Fragen der Kursstabi1itit
und Steuerfähigkeit
von Schiffen
Von Dr.-Ing. des. M. Sehuilechen, Berlin1. Einleitung - 2. Impulssatz - 3. Volumenkräfte - 4. Oberflächenkräfte 5. Bewegungegleichung -6. Linearisierung- 7. Lösungen - 8. Zusammenfassung - 9. Einzelheiten - 10. Formelzeichen
-11. Schrifttum.
1. Eiiuleituiig
Auf allen Gebieten der Technik setzt wirksames Steuern,Automatisieren und Simulieren korn-plexer Prozeßabläufe genaue Kenntnisse der Dynamik derverschiedensten Vorgänge voraus. Von
Bedeutung sind dabei letztlich nicht Einzelheiten der Systeme, in denen die Vorgänge ablaufen,
sondern nur gewisse charakteristische Größen und Funktionen, die die
dynamischen Wirkungen
aller Systemparameter integral zum Ausdruck bringen. Es interessierenrationelle Begriffssche-mata, die reale Vorgänge sowohl qualitativ als auch quantitativ zu beschreiben gestatten, d. h. die operativer Interpretation fähig sind und Abschätzungen der Wirkungen verschiedener
Ein-flußgrößen ermöglichen. Hier sol! ein solches Schema für die Beschreibung der KinetikSchiffen oder allgemeiner von Körpern in Flüssigkeiten nebst von
ihren Anwendungen behandelt
werden.
Von dem Schema ist zu fordern, daß es für beliebige
Bewegungen beliebiger Körper in beliebi-gen Flüssigkeiten gilt ; selbstverständlich soli es mit den Prinzipiender Mechanik in Einklang ste-hen. Diese Forderungen sind einer großen Zahl von notwendigen Bedingungen äquivalent, denen
das Schema von vornherein genügen muß, wenn es überhaupt brauchbar sein soll. Trotz der
offensichtlichen Bedeutung dieser Bedingungen, sind sie bisher im Sinne der modernen rationellen
Mechanik nicht streng abgeleitet worden. Einen Versuch zur umfassenden axiomatisehen
Dar-stellung dieser Bedingungen habe ich in meiner Dissertation
unternommen {1]. Für die praktische Systemanalyse ist die möglichst vollständige Kenntnis aller notwendigenStrukturen des Schemas einfach unerläßlich.
Den Prinzipien der Ökonomie und logischen Klarheit wird traditionell durch eine Formalisie-rung der Begriffsschemata Genüge getan. Für die Behandlung der hier zu betrachtenden Bewe-gungen starrer Körper bietet sich ein Kalkül
an, den R. y. Mises bereits 1924 entwickelt [2] und
erprobt hat [3], der jedoch
inzwischen anscheinend keine Anwendung mehr gefundenhat. Wäh-rend y. Mises durchgehend eine symbolische Schreibweiseverwendete, empfiehlt sich heute
eine
Matrizendarstellung, die dem analytischen
Tensorkalkül nachgebildet ist und bei der mit
Matri-zen operiert wird, deren Elemente Tensoren sind
Damit möglichst einfach über den Kalkül gesprochen werden kann, werden hier traditionelle Bezeichnungen nicht immer in ihrer üblichen Bedeutung, sondern in sinngemäßer Erweite-rung benutzt. So wird z. B. statt von Matrizen generalisierter Kräfte kurz von generalisierten Kräften oder einfach von Kräften gesprochen, die als ,,Crbervektoren", y. Mises sprach von ,Motoren", in einem sechsdimensionalcn
Raum aufgefaßt werden. Ganz Entsprechendes gilt für
Geschwindigkeiten, Trägheiten, Impulse und andere Größen. Durch die Namen soll
zum
Aus-druck gebracht werden, daß physikalische Ganzheiten betrachtet werden, mit denen so ähnlich umzugehen ist wie mit den bekannten
Kräften, Geschwindigkeiten, Trägheiten, Impulsen etc., auf
deren Tensorcharakter auchnicht jedesmal besonders hingewiesen wird, der vielmehr
an den hier unterdrückten Operationsindizesunmittelbar abgelesen werden
kann; s. 9.1.
Wer den Umgang mit Matrizen nicht gewöhnt ist, kann sie sich einfach als geordneteSchemata, sozusagen Tabellen aller zusammengehörigen
Größen, vorstellen. Die Einzelheiten des Kalküls sind
für das Verständnis der folgendenAusführungen unwesentlich.
Es genügt daher hier auch eine
abgekürzte Schreibweise, die der y. Misesschen sehr ähnlich ist.
Die hier vorgelegte Arbeit wurde durchgeführt mitfinanzieller Unterstützmig der Deutschen Forschungsgemeinschaft und des Office of Naval Research, denen ich an dieser Stelleherzlich
*
2. Impuissatz
Zur quantitativen Beschreibung der Bewegungen eines starren, nicht notwendig homogenen Körpers (k) in einem eukiidisehen Beobaehtungsraum (b) dient die Anderungsgeschwindigkeit der Bewegungsquantitat oder des (gerieralisierten) Impulses G(kb) von (k) in (b) bezüglich der g
absoluten Zeit infolge der Oberflächenkrüfte E(kb) und der Volumenkräfte F(kb) auf (k) in (b);
explizit
+() = E(kb) + P(kb), (2.!)
wenn die Komponenten aller Größen auf ein im Beobachtungsraum ruhendes kartesisches Koor-dinatensystem .+ bezogen werden.
Dieser Fundamentalansatz für die Impulsänderungen ist nichts anderes als die exakte
Beschrei-bung des allgemeinen Systemmodells, nach dem eiiie in Systemgrenzen gespeicherte Quantität nur durch Flüsse über die Systemgrenzen oder Quellen innerhalb der Systemgrenzen geändert werden kann. Werden der generalisierte Impuls und die generalisierten Kräfte als Matrizen mit dem Impuls und dem Impuismoment bzw. den Kräften und Kraftxnoinenten als Elementen
interpretiert, so stellt der Fundamentalansatz offenbar eine zusammenfassende Schreibweise oder
ein ,,Stenogramm" für die Ansätze von Newton und Euler dar.
Werden die Komponenten aller Größen in dem Ansatz (2.1) auf ein körperfestes Bezugssystem
fy statt auf ein raumfestes System i+ bezogen, dann geht der Ansatz in die Form
0(kb) ± (eG(kb)) V(kb) E(kb) + F(kb) (2.2)
über, wobei V(kb) die Bewegung oder (generalisierte) Geschwindigkeit des Körpers (k) im Raum (b)
bezeichnet, die als Matrix mit der Geschwindigkeit des Koordinatenursprungs und der
Winkel-geschwindigkeit des Körpers als vektoriellen Komponenten interpretiert werden kann. Der
Ope-rator e entspricht dem OpeOpe-rator des Tensorkalküls; er vermittelt das Vektorprodukt von tJber-vektoren; s. 9.2. In Anlehnung an den Vektorkalkül setzte y. Mises daher auch ein Kreuz als
Multiplikationssymbol.
Nach dom Ansatz (2.2) setzt sich die totale Änderungsgeschwindigkeit des Impulses zusammen
aus der Änderungsgeschwindigkeit bezüglich des körperfesten Bezugssystems und der Ande-rungsgeschwindigkeit infolge der Bewegung des Bezugssystems. Gyroskopische Terme sind aus der Kreiseltheorie bekannt; die antisymmetrische Größe
B(kb) = = - B'(kb) (2.3)
stellt einen Blindaustausch des Impulses zwischen den Freiheitsgraden dar, der keine Arbeits-leistung erfordert.
Die extensive Bewegungsgröße G(kb) ist mit der intensiven Bewegungsgröße V(kb) durch die
Impulskapazität T, die traditionell als Trägheit bezeichnet wird, verknüpft:
= T(k) V(kb). (2.4)
Offenbar ist die Trägheit, hier die Matrix mit den Tensoren der ersten Trägheitsmomente als Elementen, eine Eigenschaft des Körpers, nämlich seiner Massenverteilung, über die aprio-ri nichts bekannt ist, außer, daß sie für starre Körper definitionsgemäß hinsichtlich eines
körper-festen Bezugssystems zeitlich unveränderlich ist:
T(k) = 0. (2.5)
(Aus diesem Grunde Einführung des körperfesten Bezugssystems!).
