O przestrzennych frontach fal naprężenia w izotropowym ośrodku sprężystym

I STOSOWANA 1, 17 (1979)

O P RZ ESTRZ EN N YC H  F RON TACH  FAL N APRĘ Ż EN IA W IZOTROPOWYM OŚ ROD KU  SPRĘ Ż YSTYM

EDWARD   W Ł O D A R C Z Y K (WARSZAWA)

1. Wstę p

Oddział ywanie powietrznej fali uderzeniowej n a powierzchnie gruntu, wygenerowanej wybuchem punktowego ł adun ku ją drowego lub klasycznego, moż na sprowadzić do ru-chomego obcią ż enia n orm aln ego, przył oż onego n a koł owej powierzchni, której promień roś nie z upł ywem czasu, ze zmienną  prę dkoś cią  D[r(t)] (rys. 1).

D[r(t)l

Obcią ż enie to generuje z kolei w gruncie odpowiedni ukł ad fal naprę ż eń. Jeś li mechaniczne' wł aś ciwoś ci gruntu zaaproksymować liniowym izotropowym oś rodkiem sprę ż ystym, to otrzymamy ukł ad dwóch frontów fal — front fali podł uż nej, propagują cy się  z prę dkoś cią a i front fali poprzecznej, propagują cy się  z prę dkoś cią  b. Obraz taki otrzymamy przy zał oż eniu, że D[r(t)]^ a [ 1- 4] . D la pozostał ych zakresów prę dkoś ci obraz falowy ulega znacznemu skomplikowaniu i nie bę dziemy go w niniejszej pracy rozpatrywać. P rzypadek D[r(t)] > a wystę puje najczę ś ciej w praktyce inż ynierskiej i dlatego jest nrzed-miotem badań zawartych w niniejszej pracy.

Celem pracy jest podan ie prostej metody okreś lania kształ tów frontów przestrzennych fal naprę ż enia, wygenerowanych ruchomym obcią ż eniem, w oparciu o teorię  optyki geometrycznej.

2. Wyprowadzenie równań na fronty fal naprę ż enia

D la okreś lenia frontów fal naprę ż enia wykorzystamy zasadę  C. V. H uygensa. Zgodnie: z tą  zasadą , każ dy pun kt powierzchni ziemi, do którego dociera front ciś nienia powietrznej; fali uderzeniowej, staje się  ź ródł em elementarnych fal kulistych, rozprzestrzeniają cych;

128 E . WŁ O D AR C Z YK

się  w gł ą b oś rodka, z prę dkoś cią  fal podł uż nych i poprzecznych. Obwiednie wymienionych fal elementarnych tworzą  powierzclmię  poszukiwanych frontów fal podł uż nych i poprzecz-nych (rys. 2).

Przy okreś laniu tych obwiedni bę dziemy korzystać z nastę pują cych oznaczeń (rys. 2) : rp współ rzę dna punktu n a powierzchni pół

przestrzeni, który generuje elementar-ne fale kuliste — podł uż ne i poprzeczne;

r0 promień okrę gu, n a którym przył oż one jest ciś

nienie powietrznej fali uderze-niowej — maksymalny promień zasię gu frontów fal w gruncie, odpowiadają cy chwili /0; M Rys. 2 zs, rs t0 i tp a b

współ rzę dne punktu <S na pł aszczyź nie r, z, który wydziela czę ść kulistą  ob-wiedni;

czasy, po upł ywie których front fali uderzeniowej propagują cy się  wzdł uż powierzchni pół przestrzeni obejmie obszary odpowiednio o promieniu r0 i rp.

prę dkość propagacji fal podł uż nych; prę dkość propagacji fal poprzecznych.

W dalszym cią gu rozważ ań wzory bę dziemy wyprowadzać dla fal podł uż nych. Wzory te zachowują  tę  samą  postać dla fal poprzecznych z tym, że w miejsce a kł adziemy w nich b. W przypadkach, w których wystę pują  istotne róż nice, bę dziemy wypisywać wzory dla obyd-wu rodzajów fal jednocześ nie. Zgodnie z podanym i oznaczeniami, równanie dla elementarnej fali kulistej przyjmuje postać: Róż niczkując równanie (2.1) po parametrze rp m am y: <2.2) ' o

a

 f

" D(r

)

 J

P o wyeliminowaniu z (2.1) i (2.2) param etru rp otrzymalibyś

my w jawnej postaci rów-n amy w jawnej postaci rów-n ie obwiedmy w jawnej postaci rów-ni — fromy w jawnej postaci rów-nt fali (podł uż my w jawnej postaci rów-nej lub poprzeczmy w jawnej postaci rów-nej). Jedmy w jawnej postaci rów-n ak w ogólmy w jawnej postaci rów-nym przypadku zmiany prę dkoś ci D(rp), eliminacja param etru rp jest niemoż liwa i wobec tego wygodniej

