Theorie van de driedimensionale spanningstoestand in een doorboorde plaat

VAN DE DRIEDIMENSIONALE

SPANNINGSTOESTAND IN EEN

VAN DE D R I E D I M E N S I O N A L E

S P A N N I N G S T O E S T A N D IN EEN

D O O R B O O R D E PLAAT

P R O E F S C H R I F T

T E R VERKRIJGLXG VAN DE GRAAD VAN D O C T O R I N DE T E C H N I S C H E W E T E N S C H A P AAN DE T E C H -N I S C H E H O G E S C H O O L T E D E L F T , K R A C H T E -N S A R T I K E L 2 VAN H E T K O N I N K L I J K B E S L U I T VAN

i6 SEPTEMBER 1927, STAATSBLAD No 310, O P GEZAG VAN DE R E C T O R M A G N I F I C U S D R O. B O T T E M A , H O O G L E R A A R IN DE AFDELING DER ALGEMENE W E T E N S C H A P P E N , V O O R EEN C O M M I S S I E U I T DE SENAAT TE V E R D E D I G E N O P WOENSDAG 3 J U L I 1957

DES N A M I D D A G S TE 4 U U R D O O R

JOHANNES BARTHOLOMEUS ALBLAS

GEBOREN TE 's-GRAVENHAGE

deel van het speurwerk in het Laboratorium voor Toegepaste Mechanica van de Afdeling der Werktuigbouwkunde van de Technische Hoge-school.

Gaarne wil ik mijn dank betuigen aan de leiding van dit laboratorium, die mij in de gelegenheid heeft gesteld, de resultaten van dit onderzoek in deze vorm te publiceren.

Mijn erkentelijkheid gaat voorts uit naar allen, die hebben mede-gewerkt aan het tot stand komen van dit proefschrift.

I N L E I D I N G EN S A M E N V A T T I N G IX HOOFDSTUK I - T H E O R I E VAN DE IN HAAR VLAK BELASTE

PLAAT 1

1 - Inloidint; 1 2 - De potentialen 2 3 - Transformatie op cilindercoördinaten 3

4 - De op trek belaste doorboorde plaat 6 5 - Elementaire spanningsvcrdelingen 7

6 - De eigenfuncties 10 7 - De spanningen langs de rand van het gat r = 1 . . . 15

8 - Herleiding der coëfficiënten 22

9 - De dunne plaat 25 10 - De spanningen 29 A P P E N D I X 34 HOOFDSTUK I I - N U M E R I E K E R E S U L T A T E N V O O R DE IN HAAR VLAK BELASTE P L A A T 40 § 2 - 1 - De numerieke berekeningen 40

§ 2 - 2 - Bespreking van de resultaten 53

S 2 - 3 - Conclusies 62

HOOFDSTUK I I I - T H E O R I E VAN DE O P BUIGING BELASTE PLAAT 65

§ 3 - 1 - Inleiding 65 § 3 - 2 - Elementaire spanningsverdelingen 65

§ 3 - 3 - De eigenfuncties 71 § 3 - 4 - De spanningen langs de rand r = 1 74

§ 3 - 5 - De dunne plaat 80 § 3 - 6 - De momenten, de dwarskrachten en de omtrekspanning . 85

HOOFDSTUK I V - N U M E R I E K E R E S U L T A T E N V O O R DE O P BUI-G I N BUI-G BELASTE PLAAT 91 § 4 - 1 - Inleiding 91 S 4 - 2 - Conclusies 91 HOOFDSTUK V - D E M E T H O D E VAN M A T H A R - S O E T E 102 § 5 - 1 - Inleiding 102 § 5 - 2 - .Algemene formules 104

§ 5 - 2 1 - Transformatie op het assenstelsel van het rckstrookje . 104

§ 5 - 22 - De relatieve weerstandsverandering 105

§ 5 - 23 - Enige integralen 107 § 5 - 3 - Berekening der vervormingen lOS

§ 5 - 31 - Belasting door zuivere trek lOS § 5 - 32 - Enige numerieke resultaten voor zuivere trek . . . 116

§ 5 - 33 - Zuivere buiging 117 § 5 - 34 - Toepassing van de theorie van REISSNER 119

§ 5 - 4 - Vergelijking van theoretische en experimentele waarden 121

L I T E R A T U U R 123

Het is in de klassieke elasticiteitstheorie gebruikelijk de problemen, die betrekking hebben op in of loodrecht op h u n vlak belaste platen, op de basis van een tweedimensionale theorie te behandelen. Hiertoe worden de algemene driedimensionale vergelijkingen, waarvan slechts in een gering aantal bijzondere gevallen een exacte oplossing bekend is, vervangen door een stelsel, waarin de onbekenden uitsluitend afhangen van de coördinaten langs het plaatoppervlak. Bij deze vereenvoudiging worden op grond van physische overwegingen bepaalde veronderstel-lingen gemaakt betreffende de afhankelijkheid van de spanningsgroot-heden van de coördinaat in de normaalrichting. Het blijkt echter, dat men zich in de literatuur, bij de behandeling van spanningsproblemen in platen van willekeurige dikte, niet steeds rekenschap heeft gegeven van het approximatief karakter van de tweedimensionale oplossing. Daarom is het een van de doeleinden van deze verhandeling, de ge-bruikelijke berekeningsmethodes aan een kritisch onderzoek te onder-werpen en in het bijzonder een schatting te geven van de fouten, welke het gevolg zijn van de gebruikte veronderstellingen.

Teneinde hierbij tot quantitatieve resultaten te komen, zullen enkele bijzondere plaatproblemen worden behandeld, die betrekking hebben op trek en buiging \ a n cilindrisch doorboorde, isotrope platen. De in-vloed van de dikte van deze platen op de spanningsverdeling, zal niet bekend worden ondersteld. O m de berekeningen te vereen\oudigen, zullen de platen als oneindig uitgestrekt en aan de randen belast worden gedacht.

De op trek belaste, doorboorde plaat is reeds vele malen een onder-werp van studie geweest. De eerste, die de invloed van een klein cirkel-\ o r m i g gat op de spanningsverdeling in een zeer dunne of een zeer dikke plaat heeft berekend, was KIRSCH [1] ^). De door KIRSCH gegeven op-lossing, die van belangrijke historische betekenis is, beschrijft de span-ningstoestand in de plaat als een \lakke vervormingstoestand. De theorie van de gegeneraliseerde vlakspanningstoestand werd enige jaren later door FiLON [2] gegeven. (Zie ook [ 3 ] , § 94 en § 146). Voor de afwijkingen, die bestaan tussen de in werkelijkheid optredende spanningstoestand en

^) Cijfers tussen vierkante haken geven verwijzingen naar de literatuur op pag. 123.

de spanningen, welke gevonden worden op basis van de theorie van de gegeneraliseerde vlakspanningstoestand, heeft REISSNER [9] een benade-rings-theorie gegeven. REISSNER geeft aan waar de correcties op de klassieke waarden belangrijk kunnen worden, doch geeft geen nume-rieke resultaten.

GREEN [4] was de eerste, die heeft gewezen op de noodzakelijkheid om de nauwkeurigheid van de theorie van de gegeneraliseerde vlak-spanningstoestand te toetsen aan de exacte oplossing van het drie-dimensionale vraagstuk. Hij heeft daartoe een theorie voor de eindig dikke op trek belaste plaat met cirkelcilindervormige doorboring ont-wikkeld. Voor het geval dat de plaatdikte gelijk is aan de diameter van het gat, heeft hij zijn formules numeriek uitgewerkt. Hij komt daarbij tot twee belangrijke conclusies, nl. dat de gemiddelde waarde van de spanningsconcentratie aan het gat volgens de driedimensionale theorie redelijke overeenstemming vertoont met de overeenkomstige waarde in de gegeneraliseerde vlakspanningstheorie, doch dat, zoals ook te ver-wachten is, de waarde van een spanningscomponent in de onmiddellijke nabijheid van een grensvlak, vrij veel afwijkt van de gemiddelde waarde over de dikte. Een nadeel van de methode van GREEN, als werd uit-gewerkt in [4] is dat deze leidt tot een stelsel vergelijkingen, waarvan de coëfficiënten niet eenvoudig te bepalen zijn, waardoor een uitbreiding tot andere verhoudingen van de dikte tot de gatdiameter moeilijk wordt. Daarom heeft GREEN in een latere publicatie [5] een andere methode aangegeven, waarmede op gemakkelijker wijze numerieke resultaten kunnen worden verkregen. Deze methode, die \oor algemene drie-dimensionale plaatproblemen een ontwikkeling naar complexe eigen-functies geeft, vormt de grondslag van de in deze verhandeling te ont-wikkelen eigenfunctiemethode.

De methodes, die door GREEN ontwikkeld werden, hebben het nadeel, dat de convergentie van de optredende reeksen slechter wordt met toenemende dikte. Een methode voor de berekening van driedimensio-nale spanningstoestanden, die kan worden toegepast voor alle dikten, is ontwikkeld door STERNBERG en S.ADOWSKY [ 6 ] . Zij benaderen de op-lossing met behulp van spanningsfuncties, die aan de evenwichts- en randvoorwaarden voldoen, door toepassing van de methode van R I T Z . H u n resultaten geven een voldoende qualitatief inzicht, doch zijn als gevolg van de gebruikte berekeningsmethode niet altijd quantitatief juist. De eerste berekeningen voor de op buiging belaste doorboorde plaat

zijn gemaakt door BICKLEY [7] en GOODIER [ 8 ] . BICKLEY gaat uit van de gegeneraliseerde vlakspanningstoestand en vindt de oplossing, welke in deze verhandeling wordt aangeduid met „elementaire" oplossing. De hierin te bepalen constanten vindt hij met behulp van de twee randvoorwaarden volgens KIRCHHOFF. H e t werk van GOODIER heeft ruimer strekking, aangezien ook de invloed van elliptische gaten wordt besproken, doch gaat voor het cirkelvormige gat niet uit boven dat van BICKLEY. REISSNER [10] heeft voor de buiging van dunne platen een meer algemene theorie ontwikkeld, waarbij aan een rand drie rand-voorwaarden kunnen worden vervuld. In deze theorie, die voortbouwt op de publicatie [9] van REISSNER, wordt voor de spanningen een een-voudige afhankelijkheid van de dikte-coördinaat aangenomen en wordt voorts gebruik gemaakt van een variatie-principe voor de afleiding van de grondvergelijkingen. REISSNER heeft zijn theorie toegepast op de bui-ging van een cirkelvormig doorboorde plaat. Hij vindt afwijkingen van de klassieke theorie, die belangrijk zijn. GREEN heeft in zijn publicatie [5] het verband tussen de theorie van REISSNER en de e.xacte theorie toegelicht. In hoofdstuk I I I wordt hierop nader ingegaan.

