8. Miara Lebesgue’a na R
1– rozwiązania
Ćw. 8.1 Niech A będzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue’a (wiadomo, ze taki
zbiór istnieje). Wówczas A nie spełnia warunku Caratheodory’ego, tzn. istnieje taki zbiór E ⊂ R, że
l∗(E) 6= l∗(E ∩ A) + l∗(E ∩ A0), co pokazuje, że l∗ nie jest addytywna na 2R.
Ćw. 8.2 Każdy odcinek postaci (a − 1n, a] jest pokryciem zbioru {a} zbiorem z
półpier-ścienia R. Co więcej {a} =T∞
n=1(a − 1n, a] i z ciągłości miary dostajemy, że
l({a}) = l(
∞
\
n=1
(a − 1
n, a]) = limn→∞l((a −
1
n, a]) = limn→∞a − a +
1
n = 0.
Stąd
l([a, b)) = l((a, b]) + l({a}) − l({b}) = b − a + 0 − 0 = b − a.
Z kolei l([a, b)) = l( ∞ X n=1 [a+n−1, a+n)) = ∞ X n=1 l([a+n−1, a+n)) = ∞ X n=1 (a+n−1−a−n) = ∞ X n=1 1 = +∞.
Ćw. 8.3 Ustawmy liczby wymierne w ciąg: Q = {q1, q2, . . .}. Dla każdego k możemy
zna-leźć przedział otwarty Pk, zawierający qk, o długości mniejszej niż 2εk. Weźmy
G =
∞
[
k=1
Pk.
G jest gęsty w R, tzn. G = R, gdyż zawiera wszystkie liczby wymierne, oraz l(G) = l( ∞ [ k=1 Pk) ¬ ∞ X k=1 l(Pk) ¬ ∞ X k=1 ε 2k = ε.
Ćw. 8.4 Niech Px = [−x, x]. Rozważmy funkcję f (x) = l(E ∩ Px) (dla x 0). Ponieważ
dla każdych x, y nieujemnych
|f (x) − f (y)| ¬ 2|x − y|,
więc f jest funkcją ciągłą na [0, +∞). Co więcej f (0) = 0 i limx→∞f (x) = l(E).
Zatem na mocy własności Darboux dla każdego a ∈ [0, l(E)) istnieje taka liczba xa,
że f (xa) = a. Oznacza to, że dla zbioru A = E ∩ [−xa, xa] mamy l(A) = a. Ćw. 8.5
1 l(A ∪ B) = l(A) + l(B) − l(A ∩ B) > 1 − l(A ∩ B). Stąd l(A ∩ B) > 0, a więc A ∩ B 6= ∅.
