ELEKTRON ZLOKALIZOWANY W PUŁAPCE (jedno- dwu- i trójwymiarowe studnie potencjału, zagroda kwantowa, kropki kwantowe, atom wodoru) PROSTE MODELE ATOMU WODORU (model Rutherforda, model Bohra)

(1)

1

ELEKTRON ZLOKALIZOWANY W PUŁAPCE

(jedno- dwu- i trójwymiarowe studnie potencjału, zagroda kwantowa, kropki

kwantowe, atom wodoru)

PROSTE MODELE ATOMU WODORU

(model Rutherforda, model Bohra)

(2)

2

  

x' f x vt



f

y   

PRZYPOMNIENIE: Fale bieżące i stojące w napiętej strunie

  

^x^' ^f ^x ^vt



f

y   

a) impuls o profilu f(x’) rozchodzący się w kierunku +x:

impuls o profilu f(x’) rozchodzący się w kierunku –x:

     

 

v k 2 ;

k

t kx

cos A

y

vt x

k cos A

' kx cos A

y

0

0 0

 



 











b) harmoniczna fala bieżąca rozchodząca się w kierunku +x:

y’

x’

(3)

3

   

 

^z ^f

 

^z

g

0 vt

0 g vt

0 f









PRZYPOMNIENIE:

odbicie fali bieżącej na strunie od „sztywnej” ściany



x vt



f



x vt



g     

Opis odbicia fali od „sztywnej”

ściany przy pomocy koncepcji fali „rzeczywistej” i

„wirtualnej”

   

 ^x ^vt  ^A ^cos  ^kx ^t 

g

t kx

cos A

vt x

f )

vt x

( g

t kx

cos A

vt x

f

0

0 0

































Dla fali harmonicznej:

Feynman, t. I, rozdz. 49

(4)

4

 

kx sin A

2 A

t sin

A y

' 0 0

' 0









n L 2

2 ; n L

; n L k

; 0 L k sin

2

_n _n



ⁿ



_n







PRZYPOMNIENIE:

fale stojące w strunie przymocowanej do „sztywnej” ściany

Interferencja fali padającej i odbitej daje falę stojącą:

   



t



sin kx sin A

2

t kx

cos A

t kx

cos A

vt x

g vt

x f

0

0 0





















Dopuszczalne rozwiązania dla fali

zlokalizowanej są dyskretne (skwantowane):

Dla klasycznej fali zlokalizowanej kwantyzacji podlega długość fali i częstość, a nie energia. Energia zależy także od amplitudy, która nie jest skwantowana

(5)

5

 

   

h k p

E

dx x

p

; t kx

i exp

₀ ^*



 































 cos i sin e

ⁱ

Lokalizacja fal materii (elektronu)

 

 









































0 i 0

0 0

e z z

C i z ln

z id dz

izd d

sin i cos i z

d cos i sin z

dz

sin i cos z z



kx t



cos A

y  ₀ 

Bieżącą falę harmoniczną w strunie:

można, korzystając z równości Eulera:

przedstawić w zapisie rzeczywistym lub zespolonym:

 

kx t

0 i z

0

e A y

t kx

cos A

y













Dla fal materii (funkcji falowej) znaczenie ma zarówno część rzeczywista jak i urojona.

Dla elektronu swobodnego:

0 2

4 20 2

2

m 2 E p

c m c

p E







Lokalizacja funkcji falowej, poprzez kwantyzację długości fali, prowadzi do kwantyzacji energii

lub:

(6)

6

   

 

ⁱ ^t

0

t kx i t

kx 0 i

e kx sin i

2

e 2 e

1



























Elektron w pułapce jednowymiarowej

Jednowymiarowa pułapka elektronowa

 

2 2 2 2

2 n

n

n n n

mL n 8

h m

2 h m

2 E p

L x sin n A x

n L 2 k

2 L ; k n

; n kL





 





 





 



  



 



 







Stosując to samo podejście jak dla fali w strunie otrzymamy:

Energia potencjalna elektronu w pułapce jednowymiarowej

co prowadzi do kwantyzacji k, λ, p i energii E elektronu w pułapce:

(7)

7 2

2 2

n n

mL 8

E h 







 

Funkcje falowe i energie elektronu w pułapce jednowymiarowej

 





 



  

 x

L sin n

A

x ² ²

n2

Przejścia optyczne: h_if  E_f E_i

L = 100 pm

(8)

8

Elektron w skończonej studni potencjału

Energie elektronu w skończonej i nieskończonej studni potencjału

L = 100 pm

Funkcje falowe elektronu w skończonej studni potencjału

(9)

9

 

i t ik x ⁱ^k ^y

t 0 y

k x k 0 i

t r k 0 i

x y y

x

e e e

e



 























^^

Elektron w pułapce dwuwymiarowej

Dwuwymiarowa pułapka elektronowa

 











 

 



 





 



 





 

 











 



 



  



 ^ ^

2y 22 2x

12 2

y 2 x 2

2y 2x

n , n

y 2 x

t 1 0 i

L n L

n m 8

h m

2

2 hk 2

hk m

2 p E p

L y sin n L x

sin n e

t , y , x

2 1

Fala stojąca dla elektronu w pułapce dwuwymiarowej i jego energia wyrazi się następującymi wzorami:

Fala bieżąca elektronu:

Pułapka kwadratowa

(10)

