Bewegingen van een drijvende contour op het oppervlak van een zware vloeistof

(

Lab. y.

Scheepsbouwkunde

GN

_N I I

-'

_Iechische Hoescnooi

.'

Delit

-

t

v riv3nd contour o. ht o. erviak van

en zwarr vloeistof.

1-iadniaja iat2ratikì 1-Mechanika. T.XVII, no.2, 1953.

1. Ht hydrodynaiuiscIe

probleeni van

de bewegingen van can cylindrisch

sIi3.popperv1ak leidt tot het

zoaken van can

hommonische functie

j.Gt

(yzt)

=

(wz) e

die an de

randvoorwaarden

_''p=°

.i

cte..

VoorWate

±

4.

vz-j,Y

yoOr

y b +

'f=

t

c. + Vo o r o

voLo1oe.

V.ttfl

(T- bewegingfre;uentie )- freuentieparameter; - - versrielling

zwaa-te kracht; V(i)»Vot - .norraal-snelheid loodrecht op het opperviak; 2a = b - breedte van de cozttour L de wa.tz1ijn.; n -, buiten norraa1 op de contour; c= -c' 1L0 - snelheidspotentiaal

In-komnde golven; 2r axùale amplitude; B4. en B_ complexe amplitude van

de uitgestraalclé goven, zoals uit gelijkstelling van het reeele gedeee van de uitdrukking voigt, na invoering van de exponentieele factor

eJ

In de onderhavige studie is voor een ruime klasse vn methode egeven orn een nauwkeurige oplossing te construeren in een alganene ge

daante, met behuip waarvan hat moelijk is de algemene hydrodynamische

arkter1tiJken te brekenen. In de,ze vorm i de methode door ons toegepast In vorige studios [1,2J.

op

z=o

_{¡y) 7}

C.OIq to.r

()v-:i-)

2. Voor het bepalen van eon oplossing voeren wij een functie in

w:f'(y,z) i-L

2+f(y,)

van de complexe variabele x=y held, niet te verwarren met de Met behuip van de funetle w()

lz, waarin 1= vi

de Imaginaire

een-imaginaire eenheld j

=/I.

kan men voor de voorwaarde (1.2) schrljven:

w

(a. a)

(_.: +w)o

Voot 2c

I>'I ,&

(al)

d..x _C

De voorwaarde (2.1) staat toe de functie o-C _{In bet boyen}

halfvlak voort te zetten. In het result at verkrijgt mea een holomorphe

funotie In de beide viakken voor z buiten de cozitour

L4L

, waarin i de

in het boyen halfvlak gesplegeld.e ontoui' van L voorstelt.

Als benadering voor een oneinlg kleine verpliatsing voeren _we

cUc X

In de voorwaarde (2.1) in. De coefficlenten b _{zljn funeties van 1.}

Voor het bepalen van deze functle,.onder aannari an eon overal eladige

oplossing, ontlenen wIj een idee aan L.I.Sedov _{LJ, dat ali ontwlkkeld} heeft bij bet probem van bet planeren, en voeren een andere functie

r(x)

r

t

i In, die met W(x) saraenhangt:

cL* _d.x. 2. 3)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

Het Is duidelijk, dat de fu.notle f(x) overal holoinorphe is balten de contour

L+1:

en eindig Is VOGT punten op deze contour.

Voor (2.1) schrljven we dan met f(x):

VooP

Z:o

_{)v) )} Cz..4)

òz

Bezien

wij

de limiet van de functie r op een punt van de contour L. Vermenlgvuldigen we beide leden van de vergelijklng (2.3) met

cLx-... eLy

waarin dl -. element van de contour L, dan verkrljgen we

eLf

.

otw

+

(&y

+L

oU

eu

Schelding In reeel en Irnaginair gedeelte geeft

y

'r

_y

oLy 741

; = cLz

'2/f.

i'

-;

b-;; . it!

Op de contour L geldt:

i'

Daa,om

kan men de functie b4 _{op de contour L uitdrukken In de}

'ariabe1e 1:

-;

\4, () d.

J

_'z

vz

Z *

f

(,

- ,

vJ

i dz

f

)

o _o

waarin W de. waarde van in hat punt '= ; z = en deze integreal

even als verdere integralen lopen over het gedeelte

_van

_{de contour L} naar het punt y=&; z=o..

