Matematyczne uzasadnienie operacji wyznaczania osi fałdu z diagramu foliacji

(1)

(2)

~talY

wekfor zgodny z osiq

walca

re

f/(t) -

/derownica

RfIC. 4. Fig. 4.

teu -

kaida normalna do w.aica 'jest pr06topa'<ila do

jego osl. iPJ:aszczyma illtyczna do dowolnej po<)wierzchni danej r6wnlUliern :

[2] w punkcle regu1arnym (Ut>

uU

jest wyznaczona prz~ jej pocbodne eZll8flkowe.

(3)

Piunktem ·reeu!.amym (pO'Wiiernchni nazyiwamy punkt, 'W Ikt6rym istnleje jednOlZIla'CZllie dkreSlona plaszczyzna stycma. Punkty leUrce np. na kraw~zi

zabunania powierilChnl nie ~ regulamymi. W przy-padku walea atrzymamy:

aT

- = a

aus

(4) (6)

Wektor normalny

n

do poW'ierzclmi wak:a w punk-cie regularoym jest i'loczynem wekllorowym wekto-r6w stytcmycil:

dq _

n = - x a

dUt

(6)

Udawodmmy, ie wektOTY

n

i a SIl prostopaidie. Ob'liczmy w tym celu :11oczyn &ka.larny

n.a.

Zgodnie

z

[6] mamy:

-- (dq

-)-n'a= --xa . a

du, (7)

·Prawa strona r6wno8ci ['1] je9t iloczynem miesza-nym wekrtor6w r6wnym £ero,

SdYZ

dwa '\ftr6d ni-ch q Identytcme, czyll:

- -

n •

a

=

[- dq -]

a, -;:::- ,

a = 0

du, (8)

co dawoozi twierdzenia.

W trakcie dowodzenia ro~walJ.iSmy normalne 00 walca. uzasadnii1Smy wi~ metodt:

n

dlagram6w. WyraZenie [8] rooma jednak ZIalterpretowa6 lnaczej. Mianowicle. je'i:eli iIlOczyn mieszany jest r6wny. zeru,

f;zn.,

te

~\ijltCe w

mm

w~ BIl komplanarne

452

(1ei'4 w jednej plaszczyznte). Poniewaz wektory [4] i [6] wyzna:czajij plaszczyzn~ st~1l do walca,' zatl wektor

a

wyznacza o~

wa1lca,

wi~ 'WY!ZYIItkie plasz-oczy'Zlly 8tyeme do walea Sij r6wnolegte do jego osi. W rzeczyWi'Sto9ci jeden z welcl;or6w wyznaczajllcych

plaszczy.m~ styC2lIl1l jest wlaSnie wektorem ;;. me zmienia to jednak rozumowania. PoniewaZ wszystkj.e plas:zx:zyzny sty.czne do wallca SIl 1"6Wnolegle do jego osi,

to

l!la.11iesione na Pl'ojek:cj~ sferycmll w fOrmie lUk6w przeflnll si~ w ptmkde przedstawi8'jqcym jeg<> OII§. W ten spos6b zostala formaln1e uzasadniona

me-toda p-diagra.m6w. '

iWldmny wi~, ze dw6m rownowaZnym metodom wymaczania OS! faldu ·na podstawle pomiar6w fol1a-eji podanym przez B. Sandera odpowiada:jE4 dwie rflw-nowaiZne interpretaeje Uoczynu mieszanego [8] wy-prowadzanego na padmawie og61nego r6W1I1ania po-wierZdhni wadcowEQ.

LITERATURA

1. A

z

g 1 re j G. D. - StrIiIdurnaja gieologija. loo.

MoSk. Uniw. MOBkwa, 1966.

2. Ben e A K. - GeolOlddm-petrograrfidke poon~ry

§iriiho okaIJ Hory SV. a8besl1tma v KruAnych Ho-rach, Sbor. Ustf. 6st . .geoL 23. Odd. geoL, 1 dil,

1956.

3. Go etz A. - Geometrfoa r6miezkowa, PWlN. Wax-sZ8wa, 1965.

4. Hi 11 8 E. S. - Elemenfls of Structural Geology. N. York-London. 1963.

5. Ho Iou bee J. - GeoWglcloo-petrOgrafldte

pome-ry .ltrystall:lnika. v okoli MIBta (zap. od Chomu'tova) v .K!ruAnych Horach. Sbor.

ustt.

ust. geo.l. 23, Odd. geo!. 1 dfl., 1956.

6.M a A Ik a M. - K telk!totnilc!ke oolilyse ~al!ilJlJilka.

UsU,. ust. gel>l. 8V. 27, 1954.

7. San d e r B. - EilnMhrung in die Gefugekunde der gedlogischen Klh'per. Springer-Ve11lag (Wien),

1948.

8. S t e 1 cl J.. - Petrotektonicke pomery w uzemi na vychodnich svazicl1 Ol"llku ve Vysok.em

Jesen-IIliku. Praee brnan. Zakl.. ~. AV. 27, 1955.

9. T eh s e y r e H. - Serle metamorli.'C'Z!le Sudet6w. Geo!. Sud. vol. IV, 1968.

SUMMARY

There are :two equivalent methods of determining

food aXis on the 'basi'8 of lfoliMi<m measurements, gi-ven .by B. Sander (1948).

1. On a sphericlil projection we m'arit poles of 'Planes rtangential to ifoliati<m, i.e. planes the orien-tation of which i'8 Riven by the .resuilts of measure-ment. The poles tend to group at a 1arge mrole, ma-king a belt. The axis of the belt (n) dete~1l'e6 'the fold aXlis (Fig. 2).

2. On a shperical projection we mad!:. planes

tan-gential 11;0 fO'liat'ion in the form of an are. The arcs tend to interese'Ct at one point (j!). TI:iis !pOint Oeftel'-mines the fald axis (Fig. 1).

These methods have !been develcrpecl on an empd-rieal way. They may ibe motivated mathematically, when we go out of an equation of cyUnder pilallle, to (WlUJch the adt'Ua[ fol!latioo planes of a properOy formed

cy1lindrkal fold approach.

To the equIvalent methods of determ'ining food axis on the basis of dla1liation measurements given by

B. Sander correspond two equivaJ.ent interpretartions of IIlldxetl !product deduced on the basis of generai equation of cylinder plane.

(3)