Cakowanie wyrae wielomianowych

6.



6. CAŁKOWANIE WYRAŻEŃ WIELOMIANOWYCH

W układzie jednowymiarowym:

∫

a b f xdx=

∑

i=1 j wi⋅fi (6.1) gdzie wi - waga funkcji

fi - wartośc funkcji w odpowiednim miejscu

Funkcje kształtu są wielomianami, więc da się je scałkować dokładnie.

y x -1 0 1 a b a+b 2 w10=2 f10= ab 2 (6.2)

W celu usprawnienia obliczeń wprowadza się współrzędne naturalne. Są one wygodne ze względu na konstruowanie funkcji interpolacyjnych a także w całkowaniu współczynników macierzy sztywności. Transformuje się układ osi x do ξ.

„e”

h

e

=x

e+1

-x

e

e+1

e

x∈〈 xe, xe1〉〈−1 ,1〉 =2 x− xexe1 he he=xe1−xe (6.3) Współrzędne naturalne:

– wygodne ze względu na konstruowanie funkcji interpolacyjnej – wygodne w całkowaniu współczynników macierzy sztywności

he e+1 x x x=xe+1 x=xe ξ= -1 ξ=1 2 1 ξ −1 ≤≤1 1= 1 21− 2= 1 21 (6.4) 3 1 ξ 2

1=− 1 2 1− 2=11− 3= 1 21 (6.5)

Suma funkcji kształtu Ψi wynosi 1. i=

−1−2−i−1−i1−n i−1i−2i−i−1i−i1i−n

(6.6) Przykładowo dla elementu dwuwęzłowego:

1 -1 N1 N2 1= −1 −1−1= 1 21− (6.7)

Dla elementu trójwęzłowego:

1

-1 0

N1 N2 N3

1= −0−1 −1−0−1−1= 1 2−1 2= −−1−1 0−−10−1=11− 3= −−1−0 1−−11−0= 1 21 (6.8)

Dla elementu czterowęzłowego: 1=− 9 161− 1 3 1 3− 2= 27 1611− 1 3− 3= 4= (6.9) x= f  x ,=g  x f=1 2 hexexe1 g x=2 x− xexe1 he (6.10)

Jeśli Ψi są funkcjami interpolacyjnymi Lagrange'a stopnia r-1

x=

∑

i=1 r

xii (6.11)

Funkcja opisuje kształy elementu:

dx=

∑

i=1 r

x∂i

∂ d =I d  (6.12)

Załóżmy że zmienne zależne są aproksymowane przez

u=

∑

i=1 s

uii (6.13)

Aproksymacja transformacji współrzędnych r, aproksymacja zmiennych s 1. zmienne subparametryczne r<s

2. zmienne izoparametryczne r=s 3. zmienne supparametryczne r>s

Współczynniki po scałkowaniu metodą Newtona-Cotesa:

n

ω

1

ω

2

ω

3

ω

4

ω

5

ω

6

ω

7 1 ₁ 2 1 2 2 ₁ 6 4 6 1 6 3 ₁ 8 3 8 3 8 1 8 4 ₇ 90 32 90 12 90 32 90 7 90 5 ₁₉ 288 75 288 50 288 50 288 75 288 19 288 6 ₄₁ 840 216 840 27 840 272 840 27 840 216 840 41 840

Uwagi o całkowaniu metodą Gaussa

∫

−1 1 yd =w1y1iw2y22=

∑

i=1 r w_iyi (6.14)

Współczynniki (w1,w2,...ξ1,ξ2...), których jest 2r, są tak dobrane by wielomian stopnia (2r-1) scałkować dokładnie.

y=a1a2a3 2 a2 r 2 r−1 _(6.15) a1

∫

−1 1 da2

∫

−1 1  d a2 r−1

∫

−1 1 2 r−1_=a 1w1w2wra2w11w22wrr a2 rw12 r−1w22 r−1wr2 r−1 (6.16)

Aby spełnić ten układ dla dowolnych ai ( i = 1...2r)współczynniki wi i ξi muszą spełniać:

∫

−1 1 _d= 2 1=

∑

i=1 r wii =0,2 ,42 r−2

∫

1 _d=0=

_∑

r _w ii  _{=1,3 ,52 r−1}

Liczba

punktów Położenie punktu Gaussa _±ξ

i Waga αi 1 0.0 2.0 2 0.5773502692 1.0 3 0.7745966692 0.0 0.55556 0.88889 4 0.8611363116 0.3399810436 0.347855 0.652145 5 0.9061798459 0.5384693101 0.0 0.236926 0.4786286 0.5688889

Mając dany wielomian stopnia n potrzebujemy r punktów żeby dokładnie go scałkować, przy czym

n=2 r−1 (6.17)

Mając dwa punkty całkowania można dokładnie scałkować wielomian do trzeciego stopnia włącznie.

Całkowanie metodą Gaussa:

∫

−1 1 fd 



wyrażenie wielomianowe =

∑

wi fi _(6.18)

Przejście między współrzędnymi:

dv d  d  d  (6.19)

gdzie dv = J – jakobian przekształcenia:

[

  x   y   z   x   y   z   x   y   z

]

3 x3 (6.20) x=⋅he 2   xexe1 2 (6.21)

Jakobian przekształcenia dla jednowymiarowego przypadku będzie wynosił: dx d= h_e 2 (6.22) h_e=xe1−xe (6.23)