12.7 Wyznaczniki
Niech A będzie macierzą kwadratową o wymiarach n na n. Przyjmujemy, że na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A znajduje się liczba ai,j. Tak więc
A=
a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
an,1 an,2 . . . an,n
.
Niech ~ai= (ai,1, ai,2, . . . , ai,n) oznacza i-ty wiersz macierzy A.
Będziemy definiować wyznacznik macierzy A. Wyznacznik możemy uważać za funkcję przy- porządkowującą macierzy kwadratowej A o wyrazach z ciała K pewien element |A| ∈ K. Jeżeli przyjmiemy, że rozważamy tylko macierze o wymiarach n × n, to wyznacznik możemy uważać za funkcję przekształcającą Mn,nw K. Czasem wygodnie będzie utożsamiać macierz A z cią- giem jej wierszy ~a1, . . . , ~an. Wtedy wyznacznik będziemy traktować jak funkcję, która ciągom nwektorów z Kn(argumentom ze zbioru (Kn)n) przyporządkowuje elementy ze zbioru K.
Zależnie od sytuacji i potrzeb wyznacznik macierzy A będziemy oznaczać symbolami
| A |,
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
an,1 an,2 . . . an,n
lub det(~a1, ~a2, . . . , ~an).
12.8 Aksjomatyczna definicja wyznacznika Funkcję det : (Kn)n→ K nazywamy wyznacznikiem, jeżeli
1. jest addytywna i jednorodna (czyli liniowa) dla każdej z n zmiennych,
2. jest równa 0 dla dowolnego układu argumentów, w którym pewien wektor występuje dwukrotnie (det(. . . , ~x, . . . , ~x, . . .) = 0),
3. det(~e1, . . . , ~en) = 1.
12.9 Funkcje skośnie symetryczne
Funkcja d : Kn× Kn→ K jest skośnie symetryczna, jeżeli d(~x, ~y) = −d(~y, ~x) dla wszystkich par argumentów.
Lemat 12.15 Dwuliniowa funkcja d taka, że d(~x, ~x) = 0 dla dowolnego wektora ~x jest skośnie symetryczna.
Dowód. Aby się o tym przekonać zauważmy, że
0 = d(~x + ~y, ~x + ~y) = d(~x, ~x) + d(~x, ~y) + d(~y, ~x) + d(~y, ~y) = d(~x, ~y) + d(~y, ~x). 2
13.1 Wyznacznikdet(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) Będziemy teraz obliczać wyznacznik
det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) (11) dla dowolnej funkcji σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Z definicji wyznacznika wynika, że jeżeli σ nie jest różnowartościowa, to wyznacznik (11) jest równy 0. Dalej zakładamy więc, że σ jest permutacją. Obliczenie tego wyznacznika w tym przypadku wymaga następującej, oczywistej konsekwencji lematu 12.15.
Lemat 13.1 Wyznacznik jest funkcją skośnie symetryczną: dla dowolnych argumentów za- chodzi równość
det(. . . , ~x, . . . , ~y, . . .) = −det(. . . , ~y, . . . , ~x, . . .), czyli przestawienie dwóch wektorów powoduje zmianę znaku wyznacznika. 2
Przypuśćmy, że we wzorze (11) zamienimy wektory znajdujące się na pozycjach i0oraz j0 i w ten sposób otrzymamy wyrażenie
det(~eσ0(1), . . . , ~eσ0(1)) dla pewnej permutacji σ0. Permutacja σ0jest równa
1 . . . i0 . . . j0 . . . n σ(1) . . . σ(j0) . . . σ(i0) . . . σ(n)
! ,
a więc jest złożeniem σ i transpozycji τ = (i0, j0), czyli złożeniem 1 . . . i0 . . . j0 . . . n
σ(1) . . . σ(i0) . . . σ(j0) . . . σ(n)
! 1 . . . i0 . . . j0 . . . n 1 . . . j0 . . . i0 . . . n
! .