TO , 2 ra

di

dla

(2.4)

dla

gdzie:

(2.5)

—

(2.6)

r

 =

Os

dla

^ r < r

(t

), 0 <: z :

,

 D ( 0)

fal podł u ż n ych oraz

it z -(o)

Wyprowadzone wzory obowią zują  dla przypadku, kiedy front fali uderzeniowej po-rusza się  z nadsejsmiczną  prę dkoś cią  tj. d la:

(2.7) - J- O

P rzypadek ten obejmuje praktycznie cał y zakres zagadnień spotykanych w problemach fortyfikacyjnych.

3. Analiza kształ tów frontów fal naprę ż enia

Wprowadzimy nastę pują ce wielkoś ci bezwymiarowe:

K

~ T ' . ~ T '

~ h \

~T'

 ~ h

h =  3.51/ ^= 4.41^, , « §

hz współ rzę dna (w kierunku osi z) pun ktu leż ą cego n a froncie fali naprę ż enia w grun-cie w odległ oś ci re od epicentrum wybuchu (rys. 5);

130 E . WŁ O D AR C Z YK

r

 odległ ość od epicen trum wybuchu m ierzon a n a powierzchn i ziem i.

r

 prom ień okrę gu n a którym prę dkość obcią ż eni

a n a powierzchn i osią ga wartość

prę dkoś c

i fal podł u ż n ych;

q równ oważ n ik trotylowy ł adu n ku ją drowego w t o n a c h ;

q

 0,5 q.

W wielkoś ciach bezwym iarowych (3.1) wzory (2.3 ~ 2.6) przyjmują p o st a ć :

Ro

R =  R

+a(R

) j cc(C)dŚ , R

 < R < R

(3- 2)

  . . .

Z »  ] / l -  <x

(R

) j a(Ś )d£, 0 < z < Z

(3.3) R

+Z

 = Ti, 0 < R =$ R

, Z

^Z^ T

— dla fal podł uż nyc

h . , , •

oraz:

R

«

R =  R„+y

a(R

) /  «(£)di, R

< R < R

(3- 4)  * \

Z =  y\ / l- y

a.

(R

) J o(f)rff, 0 < Z < Z

— dla fal poprzeczn ych,

gdzie: .

R

 =  a(0) T

, Z

 =   i / l - o ^ O ) T

T

, Z

=y)/  l- y*«H0) T

(3.6) *.

T

 =  J u(i)d£, 0^R

^R

- ^ 1 - » J2*

Z podan ych wzorów wyn ika, że kształ ty fron tów fal det erm in owan e są przez funkcję:

(3.7) a(R) =  a/ D(R)

Z godn ie z [5] prę dkość propagacji fali uderzen iowej w powietrzu D zwią zana jest z n

ad-ciś nieniem n a jej froncie n astę pują cy

m wzorem :

+

gdzie:

/ >

 n adciś n ien ie n a froncie fali;

p

 ciś nienie przed fron tem fali;

k wykł adn ik adiabaty dla powietrza;

Jeż el

i przyjąć dla niezaburzonego powietrza:

p

 =  101325 N / m

, g

 =  1,226 kg/ m

, D

 =  340 m/s .

to wzór (3.8) moż na przedstawić w postaci:

(3.9) 'Dix) = 340/ 1 +  8,46•  10- ^p^r) [m/s] •

gdzie p

(r) podstawiamy w N / m

.

Zatem, aby okreś lić D{r), a tym samym i funkcję a(R), należy znać nadciś nienie na

froncie fali p

(r).

Zgodnie z [5], dla wybuchu naziemnego mamy:

m

(r) = [ 1, 06^

(3.10)

(r) =  [ 1 , 0 6 ^^ +  4,3 ( ł ^- jVl4  ( i ^ - ) ] •  98066,5 [N/m

]

gdzie równoważ ni

k q

 należy podstawić w kg.

Wyraż ają

c p

{f) w zmiennych bezwymiarowych (3.1), z (3.7) i (3.9) otrzymamy:

(3.11) a(R) =  a/ 340]/ 1 +  8,46-  10-

/ (i?) '

gdzie:

(3.12)

Dla wybuchu powietrznego wartoś ci nadciś nienia p

(r) podawane są na wykresach

lub w tabelach [5] dla odpowiednich wysokoś ci wybuchu h

.