Bij de toepassing van de experimentele methode voor het bepalen van restspanningen volgens MATHAR [11] en SOETE [ 1 2 ] , [ 1 3 ] , [14] wordt een aantal onnauwkeurigheden geïntroduceerd, waarvan een het gevolg is van het gebruik van de formules van de vlakspanningstheorie; men zie hiervoor ook [15] en [ 1 6 ] . H e t is derhalve gevv'enst op de grondslag van de driedimensionale theorie de invloed van de plaatdikte op de spanningsverdeling in de omgeving van het gat vast te stellen.

De opzet van het in deze verhandeling beschreven onderzoek sluit geheel aan op de bovengenoemde literatuur. I n hoofdstuk I wordt het probleem behandeld van de cirkelvormig doorboorde, oneindig uitge-strekte isotrope plaat, die op trek wordt belast. De oplossing van dit vraagstuk wordt gezocht in een superpositie van een vlakspannings-toestand en een oneindige reeks van driedimensionale spanningstoe-standen. Voor de coëfficiënten, waarmede ieder dezer spanningstoestan-den moet worspanningstoestan-den vermenigvuldigd, wordt een oneindig stelsel van vergelijkingen afgeleid. I n het geval van de zeer dunne plaat worden asymptotische ontwikkelingen gegeven voor deze coëfficiënten. Aangezien alle spanningstoestanden worden afgeleid uit potentiaalfuncties, is aan hoofdstuk I een appendix toegevoegd, waarin de volledigheid van het gebruikte stelsel van potentiaalfuncties wordt aangetoond.

I n hoofdstuk I I worden de resultaten van de numerieke berekeningen van het probleem van hoofdstuk I besproken. Het blijkt, dat deze numerieke berekeningen steeds omvangrijker v/orden, naarmate de dikte van de plaat toeneemt. Dit vindt zijn oorzaak in het feit, dat bij een toenemende verhouding van dikte tot diameter het aantal driedimensio-nale spanningstoestanden uit de oneindige reeks, dat in de berekening moet worden betrokken, aanzienlijk toeneemt. Anderzijds is gebleken, dat bij een plaatdikte, die het dubbele is van de gatdiameter, in het midden van de plaat reeds de vlakke vervormingstoestand optreedt. Het mag nu worden verwacht, dat boven deze verhouding de waarden van de spanningen ook aan de grensvlakken, eveneens in de n.abijheid van het gat, niet belangrijk zullen veranderen bij verdere vergroting van de dikte. Dit wordt bevestigd door het experimenteel onderzoek. Daarom zijn de berekeningen uitgevoerd tot een dikte, die tweemaal zo groot is als de diameter van het gat. De resultaten kunnen dan met redelijke nauwkeurigheid worden geëxtrapoleerd tot zeer dikke platen.

In hoofdstuk I I I wordt de buiging van een doorboorde plaat be-handeld. De theorie hiervan loopt grotendeels parallel aan die van hoofdstuk I. Ook hier wordt bijzondere aandacht geschonken aan het grensgeval van de dunne plaat. Het verband tussen de e.xacte theorie en de theorie van REISSNER wordt uitvoerig besproken, waarbij ook t.o.v. het werk van GREEN [5] nieuwe inzichten worden verkregen.

De numerieke resultaten van de berekeningen van hoofdstuk H l worden in hoofstuk I V gegeven. Voor een dikke plaat, waar de hogere termen in de ontwikkeling niet kunnen worden verwaarloosd, worden de resultaten vergeleken met die, welke verkregen zijn op basis van de theorie van REISSNER. Het blijkt dat de juiste waarde van de spannings-concentratie-factor aan het grensvlak lager is dan die, welke gevonden wordt uit de theorie van REISSNER, doch dat deze benaderingstheorie de concentratiefactor voor het tangentiële buigende moment uitstekend voorspelt.

I n hoofdstuk V worden de berekeningen toegepast bij de theoretische behandeling van de methode van MATMAR-SGETE. Zowel voor trek-belasting als voor buiging wordt de invloed van de dikte op de inter-pretatie van de waarneming berekend. Voor trek blijkt deze gering te zijn, voor buiging aanzienlijk.

THEORIE VAN DE IN HAAR VLAK BELASTE PLAAT

1 - 1 - INLEIDING

De behandeling van een probleem in de driedimensionale elasticiteits-theorie van een homogeen, isotroop lichaam, waarin geen massakrachten werken, komt mathematisch neer op het zoeken van een oplossing van het stelsel partiële differentiaalvergelijkingen van de zesde orde [17]

3-^v

3x^

3" w

+ —.+

3y-+

3" w

+

c u c z-3' 3 3^' V z' w 1 1—2v 1 1—2i' 1 3 f v 3 x 3 f v 3y 3 F . 3z=

1—2

V ö z O, O,

o,

(1,1)

die op het oppervlak van het lichaam aan drie randvoorwaarden moet voldoen. Hierin zijn (x, y, z) de drie cartesische coördinaten, (u, v, w) de verplaatsingen in het x-y-z-stelsel, v het getal van POIS.SON en E„ de volumerek, gegeven door

3 u

£v

3v

₊

3 w

T7"

(1,2)

V a n het stelsel ( 1 , 1) (met de randvoorwaarden) is een aantal exacte oplossingen bekend, waarbij óf enkele van de verplaatsingen een een-voudige vorm hebben, óf als gevolg van bepaalde symmetrie de ver-gelijkingen in eenvoudiger gedaante kunnen worden gebracht. I n het te behandelen geval echter, zal men de exacte oplossingen van ( 1 , 1) slechts kunnen verkrijgen in de vorm van oneindig voortlopende reeksen. Het is doelmatig niet rechtstreeks van de vergelijkingen ( 1 , 1) uit te gaan, doch deze te integreren door middel van potentiaalfuncties. De in deze verhandeling gebruikte potentiaalfuncties zijn voor het eerst in-gevoerd door BOUSSINESQ [18] en later bij dit type van vraagstukken

gebruikt door DOUGALL [ 3 4 ] . Voor een algemene beschouwing over de integratie van ( 1 , 1) door middel van potentiaalfuncties wordt verwezen naar de appendix bij dit hoofdstuk.

1 - 2 - DE P O T E N T I A L E N

Gebruikt worden drie potentiaalfuncties: A, Bi en B-,, die alle oplos-singen zijn van de vergelijking van LAPI.ACE

A ( A , B „ B , ) = O ( 1 , 3 ) waarin

g2 92 32

A

3 x= ' 3 v=

Indien verplaatsingen (u, v, w) uit de potentiaalfunctie A worden afgeleid door middel van de volgende vergelijkingen

V = r , w = O, ( 1 , 4 )

3y ' 3x

wordt aan de vergelijking ( 1 , 1 ) identiek voldaan, terwijl

fv = 0. ( 1 , 5 ) Dit is eveneens het geval voor verplaatsingen (u, v, w ) , afgeleid van

een potentiaalfunctie Bi door middel van

a R ( 1 , 6 )

3 Bi

3x

3 Bi , V — ^ , w -0 y ïv = 0.

3B,

3z

Ook hier wordt E^. r = 0. ( 1 , 7 ) Een derde stelsel verplaatsingen (u, v, w) wordt afgeleid uit een

potentiaalfunctie B^ door middel van

3 B2 , 3'- B2 a -^ + Z •^—^> d x d z

+ z - ' - ^ , (1=8)

öy oz ^ 3-^ B, + z • ö z^

3x

3B,

3y

3 B 2

O p d a t deze verplaatsingen oplossingen zijn van ( 1 , 1) moet tussen

a en 7 de betrekking bestaan

y — a = — 3 + 4 v , ( 1 , 9 ) waarmede wordt gevonden

Ev = - 2 ( l - 2 v ) ^ ^ . ( 1 , 1 0 ) o Z"

Een der constanten a en y kan vrij gekozen worden. In het volgende zal gebruikt worden

a = 2 ( l - v ) ,

7 - - ( l - 2 v ) . ( 1 , 1 1 ) I n sommige gevallen is een andere keuze van de constanten a en y doelmatiger, t.w.

a = 1 — 2v,

y = - 2 ( l - v ) ,

resp. a = O, ( 1 , 12) y = — 3 • + 4r.

De potentialen A, Bj en B, zijn steeds onafhankelijk. Dit is te zien uit het feit, dat bij A de waarden van fv en a^ overal nul zijn, bij Bi alleen Fv overal nul is doch a^ niet, terwijl bij B2 noch fv, noch a^ identiek verdwijnen. Dat het poten tiaalfunctiestelsel (A, Bi, B2) ook volledig is voor de in deze verhandeling te behandelen vraagstukken, wordt in de appendix bewezen.

I - 3 - TRANSFORMATIE OP CILINDERCOÖRDINATEN

Voor het vraagstuk van de op trek belaste plaat met het cilindrisch gat is het doelmatig cilindercoördinaten (r, f, z) in te voeren. D e ver-plaatsingen (u,, Ucp, Uz) worden uit de potentialen afgeleid met de volgende formules

u,. = —;; ^ - - - , u,p = ^ - , u , = 0; ( 1 , 13) 1 _3A_ r d if 3 B i 1 -^. . ^ . ., ,,. 3 A 3 r 3 Bi = 0 3 B 3 z

Ur = a u . = y 3 B , 3 r a r dB, dz 4 - ^ • ^ ^ ^ 0 r 0 z 3 p , 3^B, 9 z-z r 3=B2 9 V 3 z ' (1,15)

H e t verband tussen de spanningen en de vervormingen wordt uit-gedrukt door de volgende bekende vergelijkingen [3]

2 G 1 G ~ 1 — 2 v 1 3u^ Tq>z 2 G Tl-?. 2 G T,;p r 3 Uz 1 ~ 2 ^ 3 ü f v , r

+

1 — 2 v £ v ,

+

2 G •2v " 3 u, c u,. 3 z 1 3 <f

+

-.