7it (2.5) kunnen e de reeele functie p aflelden. Dasruit voigt _{n de} eerste plats lettend op de vergelijking met betrekking tot _'p

.0.k

veJ

*

vf

Z C28) NEDERL.ANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN _{No 3.}

.[_t14.Vf

o

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOLJWKUNDIG

PROEFSTATION WAGENINGEN

waarin 'f en 'L _{de waarde van ' en 'L in (a, o}

Vermnigvuldigen we nu (2.8) met 'vken teilen we deze op blj de

verge1ijk1ng (2.5), dan verkrijgen we voorr op de contour L de voorwaarde:

i Vz

I

,)z +"?

Hve

(

ttz

0Li e

_y]

-v

v

-4,

il'

Vormen wij.nu de functie A = y+LZ F (T) md.een conforme

transfor-matie over het buiten gebied van de contour L

t

in liet x-vlak in het

buiten gebied van de eextheidsoirkel met middelpunt in de oorsprong

_van

het

T-vlak.

Daartoe voeren we de volgende hulpvariabelen in:

i4;

No

BLZ.

4.

.-x=

F.(e3)

F, (3)

In het

3-

viak oorrespondeert de contour L met

i-'t

of

O, en het 000rdinaat gedeelte tussen

z =

O

en

_{komt overeen met het gedeelte}

tus sen = O _{en '}

= -'r

(e>,

o)

Zonder moeilljkheid ziet men, dat in het

₃

.-vlak de voorwaarde (2.4) wordt:

Bezien we voorwaarde (2.9) nader. Men ziet dat voor ¿o het volgende geldt

!=

cLx oLy SY

d!

oL4

S"

Vz _VZ'

_v±ftve

J

8

u

6

Aldus, beide delen van (2.9) met de modulus van de gootheid

verznenig-vuldigexid, vinden wij voor o biJ

_{_Tr<.1<}

o:

d.z _.Lz

OU

57

(Lu)

(z .'a)

,,

*

¿Q

I1 ¡

Na ezè veronderstellingen, kuxmen we de voorwaarde (2.12) schrijven inde ged'ante

_., ay f

L waai- ,: A _n

= - -

¿Y

-Tr o

-v

¿

G a 01)' eLi.2

Vz

47

v

f

6 C. C..0 11.117 = I,: ¡ " a11 o >, . a0

(.a.'c)

V2. '7 _...-v. L c.os

dy

_Go1i.1ot7

'1 C

(Luff)

L

T

4a.0

-LT

(Lia,) i,:'1

tewijl uit voorwaarde (2.10) voigt dat recele coefficienten zijn.

Voor het volloen aan de voorwaarde (2.12) moeten we waarde va r en

op jo

bepalen

terwiji wij ('j) in cen Fourier oos.reeks ontwikkelen in het gebied

= 1. b1,, ₍₂

.

Voor het gebled

(To

₎ ontwikkelen we nog verder in een Fourier cos.reeks:

1ôt31 oli?. ₁

o

g

zdYj

Voor het bepalen van de funotie f stellen we deze in de volgende vorm:

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN. _No 5.

»

+ b1

Y2f

cD b

coefficienten a, en-een verßelijking voor

a0:

a0 .1 ¿ C. - -p' - c , (.b0 - a1,, AbI,,

)

-(«i.

I.L3'

)

De ooeffioienten Ahangen af van

de frequentieparjieter

'

en van de

geometrische vorm van de contour L. De contour L # L _{is symmetrisch}

ten opzichte van de y-as en ten opziohte van de z-as en kan gekarakteriseerd worden door de verhoudingî waarin T - de diepang van d contour L, en

door de yo1heids.00efficient

Het blljkt dat

voornamelijk

deze pa.rameters invloed

hébben

op de grootte van de

hydrodynamische karakteritieken.

Year een symmetrische contour benadert men de functie z = F(t) onder ean-name van onelndig kleine verpia3t$ing door de formule:

1.

(aa.)

r

waarin k reéele, grootede bepa.alt.

Als eersie benaderine eenvoudige functie

a-T

2.

ar

en confOrme ransfórxnatie

van

het buitengebied. van en e].11pa met assen

a en T in het buitengebied

rond

de eanheids cirkél

Indien men in (2.23) een nuwe term bijvoegt, bijvoorbeeld t , dan

verkl!ijgt men een functie die een conforme transforiiatie bepaalt van het

NEDERLANDSCH SCHEEPSBÓUWJWNDIG

D'i.