Werden die Beziehungen (2.4) und (2.5) in den Ansatz (2.2) eingeführt, so ergibt sich als Bewe-gungsgleichung eines starren Körpers (k) in einem Beobachtungsraum (b)
T(k)(kb) + (eT(k)) V(kb)V(kb) = Ew + F(kb), (2.6)
d. h. eine generalisierte Form der Eulerschen Kreiselgleichung, die bereits y. Mises benutzt hat [2J. Aus dem nichtlinearen Term linker Hand kann die Trägheit nicht ,,ausgeklammert" und
damit auch keine (generalisierte) ,,Beschleunigung" definiert werden; s. 9.1. Die
Bewegungskom-ponenten sind nichtholonome Geschwindigkeitsparameter, die sich prinzipiell nicht als zeitliche
Ableitungen von Lagegrößen darstellen lassen.
Auf spezielle Eigenschaften der Körperträgheit braucht hier nicht näher eingegangen zu wer-den, sie können als hinreichend bekannt vorausgesetzt werden. Es genügt, für das Folgende die
Symmetrie der Trägheit
320 Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
Ir'
(k) (k)festzustellen; antisymmetrische Trägheitskomponenten sind prinzipiell nicht nachweisbar, da
Fragen der Kursstabilität und Steuerfahigkeitvon Schiffen 321
Aus bekannten Bewegungen unter der Wirkung bekannter Kräfte kann die Trägheit mit Hilfe der Gi. (2.6) bestimmt werden. Da die sechs Komponentengleichungen für jeden Bewegungs'zu-stand gelten, genügt für die Bestimmung der im allgemeinen 21 unabhängigen
Trägheitskompo-nenten die Kenntnis von vier unabhängigen Bewegungszuständen nebst den erzwingenden Kraf t-zuständen. Als Bezugspunkt (Koordinatenursprung) für die Momente kann jeder beliebige körper-feste Punkt gewählt werden. Der Massenmittelpunkt des Körpers ist von vornherein nicht bekannt und nimmt in dem Kalkül keine ausgezeichnete Stellung ein, so daß seine traditionelle
Bevorzu-gung, vor allem auch in Hinblick auf das Folgende, nicht gerechtfertigterscheint. 3. Volumenkrälte
Die auf einen Körper (k) im Beobachtungsraum (b)wirkenden Volumenkräfte F(kb) können im wesentlichen zwei Ursachen haben, nämlich Gravitationsfelder kia) und Bewegungen (ba) des Beobachtungsraumes (b) gegenüber einem absoluten Raum (a). Von elektrischen und ma-gnetischen Effekten kann in diesem Zusammenhangabgesehen werden. Das Kraftgesetz für den
ersten Teil lautet in dem hauptsächlich interessierenden Teil gleichförmiger, konstanter
Gravi-tationsfelder
1(ka) = - '(k)k(a). (3.1)
Für den zweiten Teil folgt aus der Aufspaltung
G(ka) G(kb) + Gtha) (3.2) des Impulses G(ka) des Körpers (k) im absoluten Raum(a) iii einen relativen und in einen Füli-rungsanteil und der entsprechenden totalen Anderungsgeschwindigkeit
G*(ka) = G*(kb) + (e G*(kb)) V*(ba) + G*(ba),
(3.3)
wobei zunächst alle Größen auf ein im absoluten Raum (a) ruhendes Koordinatensystem
c'
bezogen sind, nach tTbergang zu einem imBeobachtungsraum (b) ruhenden Bezugssystem +
1'(ab) = - 2 (e G(kb)) V(ba) - [G(ba) + (e G(ba)) V(ba)]. (3.4
Wird noch die absolute Geschwindigkeit des Körpers(k)
V(ka) = V(kb) + V(ba) (3.5)
eingeführt, so lautet das gesuchte Kraftgesetz endgültig in körperfesten Koordinaten
F(ab) 2(e G(kb)) V(ba) [0(ka) + (e 0(ba)) V(ka)].
(3.6)
Die Gesetze (3.4) und (3.6) sind offenbar Verallgemeinerungen des Theorems von Coriolis; werden die Bewegungen nicht in einem absoluten Raum betrachtet, so sind außer der Schwer-kraft noch zwei Volumenkräfte wirksam, nämlich die CoriolisSchwer-kraft und die FührungsSchwer-kraft. Ent-sprechende Beschleunigungen" lassen sich im allgemeinen wiederum nicht definieren.
Aus der Verknüpfung
F(kb) = F(ka) + F(ab) (3.7)
ergibt sich jetzt das vollständige Gesetz für die auf einen Körper (k) in einem Beobachtungs-raum (b) wirkenden Volurnenkräfte in der Form
'(kb) = T(k)k(a) - 2(eT(k)) V(ba)V(kb) - [T(k)''(ba) + (eT(k)) V(ka) V(ja)],
(3.8) wenn die Beziehungen (3.1), (3.6) und (2.4) eingeführt werden.Die Volumenkraft ist also außer von dein Gravitationsfeld und den verschiedenen Bewegungen nur von der Körperträgheit abhän-gig. Es ist in diesem Zusammenhang ausdrücklich anzumerken, daß die Komponenten aller Grö-ßen auf ein körperfestes Bezugssystem zu beziehen sind, ein System, dessen Lage von vornherein
unbekannt ist, dessen Bewegungen ja erst bestimmt werden sollen. Die hierdurch entstehenden
Schwierigkeiten sollen im Rahmen dieser allgemeinen Überlegungen nicht näher erörtert werden
[4]. In den meisten praktischen Fällen dürftensie sich bei fortschreitender Rechnung von selbst
lösen.
4. Oberflächenkräfte
Die Oberflächenkräfte E(kb) auf einen Körper (k) im Beobachtungsraum (b) können die
ver-schiedensten Ursachen haben. Hier interessiererì vor allem die Kräfte E(kf), die von einer im
Beobachtungsraum (b) im allgemeinen ruhenden, unendlich ausgedehnten Flüssigkeit (f) auf den Körper (k) ausgeübt werden. Die Restkräfte E(i1) sind von Fall zu Fall gesondert zu untersuchen:
E(kb) = E(kr) + E(k1). (4.1)
322 Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
Da Bewegungen der Flüssigkeiten (f) nur infolge von Körperbewegungen auftreten, kann die
Flüssigkeit ihrerseits als ein System mit sechs Freiheitsgraden angesehen werden. Aus dem
Fun-damentalansatz
(fb) 11(rb) = '(fb) + F(fb) (4.2)
für die Impulsänderungen der Flüssigkeit ergibt sich sodann unter Beachtung des Wechseiwir-kungsaxioms
sogleich im körperfesten System
=
F(fb) - [G(rb) + (e G(rb)) V(kb)] + D(rb), (4.4)d. h. die Oberflächenkrafte werden durch die Volumenkräfte auf die Flüssigkeit und Impuls-änderungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit ausgedrückt. Der Impuisfiuß D(b) repräsentiert dabei die Reaktion der irreversiblen Impulsänderungen der Flüssigkeit,die sich nicht als
Anderurigs-geschwindigkeit einer Zustandsgröße darstellen lassen.
Werden hier der Einfachheit halber inkrompressiblc Flüssigkeiten mit konstanter Dichte betrachtet, so kann das Gesetz für die Volumenkräf te F(f b) nach dem vorhergehenden
unmittel-bar in der Form
F(rb) T(v)k(a) + 2 (eT()) V(ba)V(Jb) + [T(V)$øa) + (eT()) V(ka)V(ba)] (4.5)
angeschrieben werden, wenn T() die im folgenden als unveränderlich vorausgesetzte Trägheit der Verdrängungsverteilung (y) bezeichnet. Die wirksame Volumenkraft ist gleich der Differenz der
Volumenkräfte auf die den Körper umgebende Flüssigkeit und auf die ganze unendliche Flüs-sigkeit, wenn kein Körper vorhanden wäre.