Przypuśćmy, że w wyrażeniu (11) przestawiamy wektory tak długo, aż otrzymamy wyrażenie det(~e1, . . . , ~en). Jeżeli wymagało to wykonania transpozycji τ1, . . . , τm, to złożenie στ1. . . τm
jest permutacją identycznościową. Stąd σ = τm. . . τ1. Ponieważ wykonanie pojedyńczej trans- pozycji oznacza zmianę znaku wyznacznika, więc
det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) = (−1)m. Stąd otrzymujemy
Lemat 13.2 Dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , n} mamy det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) = sgn(σ),
gdzie sgn(σ) jest znakiem permutacji σ, a więc sgn(σ) = h(σ) dla funkcji h z rozdziału 5.1.
13.2 Jednoznaczność wyznacznika
Aksjomatyczna definicją wyznacznika podaje tylko własności, jakie mu przysługują. Można mieć więc wątpliwości, czy taka funkcja istnieje. Można też spodziewać się istnienia wielu takich funkcji. Pokażemy, że funkcja o podanych własnościach istnieje i jest tylko jedna. Aby się o tym przekonać skorzystamy z liniowości wyznacznika względem poszczególnych wierszy.
Zauważmy, że
det(~a1, ~a2, . . . , ~an) = det(Xn
k=1
a1,k~ek, ~a2, . . . , ~an) =
=
n X k=1
a1,k· det(~ek, ~a2, . . . , ~an) =
n X k=1
a1,k· det(~ek,
n X l=1
a2,l~el, . . . , ~an) =
=
n X k=1 n X l=1
a1,k· a2,l· det(~ek, ~el, . . . , ~an) . . . = X
k1,...,kn
a1,k1· . . . · an,kn· det(~ek1, . . . , ~ekn) =
=X
σ
a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)· det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) =
= X
σ∈1-1
a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)· det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) = X
σ∈1-1
sgn(σ) · a1,σ(1)· . . . · an,σ(n). (12)
Sumowanie po σ oznacza sumowanie po wszystkich funkcjach przekształcających zbiór {1, . . . , n}
w siebie (przyjęliśmy oznaczenie σ(i) = ki). Jeżeli σ nie jest funkcją różnowartościową, to det(~eσ(1), . . . , ~eσ(n)) = 0. Wystarczy więc sumować tylko po funkcjach różnowartościowych.
Z powyższych przekształceń wynika, że wartości dowolnej funkcji det mającej własności wymagane od wyznacznika mogą być obliczane zgodnie z wzorem (12), a więc są jednoznacznie określone. Istnieje więc najwyżej jedna funkcja det o wspomnianych własnościach.
13.3 Istnienie wyznacznika
Z drugiej strony dowodzi się, że funkcja D zdefiniowana wzorem (12) ma własności wymagane od wyznacznika.
Zauważmy, że
D(~a1, ~a2, . . . , ~an) = X
σ∈1-1
sgn(σ) · a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)=
=Xn
k=1 X σ(1)=k∧σ∈1-1
sgn(σ) · a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)=
=Xn
k=1
a1,k
X σ(1)=k∧σ∈1-1
sgn(σ) · a2,σ(2)· . . . · an,σ(n)
. Tak więc
D(~a1, ~a2, . . . , ~an) = ~a1~b
dla pewnego wektora ~b. Oznacza to, że D jest liniową funkcją pierwszej zmiennej. Podobnie pokazujemy liniowość D względem pozostałych zmiennych.
Jeżeli ~ai= ~aj, to zbiór wszystkich permutacji rozbijamy na rozłączne pary złożone z σ i σ0= σ · (i, j). Obliczmy sumę składników wyznaczonych przez taką parę permutacji:
sgn(σ) · a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)+ sgn(σ0) · a1,σ0(1)· . . . · an,σ0(n)=
= (sgn(σ) · ai,σ(i)· aj,σ(j)+ sgn(σ0) · ai,σ0(i)· aj,σ0(j)) · Y
k6=i∧k6=j
ak,σ(k)=
= (sgn(σ) · ai,σ(i)· ai,σ(j)+ sgn(σ0) · ai,σ(j)· ai,σ(i)) · Y
k6=i∧k6=j
ak,σ(k)= 0,
gdyż permutacje σ i σ0są przeciwnego znaku. Stąd wynika, że D(~a1, ~a2, . . . , ~an) = 0 jeżeli tylko ~ai= ~aj.
Nietrudno też zauważyć, że jeżeli ~ai= ~eidla i = 1, . . . , n, to
D(~e1, ~e2, . . . , ~en) = D(~a1, ~a2, . . . , ~an) = a1,1· . . . · an,n= 1.
