Rozchodzenie się fal sejsmicznych w ośrodku dwuwarstwowym.

GEOFIZYKA STOSOWANA – wykład 4

Rozchodzenie się fal sejsmicznych w ośrodku dwuwarstwowym.

Dwie warstwy

- górna: prędkość fali V_1,’ miąższość h

- dolna: prędkość fali V_2, miąższość nieskończona

Źródło wzbudzenia i detektor drgań umieszczone są na górnej powierzchni pierwszej warstwy w odległości x od siebie.

V

h

V

x

∞

fala bezpośrednia

fala odbita

fala ugięta

źródło detektor

fala bezpośrednia (DIR)

Propaguje po najkrótszej drodze - odcinku linii prostej łączącej źródło z detektorem

h

∞ V

V

x

Czas po jakim fala wzbudzona w chwili t = 0 dotrze do detektora jest równy:

V

t

= x

fala odbita (RFL)

Fala odbita od granicy drugiej warstwy (fala refleksyjna) – przechodzi przez warstwę pierwszą do granicy, po odbiciu ponownie przechodzi przez górną warstwę docierając do detektora:

¾kąt padania równa się kątowi odbicia,

¾drogi do i od granicy odbijającej są sobie równe,

¾punkt odbicia leży pod punktem środkowym odcinka X.

V

V

Czas propagacji jest równy:

x/2 x/2

d h d

x

( )

1

12 2 2

1

2 2

2 4 2

V h x

V x h

t_RFL +

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

=

fala ugięta (RFR)

Fala ugięta na granicy ośrodka drugiego (fala refrakcyjna):

¾przechodzi przez warstwę pierwszą padając na granicę warstwy drugiej pod kątem krytycznym Θ_i ,

¾ulega załamaniu o 90⁰ i porusza się po granicy warstwy drugiej z prędkością V₂,

¾do detektora dociera fala która powstaje na granicy ośrodków w takim punkcie aby jej promień tworzył z normalną do płaszczyzny kąt Θ_i.

V

h

V

x

∞

V

h

V

x

∞

Powstawanie fali czołowej na granicy refrakcyjnej

V

fala czołowa

fala ugięta (refrakcyjna)

Droga fali składa się z trzech odcinków:

odcinka I - o długości przebywanego z prędkością V₁

odcinka II - o długości przebywanego z prędkością V₂

odcinka III - o długości przebywanego z prędkością V₁ ⋅

i

h

Θ

i

h

x Θ

Θ cos

sin

− 2

i

h

Θ

V

V

x

Θ_i Θ_i

II

I III

d

h

d

x –2d

h

2 2 1 2

2 2

2 2 1 2

2 2

2 2

2 1 1

sin 1

cos V

V V

V V V

V V

i i

= −

= −

−

= Θ

−

= Θ

czas przejścia fali od źródła do detektora:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − ⋅ +

⋅

=

i i i

RFR

x h V

h t V

Θ Θ

Θ

sin 2

1 cos

2 1

2 1

po uwzględnieniu wartości cos Θ_i

( )

2 1

12 2 1 2

2 2

2

V V

V V

h V

t_RFR x

⋅ + −

=

co można zapisać jako

0 2

V t t

= x +

Pamiętając, że sin Θ_i = V₁ / V₂ możemy wyrazić cosΘ_i poprzez prędkości fal V₁ i V₂:

Funkcję opisującą zależność czasu dojścia fali do detektora od jego odległości od źródła nazywamy hodografem fali.

Hodograf fali bezpośredniej jest linią prostą o nachyleniu 1/ V₁ przechodzącą przez początek układu :

V

t

= x

Hodograf fali odbitej jest hiperbolą mającą wierzchołek przy odległości x=0 dla której czas propagacji t(0) = 2h / V₁

( )

1 12 2

2 4

V h t_RFL x +

=

Hodograf fali ugiętej jest linią prostą o nachyleniu 1/ V₂ przecinającą oś czasu w punkcie t₀

0 2

V t

t

= x + ( )

2 2 2

2 1 1

12 2 1 2 2 0

1 2 1

2

V h V

V V

V V

t h = −

⋅

= − gdzie

0 t(x)

x DIR

RFR RFL

x_cross x_kr

t₀ 2h/V₁

Powstanie fali ugiętej zachodzi dopiero gdy kąt padania jest równy kątowi krytycznemu więc funkcja t_RFR (x) określona jest dla x ≥ x_{kr .}

12 22

2 1

V V

x_KR hV

= −

Odcinek dla którego 0 ≤ x ≤ x_KR - strefa cienia dla fali refrakcyjnej Hodografy fali bezpośredniej i ugiętej przecinają się dla x = x_cross. Aby obliczyć x_cross przyrównujemy czasy dojścia obu fal.

