20. Model atomu wodoru według Bohra.
Wybór i opracowanie zadań – Jadwiga Mechlińska-Drewko. Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu. 20.1.
Opierając się na teorii Bohra znaleźć:
a/ promień n-tej orbity elektronu w atomie wodoru, b/ prędkość elektronu na tej orbicie,
c/ jego całkowitą energię na n-tej orbicie. 20.2.
Wyznaczyć długość fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przejściu elektronu z orbity n na orbitę k.
20.3.
Przejście elektronu z n-tej orbity na orbitę k=1 zachodzi z emisją fotonu o długości λ=1,026 10-7m. Znaleźć promień n-tej orbity.
20.4.
Znaleźć dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru wartość siły przyciągania kulombowskiego między elektronem i jądrem oraz natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez jądro w odległości równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity.
20.5.
Ile razy zwiększy się promień orbity elektronu w atomie wodoru będącego w stanie podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii Eν=12,09 eV ?
20.6.
W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwszą. Wyznaczyć zmianę wartości pędu elektronu oraz zmianę jego energii kinetycznej przy tym przeskoku.
20.7.
Seria linii wodorowych z zakresu światła widzialnego (tzw. seria Balmera) powstaje przy przejściu elektronu z wyższych orbit na drugą. Znaleźć granice serii Balmera.
20.8.
Wykazać, że częstotliwość fali świetlnej emitowanej przez atom wodoru przy przejściu elektronu z n+1 na n-tą orbitę dąży, przy dużych n, do częstotliwości obiegu elektronu na
n-tej orbicie.
20.9.
Obliczyć minimalne liniowe rozmiary pozytonium oraz jego energię jonizacji. Pozytonium jest układem złożonym z pozytonu i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy. 20.10.
Obliczyć wartość orbitalnego momentu magnetycznego elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym.
20.1.R. Korzystając z równań: 2 2 0 2 4 1 2 n n n n n r e r mV i h n r V m πε π = = , gdzie: m- masa elektronu, rn- promień n-tej orbity,
Vn- prędkość elektronu na n-tej orbicie, h- stała Plancka,
e- ładunek elektronu,
ε0- przenikalność elektryczna próżni, wyznaczamy: n h e V i n e m h rn n 1 2 0 2 2 2 2 0 ε π ε = = .
Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej
2 2 n kn mV E =
i energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem
n pn r e E 2 0 4 1 πε − = czyli . 10 09 , 1 8 , 1 8 1 7 3 2 0 4 2 2 2 2 0 4 − ⋅ = = − = − = + = m c h me R gdzie n Rhc n h me E E En kn pn πε πε R - stała Rydberga. 20.2.R. 2 2 k Rhc n Rhc E E c h h = = n − k =− + λ υ . − = − + = 12 12 12 12 1 n k R k n R λ . 20.3.R.
Z poprzednich zadań mamy zależności: (1) − = 12 12 1 n k R λ (2) 2 2 2 0 n e m h rn π ε = .
Po wstawieniu n2 wyznaczonego z równania (1) do równania (2) mamy: . 10 75 , 4 ) ( 10 2 2 2 2 0 m k R e m k R h rn = ⋅ − − = λ π λ ε .
20.4.R. Ponieważ 2 2 0 4 1 n n r e F πε = oraz 2 2 2 0 n e m h rn π ε = to 3 4 0 4 6 2 1 4h n e m Fn ε π = .
Natężenie pola elektrycznego
e F q F E = = . Wynik obliczeń: 4 1 2 4 1 2 11 1 8 1 2 , 2 10 13 , 5 , 10 22 , 8 oraz F F E E m V E N F = ⋅ − = ⋅ = = . 20.5.R.
W wodorze, przy przejściu elektronu z orbity n-tej na pierwszą orbitę następuje emisja kwantu o energii: 2 2 1 1 Rhc n Rhc E E h Eυ = υ = n − =− + .
