Metoda Sił - kratownica - przykład 1

P=12kN

P=12kN

3

3

3

4

Stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy

3

3

3

4

D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K 2 K4 K5 3 8 2 14 5 2 = + − ⋅ = − + = l l w n_{s r p}

Układ trzykrotnie statycznie niewyznaczalny

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego D1 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅

D1 D2 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

D1 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

D1 D2 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

D1 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

D1 D2 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

D1 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

D1 D2 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

D1 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

D1 D2 D3 G1 G2 G3

S1 S2 S3 K1 K3

K₂ K₄ K₅

Dobór schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

X1 X1 X2 X2 X3 D1 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 8 , 0 5 / 4 sinα = =

A

B

C

D

E

F

G

H

X1=1

X1=1

3

4

6 , 0 5 / 3 cosα = = dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1

A

B

C

D

E

F

G

H

X1=1

X1=1

0,6

0,8

0,6

0,8

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 C D E F G H X1=1 X1=1 A B dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 C D E F G H X1=1 X1=1 A B

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 B X1=1 G1 S1 0 cos 1 1+ ⋅ = =

∑

R_x G X α 6 , 0 6 , 0 1 cos 1 1= −X ⋅ α =− ⋅ =− G 0 sin 1 1− ⋅ = − =

∑

R_y S X α 8 , 0 8 , 0 1 sin 1 1= −X ⋅ α = − ⋅ = − S C D E F G H 0,6 0,8 X1=1 X1=1 A B dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 0 cos 1 1− ⋅ = − =

∑

R_x G K α 1 6 , 0 / ) 6 , 0 ( cos / 1 1=−G α = − − = K 0 sin 1 2− ⋅ = − =

∑

R_y S K α 8 , 0 8 , 0 1 sin 1 2= −K ⋅ α = − ⋅ =− S C K1 G1=-0,6 S2 C D E F G H 0,6 0,8 1,0 0,8 X1=1 X1=1 A B 0 cos 1 1− ⋅ = − =

∑

R_x G K α 1 6 , 0 / ) 6 , 0 ( cos / 1 1= −G α = − − = K

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 0 cos 1 1+ ⋅ = =

∑

R_x D K α 6 , 0 cos 1 1= −K α = − D 0 8 , 0 8 , 0 sin 1 1+ ⋅ =− + = =

∑

R_y S K α C D E F G H 0,6 0,8 1,0 0,8 X1=1 X1=1 A B A K1=1,0 S1=-0,8 D1 dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X1=1 C D E F G H 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6 X1=1 X1=1 A B D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K2 K3 K4 K5 D1 D2 Pręt N1 -0,6 0,0 0,0 -0,6 0,0 0,0 -0,8 -0,8 0,0 1,0 1,0 0,0 0,0 0,0

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 X2=1 X2=1 A B C D E F G H dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 A B C D E F G H 0,6 0,8 0,6 0,8 X2=1 X2=1

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 A B C D E F G H X2=1 X2=1 dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 X2=1 C G1 G2 S2 K1 8 , 0 8 , 0 1 sin 2 2 = −X ⋅ α = − ⋅ = − S 0 cos 2 2+ ⋅ = =

∑

R_x G X α 6 , 0 6 , 0 1 cos 2 2= −X ⋅ α = − ⋅ = − G 0 sin 2 2− ⋅ = − =

∑

R_y S X α E F G H 0,6 0,8 X2=1 X2=1 A B C D

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 8 , 0 8 , 0 1 sin 2 3= −X ⋅ α = − ⋅ = − S 0 sin 2 3+ ⋅ = =

∑

R_y S X α 0 cos 2 2− ⋅ = − =

∑

R_x D X α 6 , 0 6 , 0 1 cos 2 2 = −X α = − ⋅ =− D X2=1 G D2 D3 S3 X2=1 X2=1 A B C D E F G H 0,6 0,8 0,8 0,6 dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X2=1 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K2 K3 K4 K5 D1 D2 Pręt N2 0,0 -0,6 0,0 0,0 -0,6 0,0 0,0 -0,8 -0,8 0,0 0,0 1,0 1,0 0,0 X2=1 X2=1 A B C D E F G H 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X3=1 A B C D E F G H X3=1 dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X3=1 A B C D E F G H X3=1 1