PROEFSTATION WAGE NINGEN _No 6.

Substitueren we nu vergeiijkin (2.18); in (2..17) en vergelijken we d

coefficienten voor ces n,7 in de beide leden van (2.17) met elkaar,

bultengebjed van een klasse van drljvende

_{symetr1sche oontouren In het}

bultengebled rond een eenheldsolrkel In het t viak:

z

y+z

k0T+

k,T'

+

e

L1

U :

o)

In ee reeel en Imaginair

gedeelte, dan

t men voor de contour de

_volgende

_{paranietrisohe formule:}

I-. P2 t

T

- y (Ic0

+

k,)

4 k

1

Z

(k0 - Ic,) si

k 5j11

Voeren w, de parameters p en q In, met de volgende _{hulpvergelS,jklngen}

1 _{k0 ka..} k0 (L .a7)

I+.p+ t

danvez*rijgen we na substitutie In (2.26)

'1:0

_{de volgende relatle:}

+p+q.

T

(a 83

i-t

a

De berekening

van.het

_{opperviak, voor een gegeven contour L, en gebrulk}

xnakend vn de

gebrulkelljke voiheldecoefficlent

_A.

_{geeft de}

völgende formule: .

-(a .2c)

(z.z)

De vergelijkingen (2.28) en (2.29) laten het verband ván de parameters p en met T/a enß.Zîii.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTAT1ON WAGENINGEN _No

w a .p

In fig. i zijn de contouren geschetst voor versohillende waarden van

/

voor T,/2 0,5. Ret is duldeiljk, dat door liet bivoegen van

ee,n nieuwe ternt in de

verge1iking (2.23),'

bijvoorbeeid

t

'.

_,

een

ultgebreider

klas8e van. oontouren

kan vooretellen. Maar voor het

probieemvan de.beschouwde

beweging, Is

liet vo].do,ende sen k].asaé van contoaren te

beschouwen, die door twee

parameters

gekarak-teriseerd.

worden.

Uit het bovenstaande voigt, dat

de

vergelij-king (2.25) sen

eerste

anname kan zijn orn

de coefficlenten A

te

berekenen voor de

ge-sohetste klasse vaEm

oontouren.

We berekenen

deze coeffiolenten voor een eiiiptiaohe

con-tour L + L , en zullen

.een oplossing geven

van het oneindige systeem

an vergelijkingen

(2.20) lîoor d

coordinaten van de eiliptlsche

contour voigt uit (2.24):

F16 i

=

z

Dan krijgt de

vergeiijking (2.19) de vorm:

Lè.

_I

[

C.OS o

.r)',1.i' h

-. I1

t

'2 o C-OS i.,.t ctt ("2

c.os c..e

t

&t

cnt r"n e .'zaari

vin

VCCT

('Z .3 z)

Stellen we sin7-

Sin t =

dan kunnen we deze

sohrijven indo

vorm:

L

o( 5II1'2

e 14. C_Os 'Il%t

Hieruit leldt men zonder moeite ef, dat

11m J

cos mi

voor Tie '- ,

indien

_{O (.<i-}

.;

zodat

O vo or T 1«

À

0(ÀI

0<

Allereerst voigt,

dat11mA,

O voor, T/a_.

We be.zlen hiervoor de Ìntega1,

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWIW NDIG BLZ.

o

De coefficienten

indices

n

_{en in.}

'i

CC _'2 ot

(2..)

.

Â

verschillen van nu]. slechts voor gelijke en even

(j)

_aÀ(

'1

L.(s1,a_l

(I)

I

4

2À1

I =

L4(_ls_,

41)J._1

Voor het berekenen van de coefficienten

voor kleine o(, splitsen we de

vergeltjking (2.30) in de gedaante:

I) (a)

A

-A

_{- 1,11}

waarin

vooreste1d wordt door (2.34) en

(a)

()

AS

o o '. : A,1 11 ¿À . ct ( Tf

j.

L

We gebruiken de transformatie:

(5I1

c.'3

/

¿

-)

(»+

k0

k )

¿k

I

(c)

Z)

12I( 1 coS

(Lç + ¡)

c-o p;'l

¿Itt +

147 (2. !1 Ç)

I

J.