0 2

1

V t x V

x

+

=

1 2

1 2

2 1

2 2 2

1

2 1

0 2

1 1

1 1

1 2

1 V V

V h V

V V

V h V

V V

x_cross t

−

⋅ +

=

−

−

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

Porównując hodografy tych trzech fal stwierdzimy że:

• ^{dla x < x}

najkrótszy czas propagacji ma fala bezpośrednia i ona rejestrowana jest jako pierwsza.

• ^{dla x = x}

fala bezpośrednia i fala refrakcyjna mają identyczny czas propagacji

• dla x > x

jako pierwsza do detektora dociera fala refrakcyjna

• fala refleksyjna zawsze dociera do detektora dopiero po tych dwóch falach, za wyjątkiem punktu x = x

, do

którego fala odbita i ugięta propagują po tej samej drodze i z taką samą prędkością .

x RFL DIR

RFR

kr x_cross t(x)

0 x

SEJSMIKA REFRAKCYJNA

Sejsmika refrakcyjna to metoda określania budowy ośrodka na podstawie pomiarów czasu propagacji fal ugiętych na powierzchniach granicznych warstw budujących dany ośrodek.

Warunkiem obserwowania fal ugiętych jest wzrost

prędkości fal sejsmicznych z głębokością, gdyż

tylko wtedy może zachodzić zgodnie z prawem

Snelliusa ugięcie o kąt 90

na granicy warstw

różniących się prędkością fal.

A. Ośrodek z jedną granicą uginającą zalegającą poziomo.

Czas przejścia fali ugiętej ze źródła do odbiornika odległego o „x”:

( )

V i h V

x V

i h

V x V

V

V V

h V

t x

= + = Θ + Θ Θ =

⋅ + −

=

1 1

1 2

2 1

12 2 1 2

2 2

cos 2

sin cos

2 2

Punkt przecięcia przedłużenia linii hodografu fali refrakcyjnej z osią czasu dla x = 0 oblicza się ze wzoru:

( )

2 1

12 2 1 2

2 0

2

V V

V V

t h

⋅

= −

Wyznaczając hodograf fali refrakcyjnej w wyniku pomiarów możemy wykorzystać go do wyliczenia głębokości zalegania granicy refrakcyjnej oraz prędkości fali w warstwie granicznej.

V₁

V₂ h

x t(x)

G

PW G G G G G G G

Δt

Δx

Δx

Δt

Prędkość fali w warstwie przypowierzchniowej:

1 1

1

t

V x

Δ

= Δ

Prędkość fali w warstwie drugiej (graniczna):

2 2

2

t

V x

Δ

= Δ

t

głębokość zalegania granicy:

(

)

2 2

0 2

1

2 V V t V h V

−

= ⋅

B. Ośrodek trójwarstwowy z dwoma granicami refrakcyjnymi zalegającymi poziomo.

PW G

V₁

V₂

V₃

Θ₁ Θ₁

Θ₂ Θ₂

3

2 2

1 1

2 2

2 1

1

1

2 2

cos 2 cos

2

V

tg h tg

h x

V

h V

t h Θ Θ

Θ Θ

− + −

+

=

h₂ h₁

Θ₂ Θ₂

Czas dojścia fali ugiętej na dolnej granicy refrakcyjnej:

Wartość kątów Θ₁ i Θ₂ możemy obliczyć z prawa Snelliusa:

( )

2 1 2

1

2 2 2

3 2 2

12 2 2

2 3

2 2

sin sin

sin 1

cos sin

V V

V V

tg V V

V

Θ = Θ

= − Θ Θ

−

= Θ

= Θ

2 1 2

3 1 1

3 2 1 2

3 1

3 1 2

1 3

2 2

1 2 1

cos

sin sin

V V

tg V V

V V

V V V

V V

V V

V

= −

− Θ

= Θ

=

⋅

=

⋅ Θ

=

skąd:

Θ

3 1 1

sin V

= V Θ

3 2 2

sin V

= V

Θ

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ −

+

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − ⋅

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − ⋅

+

=

2 2 2 2

2 2 1

2 1 1

1 1 3

2 3

2 2

2 1 2

3 1 1

1 1 3

cos sin cos

1 2

cos sin cos

1 2

cos 1 2

cos 1 2

Θ Θ Θ

Θ Θ Θ

Θ Θ Θ Θ

V h V

h V

x

V tg V V

tg h V

V V

h V

t x

Wzór na hodograf fali ugiętej na dolnej warstwie

Θ Θ Θ Θ

Θ Θ

Θ

Θ cos ^cos

cos cos

sin 1

cos sin cos

1

=

− =

=

−

więc:

2

2 2

1

1 1

3

cos 2

cos 2

V h V

h V

t x Θ

Θ + +

=

Jest to równanie prostej o nachyleniu 1/V₃ , przecinającej oś czasu dla x = 0 w punkcie:

2

2 2

1

1 1

02 01

cos 2

cos 2

V h V

t h t

t

Θ

Θ +

= +

=

Porównanie hodografu fali ugiętej na dolnej granicy refrakcyjnej z hodografem fali ugiętej na górnej granicy.

( )

( )

3 2

22 32

2 3

1

12 32

1 3

2 1

12 22

1 2

1 1 2

2 2

cos 2 2

V V

V V

h V

V

V V

h V

t x

V V

V V

h V

x V

i h

V t x

d g

+ − + −

=

+ −

= +

=

3 2

22 32

2 3

1

12 32

1 2

1

12 22

1 3

2

2 2

2

V V

V V

h V

V

V V

h V

V

V V

h V

x V

x −

− −

− −

=

−

współrzędna punktu do którego obie fale docierają równocześnie:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

− −

− −

= −

3 2

22 32

2 3

1

12 32

1 2

1

12 22

1 2 3

3

2 2

' V V

V V

h V

V

V V

h V

V

V V

h V V

V x _cross V

Dla x>x’_cros jako pierwsza do odbiornika dociera fala ugięta na granicy dolnej

t

0 x

t

t(x)

Δx

Δx

Δx

Δt

Δt

Δt

1 1

1 t

V x

Δ

= Δ

2 2

2 t

V x

Δ

= Δ

3 3

3 t

V x

Δ

= Δ

x_cross x’_cross

3 1 arcsin 1

V

= V Θ

3 2 2 arcsin

V

= V Θ

1 01 1 1

cos

2 Θ

t h = V

( )

2 01 02

2 22cosΘ t t

h = V −

Interpretacja hodografów refrakcyjnych dla układu trzech warstw z poziomymi granicami

C. Ośrodek wielowarstwowy z granicami refrakcyjnymi zalegającymi poziomo.

Rozważania przeprowadzone dla ośrodka trójwarstwowego możemy uogólnić na ośrodek wielowarstwowy.

Hodograf fali ugiętej na granicy n-tej warstwy opisuje wzór:

∑

=

+

=

1

cos 2

n

i i

i i

n

n V

h V

t x

Θ

Zarejestrowany hodograf dla całego odcinka x będzie się składał z odcinków o malejącym nachyleniu równym 1/V_i a ich przedłużenia dla x = 0 będą wyznaczały czasy t_0i. Możemy więc wyznaczać V_i i h_i kolejno analogicznie jak w przypadku trójwarstwowym.

x t(x)

t₀₁ t₀₂ t₀₃

t_{04 i}

i

i t

V x

Δ

= Δ

( )

i i i

i i

t t

h V

Θ cos 2

1 , 0 ,

0

−

=

n i

i V

arcsinV Θ =

D. Ośrodek dwuwarstwowy – granica płaska, nachylona

h

V

V

x h

∞ δ <

i i

α β

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 1

1 2 1

1

cos

cos V

tg h tg

h x

V h V

t h α β

β α

− + −

+

=

Równanie hodografu:

Nachylenie hodografu fali ugiętej nie jest w tym przypadku równe 1/ V₂ lecz 1/ V_2p, gdzie V_2p nazywamy prędkością pozorną.