Wszystko to razem oznacza, że funkcja D zdefiniowana wzorem (12) ma własności podane w definicji wyznacznika i w konsekwencji, wyznacznik jest dobrze zdefiniowany.
13.3.1 Wyznacznik macierzy transponowanej
Weźmy macierz A o wyrazach ai,ji zdefiniujmy macierz ATo wyrazach bi,jprzyjmując, że bi,j= aj,i. Macierz ATnazywamy przetransponowaną macierzą A. Będziemy obliczać wyznacznik AT. Zgodnie z wzorem (12)
| AT| = X
σ∈1-1
sgn(σ) · b1,σ(1)· . . . · bn,σ(n)= X
σ∈1-1
sgn(σ) · aσ(1),1· . . . · aσ(n),n.
Jeżeli uporządkujemy czynniki iloczynu aσ(1),1· . . . · aσ(n),n według pierwszego indeksu, to otrzymamy a1,σ−1(1)· . . . · an,σ−1(n). Wobec tego
| AT| = X
σ∈1-1
sgn(σ) · a1,σ−1(1)· . . . · an,σ−1(n).
Jeżeli zauważymy, że sgn(σ) = sgn(σ−1) i skorzystamy z tego, że przyporządkowanie funkcji σ funkcji do niej odwrotnej jest permutacją wszystkich możliwych funkcji różnowartościowych, to otrzymamy, że
| AT| = X
σ∈1-1
sgn(σ−1) · a1,σ−1(1)· . . . · an,σ−1(n)= X
σ∈1-1
sgn(σ) · a1,σ(1)· . . . · an,σ(n)= | A |.
Twierdzenie 13.3 Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi przetransponowanej macierzy AT. 2
Z udowodnionego właśnie wzoru | AT| = | A | wynika, że własności wyznacznika wyrażone w definicji i ich konsekwencje pozostają prawdziwe po zastąpieniu wierszy kolumnami. Na przykład, przestawienie kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
13.4 Rozwinięcia Laplace’a Weźmy macierz
A=
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
an,1 an,2 . . . an,n
.
i oznaczmy i-ty wiersz macierzy A symbolem ~ai. Tak więc ~ai= (ai,1, ai,2, . . . , ai,n).
Będziemy obliczać wyznacznik macierzy A. Korzystając z liniowości wyznacznika względem i-tego wiersza (argumentu) otrzymujemy wzór
det(~a1, . . . , ~ai−1, ~ai, . . . , ~an) = det(~a1, . . . , ~ai−1,Pnj=1ai,j· ~ej, . . . , ~an) = Pn
j=1ai,j· det(~a1, . . . , ~ai−1, ~ej, . . . , ~an).
Występujące w tym wzorze wyrażenie
Ai,j= det(~a1, . . . , ~ai−1, ~ej, . . . , ~an)
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu ai,j. Posługując się wprowadzonym oznacze- niem wyprowadzonemu wzorowi możemy nadać postać
| A | =
n X j=1
ai,j· Ai,j. (13)
Spróbujemy teraz wyliczyć dopełnienie Ai,j.
Weźmy znowu macierz A, uzupełnijmy ją o nowy wiersz i nową kolumną, obliczmy wy- znacznik otrzymanej macierzy i oznaczmy go symbolem D(A). Macierz A uzupełniamy tak, aby
D(A) = D(~a1, . . . , ~an) =
1 0 . . . 0 0 a1,1 . . . a1,n
...
0 an,1 . . . an,n .
Nietrudno zauważyć, że wyrażenie D(~a1, . . . , ~an) ma własności wymagane od wyznacznika:
jest funkcją liniową każdego wektora ~ai, zeruje się, jeżeli dwa z argumentów są identyczne, oraz D(~e1, . . . , ~en) = 1. Tak więc, D(A) jest wyznacznikiem macierzy A, czyli D(A) = | A |.
Przypuśćmy, że w macierzy A wstawiamy między kolumnami o numerach j −1 i j kolumnę b1, . . . , bn, a następnie wstawiamy między wierszami o numerach i−1 oraz i wiersz ~ej. Będziemy obliczać wyznacznik otrzymanej w ten sposób macierzy
B=
a1,1 . . . a1,j−1 b1 a1,j . . . a1,n
... ...
