Wykad 4

Wykład IV

Przypomnienie: f'(𝑥₀ ) = lim 𝑕→0 f(𝑥₀+ 𝑕) − f(𝑥₀ ) 𝑕 lub f'(𝑥) = lim 𝑥→𝑥0 f(𝑥) − f(𝑥₀ ) 𝑥 − 𝑥0 ∀𝛼, 𝛽𝜖ℝ 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝛽 𝑔 𝑥 ′_{= 𝛼𝑓}′ _{𝑥 + 𝛽𝑔}′_(𝑥) 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 ′_{= 𝑓}′ _{𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 + 𝑔}′ _{𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)} 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓 ′ _{𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑔}′ _{𝑥 𝑓(𝑥)} 𝑔(𝑥) 2 Dowód: 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔 𝑥 ′_{= lim} 𝑕→0 𝑓 𝑥 + 𝑕 𝑔 𝑥 + 𝑕 − 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑕 = lim 𝑕→0 𝑓 𝑥 + 𝑕 𝑔 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑕 + 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑕 = lim 𝑕→0 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑕 + 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑕 − 𝑔 𝑥 𝑕 = 𝑓′ _{𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔}′ _{𝑥 𝑓 𝑥}

Twierdzenie 4.1 (o pochodnej funkcji złożonej) 𝑓 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑥₀ 𝑔 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑦₀ = 𝑓(𝑥₀) 𝑍: 𝑓: 𝑈 → 𝑉; 𝑔: 𝑉 → 𝑊 ; 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥₀ ; 𝑉 ∈ 𝑜𝑡 𝑦₀ ; 𝑦₀ = 𝑓 𝑥₀ 𝑇: 1° 𝑔 ∘ 𝑓 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑥₀ 2° 𝑔 ∘ 𝑓 ′_(𝑥 0) = 𝑔 𝑦0 ′ ∙ 𝑓′ 𝑥0 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔[𝑓 𝑥 ]

Dowód lim 𝑕→0 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥₀ − 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥₀) 𝑕 = lim𝑕→0 𝑔{[𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑔[𝑓(𝑥) 𝑕 = lim 𝑕→0 𝑔 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑔[𝑓 𝑥₀ ] 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓(𝑥₀) ∙ 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓(𝑥₀) 𝑕 = lim 𝑦→𝑦0 𝑔 𝑦 − 𝑔 𝑦₀ 𝑦 − 𝑦0 ∗ lim𝑕→0 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓(𝑥₀) 𝑕 = 𝑔′ 𝑦0 ∙ 𝑓′ 𝑥0 ∧ 𝑦0 = 𝑓(𝑥₀) Uzasadnienie: Jeżeli: 𝑓 𝑥0+ 𝑕 = 𝑦 To 𝑕 → 0 ⇒ 𝑦 ⟶ 𝑦0 Inaczej 𝑓 𝑢 𝑥 ′ _{= f}′ _{u ∘ u}′ _x 𝑢 = 𝑢(𝑥) Przykład 4.1 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 4 _{2𝑥 + 5} 𝑈₁: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 𝑈₂: 𝑦 → 𝑧 = sin⁡(𝑦) 𝑈₃: 𝑧 → 𝑡 = z4_{+ 5} 𝑈₄: 𝑡 → 𝑝 = 𝑡3 𝑔′ _{𝑥 = 𝑢}3 ′ _{= 𝑢}1₃ ′ ₌ 1 3 𝑠𝑖𝑛3 4 _{2𝑥 + 5}∙ 𝑠𝑖𝑛 4 _{2𝑥 + 5} ′ = 1 3 𝑠𝑖𝑛3 4 _{2𝑥 + 5}∙ 4𝑠𝑖𝑛3 2𝑥 ∙ sin 2𝑥 ′ = 1 3 𝑠𝑖𝑛3 4 _{2𝑥 + 5}∙ 4𝑠𝑖𝑛3(2𝑥) ∙ cos 2𝑥 ∙ 2

