Zadania domowe 1-5
(termin: 5 kwietnia 2017) Zadanie 1.
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej macierzy A ∈ C
m,nmamy:
(i)
kAk
22≤ kAk
1kAk
∞, (ii)
kAk
2= sup
~ z
sup
~ y
~ y
HA~ z ,
gdzie suprema s a wzi
,ete po ~
,z ∈ C
ni ~ y ∈ C
mtakich, ˙ze k~ zk
2= 1 = k~ yk
2. Z (ii) wywnioskuj, ˙ze kAk
2= kA
Hk
2.
Zadanie 2.
Niech macierz A dana b edzie w postaci blokowej,
,A =
A
1,1A
1,2· · · A
1,nA
2,1A
2,2· · · A
2,n.. . .. . .. . A
m,1A
m,2· · · A
m,n
.
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych i, j mamy kA
i,jk
p≤ kAk
p, gdzie 1 ≤ p ≤ ∞.
Zadanie 3.
Rozpatrzmy arytmetyk e sta loprzecinkow
,a fx
, ν, gdzie r´ o˙znica pomi edzy liczb
,a rzeczywist
,a x
,a jej reprezentacj a fx
, ν(x) wynosi |x − fx
ν(x)| ≤ ν.
Powiemy, ˙ze algorytm Φ realizuj acy przekszta lcenie S : F → G, gdzie F i G s
,a otwartymi
,podzbiorami przestrzeni unormowanych, jest w tej arytmetyce numerycznie poprawny gdy istniej a sta le K
, 1, K
2o nast epuj
,acej w lasno´sci: dla dowolnych danych f ∈ F i dostatecznie
,silnej arytmetyki (ν ≤ ν
0) istniej a dane f
, νtakie, ˙ze
kf − f
νk
F≤ K
1ν oraz ke Φ(f ) − S(f
ν)k
G≤ K
2ν.
(e Φ(f ) jest tu wynikiem zwracanym przez Φ w arytmetyce fx
νdla danych f .)
Niech teraz Φ
1, Φ
2b ed
,a algorytmami numerycznie poprawnymi realizuj
,acymi, odpowied-
,nio, przekszta lcenia S
1: X → Y oraz S
2: Y → Z. Wyka˙z, ˙ze je´sli S
2spe lnia warunek Lipschitza w Y to z lo˙zenie Φ
2◦ Φ
1realizuj ace przekszta lcenie S = S
, 2◦ S
1: X → Z jest te˙z algorytmem numerycznie poprawnym.
Zadanie 4.
Wyka˙z, ˙ze naturalny algorytm obliczania cosinusa k ata pomi
,edzy wektorami ~a,~b ∈ R
, n, cos(~a,~b) =
P
n j=1a
jb
jr
P
nj=1
a
2jP
nj=1
b
2j,
jest numerycznie poprawny. Oszacuj b l ad wzgl
,edny wyniku w fl
, ν.
2