Werden weiterhin der Einfachheit halber quasistationäre Zustandsänderungen betrachtet, so können für den Impuls und die Dämpfungskraft die Ansätze
=
T(f)V(kb) (4.6)und
D(rb)
= -
P(r)V(kb)V(kb) (4.7) gemacht werden; vgl. dazu 9.4. Die hydrodynamische Trägheit T(r> und die hydrodynamischeDämpfung P(r) sind dabei als Eigenschaften der Oberfläche des Körpers (k) in der Flüssigkeit (f)
anzusehen, für die von vornherein nur die Symmetiiebedingung
T() T'() (4.8)
und eine entsprechende Bedingung für die dreidimensionale Matrix P(f) postuliert werden. Im übrigen müssen die Größen wie die Körperträgheit aus Messungen ermittelt werden. Werden die hydrodynamischen Parameter als normiert angesehen, wie es im folgenden stets geschehen soll, dann sind sie nur noch Funktionen der Àhnliclìkeitsparameter der Strömung, z. B. der
Reynolds-Zahl, bei Anwesenheit freier Oberflächen, der Froude-Zahl und der Geschwindigkeits-verhältnisse.
Es gibt auch äquivalente Formen der Dämpfung, die andere oder keine Symmetrien aufweisen.
Die Zahl der unabhängigen Komponenten übersteigt jedoch in keinem Fall 126. Wird beachtet, daß die Dissipationsleistung stets positiv ist:
so müssen die Vorzeichen der Dämpfungskomponenten aufs engste mit den Vorzeichen der Bewe-gungskomponenten verknüpft sein. Diese Tatsache wird bei der Darstellung von
Versuchsergeb-nissen nicht immer beachtet. So findet man kubische Interpolationsparabeln für Meßwerte, die sinnvoller durch Parabeln vom Typ
sign . (4.10)
zu approximieren wären ,5], [6].
Wird im folgenden noch mit bereichsweiser Unabhängigkeit der hydrodynamischen Trägheit
und Dämpfung von der Bewegung gerechnet, so ergibt sich das vollständige Gesetz für die Ober-flächenkräfte E(kb) auf einen Körper (k) in einer Flüssigkeit (f) nach Gi. (4.1) mit dem Ansatz (4.4)
und den Gesetzen (4.5) bis (4.7) in der Form
=
rj + 2 (eT()) V(ba)V(kb) + [T(v>''(ba) + (eT()) V(ka)V(ba) J+ T(r)''(kb) + (eT(r)
+
1(f)) V(kb)V(kb) + 1(kr) (4.11)= -
E(kf) (4.3)Fragen der Ktusstabilität und Steuerfahigkeitvon Schiffen 323 Zu den Oberflächenrestkräften E(kr) gehören entsprechend dem Ansatz
z. B. etwaige Einflüsse der Vorgeschichte der Bewegung, s. 9. 4, kurzweilige Eigenbewegungen in der Flüssigkeit,
Halte-und Fesseikräfte etc., etc.
5. Bewegungsgleichuiig
Werden die bisher ermittelten Kraftgesetze (3.8) und (4.11) in den Impulssatz (2.6) eingeführt,
so ergibt sich die allgemeine Bewegungsgleichungfür starre Körper in inkompressiblen
Flüssig-keiten. Der Körper (k) und dieFlüssigkeit (f) werden dabei zweckmäßig
als Gesamtsystem (s) der Trägheit
rf(
T(k) + T() (5.1)
angesehen, das der Scheindämpfung
It(a) rj( 1)()
(5.2)
unterliegt. Wird ferner noch die Volumenrestkraft
F(kr) '(kb) + F(fb).
(5.3)
d. h.
F(kr) - T(d)k(a) _ 2 (eT(d)) V(ba)V(kb) {T(ci)''(ba) + eT(d) V(ka)V(ba)J (5.4)
mit der Schwere
T(d) T(k) T() (5.5)
eingeführt, so lautet die Bewegungsgleichung
T(8)(kb + lt(a)V(kb)V(kb) E(kr) + F(kr), (5.6)
d. h. es ergibt sich eine nichtlineare Differentialgleichung für die Bewegungen
des Körpers (k)
gegenüber der Flüssigkeit (f) unter der Wirkung von wohldefiniertenRestkräften. Bewegt sich die Flüssigkeit insgesamt noch gegenüberdem Raum (a) mit der absoluten
Geschwindigkeit V(ba),
°
ergibt sich die absolute Geschwindigkeit des Körpers (k) im Raum (a) entsprechend der Gl. (3.5)
V(ka) V(kb) + V(ba) ; (5.7)
s. 9.1.
Die Bedeutung dieses Gleichungssystems liegt auf der Hand. In den meisten praktischen Fällen interessieren nicht Lösungen des vollständigen Systems, vielmehr Lösungen für verhältnismäßig spezielle Probleme. Vollständige und widerspruchsfreie Näherungsgleichungen
können nun aber jederzeit ohne Schwierigkeit dafürhergeleitet werden. Hier sollen
nur einige interessante Fälle
skizziert werden. Vorweg dazu zwei allgemeine Bemerkungen.
Sind bestimmte Freiheitsgrade des Körpers gefesselt, so bleibt das Gleichungssystem in der
Matrizenschreibweise völlig unverändert,es brauchen nur die entsprechenden Freiheitsgrade als nicht existent angesehen zu werden; vgl. z. B. 9.5. Werden die entsprechendenGleichungen nicht
unterdrückt, so ergeben sich auch die auftretenden Fesseikräfte. Weiterhinsoll bemerkt werden, daß es gleichgültig ist, ob die Gleichungen als Größengleichungen oder, nach entsprechender
Normierung aller Komponenten, als Zahiengleichungen angesehen werden. Werden die
Gleichun-gen als GrößengleichunGleichun-gen benutzt, dann ist nur zu beachten, daß die verschiedenenElemeute der Matrizen im allgemeinen auch verschiedene Dimensionen haben.
Schwierigkeiten
ent-stehen dadurch nicht; durch den Kalkülwerden diese Fragen wie Vorzeiehenfragen automatisch richtig erledigt, und zwar durch die Stellung der Komponenten in denMatrizen.
Es soll nun zum Beispiel ein Verdrängungskörper betrachtet werden,dessen Trägheit der Träg-heit seiner Verdrängung gleichist, d. h. für den die Schwere verschwindet:
T(d) = 0, (5.8)
und damit auch die Volunìenrestkraft verschwindet:
F(kr) = 0. (5.9)
Dieser Körper bewegt sich in derFlüssigkeit schwerelos, d. h. als ob überhaupt keine
Volumen-kräfte wirksam wären» In diesemscheinbar trivialen Fall, der praktisch
häufig zumindest
ange-nähert vorliegt, wird es möglich, verwickelte Probleme in besonders übersichtlicher Weise zu
lösen.
Wird z. B. in zusätzlicher Näherung davon ausgegangen, daß die Ansätze auch noch gelten
wenn gar nicht die ganze unendliche Flüssigkeit in starrer Bewegung ist, sondernwenn nur
lang-weilige Störungen in der Flüssigkeit auftreten, die in der Umgebung des Körpers genau genug durch eine Geschwindigkeit
V(ba) beschrieben werden können, s. z. B. 9.8, so können mit Hilfe des betrachteten Gleichungssystems die Bewegungen des Körpers in der Flüssigkeit ermittelt werden, ohne daß es nötig wäre, die
hydrodynamischen Kräfte auf den Körper infolge der Instationarität
324 Fragen der Kursstabiität und Steuerfähigkeit von Schiffen
der Anströmung zu berechnen. Die Tragweite dieser relativkinetischenKonzeption läßt sich nur schwer abschätzen. Es werden dadurch so komplizierte Probleme wie die Bewegungen von
(Unter-wasser-)Fahrzeugen in wechselnden Strömungen und in beschränkten Gewässern, die beliebige (raumliche) Begegnung von (Unterwasser-)Fahrzeugen etc. zumindest in erster Näherung einer
einfachen Lösung zugänglich. Problemansatz und Lösungsweg sind für jeden Ingenieur nahelie-gend und durchschaubar. Der Aufwand hält sich dabei in erträglichen Grenzen, ohne daß
wesent-liche Züge der Probleme unterdrückt werden müßten; s. z. B. 9.9.