Twierdzenie 4.2 (pochodna funkcji odwrotnej) 𝑍: 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑦0 , 𝑉 ∈ 𝑜𝑡 𝑥0 , 𝑓: 𝑈 → 𝑉 − 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓−1_{: 𝑉 → 𝑈 − 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑜𝑑𝑤𝑟𝑜𝑡𝑛𝑎 𝑑𝑜 𝑓} f – różniczkowalna w 𝑦₀ 𝑇: 1° 𝑓−1_{− 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑥} 0 2° 𝑓−1 ′ _𝑥 0 = 1 𝑓′_(𝑦 0) ⋀ 𝑦0 = 𝑓 −1_(𝑥 0) Przykład 4.2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ −𝜋 2 𝜋 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ′ ₌ 1 𝑡𝑔 𝑦 ′ = 1 1 𝑐𝑜𝑠2 _𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 𝑐𝑜𝑠2 _{𝑦 + 𝑠𝑖𝑛}2 _𝑦 = 1 1 + 𝑡𝑔2 _𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ′ ₌ 1 1 + 𝑡𝑔2_{[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ]}= 1 1 + 𝑥2 Definicja 4.1 (różniczka) 𝑓: 𝑈 → 𝑅 ; 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥₀ 𝑥0+ 𝑕 ∈ 𝑈 [𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓 𝑥₀ = 𝐴 ∙ 𝑕 + 𝑟(𝑥₀, 𝑕) 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 lim 𝑕→0 𝑟(𝑥0,𝑕) 𝑕 = 0 𝑡𝑜𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 𝑗𝑒𝑠𝑡 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑐𝑖𝑒 𝑥0 i odwzorowanie 𝑕 → 𝐴 ∙ 𝑕 𝑛𝑎𝑧𝑦𝑤𝑎𝑚𝑦 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘ą 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑤𝑥0, 𝑜𝑧𝑛𝑎𝑐𝑧𝑎𝑚𝑦 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑧 𝑑𝑓(𝑥0) Różniczka funkcji jest to część liniowa przyrostu pod warunkiem, że nieliniowa reszta jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż h.

Czyli:

𝑑𝑓 𝑥 : 𝑕 → 𝐴 ∙ 𝑕 = 𝑑𝑓 𝑥₀ (𝑕) Twierdzenie 4.3 ( o postaci różniczki)

𝐽𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑓 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑤 𝑥₀, 𝑡𝑜 ∀ 𝑕 ∈ 𝑅 𝑑𝑓 𝑥₀ 𝑕 = 𝑓′_(𝑥 0) ∙ 𝑕

Wniosek:

𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓 𝑥₀ = 𝑑𝑓 𝑥₀ 𝑕 + 𝑕 ∙ 𝜀 𝑕 ozn𝑟 𝑥0,𝑕

𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓 𝑥₀ ≈ 𝑑𝑓 𝑥₀ 𝑕 𝑑𝑥: 𝑕 → 𝑕 − 𝑗𝑒ś𝑙𝑖 𝑡𝑎𝑘 𝑜𝑧𝑛𝑎𝑐𝑧𝑦𝑚𝑦 𝑑𝑓 𝑥₀ = 𝑓′ _𝑥 0 ∙ 𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑎 𝑧𝑢𝑝𝑒ł𝑛𝑎 Pochodne wyższych rzędów 𝑓: 𝑈 → 𝑅, 𝑓 − 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑧𝑘𝑜𝑤𝑎𝑙𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑈 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑖𝑎ł 𝑜𝑡𝑤𝑎𝑟𝑡𝑦 𝑡𝑧𝑛. ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑓′_(𝑥) 𝑛𝑖𝑒𝑐𝑕 𝑥0 ∈ 𝑈 Definicja 4.2 f’ – różniczkowalna w 𝑥₀ 𝑓′′ _𝑥 0 = 𝑓′ ′ 𝑥0 ≔ lim _𝑕→0 f'(𝑥₀+ 𝑕) − f'(𝑥₀ ) 𝑕 ⟹ 𝑓′′ 𝑥 = [𝑓′ 𝑥 ]′ 𝑍𝑎𝑘ł𝑎𝑑𝑎𝑚𝑦 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑓′′ _{𝑥 , 𝑓}′′ _{𝑥 , … 𝑓}(𝑛−1)_(x) Wówczas: 𝑓𝑛 _{𝑥 ≔ [𝑓}(𝑛−1)_(x)]’ Zastosowania 𝑍: 𝑓𝜖 𝐶 𝑎,𝑏 , 𝑓𝜖 𝐷 𝑎,𝑏 ∃𝑥0𝜖(𝑎,𝑏)𝑓 𝑥0 = max 𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]∨ 𝑓 𝑥0 = min 𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑁𝑖𝑒𝑐𝑕 𝑓 𝑥₀ =max 𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∎𝐷𝑙𝑎 𝑕 < 0 𝑓 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥0+ 𝑕 − 𝑓 𝑥0 < 0 𝑓 𝑥0+ 𝑕 − 𝑓 𝑥0 𝑕 > 0 ⟹ lim𝑕→0− 𝑓 𝑥0+ 𝑕 − 𝑓 𝑥0 𝑕 ≥ 0 ∎𝐷𝑙𝑎 𝑕 > 0 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓 𝑥₀ 𝑕 < 0 ⟹ lim𝑕→0− 𝑓 𝑥₀+ 𝑕 − 𝑓 𝑥₀ 𝑕 ≤ 0 ∎𝑧 𝑧𝑎ł. ∃ lim 𝑕→𝐷 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥) 𝑕 = 𝑓′(𝑥0) 𝑓′ _𝑥 0 = 0

Twierdzenie 4.4 (Rolle’a) 𝑍: 𝑓𝜖𝐶 _{𝑎,𝑏 ,} 𝑓𝜖𝐷 _{𝑎,𝑏 ,} 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 𝑇: ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓′ _{𝑐 = 0} 1° ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⟹ ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓′ _{𝑥 = 0 ⟹ ∃ 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓}′ _{𝑐 = 0} 2° 𝑓 𝑥 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⟹ ∃ 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑐 = _{𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ∨ 𝑓}max 𝑓(𝑎) 𝑐 =_{𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)} min 𝑓(𝑎) 𝐿.4.1 ∃ 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓′ _{𝑐 = 0}

Twierdzenie 4.5 (Cauchy’ ego) 𝑍: 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶_[𝑎,𝑏], 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷 𝑎,𝑏 ,_{𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑔(𝑥) ≠0} ∀ 𝑇: _{𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏)} ∃ 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎) = 𝑓′_(𝑐) 𝑔′ _𝑐 D: z załozeń ⟹ 𝑔 ↗ ∨ 𝑔 ↘ ⟹ 𝑔 𝑏 ≠ 𝑔(𝑎) Φ 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎)− [𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑎 ] → 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 𝑎,𝑏 ⟹ Φ ∈ 𝐶[𝑎,𝑏 ] 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝑎,𝑏) ⟹ Φ ∈ 𝐷(𝑎,𝑏) Φ 𝑎 = 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎) 𝑔 𝑎 − 𝑔 𝑎 = 𝑓(𝑎) Φ 𝑏 = 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎) 𝑔 𝑏 − 𝑔 𝑎 = 𝑓(𝑎) Są spełnione założenia Tw. Rolle’a czyli _{𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 Φ}∃ ′ _{𝑐 = 0 ⟺} ∃

𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)𝑔 𝑏 −𝑔(𝑎)∙ 𝑔′ _{𝑐 = 𝑓}′ _{𝑐 ⇔ 𝑇𝑒𝑧𝑎}

