ 10

_lat,

(

(

p

e

)

5

10

lat

→

+

>

×

_π

τ

Poszukiwanie rozpadów protonu

IMB

Warunki eksperymentalne (τ_p 1032-35 _{lat ??)}

●

mają liczbę protonów rzędu 1032-35

1000 ton materii – ok. 3 · 1032 _protonów

●

redukcja tła od promieniowania kosmicznego

●

●

π

b. dobra sygnatura – elektrony rejestrowane

za pomocą wodnych liczników promieniowania Czerenkowa ; fotony z rozpadu

π

konwertują na relatywistyczne pary elektron-pozyton w polu kulombowskim jąder tlenu

5

● Eksp. Irvine – Michigan – Brookhaven (1983 -1990) – pierwszy wielki wodny detektor

– masa 8000 ton, ~2000 fotopowielaczy

● Eksp. Superkamiokande – największy wodny detektor (działa od 1993) – masa 50 000 ton, ~11 000 fotopowielaczy

● Eksperymenty z żelaznymi matrycami ( źródło protonów )

Eksperymentalne ograniczenia na czas życia protonu

w porównaniu z przewidywaniami teoretycznymi ( modele GUT, SUSY )

Liczba leptonowa

●

(e־, ν

), (µ־, ν

), (τ־, ν

)

●

liczbę leptonową L

, L

i L

, która jest zachowana

Modelem Standardowym z bezmasowymi neutrinami

do niedawna oddzielne zachowywanie trzech liczb leptonowych L_e, L_µ i L_τ było całkowicie zgodne ze wszystkimi danymi doświadczalnymi

●

( małą w porównaniu z masą elektronu ) oscylacje zapachu neutrin :

przejścia między neutrinami o różnych zapachach ( np.

ν

→

ν

naruszone oddzielne zachowanie liczb leptonowych L_e, L_µ i L_τ

● 1975 Odkrycie ciężkiego naładowanego leptonu

τ

e

_{+ e⎯ →}

τ

₊

τ⎯

_{w stanie końcowym ślady}

µ

_{i e⎯}

µ

₊

ν

µ

+

ν

e⎯ +

ν

+

ν

Zachowanie przekroju czynnego i jego wielkość zgodne z produkcją punktowej cząstki Diraca o spinie ½

Masa

τ ~ 1777 MeV ~ 3480 m

τ

który oprócz rozpadów czysto leptonowych posiada również rozpady na hadrony

⎯

⎯⎯

Odkrycie

τ

●

Odkrycia neutrin elektronowych, mionowych i …

1956 eksperyment Reinesa – Cowana Detekcja oddziaływań antyneutrin elektronowych z reaktora jądrowego

Savannah River w zbiorniku ( H₂O + CdCl₂) otoczonym licznikami scyntylacyjnymi

9 odwrotny rozpad β ν_e z reaktora fotony z wychwytu neutronu fotony z anihilacji e+_{+ e⎯→2}γ

Detekcja fotonów z wychwytu neutronu 5 µs po sygnale anihilacji pozytonu

n + 108_Cd 109 _Cd*

109Cd + γ

⎯

1962 odkrycie neutrina mionowego M. Lederman, M. Schwartz i J. Steinberger brak rozpadu µ → e +

γ

istnienie dwóch różnych neutrin ?? ● wysokoenergetyczna akceleratorowa

wiązka neutrin z rozpadów

π

µ

ν

z materią produkują się głównie miony neutrino z rozpadu π (ν_µ) różne od neutrina (ν_e) z rozpadu jądrowego β

Synchrotron protonowy w Brookhaven π pion µ mion ν_µ neutrino mionowe Komory iskrowe

ν

+ p → e

_{+ n}

⎯

●

Odkrycie neutrina taonowego …

10

2000 eksp. DONUT w Fermilabie Direct Observation of Nu Tau

Sygnatura leptonu τ : ślad długości ~1 mm + zakrzywienie odp. rozpadowi

τ → 1 prong + neutrals (~86%)