Für die numerische Lösung der G!. (5.6) multipliziert man zweckmäßig nochmit der inversen
Trägheit und schreibt
V(kb) = t'(s)V(kb)V(kb) + (krv (5.10)
mit
11(8) = T)' It(s) (5.11)
und
(kr)
Tj' (E(kr) + F(kr)). (5.12)In dieser Form stellt die Gleichung, auch für Digital- und Analogrechner, unmittelbar das
Rechen-programm dar. Auch Stabilitätsuntersuchungen nach der direkten Methode von U a pu nov
gehen von dieser Form der Bewegungsgleichung aus [7].
6. Linearisierung
Häufig sind die Bewegungen V(kb) auf enge Bereiche um eine überwiegende Komponente Vi(kb) beschränkt; z. B. überwiegt bei den hier zu betrachtenden Fahrzeugen im allgemeinen die
Längs-geschwindigkeit. Statt der vollständigen Bewegungsgleichung werden in solchen Fällen verein-fachte Formen
T(,)i'(kb) + lt(8)v(kb)v(kb) = li(kr) + F(kr) (6.1)
der Bewegungsgleichung benutzt. ist die überwiegende Komponente insbesondere konstant, so
stellt cile angeschriebene Form eine lineare Gleichung für die Bewegung des Körpers (k)
gegen-über der Flüssigkeit (f) dar.
Es soll hier ausdrücklich erwähnt werden, daß die Dämpfung" derüberwiegenden Bewegungs-komponente proportional ist. Benutzt man in diesem Fall die überwiegende Komponente zur
Normierung, so tritt diese Tatsache im allgemeinen nicht mehr in Erscheinung, es ist dann näm-lich
Vj(kb) 1. (6.2)
Dieser Sachverhalt darf beim Vergleich verschiedener Ansätze und bei praktischen Rechnungen nicht vergessen werden.
Wegen der Bedeutung der linearisierten Gi. (6.1) sollen hier zwei wichtige Fragen erörtert
werden, nämlich die der meßtechnischen Bestimmung der phaenomenologischen Parameter und
die der Stabilität von Bewegungen.
Die angegebene linearisierte Gleichung repräsentiert für jeden Bewegungszustand
(6.3)
i(kb)V(kb)
n Gleichungen für die 2n2 Komponenten des Schemas
S(5) = '.1" 1t() (6.4)
der phaenomenologischen Systemparameter. Sind nun zu 2n Bewegungszuständen V die 2n erzwingenden Kraftzustände
K(k) = E(k) + F'(kr) (6.5)
durch Messung bekannt, so kann das entstehende System von 2n2 Gleichungen nach den
gesuch-ten Parametern aufgelöst werden. Ganz schematisch ergibt sich
S(8) = K(kr)V), (6.6)
wenn dic li(kr> und V(kb) die Zeilenmatrizen aus den 2n Spaltenmatrizen K(kr) bzw.V(kb) bezeich-nen. Die Auflösung des Gleichungssystems funktioniert eindeutig nur dann, wenn die Bewegungs. zustände V(kb) voneinander unabhängig sind:
det Y(kb) O. (6.7)
Im allgemeinen werden die Messungen bei oszillirenden Bewegungen vorgenommen Da Real.
Fragen der Kursatabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
325 genügen also Messungen für n unabhängige Schwingungszustände;
wie diese verwirklicht werden, ist prinzipiell gleichgültig. Wegen der früher festgestellten
Symmetriebedingungen für die
Träg-heit sind die Parameter damit sogar bereits überbestimmt. Diese Tatsache ist für die praktische
Versuchsauswertung von großem Nutzen.
Über Einzelheiten von Versuchen und ihre Auswertung für den hauptsächlich
interessierenden Fall zweier Freiheitsgrade, die in der Versuchsanstalt
durchgeführt werden, wird gelegentlich der
Besichtigung der Anstalt kurz referiert. Im Umlauftankwerden Versuche mit systematisch vari-ierten Formen zu sehen sein,
deren Ergebnisse aber bei der Drucklegung des Manuskriptes leider
noch nicht vorlagen; s. aber 9.7.
Die Berechnung aller hydrodynamischen Eigenschaftenbeliebiger Körper auch im linearen Fall bereitet bekanntlich selbst unter Voraussetzung der üblichenSymmetrie von Schiffen noch immer große Schwierigkeiten.
Für schlanke Körper, tiefgetauchte Doppelkörper oder Schiffe an der
Oberfläche bei mäßigen
Froude-Zahien bietet der Ansatz von Munk eine brauchbare
Berech-nungsbasis. Die Durchführung der Rechnungen zeigt, daß sich bei Ausschalten des Rolifreiheits-grades alle gesuchten Größen aus einer Tensorverteilung,d. h. wegen der Symmetrie
der Körper
aus drei unabhängigen Verteilungen über der Körperlänge herleitenlassen [1]. Damit ergeben sich wichtige Zusammenhänge zwischen den Trägheits- undDämpfungsgrößen, die im
zweidimensio-nalen Fall bereits experimentell bestätigt werden konnten. In diesem Fall können bis auf die hydrodynamische Längsträgheit alle übrigen hydrodynamischen
Parameter aus der Querkraft.
verteilung bei schiebender Bewegung berechnet werden,s. 9.6. Problematisch ist allein die
Ermitt-lung dieser QuerkraftverteiErmitt-lung. Bestimmt man aus gemessenen integralen Parametern eine äquivalente Ersatzverteilung,
so zeigt sich, daß praktisch noch eine weitere lineare Abhängigkeit zwischen den restlichen Größen besteht; s. 9.7. Danach genügenin diesem Fall prinzipiell bereits Messungen für einen Schwingungszustand des Körpers, damit sämtliche interessierenden
Para-meter bestimmt werden können [1]. Die Stabilitätvon Bewegungen
V(kb) - R7> ('(kr) + F(kr)) /Vi(kb) (6.8)
unter der Wirkung konstanter Restkräfte, z. B. Ruderkräften, ist ausschließlich eine
Funktion der Matrix
F(8)
=
Tj' R(S)v1(kb)(6.9)
aus den zuvor experimentell ermittelten
phaenomenologischen Parametern. Nach den bekannten
Ergebnissen der klassischen Stabiitätstheorie sind die Bewegungen (6.8) asymptotisch stabil, wenn die Eigenwerte der Matrix (6.9) sämtlich positive Realteileaufweisen. Im zweidimensio-nalen Fall, d. h.z. B. bei Kursbewegungen von Schiffen oder bei Tiefenbewegungen
von
Unter-wasserfahrzeugen, läßt sich zeigen, daß die Eigenwertevon Pj(8) überhaupt real sind; imaginäre
Anteile sind praktisch nicht möglich, die Eigenbewegungen
verlaufen in diesem Fall stets
ape-iothsch [1].
Die hier in Rede stehende Stabilität wird traditionell Kursstabilität oder auch Kursstetigkeit
genannt, obgleich sie offensichtlich mit dem Kurs, allgemeiner mit der Lage des Körpers,
über-haupt nichts zu tun hat.
Sachgemäß erscheint allein die BezeichnungBewegungsstabiität
(stabi-lity of motion). Es sollte auch klar sein, daß dieBewegungen im allgemeinen sehr kompliziert sein können, z. B. horizontale und vertikale Drehkreise,
Schraubenbewegungen etc. Im Gültig-keitsbereich der linearen Theorie sind alle dieseBewegungen gleich stabil,
während die Sache in der nichtlinearen Theorie natürlich anders aussieht.
Sind z. B. die Effekte erster Ordnung verhältnismäßig klein, so können die Effekte
zweiter
Ordnung einen beherrschenden Einfluß gewinnen. Dies ist stets der Fall für
verschwindende
Determinanten
L =
det-0;
(6.10)
I ist das Maß der statischen Stabilität der Bewegungen.