(e

)otatlat1

o. NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATIO N WAGE NI NGBN _No

k

(i

_{'ak ()}

_{= f}

(- i)

11v

waarin I(c() - Bessel functie met

imaginair argument,

A1 a a. i ¡ :

Substitueren we (2.3?) in (2.36), en voeren

weã.e noodzakelljke berekeninge::

uit, dan verkrijgen we voor de coefficienten

Âde volgende vergelijking:

k )

¿Jc]

abc + 4

h+Lic-"i

(s)

_{t E}

Eak

- + ¶

¿ki.v

ii + I- i - v, s. i O&o( _I ¿lc#1+pi., (a)

Tevens

;

; en

dientengeYolge(Zifl de-indio3 u en

n in de coefficieriten A

even. De coefficienten

en

ELr

kan men uitdrukken in Bessel

Nineties I

en Lomme]-Weber functies

P E

(_1)

_'ap

)rI

-

Q21.,

(,Le)

(_O5.t ₍

sii x)

¿Lc( c4.sc 17 SII',

i. Q» (1.01)

(2.)

_-'a.

(2.) li N a k .s. "i G-3 k

(i) (k+i)

()

'L

E =11e

_Tri

o os 'r 12

₇

(za

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

PROEFSTATION WAGENINGEN

No'

'10.

lt

jJc+1

J 5l'1. ₍

s;w);1l

o 'I

(2.3e)

4,

Q

a)

1ap à'

¿s+i

'o wa.a r ii (')

Aa+1,

_{¿.t+ i}

_A

_

()

_¿

We nioten nagan, onder welke voorwaarden de

scm

10 ¡

i I

voor de beide waarden van a kleiner blijft dan cen getal, dat kleiner is

dan n, en, dan behoort voor die voorwaarden blj het systeem (2.41) en

(2.42) een volledig regiilier systeem, dat

_goad

_{te bestudorenvait, en} gunstig is voor een opl.ossing..&llereerst voigt, krachtens iimieto'vergang

in (2.32), dat 11m

(V

_{I +} I

):

o voor Tt

Daarom za]. vooryoldoend rote waarde vanTjhet

systeem

(2.41) en (2.42)

geheel reguiierzijn.

Tonen we nu aan dat ht systeem (2.41) n (2.42) voor vold.oende kleine

waarden vana' 00k reguller is. We maken daarbij gebruik van (2.18)

voor o en' de formules (2.34) en (2.43) .geven

voor

T/L = o

i

o .s;p

(z

c-os (1)

C5

_aal7

4 ( )

a1

jiI c-os (

sii. x) si

zs 1) x cLic

Dientengevo].ge valt het systeem van vergelijkirìgen (2.20) ulteen _{in twee} oneindige systemen van vergelijkingen - een voo oneven indices a en ean

voor even indices a: .

n n

)

(5:::

_{... )}

' 3) NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN _11.

J

(24e)

(i)

1c

J

.(,-

(LS+l)e_1

-hoI

(a)

.

fc.

_-. 44e;

(,_

1

_1

₎

.:1

I I

T

1tPA.Lt vot±

()

_8A

(z)

_9aÀ

«I '

)

We merken hierbij op, dat de geli jkheid in de eer.ste som

geldt vo s = O,

en in de tweeds scm. voor

8 = 1. Dientengevolge, geeft de son voor

kleine

waarde van T/a sen uitkomät, die kleiner is dan 1, mits

À ( 36/92

-Indien het syseem van coefficlenten B in deze combinatie begrensd is,

d.w. z. onafhankeli jk van de index n, hetgeen in one geval duidelijk

voor-kont, zodat

L=

-

,

waarin b Fourier-coefficienten

voorstel-len

dan voigt uit de theorie van

reguliere systenen,

da

de systemen (2.41

en 2.42) een esnduidige limietoplossing

bezltten voor

de. onbekende

00sf-ficienten,

en dat tevens voor het oplos'sen

de methode van de sucoesaieve

benaderinge

gevolgd kan worden.

Bovendien

blijkt, dat voor

kleine en grote waarden van T/a en voor

kleine A de systemen (2.41) en (2.42) aan de voorwaarde voidoen, die

sen oplossing mogelijk maken met behuip van sen oneinclig determinant.

-Voor deze

berekening, bivoorbee1d, sohri.lft men het systeem (2.41) in de

vorm:

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKU NDIG DLZ.

.

C

a

5.

¿+1

¿51

Gmakke1ijk blljlçt, datde reeks

1+133 I

I _{afneenit, en dat} voor kleine en grote wade van T/a de dubbeireeks die bestaat uit de

so der coefficienten C31 afneet voor alle ) .

