1. Wyznaczyć rozwiązania ogólne , jeżeli wiadomo, że wskazane funkcje tworzą ich układy fundamentalne. (a) (x − 1)y00 −

1. Wyznaczyć rozwiązania ogólne , jeżeli wiadomo, że wskazane funkcje tworzą ich układy fundamentalne.

(a) (x − 1)y⁰⁰− xy⁰+ y = (x − 1)², y1(x) = x, y2(x) = e^x.

(b) y⁰⁰ctg x + 2y⁰ + (2 tg x + ctg x)y = cos²x, y₁(x) = cos x, y₂(x) = x cos x.

(c) x²y⁰⁰− 4xy⁰+ 6y = _x⁴²4, y₁(x) = x², y₂(x) = x³. 2. Rozwiązać metodą uzmienniania stałych.

(a) 2y⁰⁰+ 4y⁰− 6y = 3.

(b) y⁰⁰+ y⁰− 2y = x². (c) y⁰⁰− y⁰ = _1+e^exx. (d) y⁰⁰+ y = tg x.

(e) y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y = e^−2xln x.

(f) y⁰⁰+ y = _sin¹2x.

3. Rozwiązać metodą przewidywania.

(a) y⁰⁰+ y = x + 1.

(b) y⁰⁰+ 2y⁰+ 1 = x²− x.

(c) y⁰⁰+ 4y = x⁴− x²+ 3.

(d) 2y⁰⁰− 3y⁰ = x²+ 1.

(e) y⁰⁰+ y⁰ = 4x³− 3x².

4. Rozwiązać metodą przewidywania.

(a) y⁰⁰+ y⁰− 2y = e^−x.

(b) 2y⁰⁰− 5y⁰+ 2y = 2(x + 2)e^x. (c) 4y⁰⁰+ 4y⁰+ y = e^−12x.

(d) y⁰⁰+ y⁰− 2y = e^x.

(e) y⁰⁰+ 2y⁰+ y = (x + 1)e^−x. (f) y⁰⁰− 2y⁰ = (x² + x + 1)e^−2x. (g) y⁰⁰+ 4y = (x³− x²)e^2x.

5. Rozwiązać metodą przewidywania.

(a) y⁰⁰+ y⁰− 2y = cos x + 2 sin x.

(b) y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 4 cos 2x.

1

(c) 4y⁰⁰+ 9y = −2 sin 3x.

(d) y⁰⁰+ y = sin x.

(e) y⁰⁰+ 4y = cos 2x.

(f) 9y⁰⁰+ y = cos^x₃ − 2 sin^x₃.

6. Rozwiązać rozbijając na dwa równania.

(a) y⁰⁰− 2y⁰+ y = 2 + sin x.

(b) y⁰⁰+ 2y⁰ = 2x + sin x.

(c) y⁰⁰+ 5y⁰+ 6y = cos x + 6e^−2x. (d) y⁰⁰− 2y⁰ = x(1 + e^2x).

(e) y⁰⁰− 2y⁰+ 5y = 10 sin x + 17 sin 2x.

(f) y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y = 2e^−2x+ (36x²− 12x − 10)e^4x. Odpowiedzi.

1.

(a) y = C1x + C2e^x− (x²+ x + 1).

(b) y = (C₁ + C₂x) cos x − sin x cos x.

(c) y = C₁x²+ C₂x³+ _x¹4. 2.

(a) y = C₁e^−3x+ C₂e^x− ¹₂.

(b) C₁e^x+ C₂e^−2x −¹₄(2x²+ 2x + 3).

(c) C1+ C2e^x+ (x − ln(e^x+ 1))e^x− ln(e^x+ 1).

(d) C₁cos x + C₂sin x − cos x ln |^{1+sin x}_{cos x} |.

(e) [C₁+ C₂x + ³₄x²(2 ln x + 1)]e^−2x. (f) C₁cos x + C₂sin x + cos x ln | tg^x₂| − 1.

3. (a) C1cos x + C2sin x + x − 1.

(b) e^−x(C₁+ C₂x) + x²− 5x + 8.

(c) C₁cos 2x + C₂sin 2x + 0.25x⁴− x²+ 1.25.

(d) C₁+ C₂e^1.5x− ^x₉³ − ^2x₉² −¹⁸₂₇.

(e) C₁+ C₂e−x + x⁴− 5x³+ 15xx²− 30x.

4. (a) C₁e^xC₂e^−x− ^e−x₂ .

2

(b) C₁e^2x+ C₂e^0.5x− 2xe^x. (c) e^0.5x(C₁+ C₂x + ^x₈²).

(d) C1e^x+ C2e^−2x +^x₃e^x. (e) (C₁+ C₂x +^x3+3x₆ ²)e^−x.

(f) C₁e^2x+ C₂+ ₆₄¹(8x²+ 20x + 21)e^−2x. (g) C₁cos 2x + C₂sin 2x + ^4x3−10x₃₂^2+7x−1e^2x. 5. (a) C₁e^x+ C₂e^−2x− ¹₂(cos x + sin x).

(b) e^−x(C1+ C2x) −₂₅¹(16 sin 2x − 12 cos 2x).

(c) C₁cos^3x₂ + C₂sin^32x₂ − ²₉sin 3x.

(d) C − 1 cos x + C₂sin x − ^x₂ cos x.

(e) C₁cos 2x + C₂sin 2x + ^x₄sin x.

(f) C1cos^x₃ + C2sin^x₃ +^x₆(3 cos^x₃ + sin^x₃).

6. (a) C₁e^x+ C₂xe^x+ 2 + ¹₂cos x.

(b) C₁cos√

2x + C₂sin√

2x + x + sin x.

(c) C₁e^−2x+ C₂e^−3x+ 6xe^−2x+ ₁₀¹(cos x + sin x).

(d) C₁+ C₂e^2x−¹₄(x²+ x) + ¹₄(x²− x)e^2x.

(e) e^x(C₁cos 2x + C₂sin 2x) + cos x + 2 sin x + 4 cos 2x + sin 2x.

(f) C₁e^−2x+ C₂xe^−2x + x²e^−2x + (x²− x)e^4x.

3