Ostatecznie kształ ty frontów fal moż na wyrazić analitycznie za pomocą nastę pują cyc

h

wzorów:

R

 <

_°

="T/I

 -  1^

(3.13) Z  = T / I -  1^ - ) F*(R,)I(Ro, R

)l 0 < Z < Z

— dla fal podł uż nych oraz

£^j F(R

)I(R

,

(3.14) Z =

— dla fal poprzecznych

gdzie:

F(R

) = l/ j/ l +  8, 46-

/ (iy

(3.15) ^

I(R

,R

)=

132 E . WŁ O D AR C Z YK N

 Wartoś ci funkcji F(RP) dla wybuchu naziemnego podajemy n a rys. 3.

F unkcję  I(R0, Rp) okreś lamy planimetrują c pole pod krzywą  F(RP) w przedziale Rp- R0.

P o okreś leniu wartoś ci funkcji F(RP) i I(R0, Rp) podstawiamy je do wzorów (3.13) oraz

(3.14) i wyznaczamy z nich współ rzę dne fali naprę ż enia.

Z a pomocą  wyprowadzonych wyż ej wzorów wykonano obliczenia liczbowe. Wybrane wyniki tych obliczeń przedstawiamy n a wykresach (patrz rys. 4a -f-  c). Pokazujemy n a nich

O 5 10 15 20 25 30 35 10 15R Fala podł uż na Fala poprzeczna a =100 [m/ s] O -  aa 3 </  5 6 7 8 S 10 . //  S/ t — Fala podł uż na ~— Fala poprzeczna a =100 [m/ s] RVJ69 Rys. 4b

kształ ty frontów fal podł uż nych i poprzecznych dla prę dkoś ci propagacji zaburzeń a — =  100, 400 i 1000 m/ s, przy dwóch wartoś ciach param etru Ro (dwie chwile czasowe).

Wartoś ci param etrów, dla których wykonano wykresy podajemy n a rysunkach.

Z zamieszczonych wykresów widać, że kształ ty frontów fal dość silnie zależą  od prę d-koś ci propagacji a. D la mał ych wartoś ci a fronty zbliż one są  do linii prostej, poprowadzo-nej p o d ką tem : (3.16) =  arcsin 0.5 Foto podł uż na Fala poprzeczna a = 1000 [m/ s] R.=3.0109 2%'OSRi, Rys. 4c

Ze wzrostem prę dkoś ci a fale robią  się  coraz bardziej wypukł e i aproksymacja takich frontów linią  prostą  poprowadzon ą  pod ką tem 5 prowadzi do kilkudziesię ciu, a w niek-tórych przypadkach nawet do kilkusetprocentowych bł ę dów. Bł ę dy te rosną , wraz ze wzros-tem gł ę bokoś ci wnikania frontu fali naprę ż enia w gł ą b oś rodka.

4. Okreś lenie ką ta padania fali naprę ż enia w gruncie

W konkretnych obliczeniach dynamicznych konstrukcji podziemnych bardzo czę sto potrzebna jest znajomość ką ta padan ia fali w danym punkcie. Ką t ten jednoznacznie m oż na okreś lić za pomocą  ką ta nachylenia stycznej do frontu, nastę pują cym wzorem:

(4.1) =  arcsm —

P raktyczne korzystanie z tego wzoru jest bardzo pracochł onne i ż mudne. D latego, w oparciu o teorię  liniowej optyki, wyprowadzimy bardziej wygodny do stosowania w prak-tyce inż ynierskiej wzór przybliż ony.

Jak wiadomo z optyki geometrycznej, zaburzenia propagują  się  wzdł uż promieni. Jeś li zał oż yć, że n a odcinku re- rp (rys. 5) prę dkość propagacji fali uderzeniowej D =

=  D(rp) sn const, wówczas n a gł ę bokoś ci hz m am y:

r

- r

 ^  a

r,)

 ~ D(r

)

134 E. WŁ O D AR C Z YK lub w formie bezwymiarowej: (4.3) gdzie: (4.4) a "340 =  &(RP, Re, HZ)IF{R.) 0(RP, Re, Hz) = Rys. 5

D la ustalonych wartoś ci a, Re i Hz z (4.3) wyliczamy pierwiastek Rp =  Rp 1

 tego rów-nania. Podstawiają c z kolei Rp =  i?*, do (4.2) znajdujemy poszukiwany ką t padan ia fali.

Wzór (4.2) moż aa stosować dla obiektów typu wykopowego umieszczonych n a mał ych gł ę bokoś ciach.

D la obiektów tunelowych umieszczonych gł ę boko pod ziemią  należy posł ugiwać się wzorem ś cisł ym (4.1).