Letten

we er op, dat

C'11

O voor kleine 1, an zien we, dater voor hat uitvoeren van de

berekening voldoende voorwarden zijn orn hat systeem (2.41) met behuip

ven een oneindige determinant op te lossen. venzo kan men de opios-.

bìarheid van de verge1ikingen (2.42) bewijzen.

3. Indien de functie f(x) is bepeald, dan vindt ¡rien, met de vergelijkii

(2.3) diceen difreitntlaal vergelijking in de onbekende W(x) voorstélt,

enme.t de voorwaarde (1.4)

A,1

¿141

4 L. 1IX

iA

+

(

e

d.xJ

cL.r s + 1

(5:iL

)

2.S+l_Aas+ILS+1

wearin en A2 integratieoonstante.'l

Uit formule (3.1) voigt, dat op grote afetand van de contour L de vloei-stofbeweging bepanid wordt door:

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWIW NDIG

PROEFSTATION WAGENINGEN _{No 13.}

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKU NOIG PROEFSTATION WAGENINGEN

W(c) :.f/ .}

_O

₍

L

W(x):1

1

L _c3 A i. A _- a0

'e,

_vr

.t

I

!

e

d-x

J

d..r 4. (_)

In daze formule loopt de integratieweg in een boog,' die de punten x =

en x

c

verbindt, en strekt zich uit in het onderhalfv].ak onder de contour L.

Gemekkelïjk ziet men, dat menge integrat1ev'eg kan wijzigen in een contour C, die rond de contour L + L loopt in de richting van de wijzers

van de kiok:

..B1 fLE

A,+

_{Aa +}

'

cLf

jot

Veranderenwe tevens de funçtie f met de transformatie (2.14) en stellen

we daartoe

_{3 -'}

, dan verkrij gen we de volgende uitdrukking:

L

e aL.3 -3 -

-LVX

)

+ A,+i A) e

v.

L, # ¿ B2) e

Voo . Voo L e. d.

Hierin is K een gesloten contour, rond bet punt ₃ o in de riohting V. -de wijzers van -de kiok.

Voeren we in: .Dh. i

f3

h-t

ac3 _(.a 3) 1< c4 c.L . ve. w e. Il

L

3

h1

BLZ. No 14.

P)

(I)

()

+ .B

A +

Aa

-

a0 (n0

+ L .D0 )

Nenien we In (3.2) het reeele gedeelte, dan blljkt, dat voor het volledig

voldoen aan de voorwaarden. (1.4), geldt:

CI) 1.

{

(D0 _a

(s)h/Lflf

NEDERLANDSCH SCIIEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATUON WAGENINGEN =

ßi=..Ba:r B

Dienterigevolge, verkrl.jgen we voor B+ en B_

(3.4) 1 in j en -j veranderd te hebbeñ:

ng

e. -(z)

(i)

(z) c, -nap,

(i,

D,

n }

.3

+.jt )

¿t,

p,I

("j (a )

warin

:

2V

= ¿ i

_o

_£-)"

_. No ha.

D,, +LD11 )

(.3

c)

na achtereenvolgens in J (3.6)

Deze formüle staat ons toe B4. en B- te berekenen, indien, behalve a 00k

D ek.nd is. Voor het berelcenen van deze laats.te,. bezien wij de eenoudige

cntour, die overeenkometig (2.25) voorgesteld wordt In de vorm:

kr+ kT t3.k3 +L

+ lC

3

Substitueren we deze vergelijklng in (3.3) en stellen we

I 'la..

(_L\'kt

I.

dan sohrijft men het resul.taat in e

vorm:

(3.7)

( " p) = _'r'

(L,«.0

2.

/

k0

'I-,'

(à+T'

1t,

2

ko

a)

74'

(

L-f

K'

(y

V&a

-

T-y I/T Verder, voor T = a verkrljgen we

$'4-I I

r'

VY!)

-'I!

hetgeenook voigt alt de formule (3.9)

Voor het geval van een elliptische contour, kan men voor de formule (3.6) schrijven:

1)

e a

De integraal In deze formule kan door een Bessel-functie weergeeven worden,

en we krijgen,dan: '4 _k'+i L (i') P/ k.o ¿ J k!

Bezien we vervolgens de volgende speciale eva11en.