Die Brauchbarkeit derlinearen Theorie setzt also nichtnur kleine Bewegungen
vv
(6.11)sondern auch endlicheWerte I voraus, d. h. sie
hängt von den Eigenschaftendes betrachteten
Systems ab. Diese Tatsache wird gewöhnlich nicht
ausdrücklich erwähnt, obwohl sie offenbar von
der größten Bedeutung seinkann. Trotzdem bleibt sicher die Bemerkung
von Rydil richtig, daß sich die meisten ,,nichtlinearen" Effekte durch eine korrektdurchgeführte lineare Theorie
erf
as-sen lasas-sen, d. h. daß die Möglichkeiten
326 Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
7. Lösungen
Für die weiteren Betrachtungen ist es bequem urjd vorteilhaft, die linearisierte
Bewegungs-gleichung
V(kb) + T«S)V(kb = T' (E(kr) + "(kr)) (7.1)
in eine invariante Form überzuführen. Mit den n Invarianten jO,
..
der Matrix I";(s) und den n-1, Matrizen M0, M1, .. . M,_2,die sich aus dem Gleichungssystem (7.2)L U = F(8)M0
Il U = P«0M ± M0 'na U = P()M_z + Ma_8I_ U =
+ M,_2 ergeben, wenn M0= T I (7.3)gesetzt wird, folgt
- + ... 1
+
(pfl + L- pfl_
= (Upe ± Ma_2 pn_i + ... M1
p +
M0) T (E(k) + F(kr)),Z(6) (p) (8) (p) =
N(8) (p)
der Systemparameter S charakterisiert also das dynamische Verhalten Wirkung von Restkräften vollkommen.
Wird insbesondere
p = iw (7.9)
gesetzt, so stellt die Funktion f(a) (p) nichts anderes dar als den Frequenzgang der
Schiffsbewe-gungen infolge von Restkräften. Aus dem Spektrum der Restkräfte ergibt sich damit nach Gi. (7.7)
unmittelbar das Spektrum der Bewegungen. Im Falle regellos wirkender Kräfte vermittelt der Frequenzgang, Stationarität vorausgesetzt, zwischen der Spektralfunktion der Kräfte und der Kreuzspektralfunktion der Kräfte und Bewegungen. Der zuletzt genannte Sachverhalt bildet die Grundlage der statistischen Systemanalyse.
I)a für den Entwurf von Steuerungen und Regelungen nicht die Matrix S der
Systempara-meter sondern nur der Frequenzgang von Interesse ist, erscheint dessen unmittelbare Bestim-mung wünschenswert. Gegenüber den verschiedenen bekannten und z. T. erprobten
determini-stischen Methoden erscheint die statistische besonders realistisch, da sie prinzipiell unter normalen Betriebsbedingungen angewendet werden kann, d. h. ohne daß ein mehr oder weniger künstliches
Bewegungsprogramm ausgeführt werden muß. Während für die Oberflächenschiffe der Umweg
über die Systemparameter S(8) und alle damit verbundenen Vorstellungen und Ansätze durch die
direkte Bestimmung des Frequenzganges praktisch überflüssig wird, kann bei tiefgetauchten Fahrzeugen auf die Bestimmung der Systemparameter zumindest für die erste Dimensionierung der Stabilisierungseinrichtungen nicht verzichtet werden. Die Bestimmung des Frequenzganges setzt in diesem Falle bereits eine funktionsfähige Stabilisierungseinrichtung voraus.
Der bequemen, aber abstrakten Darstellung in der komplexen Frequenzdomäne ist eine
anschau-liche Darstellung in der realen Zeitdomäne äquivalent. Mit der Fourier-Transformierten des Fre.
quenzganges
g(8)
= 2i
(p) exp (pv) dp, (7.10)(7.4)
wenn noch die l-te zeitliche Ableitung statt durch i Punkte durch den Operator p' bezeichnet wird.
Der linksstehende skalare Operator
N(s) (p) = p' + pfl
+ .
.
. + L p + L
(7.5)kann als Operator der Bewegungsstabilität mit den Invarianten
... L
als Stabiitätspara-metern bezeichnet werden, während der Operator rechter HandZ(8)(p) = (Up' + Ma_2 pn_i +
... +
M p + M0)T1
(7.6)als Operator der Bewegungsfähigkeit anzusehen ist. An die Stelle der Bewegungsgleichung tritt damit im linearen Falle die Operatorengleichung
- N
(E(kr) + F(kr)). (7.7)Die ,,komplexe" Funktion
(7.8)
Fragen der Kursstabilität und Stcuerfähigkeit von Sohilfen 327
der Gewichtsfunktion oder der Stoßantwort des Systems, ergeben sich die Lösungender Bewe-gungsgleichung in der Form
(7.11)
V(kb) (t) = f g(8) () {E(kr) (r - ) + F(kr) (r - )] d.
Tatsächlich braucht die Integration nicht bis in die unendlich ferne Vergangenheit erstreckt zu
werden, da Kräfte, die vor einer gewissen endlichen Zeit wirkten, praktisch keinen Einfluß auf die gegenwärtigen Bewegungen haben.
Sind regellose Kräfte wirksam, so vermittelt die Gewichtsfunktion entsprechend der Gi. (7.11) zwischen der Autokorrelationsfunktion der Kräfte und der Kreuzkorrelationsfunktion der Kräfte und Bewegungen. Die damit mögliche statistische Systemanalyse in der realen Domäne wird z. Z.
in der Versuchsanstalt ini Rahmen eines Forschungsauftrages erprobt. Der regellose Zerfall radioaktiver Isotope dient dabei zur Erzeugung extrem niederfrequenten Rauschens.
Gewöhnlich sind die Oberflächenrestkräfte wie alle bisher betrachteten Kräfte nicht unmittel.
bar bekannt sondern als Funktionen irgendwelcher variablen Einflußgrößen, z. B. auch der Bewegungen oder der Lage des Körpers selbst, d. h. es können auch beliebige Rückkopplungen
auftreten. Hier soll als einfaches Beispiel die (generalisierte) Ruderkraft als Funktion des (gene-ralisierten) Ruderausschlages betrachtet werden. In dem Ansatz
E(kr) = I a (7.12)
bezeichnet die Matrix
= l(p)
(7.13)einen komplexen Operator und a die Matrix der verschiedenen Ruderausschläge, die nun
ihrer-seits bei geregelten Vorgängen Funktionen der Fahrzeuglage etc. sind; s. 9.9.
Im Fall verschwindender Volumenrestkraft Ist, wenn die Ruderkraft als einzige Oberflächen-restkraft wirkt, die relative Bewegung des Körpers (k) gegenüber der Flüssigkeit (f)
V(kb) = Z() (p) a,
N(8) (p) (7.14)
wobei der Operator
(7.15)
Z() (p) = Z(8) (p) l(p)
sinngemäß als Operator der Steuerfähigkeit zu bezeichnen ist. Der Frequenzgang
- Z(8)(p)
(7.16)
e(a) (P)
-N(8) (p)
ist die für die Steuerungen eigentlich interessierendeFunktion. Der Operator i kann in einfachen
Fällen als konstant angesehen werden, s. 9.5, in komplizierteren Fällen muß jedoch auch die Dynamik der Zirkulationsänderungen in Ansatz gebrachtwerden; s. z. B. [8].
8. Zusammenfassung
Dieser trberblick über die allgemeine Beschreibung der Bewegungsstabilität und Bewegungs-fähigkeit von Körpern in Flüssigkeiten soll mit wenigenBemerkungen abgeschlossen werden.
Unter Benutzung eines leistungsfähigen Kalküls kann die Kinetik von Körpern unter der Wir-kung von Gravitationsfeldern in bewegten Flüssigkeiten übersichtlich dargestellt und rationell
behandelt werden, ohne daß wesentliche Züge der Probleme bei mathematischen Vereinfachungen
in unkontrollierter Weise unterdrückt werden müßten. Diese Übersichtlichkeit des Schemas
bewährt sich besonders bei der Herleitung widerspruchsfreier Näherungsgleichungen für spezielle
Probleme und für die Ordnung und Beurteilung der bekannten Methoden und Ergebnisse. Die Bedeutung des zuletzt genannten Punktes kann kaum überschätzt werden. Hier bietet sich auch der Ansatzpunkt für eine Standardisierung der Bezeichnungen und Symbole.
Die Darstellung läßt zwei völlig getrennte Problemkreise erkennen: einerseits die Bestimmung
der hydrodynamischen Parameter der Bewegungsgleichung oder letztlich des Frequenzganges
und der Gesetze für die Komponenten der Führungsgeschwindigkeit und der Oberflächenrestkräfte, andererseits die Lösung des Gleichungssystems für bestimmte Anfangsbedingungen. Während das
zuletzt genannte Problem höchstens durch den notwendigen Aufwand kompliziert wird, bietet
das erste als wesentlich physikalisches Problem noch erhebliche Schwierigkeiten sowohl in meß-technischer als auch in theoretischer Hinsicht. DieBerechnung der für die Stabilität
328 Fragen der Kursstabilität und Steuerfiihigkeit von Schiffen
z. B. noch keine Lösung des Problems sondern nur eine, wenn auch nützliche, Verschiebung des Problems dar.