3

Un-+

3 Uz 3 r 3 u,. 3 u<p (1,16)

Hierin zijn (er,., aq,, a^, Tq,^, T,.Z en -y^) de spanningen in coördinaten, G is de glijdingsmodulus, terwijl de volumerek e,, in cilinder-coördinaten wordt gegeven door

1 3 r

fru,)

+ 3 Uip 3 9

+

3 Uz ( 1 , 1 7 )

M e t behulp van de vergelijkingen ( 1 , 1 3 ) , ( 1 , 1 4 ) , ( 1 , 1 5 ) , ( 1 , 1 6 ) en ( 1 , 17) wordt gemakkelijk gevonden

C r 2 G «•ip 2 G (Tz = •Tzip 2 G •Trz 2 G •Tiij; 2 G ^ 1 r (Tl-2 G 0, 1 2 1 2 r 1 2 r 3= A d I'd If 1 r 3-'A 3 r e z 3^ A 3 ^ 3 z ' 3 A 3 r , 1 2 1 r-e 3 A 3 ip '^ , 3r Of 3 1 r-3= A _^_ 3r= ' 3 A c (0 1 3= A 2r^ df ' -; i , i 8 ) yoor de functie B^ 2 G 3^ Bi 2 G 3-Bi

T7^

3-Bi 2 G 2 G 3^ Bi 3z= 1 3= Bi r d (fdz' ( 1 , 1 9 ) 2 G 3^' B, 3 r 3 ; 2 G 1 3-Bi r 3 r 3 p 3f

voor de functie Bo 2 G = 2 ( 1 -2(1 3^B., 3 - B , 3 r -3- B., • 2v - „ .. + z B, r - 3 z ' 3=B, 2 G 2 G 2 G ' 3 r - 3 l 3== B, ~ 3 z ^ 3^B2 3r 3z S'B.. 3z 3 p

+

2 ( 1

-+

3^'B, ^ 973z^' _ ^ % _ 3p 9z 3^' B, Z O <p 2(1 — 1 3 r 3 f 9 z _3B2

T7"

+

9- B., 9 f o z (1,20) DE O P T R E K BELASTE D O O R B O O R D E PLAAT

Na de voorbereidingen in de vorige paragrafen, kan thans overgegaan worden tot het feitelijke probleem. Beschouwd wordt een homogene, isotrope plaat, waarvan het middenvlak samen valt met het x-y-vlak en die begrensd wordt door de vlakken z ^ ± h. De plaat strekt zich zo-wel in de x-richting als in de y-richting uit van — co tot + oo. De plaat is doorboord volgens een cilinder met straal a, waarvan de hartlijn langs de z-as valt. De plaat wordt in de x-richting op trek belast door een in het oneindige gelijkmatig verdeelde spanning T .

Mathematisch wordt het probleem bepaald door de vergelijkingen (1, 1), met de randvoorwaarden

O voor z = O voor r

h,

(Tx = T , (Ty = Txy = O voor r = \/x- + y^ — oo ; o-,. = -,., = Trm = O langs de rand van het gat r = a.

; i , 2 i ) ; i , 2 2 ) ' 1 , 2 3 ) O p grote afstand van het gat heerst in de plaat een vlakspannings-toestand. Deze wordt in cilindercoördinaten bepaald door

T,24) 1/2 T ( l + cos 2f),

1/2 T ( I — c o s 2f), — 1/2T sin 2p,

Trz = T,.(p = = 0 .

I n de nabijheid van het gat is de spanningstoestand ( 1 , 24) gestoord. O p ( 1 , 24) wordt nu een spanningsverdeling gesuperponeerd, die in het oneindige tot nul nadert en die de rand spanningsvrij maakt.

ELEMENTAIRE SPANNINGSVERDELINGEN

Gebruik zal worden gemaakt van enkele eenvoudige oplossingen van ( 1 , 3 ) . Voor cilindercoördinaten wordt ( 1 , 3 ) getransformeerd tot

9-f 9r^ 1 9 f

Tr

- +

1 9=f^ 9-f d(p 3z-

0,

( 1 , 2 5 ) waarbij f wordt geschreven voor een willekeurige potentiaal. Een op-lossing van ( 1 , 25), die onafhankelijk is van z en (o is

f = c, l o g r + c.. (1,26) Wordt voor de functie Bi de oplossing ( 1 , 2 6 ) gekozen, dan ontstaat

met de vergelijkingen ( 1 , 19) (1,27) <T,. 2G '^V i_

2G +

CTz = T i p z = C l r= ' C l r= ' T,z = Trtp = 0 . ^

Een oplossing van ( 1 , 2 5 ) , die onafhankelijk is van z, m a a r die af-hangt van cos 2p is

f = cos 2(i T . 2 8 )

Indien nu voor de functie Bi de oplossing (1,28) wordt gekozen, ontstaat met de vergelijkingen ( 1 , 19)

6 C 3 2 G 2 G 2 G cos 2f, 6c3 — ^ — cos 2f, 6 c,5 - sin 2f, 0. ; i , 2 9 )

Andere oplossingen van ( 1 , 25) zijn

f = c, 1 \ [sin 2«

2 /

[cos

2p

Wordt nu gekozen

( 1 , 3 0 )

A=4c.(-J-+-L

sin 2ip, B2 = c, ( - ^ + ~ ~ 1 cos 2f,

dan leidt de superpositie van de spanningsgrootheden volgens (1,18) en ( 1 , 2 0 ) tot 2 G 4 ( l + v ) _ , 12 vz-cos 2p, <rm 12 vz-Y Q - = C 4 - ^ , - c o s 2p, ^r^ 2 G

2(i+v) 21z?!

„2 ' „4 sin 2^, ( 1 , 3 1 )

De spanningsverdelingen ( 1 , 2 4 ) , ( 1 , 2 7 ) , (1,29) en (1,31) zijn vier vlakspanningstoestanden. Deze worden gesuperponeerd, waarbij wordt genomen T a °

T G ~ '

T a * 2 0^ T a =

27r

. C , . D . ; i , 3 2 )

C en D zijn nog nader te bepalen constanten. Aldus wordt verkregen

T 2 r^ cos 2^ {-- + &C-r-

2

— D 4 1 + v ) — , - -\ ^ — , . , , , , a= 12 i-aV r- r* I

^ ^ ^ ( l + ^ ] 4 c o s 2 , [ f 6 C ^ ^

-+ Di^:!^!.

1 j

-T

sin 2'f\— l- + 6 C ' ' ' — D 2 r' 2(1 + v ) -1 2 v a V

+

I'zifi Tzr 0 . ; i , 3 3 )

Het is duidelijk, dat indien | z | « a is, waaraan voldaan wordt voor alle waarden van z mits h « a is, de termen met z- in ( 1 , 33) kunnen worden verwaarloosd. De oplossing van het vraagstuk wordt in dit geval gegeven door

c =

D

T'

1^

2ir-(1,34a)

In de gegeneraliseerde vlakspanningstoestand wordt geëist, dat de middelwaarden van de spanningen over z aan de randvoorwaarden vol-doen. Alsdan wordt gevonden

C =

+ -.

h-3 ( 1 + v ) a- '

D

2 ( l + v )

(1,34b)

De formules voor de gegeneraliseerde vlakspanningstoestand zijn vol-doende nauwkeurig, indien de halve plaatdikte h klein is t.o.v. de straal van het gat a. Wanneer aan deze voorwaarde niet is voldaan, zal niet meer kunnen worden volstaan met het voldoen aan de randvoorwaarden van alleen de gemiddelde spanningen, doch zal de eis moeten worden gesteld, dat aan deze randvoorwaarden in alle punten d.w.z. voor alle waarden van z met | z | <C h wordt voldaan. Nu moet aan de spannings-verdeling (1,33) een serie andere spanningsspannings-verdelingen worden toe-gevoegd, waarvan het karakter niet elementair is en die verkregen wordt uit meer algemene oplossingen van vergelijking ( 1 , 2 5 ) . Hierbij wordt opgemerkt, dat de spanningen volgens (1,33) ieder uit twee gedeelten bestaan: een gedeelte onafhankelijk van f en één evenredig met cos 2f of sin 2f. Daar het eerste gedeelte reeds aan de randvoorwaarden langs de rand van het gat voldoet, zal de toe te voegen spanningsverdeling evenredig met cos 2i3 of sin 2^ zijn.

I - 6 - DE EIGENFUNCTIES

Uit het voorgaande volgt direct, dat voor de potentialen functies moeten worden gekozen van de vorm

f (r, P, z)

g ( r , z ) ^ . ° ^ 2 , ,

sm : i , 3 5 ) waarbij g voldoet aan

5^g 9r=

+

8 g 9 r

ill?

3z-

= 0.

; i , 3 6 ) Een algemene klasse van oplossingen van ( 1 , 3 6 ) wordt verkregen door separatie der veranderlijken. Deze oplossingen zijn van de ge-daante :

_ (,K2(Ar)^ ^cos Az

(* l2(Ar)( 'l sin Az ( 1 , 3 7 ) waarin l2(Ar) en K2(Ar) de gemodificeerde Besselfuncties van de tweede orde [ 1 9 ] , [20]*) zijn en A een willekeurige complexe parameter is. M e t de eis, dat de correcties op de elementair berekende spannings-verdelingen voor r — 00 tot nul moeten naderen, komen van deze op-lossingen uitsluitend die met de Besselfunctie van de tweede soort (K2-functie) in aanmerking en wel alleen die, waarvoor het reële deel van A positief is. Getracht wordt, zodanige combinaties van deze oplossingen te maken, dat elk dezer combinaties aan de randvoorwaarden (1,21) voldoet.

Allereerst wordt gesteld A =

T G ^ K2(Ar)cos Az sin 2<p . T , 3 £

Met behulp van ( 1 , 18) volgt hieruit voor ] z | == h CTz ^ O,

-^-^ = ± -f- K2'(Ar) sin Ah sin 2 , ,

- = — = _^ Aa- sin Ah cos 2p.

(1,39)

Voor iedere (r, (f) wordt aan de randvoorwaarden (1,21) voldaan, indien

A ( k = l , 2 , . . . . ) (1,40)

*) De hier gebruikte definitie van K,,(z) is die welke in [20] op pag. 373 wordt gegeven. De definitie volgens [19] wijkt hiervan af door een factor cos n.T, zie ook [19] pag. 78.

Een zeer algemene oplossing van ( 1 , 3 ) , die voldoet aan de randvoor-waarden (1,21) wordt nu verkregen door lineaire combinatie van deze oplossingen. Zo ontstaat T a - cc K , K2 kTrr h / kTTZ . cos — sm 2p, kTra h ; i , 4 i )

waarin over de coëfficiënten ak nog vrij kan worden beschikt. O p overeen-komstige wijze worden oplossingen voor de potentialen Bi en Bo gevonden.