Bij overgng van T/a _{i (p 0) wordt (3.):}

i' 4

'k

(L

_{At0 t\}

_f

2

_J

k(+3)!

(jc0vLç 2zT)

Bezlen we nu het geval van een elllptlsohe contour, dan _{w wdt In (3.8)}

q = O ( = O), en verkrijgen we:

C )

Ontwikkelen we e

'p1. '/'dt3

In

_en

_{reeks naar}

t, dan schrijven we:.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWI(LJNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN _No 16. )

vor

(3.ao) ). VOOI

clZo

(

/iTL)

_Tr

_{___}

'L0 + A

+ e,,.,

Voor het berekenen vn de functles P,, en Q. stellen we een recurrente

betrekking op. Bezien we de klasse van oontouren, zoals geachetat, en.

integreren we in (3.17), dan verkrljgen we:

'I, e

ia P

_0.0

ia

P h

-jV4

-.

1+1, _t0

- ,

B

)

e i a.0 Ç'0 ¿Y.,, Wè.àt-i ':

.vx(T)

fe

T

.i7_

''

))

1

,

''"

CYX(3) L

3Ttc,

0

()""'-.Y''71.

Lfi.TL

(Voor T _> a en T a moet men (3.11) en (3.12) gebruiken).

Gaan we nu over tot het bepalen van de grootheden r, en W, ,

dIe lineair afhangen van de coefficienten a en' dienovereenkomstig

van B+ en B-. Stellen we "t O In de vergelijkthg (2.15) veer r,

dan verkrIjen we de.ultdrukking .

'1

+ i. a. +

Vervolgens, in (3.1)

x

= a stellend, ende funotie f transrormerend

volgens (2.14) en het imaginair'en reeel gedéelte neraand, verkrljgen we voor P, en de vergelijklngen:

a.

(3a)

(3.17) NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG' PROEFSTATION WAGENINGEN _No 17.

k IP

_I(

_I+I

+i

_\i3L

(P

/ ¿

I3

..A

C,)

Po+i.4P0:_'Ti.e

H0 (A)

¿

t

A

(À:

In hot bijzonder kan men de uitdrukkingen P

_{en Q}

berekenen voor eon

contour, dat uit eon halve cirkel is opgebouwd. Vor dit geval is

c (T)

a. t

en dan voigt:

i\e

fAejt4

41 + I 1

'.-De overeenkon3stige recurrente betrekking

heeft dan de ged.aante:

P+?,,= i?:

41

Dus hieriñ hangen

Pr en Q

alleen van P0 en

af.

Uitv.oering

van de

irtegratie eeeft de volgende sin en cos formue:

(p

'¼

*L 4P,,)

_.. 41

in elkar aitdrukken, vc.

ka

0 ₎

_{hangen de f(}

¡rien voor T

O daze

34)

+ )

(

L

L. Y

Hierzuede kunnen we dus de f une ties

_{en Q,}

nO,l,2, 3.

In het bijzonder voor een elliptischecontour

uitsluitend

samen ¡net P0,

_Qr,,

Pj en Ql en kan

funaties

uitdrukken in Hañkel functies:

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

P0 + ¿ e À i. ¿

Sis, À)

__L_

_A

(LA).

i,

_"("-g)

_),(k.t)(

-z)

+ ,, ¿A _e I (

(...5À +

i. S%yi (3.Zø)

Keren we terug naar

het systeem vergelijkingen (3.14) - (3.16).

De coefficienten a en

dientengevole B+ en B-. hangen

lineair af van

Y, Y': j

YLjf,

/

Daarom geeft de berekeiiing van

A('Y) van het systeexn (3.14 -3.16)met

betrakking tot

t,.i ?,

tvqi1

voor YO de waarde 1. Aangeziefl 4CY)

ean

continue functie is voor y o , is 41V >0

voor voldoende kleine ')

Dientengevolge, is voor kleine ' een eenduid.ige oplossing voor de

groot-heden L1 ,

'P, .iaogelijk.

4. QD

QLbet opsU

.vfl

;e enf

rrst merken we op, dat voor de druk in een punt van de

vloeistoÍ' ge1dt:

i-ç-t

p

=.'q (

y,z)

Hierbi j brengen we niet in

rekening de

hydroatische druk, waarvan men de resultante en

het moment eenvoudig berekent.

Noemen we acitereenvolgenS Y, I en M de hyarodyraxnische

kracht

en moment dic op

de

contour L

werken.