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 bi−1 ai−1,j . . . ai−1,n
0 . . . 0 1 0 . . . 0
ai,1 . . . ai,j−1 bi ai,j . . . ai,n
... ...
an,1 . . . an,j−1 bn an,j . . . an,n .
Zauważmy, że dodając do poszczególnych wierszy odpowiednią wielokrotność i-tego wiersza otrzymamy, że
B=
a1,1 . . . a1,j−1 0 a1,j . . . a1,n
... . ..
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 0 ai−1,j . . . ai−1,n
0 . . . 0 1 0 . . . 0
ai,1 . . . ai,j−1 0 ai,j . . . ai,n
... . ..
an,1 . . . an,j−1 0 an,j . . . an,n .
Jeżeli teraz i-ty wiersz przestawimy kolejno z wszystkimi poprzednimy, to
B= (−1)i−1
0 . . . 0 1 0 . . . 0
a1,1 . . . a1,j−1 0 a1,j . . . a1,n
. .. ...
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 0 ai−1,j . . . ai−1,n ai,1 . . . ai,j−1 0 ai,j . . . ai,n
. .. ...
an,1 . . . an,j−1 0 an,j . . . an,n .
W końcu, w podobny sposób przestawiamy j-tą kolumnę i otrzymujemy wzór
B= (−1)i−1· (−1)j−1
1 0 . . . 0 0 . . . 0
0 a1,1 . . . a1,j−1 a1,j . . . a1,n
... ...
0 ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j . . . ai−1,n
0 ai,1 . . . ai,j−1 ai,j . . . ai,n
... ...
0 an,1 . . . an,j−1 an,j . . . an,n
= (−1)i+j· | A |.
W przedstawionym rozumowaniu powiększyliśmy macierz A i otrzymaliśmy macierz B o wyznaczniku równym | A | z dokładnością do znaku. Oczywiście, możemy to rozumowa- nie odwrócić: bierzemy dużą macierz B, odpowiednio ją zmniejszamy i otrzymujemy ma- cierz o wyznaczniku równym | B | z dokładnością do znaku. W ten sposób obliczymy Ai,j= det(~a1, . . . , ~ai−1, ~ej, . . . , ~an). Wiemy, że
Ai,j=
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j a1,j+1 . . . a1,n
... ...
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n
0 . . . 0 1 0 . . . 0
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n
... ...
an,1 . . . an,j−1 an,j an,j+1 . . . an,n .
Po obliczeniach otrzymujemy, że
Ai,j= (−1)i+j
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1,n
... ...
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
... ...
an,1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . an,n .
Lemat 13.4 Dopełnienie algebraiczne elementu ai,jmacierzy A (czyli Ai,j) jest równe iloczy- nowi (−1)i+ji wyznacznika macierzy powstającej z A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. 2
Wzór (13) razem ze sposobem obliczania dopełnienia algebraicznego z powyższego lematu nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika | A | względem i-tego wiersza. Rozwinięcie Laplace’a sprowadza obliczanie wyznacznika macierzy n × n do obliczenia wyznaczników ma- cierzy o wymiarach (n − 1) × (n − 1). Razem z równością | a | = a daje rekurencyjną defnicję wyznacznika. Korzystając z macierzy transponowanych można wykazać wzór
| A | =
n X i=1
ai,j· Ai,j
pozwalający na obliczanie wyznacznika macierzy A przez rozwinięcie wzdłuż j-tej kolumny.
13.5 Eliminacja Gaussa a wyznaczniki
Algorytm eliminacji Gaussa po niewielkich modyfikacjach może służyć także do obliczania wyznaczników. Związki między wyznacznikami i eliminacją Gaussa pozwalają też wykazać kilka własności macierzy i układów równań liniowych.
Lemat 13.5 Jeżeli macierz A o wymiarach n × n i o wyrazach ai,j jest zredukowana, to
| A | = a1,1· . . . · an,n.
Dowód. Jeżeli macierz A o wyrazach ai,jjest zredukowana, to ai,j= 0 dla wszystkich j < i.