Deze moeten simultaan worden behandeld. Gesteld wordt met constanten Bi en B,

Bi == B\ ' ^ - ^ - K2(Ar) cos Az cos 2^,

B., T a ^

2 G K2(Ar) cos Az cos 2p,

(1,42)

M e t behulp van (1, 19) en ( 1 , 20) worden de grensvlakspanningen voor I z 1 = h bepaald. Gevonden wordt

a=cos 2^, K2(Ar) {— Bi A- cos Ah 4- B . A»h sin Ah},

T

J.z_

t

q: a=cos 2<f K2'(Ar) {B, A= sin Ah + B-, A- sin Ah + + B.X'h cos Ah), K2(Ar) ^ *

= ± 2a-sin 2f — {Bi A sin Ah + B.X sin Ah -f -]- B* A^h cos Ah}.

( 1 , 4 3 )

Terwijl het niet mogelijk is voor de Bi- of B2-potentiaal afzonderlijk, gelijktijdig zowel de normaal- als de schuif spanningen nul te maken voor alle (r, ip), gelukt dit voor een combinatie dezer potentialen als kan worden voldaan aan de volgende vergelijkingen

B] cos Ah — B2 Ah sin Ah = O, » * » Bi sin Ah + B2 sin Ah + B2 Ah cos Ah = 0.

Dit stelsel heeft niet-triviale oplossingen, indien

cos Ah — Ah sin Ah 1 sin Ah sin Ah -|- Ah cos Ah

O,

of uitgewerkt

sin 2 Ah + 2 Ah = 0.

; i , 4 5 )

; i , 4 6 ) De vergelijking (1,46) heeft, afgezien van A = O, geen reële wortels. H e t blijkt echter, dat er een oneindig aantal complexe wortels is, die hier eigenwaarden genoemd worden en welke genummerd worden met een index /. Indien A; een wortel is van ( 1 , 46) zijn nevens—A/, A; en —A; wortels (met de streep wordt de complex geconjugeerde aangegeven). O p grond van de eis, dat de correcties op de spanningen voor r ^ oo naar nul gaan, komen slechts die eigenwaarden A; in aanmerking, waar-voor geldt

Re A, > 0 . ( 1 , 4 7 ) Immers, volgens de definitie van K2(Ar) is [19]

3.T .

K2(Ar) = - 2 e^^""H2<^' (iAr), (1,48)

terwijl het asymptotisch gedrag van H2<"(u) gegeven is door [19]

( 1 , 4 9 )

H2'" ( u ) ^ ] / ^

\ TT U

De bij de eigenwaarde A; behorende oplossing \'an (1,44) is

Bii = B*, A,htgA;h, (1,50) waarmee de combinatie ( 1 , 4 2 ) nader kan worden gepreciseerd

1

. T a - , , , K , (A,r)

Bi = — ^ ^ hl A,h tg A,h —— cos A;z cos 2f,

Z ^ «J- Js.2 ( A ; a ) 1

Ta-TcT

K 2 ( A , r ) K 2 ( A , a ) c o s A(Z COS 2 y \ : i , 5 i ;

Hierin is b( een willekeurige complexe constante. De oplossing ( 1 , 5 1 ) , die complex is, wordt samengenomen met de oplossing

1 T a - — —

Bi = — ^ - — b ; A;h tg Ajh } 9 ^ ^ — cosA;zcos29,

B. =

1

J_ar_

2

~ 2 " G ~ K , K2 K2 (A,

iX

(A; r) a) >-)

K 2 ( A , a ) cos A;Z cos 2(f.

waardoor een reëel resultaat ontstaat. Mitsdien kan in 't vervolg onder A; steeds een eigenwaarde worden verstaan met ook een positief imagi-nair deel.

Voor de verdere uitwerking heeft het thans zin, de grootheden dimensieloos te maken. Daartoe wordt ingevoerd

A* Ah

(1,52)

Aangezien geen verwarring behoeft te worden gevreesd, worden de sterren in de symbolen voor de dimensieloze grootheden voortaan weer weggelaten. Het totale stelsel van oplossingen met de eigenwaarde-vergelijking luidt A = T a = 00 K2(k7r^r) 2 G — 2J au ^ ^ , K,(k:r^) cos k-jrz sin 2(f, T a - Qs K.,(Ai/3r) B, = R e -pT^^r^ 2 hl ki tg A; '-:— — - - c o s A(ZC0S 2iJ,

2G

K2(A,^) Tï ü T a ^ ^ K2(A,/3r) B2 = R e - — _ 2; b; —, ^^--COS A;zcos2y,

_2G

/ = 1 K2(A,;8)

sin 2Ai + 2A, = O,

1,53)

/? ( 1 , 5 4 )

I n de volgende stap zal worden gepoogd de constanten (a^, bj) zo-danig te bepalen, dat het spanningsstelsel, afgeleid uit (1,53) tesamen met ( 1 , 3 3 ) aan de randvoorwaarden voor r = 1 voldoet voor alle waarden van z.

I - 7 - DE SP.^NNINGEN LANGS DE R.AND VAN HET GAT r = 1

Zoals reeds eerder werd opgemerkt kunnen de spanningen worden geschreven in de vorm Trz Tyip 'r<p <T'-' COS 2f, r'/i' COs2if, -'i,' sin 2«, ; i , 5 5 )

waarin de van een bovenindex voorziene spanningsgrootheden on-afhankelijk zijn van f. Hiermede volgt voor de spanningen volgens

(1,33) langs r = 1 1 ^ 6 C — D 4 ( 1 = 0, ^ - - - - o - + 6 C - D T 9 2(1 + •/ \2v ; i , 5 6 )

Met behulp van de bekende ontwikkeling [21] 4 &o (—. l)'>cos kTTZ

^ / t = l k < 1) ( 1 , 5 7 ) kan geschreven worden

O r 6 C — D ' 4 ( 1 -!- v' 4 8 v CO ( — l ) " ^

2 —

~T k-c o s kTTZ ) j3- ' TT- fS 6 C — D * * 2 ( l + v) — 48v CO ( — 1 ) " cos kTTZ ; k: ~ 1 k^ ; i , 5 8 )

Voor de afleiding van de spanningsgrootheden uit de potentialen, wordt gebruik gemaakt van enkele bekende recurrentie betrekkingen voor de Besselfuncties [20]

K'2(A) - - Ki(A) — K2(A),

K"2 (A) Ki(A) + K 2 ( A ) - ^ - K 2 ( A )

( 1 , 5 9 )

( 1 , 6 0 )

M e t behulp van de formules ( 1 , 18) wordt uit de potentiaal A volgens (1, 53) voor r == 1 afgeleid "t- == 1 ' a, {2 K(k^/3) - 2} cos kTTZ, ^ i = 1 -l^~ = /? 2^ ak {— kir} sm kTrz, ^ k = \ r ,'n,' on t - T ? - = Z au K(k^/3) ^ k = \ ( „ — 4 ' c o s k-TTZ.

2 S

; i , 6 i )

Hierbij is een nieuw symbool voor het quotiënt der Besselfuncties K'2 (A) en K2 (A) ingevoerd, gegeven door de formule

AK'2(A) A K i ( A )

Deze K-functie speelt door het gehele werk een belangrijke rol.

Voor de spanningen bij r = 1 worden vervolgens uit de potentiaal Bi met behulp van ( 1 , 19) de volgende formules afgeleid

, ( 2 )

'r(p

Re 2 " bi AitgAj { — K ( A , ^ ) + A-,/?- -f 4 } c o s A , z , / = 1

00

/3Re 2 " b , A, tgA, {—A, K (A, ;ö)} sinAiZ, / = 1

00

Re Z b , A , t g A , ( — 2 K ( A i ^ ) -f 2 } c o s A , z ,

/ : = 1

: i , 6 3 ;

terwijl uit Bo met behulp van ( 1 , 20) voor r ^ 1 v/ordt berekend

T

Re 2 " b , { - 2 ( l - v ) ( K ( A , ^ ) - 4 ) +

+ 2X-i!3-}coiXiz^ 2J h, {K (Xi fi)—X-i I3- — 4:} XiZiinXiz 1= I r'A _{= PRc 2* bi {—AiK(A, ^ ) } s i n A , z +} 00 + 2 ' b , { — A , K ( A , ^ ) } A, zcosA, z / = : 1 trip _{Re 2 - b , { — 4 ( 1 — v ) ( K ( A , ^ ) — l ) } c o s A , z +} + 2 " b, {2 ( K ( A i ^ ) — l ) } A , z s i n A , z l— 1 : i , 6 4 )

De spanningen ( 1 , 6 1 ) , (1,63) en (1,64) worden tezamen genomen. Het resultaat wordt geschreven

Oy = Re 2 aij p,l'' cos kTTZ -|-k=\ GO 00 + 2 b i q j " cos Ai z H- 2* bi r J" A; z sin Ai z l=\ l=\ — " — = — /3 Re T ' _{k= 1} 2 ' aj^ pj;-' sin kTTZ + ; i , 6 5 ) 2 " bi q !"'sin Ai z - f 2* b ; r',-'Ai z cos Ai z

/ = I / = 1

T

_{k = \} 2 " aii p,'.'' cos kTTZ

+ 2 b j q i ' " cosAiZ-|- 2 " b i r p ' AiZ sin Ai z / = 1 / = 1

waarbij de volgende grootheden zijn ingevoerd

p i ^ ' = 2 K ( k 7 r ^ ) - 2 , p - ' = kTT,

p - . = K(k./?)-i^f)---4;

; i , 6 6 ) q?' {Ai tg Ai - F 2 ( l — v ) } { — K ( A , ^ ) - f 4 } -i-+ X',13' (Ai tg Ai 4 - 2 ) , Ai (Ai tg Ai + 1) { K ( A , / 3 ) } , — 2 ( A i t g A i - F 2 ( l — y ) ) ( K ( A i ^ ) — 1 ) ; ( 1 , 6 7 ) r l " = K ( A , ^ ) - A = i ^ = - 4 , r'r= A i K ( A i ^ ) , v<r'= 2 ( K ( A , / 3 ) - l ) . ; i , 6 8 )

De vorm voor de spanningen, zoals die gegeven is in (1,65) is nog niet geschikt voor verdere bewerking. Hiertoe zullen deze spanningen in Fourierreeksen worden ontwikkeld. H e t is eenvoudig de volgende hulp-formules af te leiden voor Ai reëel of complex en voor — I ^ z ^ 1

cos Ai z = Sio -f 2 ' Sii( cos kTTZ,

k=\

sin A( z 2 " Uik sin kTTZ,

k = 1

Ai z sin Ai z = tio + 2 ' tik cos V.TTZ, k = 1

Ai z cos Ai z = 2 " Vik sin k-nz,

k = \

(1,69)

waarbij gebruik gemaakt is van de volgende afkortingen

Sio Sik sin Ai

(— D"