Hiervoor sehrijft men:

NEDEKLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

11 L1

i

t I,

cs (, y)

e

1

e

f Ypo(z

Q

L

L. O&2.

j..

P eL

Yf'(yeLy.+

Z:J'

Voor een berekening, makenwe gebruik van de betrekkingen die volgen uit:(2.

v O:

_{+ Y .!}

' 1.

oLI

bw

Dan kunnen we de formules in de volgende vorm so1irijven:

-

£'J(!

21

-

h)

L Ò oU

f

y7

oU

Jr

Z+

1

z y)

-L

de

(

2

.

y'1

'J

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDJG BLZ.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTATION WAGENINGEN _d1.

Berekenen we eerat de verticale component van de hydrodynamische

kracht.

Uit de vergelijking (2.4) voigt:

(0tf

L C)1

I

¿

..L.

foU'

j

¿ z

waarblj de integratie genomen vordt in de ricliting van de wijzers van een uurwerk.

Toepasing van de uitdruk&ing (2.14) en een be&end theorema:

Z.rçi ¿

r

J

_¿r),

r

lIa,

4. Y _!.

2/fl cU

eLSe

- De interatie in formule (4. 2) voeren we uit met de volende herlelding. Hiervoor gellt In een punt van de contour L:

: - 4. 4

(

4.Z

eU

oU

_oU

oU

z.)

_tV1+1 J

y

4.'..4Z) _.z

.s

(h

ote:

2fr,

_+tf2

_v3 (y-a)_k

(yaa4)

..o £

waarin V2, V3 en V4 de complexe amplitude van de heen-en

weergaand.e-en de hoeksnelheid.

Substitutle van (4.3) In (4.2) geeft:

(i +

S V)

ci-waarin b 2a - de breedte vari de contour op de wterlIjn, _{en S het} opperviak van de contour. Berekenen wij vervolgana de uitdrukklng voor

4'2

(4f 3)

i14)

4. ç.

INEDERLANDSCH PROEFSTATION WAGENINGEN =

-

ta.

-a.

₊

-,

I a 3 = a.

(ò, 4.ò3 +&ç +

De waarde van de fu.nctie

'f in het punt

en z =

inoeren van functies, die analoog zijn aan Pn:

cr

1T1

T

.1.,# S ¿ -v

(1J

e

-J.Va

p'

e +

_-

e. C) O

-clt

O ,

leidt tot het

C.,

L

(4.7)

p= I

Voor het berekerien van het moment van de hydrodynamische krachten, komt

men tot de vo1gnde uitdrukking:

(v.a)

r)

waerin

en

t1

dewaarde van

en z

in het punt y:-

e.

z.o

h-de verticale erstand tot oppervlakta-zwaartepunt (drukicirigepunt).

De grootieid

kan men eenvoudlg berekenen. Stelt men

- 'T in (2.15)

voor r, dan

BLZ.

M'L

1

-G_ _ç

e

_fly

çJ-.

f

Voor de

eschouwdek-1asse van oontou.ren is:

eri rnt de invoering van

k0T'

- k,T

Substitutie van deze vergelijking in (2.14), geeft:

L

4

(z, 4+3k2 &

₊

terwiji we met (4.3) voor

M0 vinden:

ç

k

[s(i

+ 3

-

va5v3+ (2vI2YI1_

a

_{) y4 -}

_{2. Y.7U}

(c LO)

Hierin stelt I

en I

het traagheidsmoment voor van het oppervlak

3

rond de y- en i-as.

Opgete1d: 25 XI 1952.

oU

# Y

yi) eLe

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLL PROEFSTATION WAGENINGEN _{No .3.}

¡tç,.

Pio

j

e

&

f

L. L

s

Llteratuur.

£ i

Haskind, M.D,,

Hat

twee-d.ixaensionale probleem van _{soheepstrjlljnnen}

op hat opperr1ak van seri zware vloelstof. IZwastia Akad i.k;'S3R, YN 7-8,1942.

ReÍ'ìectie van golven tegen een obstakel. Inhener.riyi Sborik T.Iv, 2, 1948.

Het twee-dimensionale probleem van hat planaren op het opparviak van _{en zware vloeistof.}

Verslagen

van de

_{Conferentje over theorie van}

go1f-weeratand. ZAHl 1937. Vertaald door G.Vossers,

Wageningen

Mel 1954.

{2] Haskind, M.D., [3J edov, L.I. NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN 24.