Wyznacznik macierzy A obliczamy rozwijając go wzdłuż pierwszej kolumny i korzystając z zasady indukcji. 2
Wniosek 13.6 Jeżeli macierz A o wymiarach n×n jest zredukowana, to następujące warunki są równoważne:
1. | A | 6= 0,
2. rząd macierz A jest równy n,
3. macierz A ma liniowo niezależne wiersze. 2
Lemat 13.7 Jeżeli kwadratowe macierze A i B są wierszowo równoważne i | A | 6= 0, to
| B | 6= 0.
Dowód. Wynika to z oczywistego faktu, że przekształcenia elementarne zachowują interesu- jącą nas własność wyznacznika. 2
Twierdzenie 13.8 Niech A będzie macierzą o wymiarach n × n. Następujące warunki są równoważne:
1. A ma liniowo niezależne wiersze, 2. A ma liniowo niezależne kolumny, 3. rząd A jest równy n,
4. | A | 6= 0.
Dowód. Wszystkie podane własności są niezmiennikami przekształceń elementarnych i są równoważne dla macierzy zredukowanych. 2
Wniosek 13.9 Przypuśćmy, że rozważamy układ n równań liniowych z n niewiadomymi. Wy- znacznik macierzy tego układu jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy ma on dokładnie jedno rozwiązanie.
Dowód. Jest to konsekwencja lematów 9.1 i 9.6, wniosku 9.11 oraz twierdzenia 13.8. 2
13.6 Wyznacznik iloczynu macierzy
Przypuśćmy, że mamy macierze A i B o wymiarach n × n. Weźmy też przekształcenie liniowe f : Kn → Kn, które w bazie standardowej ma macierz A. Będziemy obliczać wyznacznik iloczynu AB.
Niech wektory ~b1, . . . ,~bnbędą kolumnami macierzy B. Stosując umowy z rozdziału 10.16 (patrz str. 45) możemy przedstawić B jako macierz [~b1 . . . ~bn].
Wiemy, że iloczyn macierzy A i wektora-kolumny ~x jest wektorem-kolumną f(~x). Wobec te- go, wektory f(~b1), . . . , f(~bn) są kolejnymi kolumnami iloczynu AB, a więc AB = [f(~b1) . . . f(~bn)].
Rozważmy funkcję D : (Kn)n→ K zdefiniowaną wzorem D(~x1, . . . , ~xn) = c · | [f(~x1) . . . f(~xn)] |
(D(~x1, . . . , ~xn) jest wyznacznikiem macierzy, której kolejnymi kolumnami są wektory f(~x1), . . . , f(~xn), pomnożonym przez stałą c). W szczególności, D(~b1, . . . ,~bn) = c · | AB |. Zauważmy też, że D(~e1, . . . , ~en) = c · | A |.
Funkcja D jest liniowa ze względu na każdą ze zmiennych i przyjmuje wartość 0, jeżeli wśród jej argumentów są dwa równe wektory. Ponadto, jeżeli tylko | A | 6= 0, to możemy przyjąć c = | A |−1i wtedy otrzymujemy, że D(~e1, . . . , ~en) = 1.
Przypadek 1: | A | 6= 0. Biorąc c = (| A |)−1 możemy skorzystać z twierdzenia o jedno- znaczności wyznacznika. W ten sposób otrzymujemy, że D(~x1, . . . , ~xn) = det(~x1, . . . , ~xn). W szczególności D(~b1, . . . ,~bn) = det(~b1, . . . ,~bn) = |BT| = |B |. Z udowodnionych wzorów wynika,
że | AB |
| A | = D(~b1, . . . ,~bn) = | B |.
Przypadek 2: | A | = 0. W tym przypadku, kolumny macierzy A = [f(~e1) . . . f(~en)] są liniowo zależne (patrz twierdzenie 13.8). Tak więc np.
f(~e1) =Xn
i=2
αif(~ei) = f(Xn
i=2
αi~ei).
Oznacza to, że funkcja f nie jest różnowartościowa. Wtedy zbiór wartości funkcji f jest prze- strzenią wymiaru mniejszego od n i każdy układ n wartości funkcji f jest liniowo zależny.
Dowolna kwadratowa macierz, której kolumnami są wartości funkcji f, ma więc wyznacznik 0. Stąd otrzymujemy, że | A | = | AB | = 0. Wtedy oczywiście | AB | = | A || B |.