5. Przykł ad

Okreś limy ką t padan ia sprę ż ystej podł uż nej fali naprę ż enia w zwartej glinie (a = =  1000 m/ s) n a gł ę bokoś ci hz =  50 m, spowodowanej naziemnym wybuchem ją drowym,

w odległ oś ci od epicentrum wybuchu re =  1000 m. M oc wybuchu q = 2 •  10 6

 ton . N a podstawie wymienionych danych, obliczamy nastę pują ce wielkoś ci:

h =  3,5|/ i =  3,

340

2.2676- i?„ ]/ 0,11342

 +  2, 2676- i?p) 2

Pierwiastek speł niają cy równanie (4.3) przy przyję tych danych wynosi: R*o =  2,165

P oszukiwany ką t padan ia fali wynosi:

sin o =  - ^- F(R*o) =  2,9412 •  0,2283 =  0,6715

<5 -  42°11'

6. Wnioski koń cowe

N a podstawie przeprowadzonej w niniejszej pracy analizy propagacji frontów przestrzen-nych fal naprę ż enia w gruncie, wywoł anych dział aniem powietrznej fali uderzeniowej wybuchu ją drowego, m oż na wycią gną ć nastę pują ce wnioski:

1. Stosowana w dotychczasowej literaturze technicznej liniowa aproksymacja frontów fal może być stosowana tylko dla gruntów o mał ej prę dkoś ci propagacji zaburzeń i n a mał ych gł ę bokoś ciach (a < 1000 m/ s, hz < 20 m).

2. N ależy stosować aproksymację  frontów fal linią  ł amaną  (cię ciwami) po uprzednim wyznaczeniu ich wg wzorów ś cisł ych, wyprowadzonych w niniejszej pracy. U nikamy wówczas duż ych bł ę dów (rzę du 100%) przy okreś laniu lokalnego ką ta padania fali, od

którego zależą  w sposób istotny param etry fal odbitych i zał amanych [6, 7].

Literatura cytowana w tekś cie

1. Y. C. F U N G , Foundation of solid mechanics, Prentice- H all, I n c., Englewood Cliffs, N ew Jersey, U .S.A., 1965.

2. F . CH WALCZYK, J. RAF A, E. WŁOD ARCZYK. Propagation of two- dimensional non- stationary pressure

wave in a layer of perfect compresible liquid, P roc. Vibr. P robl. 14, 3, 1973.

3. A.  F

. BATflOEB, npocmpaHcmsembie mcmauuouapnue deuoiceuuH cnnoumoiX cpedu c ybapmwu BOJI-HUMU, H 3fl. AH  ApMHHCKoft C C P , EpeBaH  1901

" 4. X . A. PAXMATyjiHH, J9.  y . CarAToa,  I I . <t>. CABOSAU I, H . I \  <E>njinnnoB, fleyjuepHbie ą adanu no

HeycmanoeusiueMycH deuoiceuuio cotcuMaeubix cped, H 3fl.  „ O A H ' ' y36eKCKOH  C C P , T au iK em —

1969.

5. K>. C . .JIKOBJIEB, FudpodunaMUKa a3pusa, H 3fl. CyflnpoMrM3, Jlemfflrpafl, 1961.

6.  F .  M . ApyiiOHHH,  J I . B. KAP ^EBC KH H , OmpaDicenubie ydapnue eojiuu, MamnH ocTpoeH H e, MocKBa 1973.

C o f l e p > K a H M e

O n P O C T P AH C T BE H H blX <t>POHTAX BOJIH  HAIIPfl)KEHH.H B H 3O T P O I I H O H  YI T P yrO H  CPEflE

B paG oTe BWBefleH H  (Jjopjwyjibi H J W (Jiopiw npocTpancTBeH H tix (J>POHTOB BOH H H an pn wem iH  p a c n p o -crpaH H iomH xcH  B rpyH T e, BBMBaHUbix Ha3eiwHbiM H jia BO3flyniHbiM B3pbiB0M H flepH oro 3a p a «a . floKa-3aHO3 MTO npHiweHHeMaH  flo CHX  n o p annpoKcKMaqH H  STIIX ( p p o m o B OS;HOH njiocKocTtio BefleT K oiira;6KaM

HecKOJibKHx flecflTKOB npoijeH TOB, a B H eKoTopbix ojiyiian x (6ojiBiune CKOpocm pacnpocTpaH eH H H  a rjiy-6oKoe ocHOBaHHe o6i>eKTOB) K oiim6KaM HecKOJibKHx COT npoi;eH TOB.

136 E. WŁODARCZYK

S u m m a r y

ON  SPATIAL F RON TS OF STRESS WAVES I N  ISOTROPIC ELASTIC M ED IU M The formulae have been derived for the shapes of spatial fronts of the stress waves propagating in soil and produced by a surface or air explosion of a nuclear charge. It has been demonstrated that the appro-ximation used so far of those fronts by a single plane leads to tens of per cent errors, and in certain cases (high propagation speeds and deep subsite of structure) — to errors of hundreds of per cent. WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA WARSZAWA