2A,sinAi - . ; / „ - , A - i K- TT' Uik = 2 sin Ai l)"k7r A-i — k=77- ' tio = — c o s Ai sin Ai

~ A T '

t i k = V i k 2 A, sin Ai (— !)'• 2 Ai sin Ai (— 1)

A-'i 4- k-TI-- Ai cot Ai ( A ^ - k - 7 r = ) = A=i—k=-=

"kir cot Ai 2 Ai kyr

A'i—k" TT* (A'i —

k-rr")-(1,70)

Opgemerkt wordt, dat deze coëfficiënten in het geheel niet symmetrisch in de indices zijn.

t 1 (p == R E • i S R e

2 bi^^',-' + 2 akpL'» +

/ = 1 i = 1 f 00 J 1 + 2 b i ^ i V ' cos kTTZ / = 1 •) 00 l

2 akp{r> +

k=\ ( + 2 bil/-Pk' ; sin kTTZ / = 1 \

Re I 2" bi^^i;;' + 2 \ akp,f' +

1 = 1 i = 1 r

-f 2 " bil/-IV f cos kTTZ / = 1 > (1,71)

Hierbij zijn wederom afkortingen ingevoerd, gegeven door

^^li' = q l " Sik-f r ' / ' tik, \^;t' = q<'' Uik -1- r p ' Vik, 0Ji!' = q;^" Sik + rl^>t,k;

( 1 , 7 2 )

deze formules gelden voor (k = 0, 1 , 2 . . . ) , ( Z = l , 2 . . . ) , met dien verstande, dat f j,^' ^ O is.

De formele oplossing van het probleem wordt verkregen, door de spanningen volgens ( 1 , 7 1 ) en die volgens ( 1 , 5 8 ) te superponeren en de coëfficiënten in de ontwikkeling naar cos kvrz en sin k^z achtereen-eenvolgens gelijk nul te stellen. O p deze wijze ontstaat een stelsel ver-gelijkingen van de volgende gedaante

Re J b,./-,',',' + 6 0 —D W(l -f v) 4-^J

Re f bi^j;;' 4-6C — D ^ 2 ( l + v) 4 - ^ J

1_

y

1 '2 ' (1,73)

a„pr' + R e 2 bi^^iy = D

48v (— l^" ^ = k= ' akpi=' -f R e 2 bi^^Pk' = O, / = 1 M 48v (—1)"^

a.pr> -f Re 2 bi^'il' =

D

^ --,-,—•

/ = 1 TT-yö- k-( k = 1, 2, . . . . ) : i , 7 4 ) H e t stelsel ( 1 , 7 4 ) is e e n d r i e v o u d i g o n e i n d i g stelsel v e r g e l i j k i n g e n met een drievoudig oneindig aantal reële onbekenden, daar elke bj dubbel telt. Indien dit stelsel een oplossing heeft, worden daarmede ak en bi uitgedrukt in D . M e t behulp van ( 1 , 73) zijn dan achteraf C en D te bepalen. Een existentiebewijs voor de oplosbaarheid van het stelsel

(1, 74) lijkt moeilijk te geven. Daarom zal worden volstaan met enige opmerkingen, waarbij de onderstelling wordt gemaakt, dat dit stelsel steeds één oplossing heeft.

O m praktische resultaten te verkrijgen, moet het stelsel ( 1 , 7 4 ) wor-den afgeknot tot een stelsel van 3 N vergelijkingen met 3 N onbekenwor-den: ai, . . . aN, b i , . . . bj-j. D e oplossing van dit afgeknotte stelsel is alleen d a n een behoorlijke benadering van de oplossing van het gegeven oneindige stelsel, indien aan twee voorwaarden is voldaan. I n de eerste plaats moeten de uit het afgeknotte stelsel berekende waarden ak, bi voldoende

stabiel zijn, d.w.z. zij mogen bij vergroting van het aantal in aanmerking

genomen vergelijkingen en onbekenden slechts weinig veranderen. Voorts moeten met toenemende indices k en l de berekende waarden ak en bi voldoende snel afnemen, waardoor de berekende spanningen goed

con-vergeren. I n hoeverre aan deze voorwaarden wordt voldaan kan eerst

door uitvoering van de berekeningen worden vastgesteld.

De bereikbare nauwkeurigheid bij de af knotting van het stelsel ( 1 , 74) is sterk afhankelijk van de parameter j8, die in de coëfficiënten van het stelsel is vervat. Physisch is dit duidelijk. Voor een zeer dunne plaat

{f3 -^ co) geldt voor de oplossing van ( 1 , 74) ak - ^ O, bi ^ O, waarmede

uit ( 1 , 7 3 ) voor C en D de waarden ( 1 , 3 4 a ) van de vlakspannings-toestand volgen. Voor grote doch eindige waarden van /? is een asympto-tische ontwikkeling mogelijk, waarbij blijkt dat alle onbekenden ak, bi van de orde f3'^ zijn doch numeriek zal blijken, dat ai en bi sterk

over-heersen (§ 2, 1), zodat met N = 1 kan worden volstaan. De physische betekenis hiervan is, dat de afwijking van de gegeneraliseerde vlak-spanningstoestand voor een dunne plaat met goede benadering wordt beschreven door de eerste t e n n van de Fourier-ontwikkeling in dikte-richting. Voor dikkere platen zal een groter aantal vergelijkingen en onbekenden moeten worden meegenomen.

I - 8 - HERLEIDING DER COËFFICIËNTEN

Alvorens tot een algemene beschouwing van de vergelijkingen ( 1 , 73) en ( 1 , 74) over te gaan, is het gewenst, de optredende coëfficiënten aan een nader onderzoek te onderwerpen. Allereerst worden enige eenvoudige identiteiten gegeven. Zo geldt

t(k = Sik 1 — Ai cot Ai

4-2k=:r=

Ai tg Al 4- Ai cot Ai =

-Vik ^ Uik Ai cot Ai —

A-i — k = 7 7 =

2A=,

A-J — k "

TT-( 1 , 7 5 )

Voorts kan worden geschreven

q'j>' = — r ' / ' [Ai tg Ai + 2 ( 1 — v ) ] 4 - 2vX-, p-qP> = rS=' [A, tgA, + 1 ] ,

q?'

•rV" [Ai tg Ai 4 - 2 ( l — v ) ] .

; i , 7 6 )

Met behulp van de betrekkingen (1,75) en (1,76) wordt uit (1,72) gevonden V Ik — 4j8- A^ sin Ai

11

_{(A^i — k - ^ 7 r = ) =} k--7r=

+ 4XismX,-}^.r^\K{Xif3)-il\ v 4--—r

Xu — k - TT- (» \ ^ (A-i

77)

sin Ai V,o n. _ 2 v ^ ^ ' ^ { K ( A i ^ ) - 4 } , (1,78)

f II' = — 4 ( — l ) ' ^ A - ' , s i n A ,

( A = i — k ^ T T ^ ) ^ K ( A i ^ ) , (1,79) '/-Jk' = 8 ( — 1 ) ' ^ A , sinAi 1

+

TT-A-'i k " TT

(

• k - TT-

{ K ( A i / ? ) - l } ,

(1,80)

rio = 4 v ' ^ " - ^ { K ( A i / 3 ) - l } .

Ai ,r, (3)

_(1,81)

Uit het stelsel (1,74) kan vervolgens ak worden geëlimineerd

1 co

ak = ^ Re 2 ' b i ^ i i = ' , Pk 1= \

( 1 , 8 2 )

waardoor dit stelsel overgaat in

Re S bi;.Sy

/ = 1

Re 2 hix'r;!

/ = !

D

= D

48v (—1)''

TT-13' k- ' 48v ( — 1 ) " TT- f3* k - '

(k = 1 , 2 , . . . )

(1,83)

met „ ( 1 ) ,,(1) P k . - ' 1 > ^= , i , l l ) K K ( O , / i k ^ VIk — „ T i i r r V'/k ' Z/k 'i"ik P k „ C D - P ' - — 1 / ; ' - '

Pil" ^"

( k = 1, 2 . .

(/ = 1, 2 . .

(1,84)

De laatste vereenvoudigingen worden verkregen door te stellen

D

48r

C i

1 ik -

ziÜrzl)'

4 A^ sin Ai ' ( 1 , 8 6 ) waarmee ( 1 , 83) overgaat in 00

2

1= 1

Re '2

cixli'^'-co Re 2 Cl z1f' = k^ 1 :k = i, 2 . . . ) ; i , 8 7 )

Hierin is Ci onafhankelijk van D. Worden de twee vergelijkingen ( 1 , 73) van elkaar afgetrokken, dan ontstaat een vergelijking voor D. Gevonden wordt

D = 1

2(^ + ^ ) " ^ ^ ^ ï , A^sib^^^i"-^'")

. ( 1 , 8 8 )

M e t behulp van de vergelijkingen ( 1 , 8 8 ) , ( 1 , 8 5 ) , (1,78) en ( 1 , 8 1 ) wordt tenslotte voor bi gevonden

bi = Ci/4 A^i sin Ai

( 1 , 8 9 )

terwijl ak bepaald is door (1,89) en ( 1 , 8 2 ) . I n de uitdrukkingen voor de spanningen speelt nog een rol de afkorting

di = 4A^ sin Ai . b

Ci

: 1 + ^) 02+ " O U , f, , K i ( A i , ^ ) 1

I - 9 - DE D U N N E PLAAT

De coëfficiënten van de stelsels ( 1 , 73) en ( 1 , 74) zijn gecompliceerde functies van de parameter f3 en het heeft dus zin, na te gaan of in extreme gevallen de stelsels kunnen worden vereenvoudigd. Zoals boven reeds werd opgemerkt, zal voor de dunne plaat ( h ^ - O, d.w.z. f3-^ oo) het stelsel de oplossing ak ^ bi = O hebben, terv/ijl alleen C en D on-gelijk nul zijn (vlakspanningstoestand). De spanningstoestand van een dunne plaat, waarvoor h een eindige waarde heeft, kan nu worden beschouwd als een storing op deze vlakspanningstoestand. Gezocht wordt daarom in de eerste plaats die oplossing van ( 1 , 7 3 ) , ( 1 , 7 4 ) , die kan worden geschreven als een ontwikkeling in machten van