Hinsichtlich des gesamten Beschreibungsschemas ist eine ganz ähnliche Bemerkung zutreffend.
Das Problem der Kinetik von Körpern in Flüssigkeiten wird nur zum Teil gelöst, es wird in eine leicht überschaubare und methodisch einfach beherrschbare Form gebracht. Das Schema beruht auf wenigen notwendigen allgemeinen Grundvorstellungen, d. h. Grundbegriffen und Ansätzen
und ist unabhängig von speziellen Hypothesen über den Strömungsmechanismus. Es genügt den in der Einleitung aufgestellten Forderungen: der Kalkül inkorporiert in klarer, systematischerund
operativ bequem nutzbarer Form alle unsere Mindestforderungen; der Hertzschen Forderung entsprechend ist er so allgemein wie nötig. Im Prinzip stellt das Schema nichts anderes dar als
die exakte Beschreibung des Fundamentes der üblichen Ingenieurpraxis auf diesem und anderen
Gebieten. In einer Zeit der Zersplitterung unseres Wissens kann eine Rückbesinnung auf allge-meine Ansätze und Methoden unserer Arbeit aber nur nützlich sein.
9. Einzelheiten
9.1 Operationsindizes - 9.2 Änderungsgeschwindigkeiten - 9.3 Coriolis- und Führungskraft - 9.4
Vor-geschichtseinflüsse 9.5 Ebene Bewegungen 9MHydrodynamische Parameter 9.7 Ersatzverteilungen
-9.8 Führungsgeschwindigkeiten 9.9 Lösungsschemata.
9.1 Operationsindizes
Der tJbersichtlichkeit halber sind in den Gleichungen des Textes die für die praktische Hand-habung des Kalküls bedeutungsvollen Operationsindizes unterdrückt worden. Dieses Vorgehen
ist bei überwiegend qualitativen Betrachtungen bequem und durchaus zulässig. Indessen wird die
Bedeutung der verschiedenen Operationen erst durch die Indizes unter Beachtung der
Summen-konvention definiert; vgl. z. B. [9].
Zur Illustration und zur Präzisierung der mitgeteilten Ergebnisse sollen hier diewichtigsten Gleichungen des Abschn. 5 in vollständiger Form angegeben werden. Die Bewegungsgleichung lautet so
TUv(B)V(kb) + ItUvW(s)VV(kb)VW(kb)
=
E(k1) + Fu(kr), (9.1.1)wenn nicht noch auf die Abhängigkeit aller Größen vom Bezugspunkt P hingewiesen wird. Dabei gilt für die Trägheit
Tuo
=
Tok) ± 'Fuv(f (9.1.2)und für die Scheindämpfung
Rvw(8) CuvrTrw(8) + tuvw(f). (9.1.3) Ferner lautet das Gesetz für die Volumenrestkraft
Fu(kr) - T,Lv(a)kv(a) 2 CuvrTrw(d)Vu(ba)Vw(kb) Tuv(d)Yv(ba) Cuv,T,.w()Vv(ka)Vw(ba), (9.1.4) und es gilt für die absolute Geschwindigkeit
Vu(ka) = Vu(kb) + Vu(ba). (9.1.5)
Die analytische Darstellung ist nichts anderes als eine abgckürzte, explizite
Komponentendar-stellung. Die Indizes u, y, w, r durchlaufen sämtlich die Werte der Freiheitsgrade.
9.2 Änderungsgeschwindigkeiten
Wird die totale Änderungsgeschwindigkeit einer Größe der betrachteten Art in einem Raum
gesucht, demgegenüber sich das Bezugssystem bewegt, so ist außer der
Änderungsgeschwindig-keit der Größe bezüglich des Bezugssystems auch die AnderungsgeschwindigÄnderungsgeschwindig-keit infolge der
Bewegungen des Bezugssystems zu berücksichtigen.
Ganz formal ergibt sich z. B. mit der Abbildungsmatrix die den tJbergang von einem Koordinatensystem im absoluten Raum (a) zu einem Bezugssystem im Beobachtungsraum (b) vermittelt,
p4.
=
p(b,+ G,.) =
b+
pL+ ±
ba-i-,.pb G+,
(9.2.1)d.h.
p G.
=
p G4- +pb,+ G+
(9.2.2)oder mit Punkten für die Ableitungen
geschrieben, so ist zu beachten, daßder Operator p+,, der zeitlichen Ableitung im Gegensatz zu p kein skalarer Operator ist. Gewöhnlich wird diese Tatsache nicht klar herausgestellt.
9.3 Coriolis- und Führungskraft Die in einem gegenüber dem absoluten Raum (a) bewegten
Beobachtungsraum (b) zusätzlich
auftretende Volumenkraft, die Summe aus Coriolis- und Führungskraft kann am einfachsten
durch die Beziehung
G(ka) + (eG+(ka)) Y(ba) = - F1(ab) definiert werden. Mit der Zerlegung (3.2) folgt daraus unter Beachtung
von pG*(ka) = p+*G+kb + PG*(ba),
d. h. nach der in 9.2 abgeleitetenBeziehung (9.2.8)
pG*(ka) = pG*(kh) (eG*(kb)) (
V()) + pGb)
vgl. G1. (3.3), das angegebene Gesetz (3.4).
9.4 Vorgeschichtseinflüsse
Die Tatsache, daß bei wesentlich instationären Vorgängen aus der Trägheit des Nachlaufs
Nachwirkungen vorhergehender Beschleunigungen resultieren, kann in dem Ansatz für die
Ober-flächenkraft zweckmäßig durch ein zusätzliches Integral über die Beschleunigungsgeschichte
berücksichtigt werden [1].
In dem Ansatz (4.4) kann im einfachsten Falle noch ein Glied der Form
I (tb)(T) = f(r)(r) V(kb)(T i) di
(9.4.1) hinzugefügt werden. Mit diesem Ansatz läßt sich z. B. dieFrequenzabhängigkeit der
hydrodyna-mischen Parameter bei harmonischen Bewegungen in einfacher Weise
interpretieren.
Bei überwiegend zirkulatorischen Strömungen spielen diese Effekte eine hervorragendeRolle, so daß es im allgemeinen nicht möglich
ist, wie bei den hier betrachteten Strömungen mit
über-wiegenden Verdrängungskomponenten,
mit quasistationären Zuständen zu rechnen. Indessen kommt dem Grenzfall
vollinstationärer Bewegungen, der sich wiederum mit den hier
angegebe-nen Ansätzen behandeln läßt, vor allem praktische Bedeutungzu. Auch bei Bewegungen
an freien Oberflächen sind die in Frage stehenden Effekte im
allgemeinen nicht vernachlässigbar;s. z. B. [lO]. Bei der Betrachtung der
Kursbewegungen von Oberflächenschiffen werden sie jedoch gewöhnlich nichtberücksichtigt.
9.5 Ebene Bewegungen
Für den praktisch besonders
wichtigen Fall ebener Bewegungen schlanker Körper mit
überwie-gender und konstanter Längsgeschwindigkeit sollen explizite
Formen der Matrizen der
phaeno-menologischen Parameter angegeben werden, die sich beider Systemanalyse bewährt haben.
Es kann für die Trägheit des Körpers
sliP
uv(k) - T(k)rp P T(k) XÇpP
(k) XK z(k) (9.5.1)
Fragen der Kursstabiität und Steuerfähigkeit von Schiffen 329
Für den Operator auf der rechten Seite gilt aber
p b+ = e+++ v+,
(9.2.4)wobei der Operator e seinerseits durch die beiden Matrizen euvn = O Fimn
:n= 1,2,3
(9.2.5) und 1mn O00
=
n = 4, 5, 6 (9.2.6) Omit den r-Operatoren als Komponenten eindeutig definiert ist.