δ

S G

h₁ h₂

i+δ i-δ

( ^δ )

α = i +

( ^δ )

β = i −

( ^δ )

α = i −

( ^δ )

β = i +

δ

i+δ S

h₁

h₂ i-δ

G

( ) ( ) ( )

1 2

1 1

1

cos cos

sin

V i h

V i h

V i

t⁺ = x +

δ

δ

δ

hodograf fali propagującej „pod upad” granicy

hodograf fali propagującej „z upadem” granicy

( ) ( ) ( )

1 2

1 1

1

cos cos

sin

V i h

V i h

V i

t⁻ = x −δ + −δ + +δ

Hodografy t⁺ i t^- mają nachylenie oraz czasy t₀ równe:

( ) ( ( ) ( ) )

( ^δ ) ( ( ^δ ) ( ^δ ) )

δ δ δ

+ +

−

− =

=

− +

+ + =

=

−

−

−

+ +

+

i h

i V h

V t i t V

i h

i V h

V t i t V

P P

cos 1 cos

sin : 1

cos 1 cos

sin : 1

2 1

1 0

1

2 1

1 0

1

dla małych kątów upadu można przyjąć h₁ ≈ h₂ = h, skąd:

( )

( )

1 1

1 1

cos cos

2 sin

cos cos

2 sin

V i h

V i t x

V i h

V i t x

δ δ

δ δ

− +

=

+ +

=

− +

1 1

0

cos 2

cos cos

2

V i z

V i

t

=

δ =

i wyrazić t₀ poprzez „z”:

h z z h δ

δ z = h cos δ

Aby określić położenie granicy oraz rzeczywistą prędkość graniczną należy wykonać pomiary dla przebiegu fali w obu kierunkach zamieniając ze sobą miejscami punkt wzbudzenia i punkt odbioru. Jest to metoda „hodografów zbieżnych”.

δ

V₁ T_W

t^-(x) t⁺(x)

T_W

W₂ x Δt^-

Δx⁺

Δx₁

Δt⁺

Δx₂

Δt₁ Δt₂

V₁

V₂ Δx^-

t₀^- t₀⁺

Ponieważ czas przebiegu fali z W₁ do W₂ musi być taki sam jak z W₂ do W₁ więc hodograf t⁺(W₂) = t^-(W₁) = T_W Z wykresu wyznaczamy:

2 1 2

1 1 1

t V x

t

V _A x _B

Δ Δ Δ

Δ =

=

2

1 1

1

V

V

V +

−

=

−

− +

+

+ = =

t V x

t

V_P x _P

Δ Δ Δ

Δ ,

( )

( )

−

−

+ +

=

− −

=

=

⇔ +

= +

V i V

V i V

V i V

V i V

P P

1 1

1 1

arcsin sin

1

arcsin sin

1

δ δ δ δ

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

=

− +

− +

2 1 2

1

2 1 2

1

arcsin arcsin

2 1

arcsin arcsin

2 1

V V V

V

V V V

i V

δ

δ

cos cos

2

0 1 1

i t h V

= +

δ cos cos

2

0 2 1

i t h V

= −

i V V

sin

2

=

t₀⁺ t₀^-

E. Ośrodek wielowarstwowy o nachylonych granicach

Równanie hodografu dla promienia ugiętego pod kątem 90⁰ na granicy n-tego ośrodka:

( )

∑

=

+ +

=

1 1

1

cos cos

sin

i i

i i

i

n

V

h V

t x β α β

V_i – prędkość fali w i-tej warstwie

h_i – miąższość i-tej warstwy pod punktem wzbudzenia

α_i – kąt jaki w i-tej warstwie tworzy z pionem promień fali propagującej w dół β_i– kąt jaki w i-tej warstwie tworzy z pionem promień fali propagującej w górę

A B

i

n-1 1

V_n-1 V_n V_i V₁

α_i β_i

α_n-1 β_n-1

δ_i –kąt upadu i-tej warstwy θ_i – arcsin (V₁/ V_i)

warstwa zapada w kierunku od A do B warstwa wznosi się w kierunku od A do B

i i

i

θ δ

α = + β

= θ

− δ

i i

i

θ δ

α = − β

= θ

+ δ

F. Granica refrakcyjna z uskokiem

W przypadku gdy granica refrakcyjna przecięta jest uskokiem o zrzucie Δz na hodografie obserwujemy przesunięcie równoległe części hodografu.

t₀₂ t₀₁

V₁

V₂ Δz

ΔT = t₀₂ - t₀₁

h

Δz << h

12 22

2 1

V V

V T V

z

≅ Δ −

Δ

Metody badania przebiegu płaskich granic refrakcyjnych

I. Metoda hodografów zbieżnych

S₂

C

D S₁

Metoda hodografów zbieżnych pozwala na wyznaczenie przebiegu granicy na odcinku CD.