^

-. Hiertoe

wordt voor de coëfficiënten gebruik gemaakt van de volgende bekende asymptotische ontwikkelingen (zie [ 2 0 ] , pag. 374)

K i ( z ) K 2 ( z ) / TT

2z

' TT

2z

e-'-1

1

4-3

8z

15

8z

'' 1

128 z^ •••

105

^128z=

:

: i , 9 i )

welke betekenis hebben voor I z j groot en [ arg z |<C —^—TT. Uit (1,91) wordt afgeleid

K (z) = — z —- 15

_{- + . . . . ( | z [ » i ;}

1,92)

Met behulp van deze betrekking wordt (1,66) geschreven als

Pi

pr

'IJ = 2 kTT^ • 15

pi^' = —

₂

•k7r/3 — kTTf3 9

( / 3 » 1 ) (1,93)

Voor de coëfficiënten i/zik gelden de volgende asymptotische ontwikke-linü'cn v ! l ' = fi' — 4 (— l)'<A^sin A k=Tr=

- ^

4 ( — l)'^\-isinAi ( A ^ - k ^ ^ ^ ) ^ 1 \ / , k= 77 = A^i — k " ' TT'-' A^i — k=7r= Ao 1 o < i — k 7 r -k=7r= A^i — k-V'-^ VÜ: •f3. 2vsin A i — 9 v sin Ai Ai H>\V = /3 4 ( — l ) ' ^ A ^ s i n A i 4 2 ( — l ) i ' A ' ' i s i n A i -A=i — k-V) = kTT 4- . . . . „ . ( • • : i rik ( A ^ i - k = 7 r = ) ^

8 ( - l ) ^ A = i s i n A i | - - J — ] ( v +

^

,

^

—12(—l)'S\isinAi

A - , — k - 7 r k^Tr'-V-'i—k=7r=

i/i JIJ' = — j8. 4^ sin Ai — 6v 4-Ai

C i 8 » l )

;i,94)

De gezochte asymptotische ontwikkeling wordt in de volgende vorm

geschreven

c

D

ak

h,

= C<" = D<" T ( I I I — ak

== b'"'

^ f3

-1 b'< '

( / 3 » 1 ) (1,95)

en vervolgens, tezamen met de ontwikkelingen (1,93) en (1,94) in-gevoerd in de vergelijkingen ( 1 , 73) en ( 1 , 74). Indien de rechterleden van deze vergelijkingen naar het linkerlid worden overgebracht, ontstaan ontwikkelingen naar machten van -——, die termsgewijs nul gesteld een voldoend aantal vergelijkingen geven voor de bepaling van de coëfficiën-ten in ( 1 , 95). O p deze wijze wordt gevonden

, ( 0 ) " k

hr

1 , D<"' 1 4 ' " 2 ( l + v ) ' O, D ' i ' = O, —^—V. D " " = — , D<=' 3 3 ( 1 + v ) '

O,

b ; " = b ^ '

a^^'

= o, b p ' = O, ( 1 , 9 6 ) alsmede 48v (—

FTv

~ k'

1)'^ (1,97)

De coëfficiënt b / * ' wordt opgelost na invoering van de afkorting

bl^' 6v „(^) C l

1 4- V A''i sin Ai (1,98)

uit het stelsel

Re 2 c l " 1 1=1 (A"! — k = 7 r = ) = K' 77 l i 00 •Rp y p ( J ) / = 1 (A i - k 77 ) -

0.

( k = l , 2, . . . ) ( 1 , 9 9 )

M e t d e o p l o s s i n g e n v a n d e z e v e r g e l i j k i n g e n is d e e e r s t e b e n a d e r i n g v o l t o o i d . O p gelijke wijze k a n w o r d e n v o o r t g e g a a n m e t d e b e r e k e n i n g v a n h o g e r e b e n a d e r i n g e n . G e v o n d e n w o r d t u i t ( 1 , 7 3 ) v o o r d e g r o o t -h e d e n C'-'* e n D ' ' " -h e t v o l g e n d e stelsel 6 C ^ = " — 4 ( 1 -F r-) D<-^) = R e 2 b i " . 2 v s i n A i , 1= 1 00 6 C ' ^ " — 2 ( 1 4- v) D " * = R e 2 b ' , " . 4v sin A,. / = 1 ; 1 , 1 0 0 ) V o o r a.;*''' w o r d t e e v o n d e n o ( 5 ) — Hk 1 6 ( — n " =° — 2 - ^ ^ R e 2 " b i ^ A ^ i s i n A i k = 77 = A^i — k=7r= A i — k -( 1 , 1 0 1 ) terwijl b ','* m e t d e afkorting h? 6v

1 -f V A''i sin A(' ; i , 102)

vordt b e r e k e n d u i t co

Re 2 cT'

/ = 1 ( A - i — k V - ^ ) ' - k=7r^ 1

+

1 co c l " —^ R e 2 — ^ , R p V r ' = ' ^ \ ^ ^ ^ ' ( A = i - k V - 2 - 2 ^ ^ k^77'" " ^ k=' A ' - ^ i - k ^ 1 1 co J: P p V pi-i) 2 i ^ , ""' ( A = i - k V 2 k^77^ ( k = l , 2, . . . . ) T , 103)

Langs deze weg kunnen steeds hogere termen worden verkregen, doch het praktische belang daarvan is gering wegens het asymptotische karak-ter der ontwikkelingen. Voor eindige waarden van de verhouding van de diameter van het gat tot de dikte van de plaat kan beter rechtstreeks worden uitgegaan van de vergelijkingen (1,73) en ( 1 , 7 4 ) .

I - 10 - DE SPANNINGEN

Indien de coëfficiënten C, D, a.^ en bi bekend zijn, worden de span-ningsgrootheden bepaald uit de potentialen door middel van de ver-gelijkingen ( 1 , 18), ( 1 , 19) en ( 1 , 2 0 ) en toegevoegd aan de oplossing

( 1 , 3 3 ) . N a enig gereken wordt voor de spanning ar de volgende uit-drukking gevonden -4 cos 2(f 4 - 6 C D

^4(1 + v)

12v

f3"-

r* I, 2 ^ , p K 2 ( k 7 7 f a ) K i ( k 7 7 6 r ) ) 2- 2 a,, cos k77z • k77/3r - ^ ^ — j — - - . + r A: = 1 (* K.O (k77,ö) K2(k77/?) *,

+ R =?-' h ^ - i - ^ ^ ( ^ ' ^'^ _ A ^ Ki(Ai^r)

l£.l ( r"- K2(A,,i8) r K2;Aii8) "^

+ A^i P''^r!:^i { (Ai tg Ai + 2 (1 v) } cos Ai z

-Ka (Ai /i) ^

— A i Z s i n A i z } 4 - 2 v R e 2 " bi ^6= A ^ - - - ) ^ ^ ^ e o s AiZ / = 1 K2(Ai /:;)

; 1,104)

Zoals gemakkelijk valt te controleren wordt 0-^ = 0 voor r = 1. Voor z = O en z ^ 1 wordt de formule niet veel eenvoudiger.

' ^4-4-

cos 2a 6 G D 12v /3= 2 «> ^3K2(k77;8r) ^;— 2 ak cos k77Z — — -r- A- = 1 (* K.2 (k7r/3) a fl ^ ^ ^ i i ^ ^ ' ^ U 4 - R V K W 6K2(Ai/3r) k77i8r /v i^^ + Re 2 b i - ^ — - - — —• Ko (k7r/3) (, i ^ i (» r- K2 (Ai/3) Ai/3 K ^ ^ ^ r ) _ /

r " K 2 ( A i ^ ) ^ {— (Ai tgA, 4- 2) cosA,z +

A,z sin Aiz} + 2v Re 2 b , cos A,z ^ ^ 4 ~^-~oC / = ] ('r- K2 (Ai (3) _ ^ / 3 _ _ K i ( A , ; 8 r ) , K2(A^i8r)^^

r K2(Aii8) ^ ' ' ' K ; ( A i i 8 ) \

:i,io5)

Voor r = 1 wordt deze vorm vereenvoudigd tot

'T _{r = 1} 1 4- cos 2if -4 (1 4- v) D

+ j8-'Re 2 b , A''i tgAiCosA,z4- 2 ( 1 4- v);8=.

CO 0 0 _

Re 2 hiX'icoiXiz — f3'-Kc 2 hi X''izsin X/z

1=] / = 1

(1,106)

Onder invoering van di gedefinieerd in (1,90) is deze vergelijking te schriJNcn als

'T' = 1 cos 2p 4 (1 r) D 4-B'- cc

+ - ; — Re 2

* / —1

cos AlZ z sin AiZ cos A sm Ai

l-^ n + v) f3uic 2

2 i ^ i cos AiZ Ai sin Ai

;i,io7)

Hieruit volgt de belangrijke waarde • = 1 = 1 4 - cos 2p •4 (1 -h v) D 4-1 + V „, ^ 92 , cot Ai ^ - ^ ^^'Re 2 d i - — ' 2 i = \ Xi ; i , i 0 8 )

Interessant is ook de gemiddelde waarde over de dikte

• = 1 = 1 4- cos 2p -4(1 4- v)D -h V <v^ 1 . — ^ ^ R e 2 d i — -2 / = 1 A-i (1,109)

Voor de spanning CTZ wordt gevonden

cos 2f

P'

4 Re 2 di ^ ^ ( ' ^ ' ^ ' • : _{/ = 1} K2 (AiiS) ^ z sin Ai z cos AiZ f

f sin Ai cos Ai ^

(1, 110)

Zoals gemakkelijk wordt gecontroleerd is a^ = O voor | z Voor r = 1 is ^ 7 . o P' n ^ j / z s i n A i Z = cos 2^ - ^ ^ — Re 2^ di —-. I 4 i^i \ smAi cos Ai z (1,111) cos Ai

tcnvijl de gemiddelde waarde is

r= 1

COS 2(f

P'

Re 2

^ dl

~-/ = 1 A-i

Voor een zeer dunne plaat kunnen de uitdrukkingen (1,95) worden gebruikt in de formules voor de spanningen. Indien de ontwikkeling niet verder wordt voorttjezet dan tot termen van de orde ———, ontstaan

de volgende vormen

P'

T 1 4- cos 2

4 - Re 2 cV'^"^

P' l=:^l Ai • 2 — 1 4- cos 2 •2 +

P'ï

; i , 1 1 3 ) T = 1 4 - cos 2^3 9 1 12v= oo 1 Re 2 c l " f3-' 1-f

Bij de afleiding van ( 1 , 113) is gebruik gemaakt van

A^i (1,114) co c o t Ai Re 2 c l " ' 1 / = 1 Ai (1,115)

Deze betrekking kan worden verkregen met behulp van de identiteit

k€ 1 " ( A " ^ 7 ^ k ^ 7 7 ^ ' " " T ^ i r ^ ^ ' ^ ^' ^ '^^

welke wordt afgeleid uit de eerste en derde der vergelijkingen ( 1 , 6 9 ) , door hierin z = 1 te nemen en de reeks

1 fc = l Uit (1, 116) volgt direct

00 •f, A ^ - k 2 77'^ te elimineren. co , . k^ 77-Re 2 b I . — 4 A-^ sm A i -y~ , y - j v ^ k.l^l (X-l-k'TT^)'

= Re 2 b! 2A-i cos Ai.