Znaleziono 4 przypadki odpowiadające oddziaływaniom ν_τ

protony 800 GeV 1990 liczba zapachów lekkich neutrin

Rejestracja oddziaływań ν_τ w tarczy z płyt żelaznych i bloków emulsyjnych

v

+ N →

τ⎯ + X

Eksperymenty na wielkim zderzaczu e + _e⎯

LEP w CERNie :

pomiar szerokości bozonu Z0

istnieją 3 zapachy lekkich neutrin

przekrój czynny σ( e+_{e⎯→ Z}0 _{→ hadrony )}

w funkcji energii w układzie środka masy N_ν = 2.984 0.0082

2005

E_CM

[ GeV ]

Liczba leptonowa L

Zarówno całkowita liczba leptonowa L jak i liczby leptonowe L_e, L_µ i L_τ odpowiadające różnym zapachom leptonowym są zachowywane

w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych

e־ i

ν

e

ν

µ

ν

µ

ν

τ־

ν

τ

ν

Liczba leptonowa

elektromagnetyczna produkcja pary e+_e־

słaby rozpad

π

słaby rozpad

µ

Liczba leptonowa

niezachowanie liczb leptonowych L_e i L_µ

całkowita liczba leptonowa L zachowana Dotychczas nie zaobserwowano rozpadu

µ

e

γ ,

dla tego rozpadu < 10-9

Liczba leptonowa

Doświadczalne ograniczenie na niezachowanie liczby leptonowej

– średni czas życia dla bezneutrinowego podwójnego rozpadu

β

τ

ν

Rozpad ten jest wynikiem przemiany dwóch neutronów w dwa protony i dla standardowego rozpadu β w stanie końcowym powinny pojawić się dwa antyneutrina elektronowe

2n → 2p + 2e־ + 2ν_e ( tutaj neutrino jest neutrinem Diraca , cząstką o spinie ½ występującą tylko w jednym stanie spinowym, neutrino ν jest lewoskretne,

antyneutrino ν־ jest prawoskrętne )

-14

Neutrino Majorany :

ν

ν

1. rozpad neutronu z emisją neutrina n

→

ν

2. absorpcja neutrina przez neutron

ν

→

Sygnatura dla bezneutrinowego podwójnego rozpadu

β

elektrony o ściśle określonej energii całkowitej ¯

15

Bezneutrinowy podwójny rozpad

β

wymiana posiadającego masę neutrina Majorany m-dzy dwoma bozonami W¯ Podwójny rozpad

β

dwa neutrony wewnątrz jądra zamieniają się w protony z emisją dwóch elektronów i dwóch antyneutrin elektronowych n n n n p p p p d d d d u u u u − − +

+

+

→

X

Y

2

e

2

ν

+

→

Y

2

e

X

Energia elektronów określona poprzez różnicę energii wiązania jądra

w stanie początkowym i końcowym Liczba leptonowa nie jest zachowana

proces zabroniony w Modelu Standardowym z bezmasowymi neutrinami

Moment pędu

●

●

wynikającą z efektów kwantowo – mechanicznych

J

r

L

r

S

r

S

L

J

r

r

r

+

=

●

16

●

●

Unitarny operator obrotów Ř_n(δΘ) = (1 + i ∂ΘĴ·n) wyraża się poprzez hermitowski

operator całkowitego momentu pędu Ĵ [ Ĵ, H ] = 0

Orbitalny moment pędu → → →

×

=

r

p

L

zasada nieoznaczoności Heisenberga wartości r i p są skwantowane wartości L przyjmują dyskretne wartości Dla cząstki bezspinowej zachowanie orbitalnego momentu pędu wynika z niezmienniczości hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni

Operator orbitalnego momentu pędu L jest generatorem transformacji

infinitezymalnych obrotów Ř w przestrzeni wokół osi zadanej jednostkowym wektorem n

Ř_n(δΘ) = (1 + i ∂Θ L·n) [ L, H ] = 0

17

Potrafimy jednocześnie zmierzyć wielkość krętu oraz jego składową względem wybranego kierunku w przestrzeni [ L2_{, L}

z] = 0

Stany własne operatora L2 _{i L}

z, |ψlm>, spełniają równania własne:

