10. 2. RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ PROSTYCH
Równoległość i prostopadłość prostych
k
:
y
=
a
kx
+
b
kl
:
y
=
a
lx
+
b
l Warunek równoległości prostych l k
l
║k
⇔
a
k=
a
lProste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe
Warunek prostopadłości prost
ychl k
l
┴k
⇔
l ka
a
=
−
1
• Proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne
Przykład 10.2.1. WskaŜ pary prostych równoległych i prostych prostopadłych
k:
5
x
−
y
=
0
0
3
2
:
x
+
y
+
=
l
0
4
2
:
y
−
x
+
=
m
0
2
2
,
0
6
,
0
:
x
+
y
−
=
n
0
1
2
,
1
4
,
0
:
y
+
x
+
=
o
0
4
5
:
y
+
x
−
=
p
Rozwiązanie
Komentarz
k:
5
x
−
y
=
0
( )
x
y
x
y
5
1
:
/
5
=
−
−
=
−
0
3
2
:
x
+
y
+
=
l
2
3
2
1
2
:
/
3
2
−
−
=
−
−
=
x
y
x
y
KaŜde równanie doprowadzamy do postaci kierunkowej wyznaczając y.
0
4
2
:
y
−
x
+
=
m
y
=
2
x
−
4
0
2
2
,
0
6
,
0
:
x
+
y
−
=
n
10
3
2
,
0
:
/
2
6
,
0
2
,
0
+
−
=
+
−
=
x
y
x
y
0
1
2
,
1
4
,
0
:
y
+
x
+
=
o
5
,
2
3
4
,
0
:
/
1
2
,
1
4
,
0
−
−
=
−
−
=
x
y
x
y
0
4
5
:
y
+
x
−
=
p
y
=
−
5
x
+
4
n
║ o ,boa
n=
−
3
,
a
o=
−
3
Porównując współczynniki kierunkowe prostych wyznaczamy pary prostych równoległychProste n i o są równoległe, bo ich współczynniki kierunkowe są równe
l
┴m ,bo
,
2
2
1
=
−
=
m la
a
Porównując współczynniki kierunkowe prostych wyznaczamy pary prostych prostopadłych.
Proste l i m są prostopadłe , bo ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne.
Przykład 10.2.2. Napisz równanie prostej
l
równoległej do prostej
k
:
y
=
3
x
−
5
i przechodzącej przez punkt
A
=
(
4
,
5
)
.
Rozwiązanie
Komentarz
b
ax
y
l
:
=
+
Wyznaczamy równanie prostej l w postaci kierunkowej.l
║k
⇒
a
=
3
Wyznaczamy współczynnik a,wykorzystując to, Ŝe proste są równoległe, zatem ich współczynniki kierunkowe są równe.
)
5
,
4
(
=
A
b
A
l
∈
⇒
5
=
3
⋅
4
+
7
5
12
12
5
−
=
−
=
−
+
=
b
b
b
Wyznaczamy współczynnik b,wykorzystując, to, Ŝe punkt
A
=
(
4
,
5
)
, zatem jego współrzędne spełniają równanie prostej l7
3
:
y
=
x
−
Przykład 10.2.3.
Napisz równanie prostej
l
prostopadłej do prostej
k
:
−
x
+
3
y
−
6
=
0
i przechodzącej przez punkt
P
=
(
−
1
,
4
)
.
Rozwiązanie
Komentarz
0
6
3
:
−
x
+
y
−
=
k
2
3
1
3
:
/
6
3
+
=
+
=
x
y
x
y
Doprowadzamy równanie prostej k do postaci kierunkowej.
b
ax
y
l
:
=
+
Wyznaczamy równanie prostej l w postaci kierunkowej.
l
┴k
3
3
1
1
=
−
−
=
⇒
a
Wyznaczamy współczynnik a,wykorzystując to, Ŝe proste są prostopadłe, zatem ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne
.
)
4
,
1
(
−
=
P
( )
b
P
l
∈
⇒
4
=
−
3
⋅
−
1
+
1
4
3
3
4
=
−
=
−
+
=
b
b
b
Wyznaczamy współczynnik b,wykorzystując, to, Ŝe punkt
P
=
(
−
1
,
4
)
, zatem jego współrzędne spełniają równanie prostej l1
3
:
y
=
−
x
+
l
Zapisujemy równanie prostej lPrzykład 10.2.4. Podaj wartości współczynników m , dla których proste :
l
:
mx
−
3
y
+
4
=
0
i
k
:
2
x
−
y
+
1
=
0
są prostopadłe.
Rozwiązanie
Komentarz
0
4
3
:
mx
−
y
+
=
l
( )
3
4
3
3
:
/
4
3
+
=
−
−
−
=
−
x
m
y
mx
y
0
1
2
:
x
−
y
+
=
k
( )
1
2
1
:
/
1
2
+
=
−
−
−
=
−
x
y
x
y
Proste doprowadzamy do postaci kierunkowej.
l
┴k
2
1
3
=
−
⇒
m
5
,
1
2
:
/
3
2
2
6
3
6
6
/
2
1
3
−
=
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
m
m
m
m
Układamy równanie z niewiadomą m , wykorzystując prostopadłość prostych. Współczynniki prostych l i k są przeciwne i odwrotne.
Ć
WICZENIA
Ćwiczenie 10.2.1. (3pkt.)
Napisz równanie prostej
l
prostopadłej do prostej
k
:
y
=
−
2
x
+
5
i przechodzącej przez punkt
P
=
(
3
,
2
)
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie współczynnika kierunkowego a.
1
2 Podanie współczynnika b.
1
3 Podanie równania prostej l.
1
Ćwiczenie 10.2.2. (3pkt.) Napisz równanie prostej
l
równoległej do prostej
k
:
y
=
−
2
x
+
1
i przechodzącej przez punkt
A
=
(
−
1
,
5
)
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie współczynnika kierunkowego a.
1
2 Podanie współczynnika b.
1
3 Podanie równania prostej l.
1
Ćwiczenie 10.2.3. (3pkt.) Podaj wartości współczynników m , dla których proste :
0
4
=
+
−
y
mx
i
−
3
x
+
y
+
1
=
0
są równoległe.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie pierwszej prostej w postaci kierunkowej.