Indien de plaat zeer dun is {f3 —>• co) kan voor het linkerlid van deze vergelijking worden geschreven, onder gebruikmaking van (1,74) en

(1,94)

48v os 1 77^' /?' ,^ e I k-^

8i'D'"> 1

P' " 1 -h V f3' '

terwijl het rechterlid gelijk is aan

Re 12v V 00 cor Ai

P'

l~^\

op grond van (1,95) en ( 1 , 9 8 ) .

Door gelijkstelling wordt ( 1 , 115) gevonden. De middelwaarde van CTZ is gegeven door

o,.

T

cos 2(1,

P'

12v Re 00 ~^l c!" 1 A^'i (1,117)

Opgemerkt wordt nog, dat \-oor een zeer dikke plaat {f3—'•O) de waarden \"an —-' en - ^ — bekend zijn uit de theorie van de vlakke vcrxormingstoestand. Met behulp van de formules ( 1 , 109) en ( 1 , 112)

co di

is het hiermede mogelijk de grootheden D en jö- ^ — te bereke-nen voor f3 ^ 0. Gevonden wordt ^ «= di 2v Re X ^— == XT-D ~~2~~ f3-^0. ; i , 118)

VOLLEDIGHEID V.AN HET GEBRUIKTE STELSEL POTENTIAALFUNCTIES (A. B,, B,)

H e t staat niet bij voorbaat \ast, dat het in deze verhandeling gebruikte stelsel potentiaalfuncties (A, Bi, Bo) compleet is, dat wil zeggen, dat bij iedere oplossing (u, v, w) van ( 1 , 1 ) potentialen A, B,, Bo kunnen worden gevonden, zodanig, dat de functies u, v en w uit het stelsel (A, Bi, B2) kunnen worden afgeleid door combinatie van ( 1 , 4 ) , ( 1 , 6 ) en ( 1 , 8 ) .

Bij de behandeling van een willekeurig driedimensionaal elasticiteits-vraagstuk staat in het algemeen wel vast, dat de oplossing met behulp van vier onafhankelijke potentiaalfuncties kan worden beschreven [ 2 2 ] , terwijl voor een grote klasse van problemen de mogelijkheid van beschrij-ving door middel van drie onafhankelijke potentiaalfuncties ook is vast-gesteld [ 2 3 ] . Verwacht mag worden op physische gronden dat, ook al ontbreekt hiervoor het mathematische bewijs, ,,in het algemeen" ook problemen, die vallen buiten de bovengenoemde klasse, met slechts drie potentiaalfuncties kunnen worden beschreven. Voor een uitgebreide klasse van vraagstukken, welke ook het in hoofdstuk I geformuleerde probleem bevat, is het echter mogelijk een wiskundig bewijs van de volledigheid van het gebruikte stelsel potentiaalfuncties (A, B,,Bo) te geven. Deze klasse van vraagstukken omvat die problemen, welke betrekking hebben op de bepaling van de verplaatsingen in lichamen, welke convex zijn in één richting. (Een lichaam wordt convex genoemd in één richting, indien ieder rechtlijnig element evenwijdig aan die richting, dat twee punten van het lichaam verbindt, geheel in dat lichaam ligt). Worden één of meer dimensies van het lichaam oneindig groot, dan zullen de verplaatsingen op oneindig aan zekere voorwaarden moeten \oldoen. Bij de bewijs-voering van de volledigheidsstelling van het stelsel potentiaalfuncties

(A, B,,Bo) speelt de volgende hulpstelling over harmonische fimcties, dat zijn functies, die voldoen aan de vergelijking van L.^PL.ACF., een een centrale rol.

Hulpstelling

Indien p ( x , y, z) een harmonische functie is in het gebied D, is het mogelijk een andere harmonische fimctie q(x, y, z) te vinden, bepaald door

' ^ - = P , ( A , l ) 3z

indien wordt voldaan aan de volgende voorwaarden

a. het gebied D is convex in de z-richting,

9P

b. indien r = Vx" 4- y- - ^ co , is [ —r | ^ ^ O

(r-H e t bewijs van de hulpstelling \erIoopt geheel analoog met het bewijs, dat gegeven is door EUBANKS en STERNBERG [23] voor in de z-richting convexe lichamen, die eindig zijn in ieder vlak evenwijdig aan het x-y-vlak. Uit de gegeven harmonische functie p(.x, y, z) wordt eerst een functie q i ( x , y, z) afgeleid door middel van

qi = /%(.x,y, D d C . (A,2)

II

De functie qi voldoet aan 3 qi

en is dus een oplossing van

az =P'

^ - A q. = 0.

az

Hieruit volgt, dat A qi onafhankelijk van z is, hetg.een uitgedrukt wordt door

Uit (A, 3) volgt door directe berekening h ( x , y ) = A q i _ap_

az

c - p

^KH

dC

AP_

az

z = 0 ( A , 4 )

O p grond van de voorwaarde b kan worden geconcludeerd, dat h ( x , y) integreerbaar is over het gehele vlak z = 0. Aan de functie qi wordt nu een functie qo (x, y) toegevoegd, bepaald door

1

q2 = o ï !^iè,v) log V ( x — D ' + (y —7,)^dg d,7, ( A , 5 )

Z. TT ü

welke blijkbaar voldoen aan [30]

A q 2 = - h ( x , y ) ( A , 6 ) H e t gebied B waarover de integraal (A, 5) wordt berekend, is de door-snijding van het vlak z ^ O met het lichaam. Het is nu duidelijk, dat de gevraagde functie q(x, y, z) gegeven wordt door

q = q i 4- q2. (A, 7)

Opmerking. De stelling kan worden uitgebreid tot hogere afgeleiden.

Indien p ( x , y, z) een harmonische functie is, kan een functie q(x, y, z) worden gevonden, die voldoet aan

a-'q

^ = p ; A q = 0 , ( A , 8 )

onder de voorwaarde a, terwijl de voorwaarde b moet worden ver-scherpt tot

1 ^

o z / z = ; 0

= 0(r-="-')

Stelling. In een lichaam, dat conve.x is in de z-richting, kan bij iedere

oplossing (u, V, w) van (1. 1) een stelsel harmonische potentiaalfuncties (A, Bi,Bo) worden gevonden, zodanig dat met a — y = 3 — 4v

l)v

a Bi a_A^ dB^ a X ay

a Bi

az

aBo

" a j T

^ 2 aBo 4- z a X a z a= Bo ay a z ' ( A , 9 )

indien voor r = \/ x' -'T y- ^- oo geldt

u. V 0 ( r

-a w

' 3 T ~

" ^) met E > O, O ( r - ) ,

az

0 ( r

-Het bewijs van deze stelling zal worden geleverd door oplossing van de vergelijkingen (A, 9) voor de harmonische functies A, B,, B2 bij een willekeurig" gegeven oplossing" u, v, w van de elasticiteitsvergelijkingen (1, 1). Allereerst wordt Bo bepaald uit de door differentiatie van de eerste vergelijkingen (A, 9) naar x, van de tweede vergelijking naar y en van de derde vergelijking naar z, en door optelling verkregen be-trekking

ev = — 2 ( 1 •2v)

]rB.__

3 z-

(A, 10)

O m d a t f, harmonisch is, kan Bo op grond van de hulpstelling worden berekend.

Vervolgens wordt uit de derde vergelijking (A, 9) de harmonische functie Bi berekend. Uit de derde vergelijking (1,1) en uit (A, 10) volgt

A w — y 3B2 3= Bo ^

~ 3 z ^ (A, 11) zodat Bi wederom op grond van de hulpstelling kan worden berekend.

T e r voltooiing van het bewijs worden nu nieuwe functies Q en R in-gevoerd, gedefinieerd door

Q R = V B i 3 x 9 B , aB2 a x 8Bo a^Bo a x ö z ' a=Bo y 3- 3y 3; (A, 12)

uit de vergelijkingen ( 1 , 1) en (A, 10) volgt, dat Q en R harmonisch zijn. M e t behulp van de betrekking a — y = 3 — 4v, de derde vergelijking

( A 9 ) en (A, 10) volgt verder door differentiatie van (A, 12)

9 Q 3 R

a x 3y O, ( A , 1 3 )

waaruit volgt, dat Q en R uit de z-componente van een vectorpotentiaal kunnen worden afgeleid.

Gesteld wordt nu A ( x , y, z ) = ƒ { - R (£, 7?, z)d I 4- Q ( ^ , , , , z ) d ^ }

aR aQ

z c, - . f d C i / d C o a x

S

So (

+

r-R

dr-2

dè

-;^:r-dr][ (A, 14)

Hierin is [ gedefinieerd als de integraal langs een willekeurige kromme, So

die geheel in de doorsnijding van het lichaam met het vlak z = con-stant ligt. Voorts zijn de integraties over t i en f2 integraties in de z-richting. H e t is noodzakelijk, dat het punt So onafhankelijk van z wordt genomen. O m aan te tonen, dat dit inderdaad de gezochte potentiaal-functie A is, wordt door differentiatie vastgesteld, dat

Q R 3y '

IA

ax '

(A, 15)

terwijl voor de afgeleide naar z wordt gevonden 3 A , ^ , / a R 3 Q '

Jd

_{3 x}

_ay

₊

Uit (A, 15) en (A, 16) volgt

dr? — A A = O,

aR

Jz

.'-. = Q

dt

(A, 16) (A, 17) zodat functie A inderdaad harmonisch is.