L

_|ψ

lm

> =

l(l+1)ћ

|ψ

>

l = 0, 1, 2 …

L

|ψ

> =

mћ

|ψ

>

m = -l, -l+1, … l-1, l

Orbitalny moment pędu w mechanice kwantowej Przykład dla l = 2

wartość własna

odpowiadająca operatorowi L2 _:

l ( l + 1 )ħ2 _{= 6ħ}2

( 2l + 1 ) ustawień względem osi z odp. rzutowi na tą oś :

- 2ħ, -ħ, 0, +ħ, +2ħ

Orbitalny moment pędu nie może być zorientowany całkowicie w kierunku osi z ( odpowiadałoby to rzutowi [(2l+1)ħ2_]½_{= √6 ħ,}

a taki nie istnieje ) .

analogiczne reguły kwantowania dla spinu Cząstka może znajdować się w dowolnym

stanie kwantowym orbitalnego momentu pędu

( l= 0, 1, 2 … ) ,

ale wartość jej spinu jest jednoznacznie określona

Spin cząstki

Wiązka obojętnych elektrycznie atomów srebra ulega rozszczepieniu

w niejednorodnym polu magnetycznym na dwie wiązki

Eksperyment Sterna – Gerlacha (1921)

Wynik oddziaływania dipola magnetycznego atomu z zewnętrznym polem magnetycznym Atomy Ag – jeden elektron walencyjny, decyduje o wytworzeniu się dipola magnetycznego atomu . Magnetyczny moment dipolowy elektronu proporcjonalny

do momentu pędu cząstki, na który składają się

orbitalny moment pędu + wewnętrzny moment pędu (spin) ??

J

L

S

r

r

r

+

=

Rozszczepienie na 2 wiązki → istnienie wewnętrznego momentu pędu elektronu

20

Wykład AKW

G. Uhlenbeck & S. Goudsmit

Pole magnetyczne rozszczepia linie widmowe wodoru i metali alkalicznych

Spin

21

●

zarówno fundamentalne składniki materii bez wewnętrznej struktury

jak i cząstki bardziej złożone np. hadrony zbudowane z kwarków (qqq,qq)

●

wynikającą z efektów kwantowo – mechanicznych !

(spinowi nie odpowiada żadna fizyczna wielkość klasyczna)

●

ma wymiar momentu pędu (wewnętrzny / własny moment pędu)

i przyjmuje dyskretne wartości ► ½ ħ, 3/2 ћ, 5/2 ћ, … dla fermionów ► 0ћ, 1ћ, 2ћ, … dla bozonów

●

przy obrotach o kąt Θ wokół osi zadanej jednostkowym wektorem n przekształcają się one zgodnie z regułą

ψ’ _i ( r ) =

Σ

macierze S odp. składowym operatora spinu (Ŝ2 _{= Ŝ}

x2 + Ŝy2 + Ŝz2)

spełniają te same związki przemienności co składowe operatora moment pędu L

[ S_i , S_j] = S_iS_j– S_jS_i= i ћ

ε

ε

־

spin cząstki złożonej = całkowitemu momentowi pędu cząstki w jej układzie spoczynkowym

Spin

●

i, [ Ŝ2 , Ŝi ] = 0 stany spinowe |ψ_s, _ms> spełniają równania własne :

Ŝ

s, ms> =

s( s+1 )ħ

cząstki

s

Ŝ

|ψ

> =

m

ħ

|ψ

>

wewnętrzne stany cząstki charakteryzuje wartość własna operatora Ŝ_z, m_s = –s, –s+1, … s –1, s

●

Dla cząstki o spinie ½ operator Ŝ =( ħ /2 )

σ , σ

–

22 spin s = 1

m

= +1

m

= – 1

m

= 0

m

= + ½

m

= – ½

Cząstka o spinie ½ - dwa stany m_s przyjmuje wartości +½ lub -½

rzut spinu na oś z Cząstka o spinie 1 - trzy stany m_s przyjmuje wartości -1, 0, +1

Skrętność ( helicity )

●

Te dwie liczby kwantowe można zdefiniować tylko dla cząstek o niezerowej

masie spoczynkowej, dla których zawsze istnieje układ spoczynkowy ( pęd cząstki = 0 )