Twierdzenie 13.10 (Cauchy) Wyznacznik iloczynu (kwadratowych) macierzy jest iloczy- nem wyznaczników. 2
13.7 Wzory Cramera Rozważmy układ
a1,1x1+ a1,2x2+ . . . + a1,nxn= b1 a2,1x1+ a2,2x2+ . . . + a2,nxn= b2
...
an,1x1+ an,2x2+ . . . + an,nxn= bn
(14)
nrównań liniowych z n niewiadomymi. Załóżmy, że macierz
A=
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
...
an,1 an,2 . . . an,n
tego układu ma wyznacznik różny od zera. Wiemy już, że z tego założenia wynika, że układ (14) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Spróbujemy je znaleźć.
Uzupełnijmy macierz rozszerzoną układu (14) jej i-tym wierszem, a otrzymaną w ten spo- sób macierz oznaczmy symbolem B. Mamy więc
B=
ai,1 ai,2 . . . ai,n bi
a1,1 a1,2 . . . a1,n b1
a2,1 a2,2 . . . a2,n b2 ...
an,1 an,2 . . . an,n bn
.
Przyjmijmy, że B1,joznacza dopełnienie algebraiczne j-tego elementu pierwszego wiersza B.
Macierz B ma dwa identyczne wiersze. Jej wyznacznik jest więc równy 0. Jeżeli rozwiniemy ten wyznacznik wzdłuż pierwszego wiersza, to otrzymamy
n X j=1
ai,jB1,j+ biB1,n+1= 0. (15)
Zauważmy, że B1,n+1= (−1)n| A |, a dla j ¬ n dopełnienie algebraiczne
B1,j= (−1)j+1
a1,1 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1,n b1 a2,1 . . . a2,j−1 a2,j+1 . . . a2,n b2
...
an,1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . an,n bn .
Symbolem A(~b/j) będziemy oznaczać macierz powstającą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny A wektorem ~b. Mamy więc
A(~b/j) =
a1,1 . . . a1,j−1 b1 a1,j+1 . . . a1,n
a2,1 . . . a2,j−1 b2 a2,j+1 . . . a2,n
...
an,1 . . . an,j−1 bn an,j+1 . . . an,n
.
Przestawiając odpowiednio we wzorze na Bi,jkolumnę wyrazów wolnych otrzymujemy, że B1,j= (−1)j+1(−1)n−j| A(~b/j) | = (−1)n+1| A(~b/j) |.
Podstawmy we wzorze (15) obliczone dopełnienia algebraiczne. Po podstawieniu i drobnych przekształceniach wzór (15) przyjmuje postać
n X j=1
(−1)n+1ai,j| A(~b/j) | = (−1)n+1bi| A |.
i w końcu
n X j=1
ai,j| A(~b/j) |
| A | = bi. Otrzymana równość oznacza, że dla j = 1, . . . , n liczby
xj= |A(~b/j) |
| A | (16)
spełniają i-te równanie układu (14), a ponieważ i jest dowolne i nie zależą od i, są też roz- wiązaniem całego układu (14). Jest to – jak już wiadomo – jedyne rozwiązanie tego układu.
Równości (16) nazywamy wzorami Cramera.
Twierdzenie 13.11 Jeżeli macierz A układu (14) ma wyznacznik różny od zera, to układ (14) ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami (16). 2
Będziemy jeszcze rozważać układ
a1,1x1+ a1,2x2+ . . . + a1,nxn= b1 a2,1x1+ a2,2x2+ . . . + a2,nxn= b2
...
am,1x1+ am,2x2+ . . . + am,nxn= bm
(17)
mrównań liniowych z n m niewiadomymi. Przyjmijmy, że
A=
a1,1 a1,2 . . . a1,m a2,1 a2,2 . . . a2,m
...
am,1 am,2 . . . am,m
(18)
i – jak zwykle – ~b = (b1, . . . , bm) oraz ~aj= (a1,j, . . . , am,j).
Wniosek 13.12 Jeżeli macierz (18) ma wyznacznik różny od 0, to układ (17) jest równoważny układowi równań
xi= |A(~b/i) |
| A | −| A(~am+1/i) |
| A | · xm+1−| A(~am+2/i) |
| A | · xm+2− . . . −| A(~an/i) |
| A | · xn
dla i = 1, . . . , m.