Wird die GI. (9.2.2) symbolisch inder abgekürzten Form
b+*pIJ* = pG± ± evG oder p G*
- p0 + (
v (9.2.7) (9.2.8) (9.3.1) (9.3.2) (9.3.3)330 Fragen der Kursstabilität und Steuerfahigkeit von Schiffen
mit dem zweiten Trágheitsmoment
rpF rpK rI P;2
z(k) - z(k) T (k) XX (Steinerscher Satz) und für die Blinddämpfung des Körpers
O T
Quvk
-O T> X
geschrieben werden. Dabei bezeichnen T(k) das nuilte Trägheitsmoment oder die Masse des
Kör-pers (k), x den Hebelarin vom Bezugspunkt P bis zum Massenmittelpunkt K auf der Körper-achse und Tik) das zweite Trägheitsmoment des Körpers in bezug auf P.
Ganz entsprechend gilt für die hydrodynamische Trägheit
d. h. hier
gesetzt werden.
Hierbei bezeichnen T(r) und T(f) die hydrodynamische Längs- bzw. Querträgheit, F den Quer-trägheitsmittelpunkt, T> das zweite Moment der Querträgheit bezüglich P, R(r) und B() die Schiebe- bzw. Gierkraftzahlen, R und B die Schiebe- bzw. Gierkraftmittelpunkte.
Es besteht die von Horn zuerst vermutete Symmetrie P.x
uv(f) - vu(f)'
Die Bedingung der statischen Stabilität ist erfüllt, wenn der durch
Bf x
(9.5.10)
T(k)
definierte Neutralpunkt N hinter dem Massenmittelpunkt K liegt. Der Neutralpunkt N liegt bei
Verdrängungskörpern weit hinter dem vorn liegenden Schiebekraftmittelpunkt R. Nur im
Grenz-fall vernachlässigbarer hydrodynamischer Trägheiten, der in der Aerodynamik der Flugzeuge betrachtet wird, geht N in R über.
Für den Ruderoperator kann in erster Näherung
L
(9.5.11)
y Xj
9.6 llydrodyiiainische Parameter
t1ber Messungen zur Bestimmung der hydrodynamischen Parameter und ihre Auswertung werden in einem folgenden Kurzreferat anläßlich der Besichtigung der Versuchsanstalt nähere
Ausführungen gemacht; s. a. [1] und 9.7. Rechnerisch können die gesuchten Größen in besonders
übersichtlicher Weise auf die ersten Momente der Querträgheitsverteilung
ty(f) (x) fTp(r) (x) dx (9.6.1)
bezüglich des Endpunktes O der Verteilung zurückgeführt werden.
Im einzelnen lauten die Beziehungen, die unmittelbar die gegenseitigen Abhängigkeiten der
hydrodynamischen Größen erkennen lassen,
(9.5.8) p
TUV(f)
mit dem zweiten Trägheitsmoment
pP z(f) -die hydrodynamische Blinddämpfung
Tu(r) X m tv(r) XF -'-z(f} pP rp P;Z2 z(f) y(f) Xp (9.5.5) O Tx(r)
-
(9.5.6) Tv(r) - Tu(r) XÇund die hydrodynamische Wirkdämpfung
D P 1) P UP.z 'y(t) X - L)(f) - .Lx(f) p D P2 D P
p
P (9.5.7)R(f) XR - T()
.y Fy(f) XR' --°(r) XB - Ly(f) Xp (9.5.2) (9.5.3) B(s) = T() - 2 TX(f). (9.5.9) O = ty(f) (1), (9.6.2) (o) = rv(r) = ty(f) (0), (9.6.3)wenn
=
(x) xdx
: i = 0, 1, 2 (9.6.8)die ersten Momente der Verteilung s (x) bezeichnen und z die Längenkoordinate, vom Endpunkt
der Verteilung nach vorn positiv gerechnet.
Hier wie im folgenden werden alle Größen als normiert angesehen, und zwar mit der Dichte der
Flüssigkeit, der Hauptspantfläche, der Längeund der Längsgeschwindigkeit des Körpers.
9.7 Ersatzvertoilungen
Macht man den Ansatz
4
= 't x
¿=0 (9.7.1) für die Trägheitsverteilung ty(f), so sind die Koeffizienten t der biquadratiachen Ersatzparabel tV'(r) nach den Gleichungen des Anhangs 9.6 lineare Funktionen+2 _j (i)
= E
t, (9.7.2) des Anfangswertes (-2) tv(f) _ ty(f) (1) 0 (9.7.3) des Endwertes (-1) tv(r) tv(r) (0) (9.7.4) (i)und der ersten Momente tv(r) (i = 0, 1, 2) der Verteilung in bezug auf O. Nun zeigt sich aber,
daß die Determinante der Matrix t, praktisch verschwindet, d. h. daß zwischenden vier
wesent-lichen Parametern praktisch noch eine lineare Abhängigkeit besteht. In erster Näherung ergibt sich dafür
Fragen der Kursstabilität und Steuerfhigkeitvon Schiffen
(1) D O O rp -&,(t) XR = Ty(f> = DO z(f) 2 2 T ° °
=
,(f) xi, o (f) = (o)=
dargestellt werden. O)=
331 (9.6.4) (9.6.5) (9.6.6) (9.6.7) T°Danach kann für die Trägheitsverteilung die Dämpfungsverteilung" Tv(r) ein
In dem Ansatz
R5(f)
T()
(9.7.5) ein kubischer oder entsprechend fiir
werden.
+T(r)x.
60 5
tv(r) sinnvoll nur
quadratischer Ansatz gemacht
r'(f) = Erj (- z)1
(9.7.6) i=O entsprechend (0) 2 t'v(t)=
r +
L'
(9.7.7) + 1 ergibt sich für die Parabel-Paraineter2 _
r
o(9.7.8) r(f)
i=0
mit der Koeffizientenmatrix
+ 9 - 39 + 30
r;J= +36 192 +180
(9.7.9)+30 180 +180
Die Parabel (9.7.6) kann übersichtlich auch in der Form
r(f) =
-
ryi2+
'2
-
r1
(9.7.10)332 Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
In Vorversuchen mit einem überwiegend zylindrischen Rotationskörper mit Tothoiz und Pro-peller und den Daten:
T() = 0,92
T() x = 0,52
T() = 0,36
i/b = 6,75 wurden folgende Werte experimentell ermittelt:
Raft) = 1,240
Rv(r) X = Tv(r = 0,997 DO
=
m.Ly(f)Xp = 511OTf) = 0,336 T(r) = 0,105,
durch die die aufgestellte Hypothese von der gegenseitigen Abhängigkeit der hydrodynamischen Parameter bestätigt wird. Auch die Bedingung (9.7.5) ist in diesem Falle erfüllt. Die zugehörigen
Ersatzverteilungen sind = 6,73 - 41,41 x + 45,66 x2 (9.7.13) oder = - 2,664 + 45,66 (z - 0,453)2 (9.7.14) und = 1,24 - 6,73 X + 20,71 X2 - 15,22 X3. (9.7.15) Ob mandurch Messungen an geteiltenModellen, s.z. B. [11], einen ähnlich genauen tiberblick über die gesuchten Verteilungen gewinnen kann, ist zumindest fragwürdig.
Es soll noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen werden, daß die Parabeln (9.7.6 u. 7) mit
den eigentlichen Verteilungen nicht identisch sind, sie werden daher unmißverständlich als (äquivalente) Ersatzparabeln bezeichnet.
Offenbar stellt die Ermittlung der Verteilungen r(f) oder t das eigentliche physikalische Problem dar. So lange dieses Problem nicht gelöst ist, muß man sich mit Abschätzungen behelfen,
die natürlich für viele Zwecke auch völlig ausreichend sind; s. z. B. [1]. Die Streifenmethode ist dabei allerdings nur von beschränktem Wert [10].
9.8 Führungsgesehwindigkeiten
Ganz rohe Abschätzungen für die Führungsgeschwincligkeiten im ebenen Fall werden gewonnen,
wenn die absolute Flüssigkeitsbewegung V() am vorderen und hinteren Lot, VL bzw. HL im fahrzeugfesten Bezugssystem bekannt sind und damit einfach
s
--(v) +v)
u(ba)
-VL - V(f)FIL
und
Vx(ba) -s
gesetzt wird. Dabei bezeichnet S den Mittelpunkt der Querträgheit des Systems (s).