●

skrętność

Znormalizowana wartość rzutu spinu cząstki na kierunek jej pędu ( kierunek ruchu )

dla cząstki bezmasowej ( poruszającej się z prędkością światła ) wyróżnionym kierunkiem jest kierunek jej pędu

|

p

||

s

|

s

p

r

r

r

r ⋅

=

λ

▼ skrętnośc jest niezmiennikiem transformacji Lorentza

( jest taka sama we wszystkich układach odniesienia )

▼ rzut spinu na kierunek pędu przyjmuje tylko dwie wartości S_z = ± S

skrętność

λ = ± 1

23

Dla cząstki masywnej skrętność nie jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza ( dla v < c zawsze istnieje układ odniesienia, w którym pęd cząstki ma przeciwny zwrot i

λ

λ

Skrętność 24 Skrętność neutrin

|

p

||

s

|

s

p

r

r

r

r ⋅

=

λ

( lub ultrarelatywistycznych ) skrętność λ = ± 1

Eksperyment : obserwuje się jedynie stany neutrin z rzutem spinu na kierunek ruchu S_z = – ½ ħ , czyli ze skrętnością λ = – 1. Natomiast antyneutrina mają skrętność λ = + 1.

ν

p

_ν

p

S

S

lewoskrętne neutrino prawoskrętne antyneutrino

Skrętność Polaryzacja fotonów

foton J

_{= 1־}

Fotony rzeczywiste ( m = 0, v = c ) – występują w stanach o skrętności λ = ± 1. fotony o polaryzacji poprzecznej tzn. stowarzyszone z nimi pola elektryczne

i magnetyczne, E i B, są prostopadłe do wektora propagacji fali elekromagnetycznej k ( poprzeczna polaryzacja fal elektromagnetycznych)

Foton wirtualny, który jest nośnikiem oddz. elektromagnetycznych m-dzy cząstkami i nie jest ściśle bezmasowy, może także posiadać polaryzację podłużną tzn.

λ

25

k

S

= -1,

λ = -1

E

E

S

= +1,

λ = +1

S

= 0,

λ = 0

k

Moment pędu w modelu kwarkowym

●

●

●

26

Mezony – stany związane kwarka i antykwarka ( qq )

► układ spoczynkowy mezonów – układ środka masy (center of mass, CM) systemu qq

► spin mezonu = całkowity moment pędu pary qq w układzie CM, J = L + S ► lekkie mezony - zakładamy L = 0, suma spinów kwarków S = S_q + S_q,

( anty )kwarki mają spin ½ → S = 0 lub S = 1 → ponieważ J = S to J = 0 lub J = 1 dla dowolnej kombinacji zapachów ud, us, cc … oczekujemy,

że najlżejsze stany mezonowe będą miały spin 0 lub 1

dla L = 0

_L

J

=

S

(stany singletowe) i

S

( stany tripletowe )

notacja spektroskopowa : 2S+1_L

J konwencja L = 0,1,2,3 oznaczamy jako S, P, D, F

●

Lekkie mezony – stany z orbitalnym momentem pędu L = 0 klasyfikacja SU(3)_zapach, tylko stany z u, d i s

Nonet mezonów ( L=0, S = 0, J = 0 )

π

_{, η}

_η

π

η

Spin = 0

Spin = 1

ρ

_{, ω}

_φ

ρ

ω

φ

J

_{= 0}

J

_{= 1}

Moment pędu w modelu kwarkowym

► układ spoczynkowy barionów – układ środka masy (CM) systemu qqq ► w układzie CM systemu qqq

dwa orbitalne momenty pędu związane ze względnym ruchem 3 kwarków : ● orbitalny moment pędu L₁₂ wybranej pary kwarków

● kręt L₃ trzeciego kwarka q₃ względem środka masy pary q₁q₂ Spin barionu = całkowity moment pędu systemu qqq , J = L + S

q

Całkowity orbitalny moment pędu L = L₁₂ + L₃ Suma spinów S = S₁ + S₂ + S₃ → S = 3/2 lub S = ½ Jeżeli L₁₂ = L₃ = 0 ( lekkie bariony ) → L = O i J = S Dla L = 0 2S+1_L