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ X3=1 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K2 K3 K4 K5 D1 D2 Pręt N3 -1,0 -1,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 A B C D E F G H X3=1 1 1,0 1,0 1,0 dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn A B C D E F G H P=12kN P=12kN

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn 0 4 9 12 3 12⋅ + ⋅ − ⋅ = =

∑

MA HE kN H_E =144/4=36 kN H H H H R_X = _A − _E =0→ _A = _E =36

∑

kN V V R_Y = _A −12−12=0→ _A = 24

∑

A B C D E F G H H=36 P=12kN P=12kN H=36 V=24 A A E

3

3

3

4

dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn A B C D E F G H H=36 P=12kN P=12kN H=36 V=24 A A E

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn A B C D E F G H H=36 P=12kN P=12kN 36 H=36 V=24 A A E dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn F P=12kN D3 K 5 0 sin 5 12+ = − =

∑

R_Y K α kN K5=12/sinα =12/0,8=15 0 cos 5 3− = − =

∑

R_x D K α 9 6 , 0 15 cos 5 3= −K α =− ⋅ = − D A B C D E F G H H=36 9 P=12kN P=12kN 1₅ 36 H=36 V=24 A A E

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn F P=12kN D3 K 5 0 sin 5 12+ = − =

∑

R_Y K α kN K5=12/sinα =12/0,8=15 0 cos 5 3− = − =

∑

R_x D K α 9 6 , 0 15 cos 5 3= −K α =− ⋅ = − D A B C D E F G H H=36 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 36 H=36 V=24 A A E dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn F P=12kN D3 K 5 0 sin 5 12+ = − =

∑

R_Y K α kN K5=12/sinα =12/0,8=15 0 cos 5 3− = − =

∑

R_x D K α 9 6 , 0 15 cos 5 3= −K α =− ⋅ = − D A B C D E F G H H=36 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 36 H=36 15 V=24 A A E

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn 0 cos 5 3 cos 3 2− + + = − =

∑

R_x G K α G K α D K 5₌ 1₅ G2 G3=-36 K3= -15 α α cos 5 3 cos 3 2 K G K G =− + + 18 6 , 0 15 36 6 , 0 ) 15 ( 2= − − ⋅ − + ⋅ = − G A B C D E F G H H=36 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 18 36 H=36 15 V=24 A A E dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn 0 sin 2+ ₃ = =

∑

R_y S K α 12 8 , 0 ) 15 ( sin 3 2= −K α = − − ⋅ = S 0 cos 3 2 1+ + = − =

∑

R_x D D K α A B C D E F G H H=36 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 18 36 H=36 15 V=24 A A E H D1 D2=-9 S2 18 6 , 0 15 9 cos 3 2 1= D +K α = − − ⋅ = − D

Wykresy jednostkowe D1 D2 D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn 0 sin 2+ ₃ = =

∑

R_y S K α 12 8 , 0 ) 15 ( sin 3 2= −K α = − − ⋅ = S 0 cos 3 2 1+ + = − =

∑

R_x D D K α H D1 D2=-9 S2 18 6 , 0 15 9 cos 3 2 1= D +K α = − − ⋅ = − D A B C D E F G H H=36 18 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 18 36 H=36 15 12 V=24 A A E dr in_ż. Hanna Weber

Wykresy jednostkowe G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K3 K₂ K₄ K₅ Obc. zewn D3 G1 G2 G3 S1 S2 S3 K1 K2 K3 K4 K5 D1 D2 Pręt N0 -18 -9 -9 0 -18 -36 0 12 0 -30 0 -15 0 15 A B C D E F G H H=36 18 9 9 P=12kN P=12kN 1₅ 18 36 H=36 15 12 30 V=24 A A E

Obliczenia w tabeli d11=17,28/EA 0 0 0 5/EA 5/EA 0 2,56/EA 2,56/EA 0 0 1,08/EA 0 0 1,08/EA N1*N1*L/EA d12=2,56/EA 0 0 0 0 0 0 2,56/EA 0 0 0 0 0 0 0 N1*N2*L/EA d13=1,8/EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,8/EA N1*N3*L/EA d10=-156/EA 0 15 0 0 0 5/EA K5 0 0 0 1 0 5/EA K4 0 -15 0 1 0 5/EA K3 0 0 0 0 1 5/EA K2 -150/EA -30 0 0 1 5/EA K1 0 0 0 -0,8 0 4/EA S3 -38,4/EA 12 0 -0,8 -0,8 4/EA S2 0 0 0 0 -0,8 4/EA S1 0 -36 0 0 0 3/EA G3 0 -18 0 -0,6 0 3/EA G2 0 0 0 0 -0,6 3/EA G1 0 -9 -1 0 0 3/EA D3 0 -9 -1 -0,6 0 3/EA D2 32,4/EA -18 -1 0 -0,6 3/EA D1 N1*N0*L/EA N0 N3 N2 N1 L/EA Pręt