Dowód. Przekształcamy układ (17) przenosząc zmienne xm+1, xm+2, . . . , xnna drugą stronę równości i stosujemy wzory Cramera. 2
Zauważmy, że układ podany we wniosku 13.12 jest parametrycznym przedstawieniem roz- wiązania układu (17). Wniosek 13.12 można jeszcze uogólnić zastępując założenie o wyznacz- niku różnym od 0 założeniem stwierdzającym, że macierz układu (17) ma rząd m.
14.1 Formy dwuliniowe
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Funkcję f : V × V → K nazywamy formą dwuliniową, jeżeli jest liniowa względem każdej swojej zmiennej, a więc spełnia równość
f(a~x1+ b~x2, ~y) = af(~x1, ~y) + bf(~x2, ~y)
dla dowolnych ~x1, ~x2, ~y ∈ V oraz a, b ∈ K, i analogiczną równość dla zmiennej ~y. Formy dwuliniowe nazywa się też funkcjonałami dwuliniowymi.
Pojęcie funkcji i formy dwuliniowej można definiować także dla modułów. Definicja w tym przypadku jest analogiczna. Ważnym przykładem funkcji dwuliniowej iloczyn macierzy (funkcja, która parze macierzy o określonych rozmiarach przyporządkowuje ich iloczyn). For- mą dwuliniową jest funkcja, która parze macierzy przyporządkowuje ustaloną współrzędną iloczynu danych macierzy. Wiele własności form dwuliniowych można dowieść w przypadku modułów i pierścieni. Główne przedstawiane własności będą dotyczyły przestrzeni liniowych.
Co więcej, będą to przestrzenie liniowe nad specyficznymi ciałami. W szczególności od tego miejsca zakładamy, że rozważamy ciała, w których element 1 + 1 jest odwracalny.
Dla funkcji i form dwuliniowych można dowieść własności analogiczne do sformułowanych w rozdziale 9.8 dla funkcji liniowych jako lemat 9.16 i twierdzenie 9.17.
Formę dwuliniową f : V × V → K nazywamy symetryczną, jeżeli f(~x, ~y) = f(~y, ~x)
dla dowolnych ~y, ~x ∈ V . Przykładem symetrycznej formy dwuliniowej jest iloczyn skalarny.
Formę dwuliniową f : V × V → K nazywamy skośnie symetryczną, jeżeli f(~x, ~y) = −f(~y, ~x)
dla dowolnych ~y, ~x ∈ V . Przykładem skośnie symetrycznej formy dwuliniowej jest funkcja f(~x, ~y) = det(~x, ~y,~a3, . . . , ~an).
Przypuśćmy, że f : Kn× Kn → K jest formą dwuliniową, ~x = (x1, . . . , xn) i ~y = (y1, . . . , yn). Wtedy
f(~x, ~y) = f(
n X i=1
xi~ei,
n X i=1
yi~ei) =
n X i,j=1
f(~ei, ~ej)xiyj.
Macierz
A=
f(~e1, ~e1) . . . f(~e1, ~en) ...
f(~en, ~e1) . . . f(~en, ~en)
nazywamy macierzą formy f. Nietrudno zauważyć, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpo- wiedniość między formami dwuliniowymi i ich macierzami (patrz rozdział 9.8). Zauważmy też, że
f(~x, ~y) = ~xTA~y
(pamiętajmy, że wektory utożsamiamy z jednokolumnową macierzą, a macierz o wymiarach 1 × 1 – z jej elementem).
Co więcej, każda funkcja f : Kn× Kn→ K definiowana wzorem f(~x, ~y) =
n X i,j=1
ai,jxiyj
albo wzorem
f(~x, ~y) = ~xTA~y jest formą dwuliniową.
Macierz A jest symetryczna, jeżeli A = AT. Nietrudno zauważyć, że
Lemat 14.1 Forma dwuliniowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest symetryczna. 2
14.2 Formy kwadratowe
Formą kwadratowąnazywamy dowolną funkcję g : Kn→ K zdefiniowaną wzorem postaci g(~x) =X
i¬j
ai,jxixj
(dla modułów formy i funkcje kwadratowe przyjmujące wartości w modułach definiuje się w analogiczny sposób).