J = 2S1/2 i 4L3/2

Najlżejsze bariony mają spin ½ lub 3/2

q

L

L

q

Lekkie bariony – stany z orbitalnym momentem pędu L = 0 klasyfikacja SU(3)_zapach, tylko stany z u, d i s

Oktet barionów ( L=0, S = ½, J = ½ )

Spin = ½

Spin = 3/2

J

₌

J

=

Λ(1190), Ξ(1320)

Pomiary spinu

●

dla procesu a + b → c + d przekrój czynny σ zależy od liczby dostępnych stanów spinowych cząstek w stanie początkowym i końcowym

σ(a + b → c + d) ~ (2S_c + 1)(2S_d +1) × inne czynniki , S_i – spin cząstki

tą zależność można wykorzystać do pomiaru spinu cząstek

●

Związek spinu ze statystyką

Wszystkie cząstki elementarne są albo

fermionami

bozonami

:

●

(podlegają statystyce Fermiego-Diraca)

●

(podlegają statystyce Bosego-Einsteina)

Jakie są własności symetrii funkcji falowej ψ opisującej zbiór identycznych fermionów / bozonów względem zamiany współrzędnych dowolnej pary cząstek ?

Zamiana miejscami dwóch nierozróżnialnych cząstek nie zmienia wartości |ψ|² , czyli ψ → ± ψ

Kwantowa teoria pola – twierdzenie o związku spinu ze statystyką – zamiana miejscami dwóch identycznych bozonów

nie zmienia stanu kwantowego ; funkcja falowa ψ jest symetryczna ψ → + ψ – zamiana miejscami dwóch identycznych fermionów prowadzi do zmiany znaku

funkcji falowej ψ → – ψ ; funkcja falowa jest antysymetryczna

31 Historycznie, zakaz Pauliego (zabraniający zajmowania danego stanu kwantowego przez wiecej niż jeden elektron) przybrał postać warunku antysymetrii funkcji falowej układu wielu elektronów (fermionów) względem wszystkich współrzędnych przestrzennych i spinowych .

Parzystość przestrzenna

●

( x, y, z → –x, –y –z )

32

●

istnieje unitarny operator parzystości P (operator inwersji przestrzennej), który komutuje z hamiltonianem [ P, H ] = 0

Operator P działający na funkcję falową

pojedynczej cząstki

P

ψ

(r, t) =

ψ

(– r, t) =

λ

ψ

(r, t)

●

dwie kolejne operacje inwersji przestrzennej przywracają wyjściowy układ odniesienia, czyli P² = 1 ( unitarność)

P²

ψ

λ

ψ

ψ

λ

λ = ±

dodatnia (λ = +1) i ujemna (λ = –1) parzystość przestrzenna układu

Parzystość przestrzenna P charakteryzuje stany kwantowe

Parzystość przestrzenna

Operator parzystości odwraca współrzędne przestrzenne r → – r

To przekształcenie jest równoważne : ● odbiciu względem płaszczyzny x – y ● po którym następuje obrót wokół osi z Odbicie względem płaszczyzny x – y

Obrót wokół osi z

● Niezmienniczość praw fizyki względem obrotów wynika z założenia izotropii przestrzeni ● Symetria względem inwersji przestrzennej oznacza więc

symetrię względem odbicia lustrzanego

33

Czy prawa fizyki są niezmiennicze względem operacji inwersji przestrzennej ? Eksperyment parzystość P jest zachowana w oddziaływaniach silnych i

34

Parzystość przestrzenna

●

działanie operatora parzystości na funkcję własną pędu

ψ

Pψ_P (x, t) = P_A

ψ

ψ

Cząstka w spoczynku ( p = 0 ) jest stanem własnym operatora parzystości P

wartość własna P_A– parzystość wewnętrzna cząstki A

●

opisanej funkcją własną operatora krętu :

ψ

ψ

R – funkcja zależna od zmiennej radialnej r, Y_lm (θ,φ ) _{– funkcje kuliste zależne od kąta}

biegunowego ( θ ) i azymutalnego ( φ ), ( l, m ) – liczby kwantowe orbitalnego momentu pędu

