√23πcos2ϕ = 1 2√ 3π(e2iϕ+ 2 + e−2iϕ), to Ψ(t

Rozwi¡zania zada« z kolokwium poprawkowego z mechaniki kwantowej I 24 stycznia 2005 r.

Zadanie 1.

Unormowanymi rozwi¡zaniami zagadnienia wªasnego Lzψ_m = m¯hψ_m, czyli równania

¯ h i

dψ

dϕ = m¯hψ, s¡ ψm = ^q_2π¹ e^imϕ, przy czym z warunku ψ(ϕ + 2π) = ψ(ϕ) wynika m = 0,±1, ±2, .... Funkcje te odpowiadaj¡ energiom E^m = ^m_2I^2¯h2, przy czym dla m 6= 0 poziomy s¡ dwukrotnie zdegenerowane - odpowiadaj¡ im funkcje ψm i ψ−m.

Je±li Ψ(t = 0) = ^√2_3πcos²ϕ = ¹

2√

3π(e^2iϕ+ 2 + e^−2iϕ), to

Ψ(t) = ₂^√1_3π(e^{2iϕ−iE2th¯} + 2 + e^{−2iϕ−iE2t¯h} ) =^q1₆((ψ2+ ψ₋₂)e^−iE2t¯h + 2ψ0).

Pomiar energii da E2 = ^2¯h_I² z prawdopodobie«stwem P2+ P₋₂ = ¹₆ +¹₆ = ¹₃ oraz E0 = 0 z prawdopodobie«stwem P0 = ⁴₆ = ²₃.

Zadanie 2.

a) [r, pr]ψ = ^¯h_i[r¹_r^d(rψ_dr −¹_r^d(r_dr^2ψ)) = ^¯h_i(ψ + r^dψ_dr − 2ψ − r^dψ_dr) = i¯hψ, czyli [r, pr] = i¯h. Zasada nieoznaczono±ci dla tych wielko±ci ma wi¦c posta¢ σ²rσ_p²_r ≥ ^¯h₄²,

gdzie σ²r ≡< r² >− < r >², σp²r ≡< p²r >− < pr >². W stanie ψ =^qλ_π³e^−λr mamy kolejno (^R₀^∞dxxⁿe^−x = n!):

< r >=^R d³rr|ψ|² = 4π^λ_π^{3 R}₀^∞drr³e^−2λr = _4λ^{1 R}₀^∞dxx³e^−x = _2λ³ ,

< r² >=^R d³rr²|ψ|² = 4π^λ_π^{3 R}₀^∞drr⁴e^−2λr = _8λ¹2

R_∞

0 dxx⁴e^−x= _λ³2, σ²_r = _λ³2 − _4λ⁹² = _4λ³2,

< p_r >=^R d³rψ^∗p_rψ = ^¯h_i4π^λ_π^{3 R}₀^∞drr(1− λr)e^−2λr = ^¯hλ_i ^R₀^∞dx(x−₂¹x²)e^−x= ^¯hλ_i (1− 1) =

= 0,

< p²_r >= ^R d³r|p^rψ|² = 4π¯h^{2 λ}_π^{3 R}₀^∞dr(1− λr)²e^−2λr = 2¯h²λ^2R₀^∞dx(1− x +¹₄x²)e^−x =

= 2¯h²λ²(1− 1 + ¹₂) = ¯h²λ², σ²_pr = 2λ², σ²_rσ_p²_r = ³₄¯h² > ¹₄¯h².

b) Równanie radialne dla atomu wodoru ma posta¢ ^d_dr^2R2 = ²_r^dr_dr+_h¯^2µ2(E +^e_r⁰²−^l(l+1)¯_2µr^2h2)R = 0, gdzie e⁰² ≡ _4πε^e2₀ . Wynikaj¡ca z zadanej funkcji ψ (odpowiadaj¡cej l = 0, bo niezale»nej od θ i ϕ) funkcja R = Ae^−λr ma speªnia¢ równanie radialne dla dowolnego r, czyli [λ²− ^2λ_r + ^2µE_¯h2 + ^2µe_¯h2r⁰²]Ae^−λr ≡ 0,

sk¡d λ = ^µe_¯h²⁰² = _a¹

0, E = −^¯h2_2µ^λ2 =−_2a^e02₀. Zadanie 3.

Punktem wyj±cia s¡ stany stacjonarne problemu niezaburzonego:

energie En⁰xny = ^¯h2(n_2ma^2x+n2^y2)π2; nx, n_y = 1, 2, 3, ... i ortonormalne funkcje falowe

ψ_n⁰_xny(x, y) =

( ₂

asin^nx_a^πxsin^ny_a^πy 0 < x < a, 0 < y < a

0 pozostaªe x i y,

Stan podstawowy jest niezdegenerowany i odpowiada mu funkcja falowa ψ11. Poniewa» V⁰ψ⁰₁₁= ^V₄⁰ψ₂₂⁰ , to E11¹ = (ψ₁₁⁰ , V⁰ψ₁₁⁰ ) = ^V₂⁰(ψ⁰₁₁, ψ⁰₂₂) = 0.

Pierwszy stan wzbudzony jest dwukrotnie zdegenerowany i odpowiadaj¡ mu funkcje falowe ψ₂₁⁰ i ψ⁰12.

Poniewa» V⁰ψ⁰₂₁= ^V₄⁰(ψ₁₂⁰ + ψ⁰₃₂), V⁰ψ⁰₁₂= ^V₄⁰(ψ₂₁⁰ + ψ⁰₂₃), to macierz zaburzenia =

"

(ψ₂₁⁰ , V⁰ψ₂₁⁰ ) (ψ⁰₂₁, V⁰ψ⁰₁₂) (ψ₁₂⁰ , V⁰ψ₂₁⁰ ) (ψ⁰₁₂, V⁰ψ⁰₁₂)

#

=

"

0 ^V₄⁰

V0

4 0

#

. Warto±ciami i wektorami wªasnymi tej macierzy s¡ odpowiednio

V0

4 i ^q1₂ 1 1

!

oraz −^V₄⁰ i^q1₂ 1

−1

!

.

Stanowi ^q1₂(ψ⁰₂₁+ ψ₁₂⁰ )odpowiada wi¦c E¹ = ^V₄⁰, a stanowi ^q1₂(ψ₂₁⁰ − ψ12⁰ )odpowiednio E¹ =−^V₄⁰.