10

 

  ikr t

t 0 kr 0 i

stoj

t kr 0 i

biez

e e

e





























Zagroda kwantowa

   

2 2 2 n

n

t 0 i

mR 8

n E h

n R k

kr sin ie

2 t

, r











 ^ ^

Originally created by IBM, from American Scientist, the cover of Physics Today, 1993

„Blue corral”- Niebieska Zagroda

Fala stojąca dla elektronu w zagrodzie kwantowej kołowej i jego energia wyrazi się następującymi wzorami:

Funkcja falowa elektronu:

Dla zagrody symetria kołowa;

przypadek jednowymiarowy

Originally created by IBM

Fe na Cu

(11)

11

Elektron w pułapce trójwymiarowej

Trójwymiarowa pułapka elektronowa

 











  





 



  











  



 



  









2z 23 2y

22 2x

12 2

n , n , n

z 3 y

2 x

t 1 0 i

stoj

L n L

n L

n m 8 E h

L z sin n L y

sin n L x

sin n e

t , z , y , x

Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Fala stojąca dla elektronu w pułapce trójwymiarowej i jego energia wyrazi

się następującymi wzorami:

Kropka kwantowa; „sztuczny atom”

kontakty umożliwiają kontrolę liczby elektronów w kropce

(12)

12

ATOM WODORU, zlokalizowany elektron (dyskretne energie)

Seria Balmera, widmo emisyjne atomowego wodoru granica widma 364,56 nm

(13)

13

WZÓR BALMERA

I linia n = 3, II n = 4, itd

 

4 n

n 56 . nm 364

2

2 

 



n 2

A R 1  



WZÓR RYDBERGA dla wodoru

R = 109737,32 cm

^-1

stała Rydberga

2

n

R m

R 1  

WZÓR RITZA: 

 

 



 

 



 ₂ ₂

n 1 m

Rhc 1

h hc Rhc = 13.6 eV

Liczba falowa

(14)

14

SCHEMAT poziomów atomu

wodoru

OBSERWOWANE SERIE:

Lymana m = 1 Balmera m = 2 Paschena m = 3

Bracketa m = 4 Pfunda m = 5

n = m + 1, m + 2 itd

(15)

15

Proste modele atomu

Thomson (ciasto z rodzynkami) Rutherford (model jądrowy)

Bohr (dla wodoru)

(16)

16

Doświadczenia Rutherforda nad rozpraszaniem cząstek α

Większość cząstek α rozprasza się słabo, nieliczne rozpraszają się bardzo silnie, niezgodnie z modelem T.

(17)

17

Jądrowy model atomu Rutherforda

Problem ze stabilnością układu jądro – elektrony;

dlaczego ładunki ujemne nie zbliżą się do dodatniego jądra, neutralizując je?

(obniżeniu energii towarzyszyłaby emisja

promieniowania elektromagnetycznego zgodnie z równaniami Maxwella)

Wytłumaczenie; zasada nieoznaczoności (klasyczny atom nie może być stabilny,

potrzebna jest mechanika kwantowa)

(18)

18

Atom wodoru; MODEL BOHRA

r v m r

Zq 4

F 1

₂^e² ^e ²

0



 

siła kulombowska (dośrodkowa)

r m 4

v Zq

e 0

e2 2

 

I postulat Bohra (skwantowany moment pędu):

  2 vr nh

m

_e

n = 1, 2, 3 …

v m n h p

n h n

r 2



e









stojące fale de’Broglie’a równoważny:

(19)

19

r , m v Ze

e

2



2

skąd:

a

₀

– promień Bohra , a

₀

= 0.529 Å

2 e2 2 2 e

2

r m n h

r m Ze  r

m n h v

e



i w konsekwencji: ^r _m ^h _e ⁿ _Z ^a ⁿ _Z

2 0 2

e 2 2

n

 

r , 2 v Ze

2 m

E

_K

 1

_e ²



²

,

r E

_P

  Ze

²

r 2 E Ze

E

E 

_P



_K

 

²

(20)

20

r 2

E   Ze ² _n ^e ₂ ⁴ ₂ ² _R ² ₂ n Z 1 n E

Z h

2 e

E   m  

E

_R

= Rhc, 13,6 eV

Z n e m

r h ₂ ²

e 2 n 

M ; 1 m

1 1

e 

 

Poprawka na skończoną masę jądra (ważne dla wodoru i jego izotopów)

 

 



 









2 2

R 2 n

m

1 n

Z 1 E

E E

h

e 1

M 1 m

R R



 



 

  

 M = 1850 m

_e

pozytonium: elektron + pozyton

μ - masa

zredukowana

II postulat Bohra:

2 R 2

2 2 2

e 4

n n

Z 1 n E

Z h

2 e

E   m  

(21)

21

JONY

WODOROPODOBNE porównanie

diagramów energetycznych

(22)

22

JONY WODOROPODOBNE

seria Balmera dla wodoru i Pickeringa dla He

⁺

 

  ^ ^ _



 



 



 

 



 



2 R 2

2 n

1 2

E 1

n 1 4

E 1 4 n

, 4 E

ELEKTRON ZLOKALIZOWANY W PUŁAPCE (jedno- dwu- i trójwymiarowe studnie potencjału, zagroda kwantowa, kropki kwantowe, atom wodoru) PROSTE MODELE ATOMU WODORU (model Rutherforda, model Bohra)