Przyjmując, że ai,j= 0 dla i > j powyższej równości można nadać postać g(~x) =
n X i,j=1
ai,jxixj. Weźmy formę dwuliniową
f(~x, ~y) =
n X i,j=1
ai,jxiyj. Jest oczywiste, że
g(~x) = f(~x, ~x). (19)
Tak więc, dowolna forma kwadratowa g(~x) może zostać zdefiniowana wzorem (19) dla pewnej formy dwuliniowej f.
Lemat 14.2 Jeżeli f : Kn× Kn → K jest formą dwuliniową, to funkcja F zdefiniowana wzorem
F(~x, ~y) =f(~x, ~y) + f(~y, ~x) 2
jest symetryczną formą dwuliniową taką, że F (~x, ~x) = f (~x, ~x) dla dowolnego ~x ∈ Kn. 2 Wobec tego, każda forma kwadratowa g(~x) jest definiowana wzorem (19) dla pewnej sy- metrycznej formy dwuliniowej f.
Zauważmy, że dla dowolnej formy dwuliniowej f
f(~x + ~y, ~x + ~y) − f(~x, ~x) − f(~y, ~y) = f(~x, ~y) + f(~y, ~x).
Konsekwencją tego wzoru jest
Lemat 14.3 Jeżeli f : Kn× Kn→ K jest symetryczną formą dwuliniową, to f(~x, ~y) =f(~x + ~y, ~x + ~y) − f(~x, ~x) − f(~y, ~y)
2 dla wszystkich ~x, ~y ∈ Kn. 2
Tak więc, dla danej formy kwadratowej g jest tylko jedna symetryczna forma dwuliniowa fspełniająca wzór (19).
Macierzą formy kwadratowejgnazywamy macierz symetrycznej formy dwuliniowej f, dla której zachodzi wzór (19).
15.1 Równoważne formy kwadratowe
Przypuśćmy, że G jest grupą przekształceń liniowych przestrzeni Kn. Będziemy zajmować się dwoma takimi grupami: pełną grupą przekształceń liniowych przestrzeni Kn, a więc grupą ze złożeniem, której elementami są dowolne różnowartościowe przekształcenia liniowe przestrzeni Knw siebie, oraz jej podgrupą złożoną z przekształceń ortogonalnych (patrz rozdział 15.4).
Formy kwadratowe g1 i g2 są równoważne w G wtedy i tylko wtedy, gdy g1= g2h dla pewnego h ∈ G.
Niech g będzie formą kwadratową, f – symetryczną formą dwuliniową taką, że g(~x) = f(~x, ~x), h – przekształceniem liniowym. Weźmy jeszcze macierz A formy g (która jednocześnie jest macierzą formy f) oraz macierz B przekształcenia h (w bazie standardowej). Obliczymy macierz formy gh. Zauważmy, że F (~x, ~y) = f(h(~x), h(~y)) jest symetryczną formą dwuliniową oraz
g(h(~x)) = f(h(~x), h(~x)) = F (~x, ~y).
Tak więc macierzą formy kwadratowej gh jest macierz formy dwuliniowej F . Ponadto, F(~x, ~y) = f(h(~x), h(~y)) = f(B~x, B~y) = (B~x)TAB~y= ~xT(BTAB)~y.
Z podanego wzoru wynika, że macierzą formy F , a więc także macierzą formy g, jest iloczyn BTAB.
Zauważmy jeszcze, że zachodzi
Lemat 15.1 Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi o tym samym rozmiarze i B ma liniowo niezależne wiersze, to macierze A, AB, BA oraz BTAB są tego samego rzędu. Wobec tego, macierze kwadratowych form równoważnych są tego samego rzędu. 2
Aby uzasadnić wprowadzone pojęcia, przyjrzyjmy się zbiorom postaci E= {~x : g(~x) = c}.
Takim zbiorem jest
{~x : ~x~x = c},
czyli kula w przestrzeni n wymiarowej. W podobny sposób definiujemy elipsy i elipsoidy. Zbiór {(x1, x2) ∈ R2: x1x2= c},
jest hiperbolą. Oczywiście,
h−1(E) = {~x : g(h(~x)) = c}.