Głębokość granicy pod S1 i S2 wyznacza się ekstrapolując przebieg granicy poza odcinek CD

II. Metoda hodografów rozbieżnych

G_kL

C

S

G_kP

D E

F

Polega ona na pomiarach czasu dojścia fali do punktów położonych po obu stronach centralnego punktu wzbudzenia.

Parametry granicy uginającej wyznacza się, podobnie jak dla hodografów zbieżnych, z równań obu gałęzi hodografu.

Metoda hodografów rozbieżnych

pozwala na wyznaczenie przebiegu granicy na odcinku CD

i EF. Głębokość granicy pod S wyznacza się interpolując przebieg granicy na odcinku DE

.

III. Metoda hodografów nabieżnych

W metodzie tej zestaw punkt wzbudzenia – geofony przesuwa się w całości o stały krok Δx.

t₀₁ t₀₂

δ

( )

1 1

cos sin 2

V

i z

V

i

t

x + +

= δ

z₁

z₂ Gdy granica jest nachylona

wówczas czasy t_0j dla każdego hodografu będą różne.

Gdy granica nie jest nachylona wówczas czasy t_0j dla każdego hodografu będą takie same.

1 0

cos 2

V i t _j = z^j

Równanie j-tego hodografu:

z₂ – z₁ = Δxsinδ Δx

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + − −

=

⋅

=

−

=

1 1

1 01

02

sin cos sin

sin

2 V

i V

x i V i

t x t

t Δ δ Δ δ δ

Δ

Interpretacja hodografów nabieżnych

( )

= +

+

Vp

V

i 1

sin

1

δ

( )

= −

−

Vp

V

i 1

sin

1

δ

+

− −

=

p

p V

x V

t 1 1

Δ Z hodografów odczytujemy: Δ

−

Vp

1

t₀₁ t₀₂

i obliczamy:

x t

Δ

Δ

x t V

V

Δ

− Δ

=

+

1 1

oraz

Dalsza interpretacja przebiega jak w metodzie hodografów zbieżnych

Ciągłe profilowanie refrakcyjne

Aby uzyskać hodograf na odcinku wielokrotnie przekraczającym długość rozstawu pomiarowego stosujemy metodykę podobną jak w metodzie hodografów nabieżnych.

Przemieszczamy cały zestaw pomiarowy o odcinek Δx tak by kilka ostatnich geofonów na odcinku poprzednim stały się początkowymi geofonami na odcinku następnym.

S₁

S₂ G₁ G₂ G_k G₁ G₂ G_n-k G_n

G_n-k G_n

S₃ G₁ G₂ G_k G_n-k G_n

Δx Δx

G_k

Uzyskujemy serię hodografów. Dla każdego kolejnego hodografu wyliczamy poprawkę na podstawie czasów pierwszych wejść w powtarzających się punktach.^Δt_i

(

)

poprawka dla i-tego hodografu:

_∑ [ ( ) ]

=

+ +

−

−

=

j

i j i

j K n

i

t t

t K

1

1

Δ

K- liczba geofonów pokrywających się na sąsiednich odcinkach H₂

H₁ H₃ H₄ H_p

t^-(x)

x

Czasy dla poszczególnych hodografów modyfikujemy dodając kolejne poprawki:

( ) ( ) ^{( )} ( ) ∑

=

Δ +

=

1 i

j i

i

popr

x t x tj

t

Otrzymujemy w rezultacie zbiorczy hodograf t_popr(x) dla całego profilu

H₂ H₁

H₃

H₄

H_p t^-(x)

x

Wykonując pomiary w kierunku odwrotnym otrzymujemy dwa długodystansowe hodografy zbieżne.

t^-(x)

x

Hodografy te można interpretować dla granic płaskich jak i niepłaskich