Y_lm (θ, φ ) → (–1)l _Y

lm(θ, φ) dla r → –r ≡ θ → θ’ =

π

π

P

ψ

( r ) = P

ψ

(–r ) =

P

(–1)

ψ

lm

( r )

●

parzystość układu cząstek jest równa iloczynowi parzystości wewnętrznych poszczególnych cząstek oraz parzystości związanej z ruchem orbitalnym np. dla dwóch cząstek

l

P_i– parzystość wewnętrzna cząstki i

P

= P

· P

· (–1)

P_A(–1)l – _{parzystość cząstki} z krętem l

Parzystość przestrzenna

●

zachowanie funkcji falowej pojedynczego fermionu przy inwersji nie jest dobrze

określone, kreacja i anihilacja fermionów tylko w parach – oddz. elektromagnetyczne naładowanych leptonów i kwarków, oddz. silne kwarków )

■

■

→

● leptony P(e־) = P(µ־) = P(τ־) = 1 → P(e+) = P(µ+) = P(τ+_{) = –1}

● kwarki u, d, s, c, b, t P(q) = 1 → P(q) = -1

Przypisanie parzystości hadronom – konwencja :

● P(proton, uud) = P(neutron, udd) = +1, P(antyproton) = P(antyneutron) = –1 ● P(K־) = P(D־) = P(B־) = – 1, K־(494) su, D־(1869) dc, B־(5279) bu־ ־ ־

־

35

Konwencje dotyczące kwarków i hadronów są równoważne. Eksperymentalnie wyznaczamy nieznane parzystości analizując wybrane elektromagnetyczne lub silne procesy pod kątem zachowania parzystości, odnosząc się do konwencji hadronowej .

36

Parzystość przestrzenna

● Parzystość mezonów, M = qq

P_M = P_a · P_b ·(–1)L _{L : względny kręt pary qq w układzie spoczynkowym mezonu ,}

a,b – kwarki u, d, c, s i b

P_a · P_b = – 1 → P_M = (–1)L+1 _{, dla lekkich mezonów L = 0 czyli P}

M = – 1

lekkie mezony ( L = 0 ) mają ujemną parzystość , JP _{= 0־, 1־} ( porównaj wyznaczanie spinu dla lekkich mezonów )

● Parzystość barionów, B = qqq

P_B = P_a· P_b · P_c· (–1)L12 _{· (– 1)}L3 _{= (– 1)}L12 + L3_{, a, b, c – kwarki u, d, c, s i b}

L₁₂ i L₃ wewnętrzne kręty w układzie CM 3 kwarków (układ spoczynkowy barionu)

iloczyn parzystości wewnętrznych ( trzech ) kwarków P_a · P_b · P_c = +1 lekkie bariony (L₁₂ = L₃ = 0 ) mają dodatnią parzystość JP _{= ½}+_{, 3/2}+

( porównaj wyznaczanie spinu dla lekkich barionów ) P ( antybarion ) = – P ( barion ) ־

q

L

q

q

L

Operacja przestrzennej inwersji współrzędnych dla różnego typu obiektów

r → – r , pęd p = mr → – mr = – p wektory

| r | = (r · r)½ _{→ (–r · – r)}½_{= | r | , | p | = (p · p)}½_{→ | p | skalary}

orbitalny moment pędu L = r × p → (– r ) × (– p ) = r × p = L aksjalny wektor tak samo zachowuje się spin s → s

a · ( b × c ) → (– a) · ( – b × – c ) = – a · ( b × c ) pseudoskalar

· ·

Wektor r → – r , P = – 1 Wektor aksjalny

r → r , P = +1

37

JP _{– spin i parzystość cząstki określają przestrzenne właściwości transformacyjne}

funkcji falowej cząstki JP _{= 0־ cząstka pseudoskalarna J}P _{= 1־ cząstka wektorowa}

JP _{= 0}+ _{cząstka skalarna J}P _{= 1}+ _{wektor aksjalny} JP _{= 2}+ _tensor