In een enkelvoudig samenhangend gebied is deze functie ook een-duidig. In een meervoudig samenhansfend gebied is A in het algemeen

a A a A 3 A

echter meerwaardig. Ook —— is dan niet eenduidig, doch —

_3y

3=A .. ,

en „—--ziin dat wel. a

z-Opgemerkt wordt, dat in het bewijs de waarde v 1 geen bij-zondere moeilijkheid oplevert, zoals het geval is indien de representatie met 4 potentialen volgens PAPKOVICH tot een representatie met drie componenten van de vectorpotentiaal wordt gereduceerd [ 2 3 ] . Het hier gegeven bewijs geldt voor alle waarden van v in het gebied — 1 < v < - - . De stelling, zoals die op blz. 37 is geformuleerd, kan niet onmiddellijk worden toegepast op het probleem van hoofdstuk I, aangezien de op-lossing van dit probleem niet voldoet aan de voorwaarden, welke in de stelling gesteld worden t.a.v. het gedrag voor r -•* oo. Door afsplitsing van het elementaire deel van de spanningsverdeling ( 1 , 33) wordt echter een vraagstuk verkregen, waarop de hier bewezen volledigheidsstelling wel van toepassing is.

N U M E R I E K E R E S U L T A T E N V O O R DE I N H A A R V L A K BELASTE P L A A T

2 - I - DE N U M E R I E K E B E R E K E N I N G E N

O m tot conclusies te komen betreffende de gezochte spanningen, moeten de vergelijkingen numeriek worden opgelost. De berekeningen bestaan uit:

a. het bepalen van de eigenwaarden;

, b. het bepalen \ a n de benodigde waarden van de K-functies;

e. het berekenen van de benodigde coëfficiënten; d. het oplossen van de algebraïsche vergelijkingen; e. het uitwerken van de spanningsgrootheden.

In de formules komt de grootheid i' voor, het getal van POISSON. Dit getal speelt een belangrijke rol, daar \"oor v ^=0 het vraagstuk elementair is en de gecompliceerdheid dus alleen het gevolg is van het ongelijk nul zijn van v. Bij de berekening is steeds v = — — genomen, het gemiddel-de van gemiddel-de theoretisch mogelijke extreme waargemiddel-den; gemiddel-de aangenomen waarde is voorts een goede benadering voor het getal van POISSON bij staal.

a. De berekening der eigenwaarden van vergelijking ( 1 , 53) geschiedt

door deze vergelijking n a invullen van Ai ^ ixi + i vi, (/.q, vi reëel) te vervangen door twee reële vergelijkingen

sin 2ixi cosh 2ri = — 2/.ii cos 2/xi sinh 2i'i = — 2i'i.

(2,

i;

Afgezien wordt van de triviale (onbruikbare) oplossing pi = vi ^ 0. Beperkt wordt tot die oplossingen waarvoor ;u,i > O en vi > 0. U i t

(2,1) volgt direct, dat gelijktijdig sin 2pi en cos 2;iii negatief moeten zijn, waaruit blijkt, dat 2;u,i in het derde quadrant is gelegen, en dus geschre-ven zal kunnen worden

2,,i={2l ^—)TT-e,, ( Z = l , 2 . . . ) ( 2 , 2 )

waarin EI nog nader te bepalen is.

Aan fi wordt een willekeurige (kleine) beginwaarde gegeven. Uit de eerste vergelijking ( 2 , 1 ) wordt een bijbehorende waarde van vi be-rekend. Vei-v-olgens wordt uit de tweede vergelijking ( 2 , 1 ) een ver-beterde waarde f i bepaald. Dit iteratieproces convergeert snel. In tabel I zijn de oplossingen voor / ^ 1 . . . .7 samengevat ^).

Door de eigenschappen van de hyperbolische functies, is het ook een-voudig een asymptotische formule voor Ai op te stellen. Voor grote l blijkt, dat A i ^ {l

1 ^ ,

4 '"^

lr,o- / A. 1 1 \ -U

( 4 / - I ) ^ ' ° - ( ^ ^ ^'^^

+ - ^ i log ( 4 Z - 1)77 + . . .

(2,3)

Reeds voor / = 5 levert deze formule: 14,8541 4- i 2,045. in bevredi-gende overeenstemming met de meer exacte waarde.

b. De berekening van de K-waarden strekt zich niet alleen uit over

reële, m a a r ook over comple.xe grootheden. I n de formules komen voor K(k77,S) en K ( A i ^ ) . Voor voldoende grote f3 kan steeds volstaan worden met de asymptotische formules, die hier snel tot een resultaat leiden. Voor kleine waarde van k, 1 en /3 stonden tabellen ter beschikking [24] en [ 2 5 ] , die hoewel ze bedoeld zijn voor de berekening \ a n

Bessel-') Na de berekening van de eigenwaarden met behulp van de tabellen van HAYASHI voor de hyperbolische en goniometrische functies [26] bleek, dat deze eigenwaarden ook reeds door andere schrijvers waren bepaald 27], [28], [29]. De hier verkregen resultaten stemmen in de opgegeven cijfers overeen met de literatuur.

functies met complex argument, hier toch alleen bruikbaar bleken voor de berekening van functies met reëel argument. De functies met complex argument zijn bepaald met behulp van reeksontwikkelingen. De ge-bruikte formules worden hier nogmaals samengevat. De asymptotische formule luidt 15 JCi(z)_ K=(z) 128 4- . . . . 1 4 1^ -1 -f — - — z 105 1 2 8 "

(2,4)

terwijl de reeksontwikkelingen voor K i ( z ) en K2(z) zijn

K i ( z ) = 1 M z r = 0 rl 2 r! ( 1 log r + 1

- S

_{1 m 2 m = l m )}

1__

£

_!_}

+

_(2,5) K2(z) = ^ f y -/• z \ =+=•• 2 ^r^ ' • ) ' = ^

r!(2

+

r)!

( 1 r -1- 2 1 1 2 n i ^ l m 2 m = l 1 )

) +

_(2,6)

waarbij y de constante van EULER voorstelt (y ^ 0 , 5 7 7 2 1 5 7 . . . ) Voor de berekening der K-waarden is ingevoerd de afkorting

K*(z)

K^(z)

K2(z) (2,7)

waaruit K ( z ) wordt bepaald door

Eigenwaarden en K*- waarden kof/ 1 2 3 4 5 6 7 k'^ 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 15,7080 18,8496 21,9911

h

2,1062+i 5,3564+i 8,5367+i 11,6992+i 14,85414-i 18,00494-i 21,1534+i 1,1254 1,552 1,776 1,929 2,047 2,140 2,220

K . ( i ^

—0,4875 —0,6637 —0,7504 —0,8019 —0,8358 —0,8599 —0,8778 K*(k^) —0,6637 —0,8019 —0,8599 —0,8916 —0,9116 — K*C/.Xi) —0,4012—i 0,1185 —0,6354—i 0,0640 —0,7373—i 0,0414 —0,7937—i 0,0277 —0,8301—i 0,0199 —0,8557—i 0,0150 —0,8745~i 0,0117 K*(A,) -0,6273—i —0,7859—i —0,8520—i —0,8869—i —0,9084—i — 0,1280 0,0496 0,0267 0,0168 0,0166 K*(='/2Xi) —0,7055—i 0.1103 —0,8484—i 0,0378 —0,8971—i 0,0194 —0,9221—i 0,0120 —0,9373—i 0,0081 — K*(2X,) —0,7654—i 0,0964 —0,8825—i 0,0305 —0,9211—i 0,0153 —0,9406—i 0,0093 —0,9524—i 0,0063 — K*(3X —0,8347— —0,9192— —0,9463— —0,9598— —0,9678— — i) 0,0736 0,0217 0,0107 0,0064 0,0043

^Vaarden van ;/',,('' voor f] -— '/-• k " \ 1 2 3 4 5 6 7 1 —0,084774-—0.01101 + —0,006044- -0,00372-1- —0,002514-—0,00180+ —0,00136+ 0,16729 0,02008 0,00804 0,00441 0,00279 0,00193 0,00145 2 0,00989—i 0,03952 ~-0,03102+i 0,03574 —0,00004+1 0,00440 —0,00217+i 0,00865 —0,000804-i 0,00057 —0,00067+i 0,00035 —0,00054-l-i 0,00024 3 0,00546— 0,00506— —0.02092+ 0,00119+ 0.00014+ —0,00017+ —0,00023+ 0,00506 0,01978 0,01995 0,00349 0,00079 0,00032 0,00017 4 0,00221—i 0,00135 0,00373—i 0,00324 0,00325—i 0,01418 —0,01658+i 0,01424 0,00141+i 0.00325 0,00045+i 0,00072 0,00007+i 0,00027 5 0,00109—i 0,00051 0,00172—i 0,00097 0,00297—i 0,00273 0,00194—i 0,01160 —0,01419+i 0,01134 0 , 0 0 H 3 + i 0,00312 0,00059+i 0,00071 6 0,00061—i 0.00024 0,00092—i 0,00040 0,00147—i 0,00081 0,00254—i 0,00227 0,00131—i 0,01010 —0,01265+i 0,00960 0,00138+i 0,00304 7 0.00038— 0,00008— 0,00082— 0,00131 — 0,00226— 0,00087— —0,01156+ 0,00013 0,00020 0,00035 0,00072 0,00208 0,00909 0,00842

Waarden van ;r|',j-' \ o o r [3 = 7= k \ 1 2 3 4 5 6 7 1 —0,07396+ —0,00124+ —0,001484-—0,00108+ —0,00078+ - 0 , 0 0 0 5 8 + —0,00047-1-0,20822 0,02385 0,00909 0,00488 0,00306 0,00210 0,00167 2 0,01022—i 0,04566 —0.04458+i 0,07407 0,00877+i 0,01097 0,00117+i 0,01729 0,00197+i 0,00136 0,00120+i 0,00078 0,00080+i 0,00051 3 0,00599— 0,00630— —0,044754- 0,010164- 0,005104- 0.002864-0,00182-h 0,00571 0,03211 0,05801 0,01235 0,00324 0,00136 0,00073 4 0,00241 — 0,00545— 0,00499— —0,04770+ 0,01081 + 0,00590+ 0,00341 + 0,00 i 49 0,00502 0,03139 0,05332 0,01425 0,00377 0,00154 5 0,00118— 0,00246— 0,00580— 0,00319— —0,051444" 0,011374-0,006584 U,0Ü056 0,00145 0,00548 0,03334 0,05185 0,01622 0,00434 6 0,00066— 0,00129— 0,00279— 0,00639— 0,00214— —0,05548+ 0,011834-0,00026 0,00058 0,00164 0,00626 0,03602 0,05187 0,01821 7 0,00040— 0,00076— 0 , 0 0 1 5 2 -0,00321 — 0,00706— 0,00110— - 0 , 0 5 9 5 3 + 0,00013 0,00028 0,00068 0,00190 0,00716 0,03895 0,05244