Twierdzenie 4.6 (tw. Lagrange’a ) 𝑍: 𝑓 ∈ 𝐶 _𝑎,𝑏 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷 _𝑎,𝑏 𝑇: _{𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏)}∃ 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)_{𝑏 − 𝑎} = 𝑓′_(𝑐)

Dowód twierdzenia jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenie Cauchy’ego dla g(x)=x Jeżeli wprowadzimy oznaczenia: 𝑎 = 𝑥₀, 𝑏 = 𝑥₀+ 𝑕, 𝑕 > 0 to z twierdzenia Lagrange’a otrzymamy:

T:

∃

0 < 𝜃 < 1

𝑓 𝑥₀+𝑕 −𝑓(𝑥₀) 𝑕

= 𝑓

′

_(𝑥

0

+ 𝜃𝑕)

Twierdzenie 4.7 (del’Hospitala) 𝑍: 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷𝑈, 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥0 , _{𝑥 ∈ 𝑈\{𝑥}∀ 0} 𝑔 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑔 ′ _{𝑥 ≠ 0 ∃ lim} 𝑥→𝑥0 𝑓′_(𝑥) 𝑔′_(𝑥) lim 𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 0 lim 𝑥→𝑥0𝑔 𝑥 = 0 ∨ 𝑥→𝑥 lim0𝑓 𝑥 = ∞ lim 𝑥→𝑥0𝑔 𝑥 = ∞ 𝐶𝑜 𝑚𝑜ż𝑒𝑚𝑦 𝑧𝑎𝑝𝑖𝑠𝑎ć 𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒𝑚 𝑛𝑖𝑒𝑜𝑧𝑛𝑎𝑐𝑧𝑜𝑛𝑦𝑚 0 0 ∨ ∞ ∞ 𝑇: ∃ lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑥0 𝑓′_(𝑥) 𝑔′_(𝑥) 𝐷: 0

0 f,g spełniają wszystkie założenia Cauchy’ego lim 𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓 𝑥0 = 0 lim 𝑥→𝑥0𝑔 𝑥 = 0 ⟹ 𝑔 𝑥0 = 0 ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥₀ 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥0 Na podstawie Tw 4.5 ∃ 𝑐 𝑝𝑜𝑚𝑖𝑒𝑑𝑧𝑦 𝑥₀, 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓′ _𝑐 𝑔′ _𝑐 𝑥 → 𝑥0 ∧ 𝑐 𝑝𝑜𝑚𝑖ę𝑑𝑧𝑦 𝑥, 𝑥0 ⟹ 𝑐 → 𝑥0 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑐→𝑥0 𝑓′ _𝑐 𝑔′ _𝑐 ⇒ lim _𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓′ _𝑥 𝑔′ _𝑥 Uwaga !

Przykład 4.3 lim 𝑥→1 1 − 𝑥 𝑡𝑔 𝜋𝑥 2 = lim𝑥→1 1 − 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝜋𝑥₂ 0 0 = 𝐻 lim 𝑥→1 −1 −1 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥₂ ∙ 𝜋2 = 2 𝜋 lim 𝑥→1 1 − 𝑥 𝑥 − 1− 1 ln 𝑥 = lim𝑥→1 ln 𝑥 − 𝑥 + 1 (𝑥 − 1) ln 𝑥 0 0 = 𝐻 lim 𝑥→1 1 𝑥 − 1 ln 𝑥 + (𝑥 − 1) ∙ 1𝑥 = lim 𝑥→1 −𝑥 + 1 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 − 1 0 0 = 𝐻 lim 𝑥→1 −1 ln 𝑥 + 𝑥 ∙ 1𝑥 + 1 = − 1 2 lim 𝑥→0+𝑥 3 4 + ln 𝑥 ∞ ∞ = 𝐻 lim 𝑥→0+ 3 ∙ 1𝑥 1 𝑥 = 3