Obliczenia w tabeli d33=9/EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3/EA 3/EA 3/EA N3*N3*L/EA d22=17,28/EA 0 5/EA 5/EA 0 0 2,56/EA 2,56/EA 0 0 1,08/EA 0 0 1,08/EA 0 N2*N2*L/EA d23=1,8/EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,8/EA 0 N2*N3*L/EA d20=-64,8/EA 0 0 -75/EA 0 0 0 -38,4/EA 0 0 32,4/EA 0 0 16,2/EA 0 N2*N0*L/EA d30=108/EA 0 15 0 0 0 5/EA K5 0 0 0 1 0 5/EA K4 0 -15 0 1 0 5/EA K3 0 0 0 0 1 5/EA K2 0 -30 0 0 1 5/EA K1 0 0 0 -0,8 0 4/EA S3 0 12 0 -0,8 -0,8 4/EA S2 0 0 0 0 -0,8 4/EA S1 0 -36 0 0 0 3/EA G3 0 -18 0 -0,6 0 3/EA G2 0 0 0 0 -0,6 3/EA G1 27/EA -9 -1 0 0 3/EA D3 27/EA -9 -1 -0,6 0 3/EA D2 54/EA -18 -1 0 -0,6 3/EA D1 N3*N0*L/EA N0 N3 N2 N1 L/EA Pręt

Wyznaczenie nadliczbowych Układ równań metody sił:

0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 30 33 32 31 20 23 22 21 10 13 12 11 = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

X X X X X X X X X 0 108 3 9 2 8 , 1 1 8 , 1 0 8 , 64 3 8 , 1 2 28 , 17 1 56 , 2 0 156 3 8 , 1 2 56 , 2 1 28 , 17 = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ EA X EA X EA X EA EA X EA X EA X EA EA X EA X EA X EA

Podstawiając wyliczone wcześniej wartości otrzymujemy:

Rozwiązanie układu równań:

kN X kN X kN X 76 , 14 3 81 , 3 2 00 , 10 1 − = = = dr in_ż. Hanna Weber

Wyznaczenie ostatecznych wartości sił normalnych dla układu statycznie niewyznaczalnego 0 1 1 0 0 -0,8 -0,8 0 0 -0,6 0 0 -0,6 0 N2 0 0 0 1 1 0 -0,8 -0,8 0 0 -0,6 0 0 -0,6 N1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 N3 15 0 -15 0 -30 0 12 0 -36 -18 0 -9 -9 -18 N0 15 0 0 0 5/EA K5 3,81 0 3,81 0 5/EA K4 -11,19 0 3,81 0 5/EA K3 10 0 0 10 5/EA K2 -20 0 0 10 5/EA K1 -3,04 0 -3,04 0 4/EA S3 0,96 0 -3,04 -8 4/EA S2 -8 0 0 -8 4/EA S1 -36 0 0 0 3/EA G3 -20,28 0 -2,28 0 3/EA G2 -6 0 0 -6 3/EA G1 5,76 14,76 0 0 3/EA D3 3,48 14,76 -2,28 0 3/EA D2 -9,24 14,76 0 -6 3/EA D1 N=N1*X1+N2*X2+N3*X3+N0 X3*N3 X2*N2 X1*N1 L/EA Pręt

Wyznaczenie ostatecznych wartości sił normalnych dla układu statycznie niewyznaczalnego 15 K5 3,81 K4 -11,19 K3 10 K2 -20 K1 -3,04 S3 0,96 S2 -8 S1 -36 G3 -20,28 G2 -6 G1 5,76 D3 3,48 D2 -9,24 D1 N [kN] Pręt X1=10kN; X2=3,81kN; X3=-14,76kN 9,24 3,48 5,76 P=12kN P=12kN 15 20,28 36 11,1 9 0,96 20 6 8 _3,04 10 3,81

N

[kN]

dr in_ż. Hanna Weber