Znając wartość energii kwantu można wyznaczyć wartość n : =3 − = υ E Rhc Rhc n .
Elektron w procesie opisanym w zadaniu został wzbudzony na poziom trzeci.
Ponieważ : 2 2 2 0 n e m h rn π ε = i r 2 to 1n r n = 32 9 1 3 2 1 = = = r r i n r rn . 20.6.R.
Z postulatu Bohra wynika:
n n n n r nh p i h n r V m π π 2 = = 2 . Ponieważ 2 2 2 0 n e m h rn π ε = to 2 2 2 0 4 2 0 2 8 2 1 2 h n me m p E oraz n h me p n kn n = ε = = ε .
Z powyższych zależności wynika, że:
2 2 0 4 2 1 0 2 0 2 2 1 32 3 4 2 1 1 2 h me E E E oraz h me h me p p p ε ε ε = ∆ = − = − = − = ∆ . 20.7.R.
Przy przejściu elektronu z n-tej orbity na k-tą następuje emisja światła o długości spełniającej
równanie − = 12 12 1 n k R
λ . Dla serii Balmera k=2.
Przy przejściu z n=3 na k=2 nastąpi emisja kwantu o najmniejszej energii (i największej
długości fali) w serii Balmera. Jest to długofalowa granica serii przy czym:
. 660 36 5 3 1 2 1 1 max 2 2 . max nm czyli R R = = − = λ λ
Krótkofalowa granica odpowiada przejściu z n=∞na k=2 i wynosi nm
R 367
4
.
min = =
Ponieważ n h e V i n e m h rn n 1 2 0 2 2 2 2 0 ε π ε =
= częstotliwość obiegu elektronu w atomie wodoru jest równa: 2 3 3
0 4 1 4 2 h n me r V n n n = π = ε ⋅ υ . 8 2 3 0 4 c h me R ε =
Przy przejściu elektronu z orbity n+1 na orbitę n następuje emisja kwantu o energii:
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ) 1 ( n n n n n Rc n n Rc czyli n Rhc n Rhc E E h E n n + − + + = + − = + + − = − = = υ + υ υDla n>>1 częstotliwość kwantu dąży do wartości 2 3
n Rc
n =
υ co jest równe częstotliwości obiegu elektronu.
20.9.R.
Pozyton jest cząstką o masie równej masie elektronu. Ładunek pozytonu jest równy co do wartości bezwzględnej ładunkowi elektronu i wynosi 1,6⋅10-19C.
Uwzględniając ruch elektronu i pozytonu wokół wspólnego środka masy wprowadzamy masę zredukowaną µ układu elektron-pozyton:
p e m m 1 1 1 + =
µ gdzie me i mp odpowiednio masy elektronu i pozytonu. Korzystając z układu równań:
h n r Vn n = µ π 2 i 2 0 2 2 4 n n n r e r V πε µ = ,
przyjmując, że me=mp=m wyznaczamy
2 2 2 0 2 n e m h rn π ε = .
Minimalne rozmiary pozytonium określa promień pierwszej orbity: 2
2 0 1 2 e m h r π ε = .
Energia wiązania pozytonium wynosi:
2 2 2 0 4 0 2 0 2 2 16 8 4 2 h n me r e r e V E E E n n n p k w πε πε ε µ − = − =− = + =
Energia jonizacji z poziomu pierwszego eV h me Ej 6,8 16 2 2 0 4 = = ε .
20.10.R.
Moment magnetyczny obwodu z prądem
IS
=
µ
I natężenie prądu jaki daje ruch elektronu po orbicie kołowej, S powierzchnia obejmowaną przez ten obwód z prądem.
n
T e
I = Tn –okres obiegu elektronu na n-tej orbicie
2 2 n n n n S r V r T = π =π n n m eh r eV r r eV B n n n n n n n n µ π µ µ π π µ = = = = 4 2 2 2 µB=0,93 ⋅10-23J/T -magneton Bohra.