Als erstes Beispiel soll die Führungsgeschwindigkeit betrachtet werden, die bei der Bewegung
eines schlanken völligen Körpers entlang einer ebenen starren Begrenzung der Flüssigkeit oder bei spiegelbildlichen Bewegungen eines auf Steuerbordseite parallel fahrenden (langsam
über-holenden) gleichartigen Körpers induziert wird.
Wird der Abstand des geraden Kurses von der ebenen, seitlichen oder unteren Fahrwasser-begrenzung oder der Symmetrieebene mit a bezeichnet, die Breite des Körpers mit b und seine Länge mit i, dann ergibt sich durch einfache Spiegelung einer Quelle und einer Senke für die
induzierten Flüssigkeitsbewegungen ganz grob 64a2
+ -
(w(kft) VLIHLVyfa)
-d. h. in erster Näherung auchb2 W2 (ka) VL/HL -
1±1 :f
+
2)]
'ij(fa) -64a2 (9.7.11) (9.8.4)/
(9.8.1) (9.8.2)±
Wz(ka) (9.8.3)Der Querversatz und der Kurswinkel
Wz(ka) = f V(Ic) dt (9.8.6)
sind in erster Näherung die Komponenten der KorperlageW(ka) bezüglich des Kurses im abso-luten Raum (a).
Mit der Näherung (9.8.4) folgt nach GI. (9.8.1) für die gesuchte Führungsbewegung
in erster
Näherung
Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeitvon Schiffen
W(ka) = f (Via. + Wz(ka}) dt
b21 Wz(ka) 64 u3 V(ba) = b2 /,21 W(kft) 32a2 16a3
Ganz allgemein, ohne alle bisherigen Einschränkungen, wird man auch den Ansatz
V(ba) = S (p) W(ka)
machen und ferner
W(ka) = I (p) V(ka) s Vu(ba)
--
4 ¿3 Wz(ka) b2-
b2l W(ka) 4j2 ¿3 333 (9.8.5) schreiben.Hier liegt also ein typisches Rückkopplungsproblem vor, dessen Beherrschung indessen bei Kenntnis des Operators s (p) keine prinzipiellen Schwierigkeiten macht.
Bereits mit dem
ein-fachen angegebenen Gesetz konnten die Bewegungen eines Schiffes in derNähe einer Kanaiwand
simuliert werden. In konkreten Fällen ist natürlich zu prüfen, ob die linearenNäherungen (9.8.4
bis 6) ausreichend sind.
Ganz analog kann der Einfluß einerfreien Flüssigkeitsoberfläche am Ort eines tiefgetauchten
Körpers erfaßt werden. In diesem Falle bleiben die angegebenen Gesetze völligunverändert, wenn a nur den Abstand von der freien Oberfläche bezeichnet.
(Verkehrte Spiegelung!) Die angegebene Führungsgeschwindigkeit (9.8.7) verdoppelt sich also, wenn z. B. ein Unterwasserfahrzeug auf halber Tiefe
a=2
(9.8.10)in einem flachen Gewässer läuft. Esergibt sich explizit in diesem Fall b2l
(9.8.11)
Der Effekt nimmt also mit wachsenderTiefe rasch ab.
Die Vorzeichen gelten für rechtshändige kartesische Koordinatensystememit positiver
x-Rich-tung nach vorn und positiver y-Richx-Rich-tungnach backbord oder oben.
Abschließend soll noch ein einfacher Ansatz für die induzierten Geschwindigkeiten bei der
Begegnung von gleichartigen Körpern auf parallelen Kursen angegeben werden. Der Einfachheit halber wird Symmetrie der Bewegungen bezüglich eines Punktesvorausgesetzt. Offenbar handelt
es sich hierbei um ein instationäres Problem. Es ist ganz grob
b2
(Ws - Wz(ka)
r)]
2
(t ± 1/4), (9.8.12) oder in erster Näherung[i
+
(W(ka) Wz(ka)r)]
f (t ± 1/4), (9.8.13) wobei als bequeme geschlosseneInterpolationsfunktion die Rayleighsche Funktion ¡(r ± 1/4) = (r ± 1/4) eSd 1/4)'+ i/2
(9.8.14)
dienen kann, a bezeichnet jetzt den Abstand der Kurse der sichauf Backbordseite begegnenden
Körper.
Wie vorher wird zur Abkürzungim folgenden und ganz allgemein
V(ba) (P) W() (9.8.15)
(9.8.7)
(9.8.8) (9.8.9)
334 Fragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen
geschrieben. Die Einführung der Gesetze (9.8.13 u. 14) in den Ansatz (9.8.1) wird zweckmaßig
hier nicht durchgeführt, da sie wenig übersichtliche Ergebnisse liefert. 9.9 Lösungsschemata
Mit den bisher gemachten Angaben kann als Beispiel die Begegnung gesteuerter Schiffe in
Kanä-len nach dem abgebildeten einfachen Lösungsschema quantitativ zumindest in erster Näherung behandelt werden. Nur über den Operator des Reglers sind bisher noch keine konkreten Angaben gemacht worden. Es genügt in diesem Zusammenhang, auf die
umfangreiche Spezialliteratur hinzuweisen.
E(kr) V Nach dem dargestellten Schema ist während der
Besichtigung der Versuchsanstalt die Analogrechen-anlage programmiert. Details der Schaltung und ein-zelne Reehenergebnisse sind hier indessen weniger interessant als das Lösungsprinzip und die Tatsache, daß Modellversuche bereits vor längerer Zeit erfolg-reich simuliert werden konnten [12]. Dieses einfache
Beispiel läßt erkennen, wie mit Hilfe des Kalküls
nahe-liegende qualitative Vorstellungen unmittelbar zur methodischen, quantitativen Behandlung der
Probleme führen. Das Beispiel ist durchaus typisch für eine ganze Klasse von Lösungsschemata.
10. Forinelzeichen
10.1 Größen - 10.2 Gegenstände - 10.3 Bezugspunkte - 10.4 Indizes - 10.5 Skalare Größen. 10.1 Grbßen
a 7.12 Ruderausschlage
b 9.2.1 Abbildungamatrix
s 2.2 s-Operator, s. 9.2
7.8 Frequenzgänge der Bewegungen (kb) infolge von Kräften K(kr)
7.13 Frequenzgänge der Bewegungen V(kb) infolge von Ruderaussehlägen a
g 7.10 Einfhißfunktionen der Kräfte K(kr) auf die Bewegungen V(kb)
g 9.4.1 Einflußfunktionen der Beschleunigungen y auf die Kräfte J i 9.8.9 Integrationsoperatoren
k 3.1 Kraftfelder
7.12 Ruderoperatoren
p 9.2.8 Operatoren der zeitlichen Ableitung
s 9.8.8 Spiegelungsoperatoren 9.8.15 Begegnungsoperatoren y 2.2 Geschwindigkeiten w 9.8.8 Lagen B 2.3 Blindaustausch 8' 2.3 transponierter Blindaustausch D 4.2 Impulsflüsse E 2.1 Oberflächerikräfte F 2.1 Volumenkräfte 0 2.1 Impulse I 9.4.1 ,,Instationäre" Kräfte K 6.5 Restkräfte
IZ 6.6 Zeilenmatrizen der Kräfte
M 7.2 Kenumatrizen der Bewegungsfähigkeit
0 2.5 Nuilmatrizen P 4.7 Wirkdämpfungen Q 9.5.6 Blinddämpfungen It 5.2 Scheindämpfungen S 6.4 Systemparameter T 2.4 Trägheiten T' 2.7 transponierte Trägheiten 5.4 inverse Trägheiten U 7.2 Einhcitsmatrix V 6.3 Bewegungen
V 6.6 Zeilenmatrizen der Bewegungen
Z 7.6 Operatoren der Bwegungsfähigkeit Z. 7.14 Operatoren der Steuerfähigkeit
F 5.10 triigheitsspezifisehe Scheindämpfungen 5.10 trägheitsspezifische Restkräfte r 9.9 Abb. Regleroperator Fkr) 0
W)
atFragen der Kursstabilität und Steuerfähigkeit von Schiffen 10.2 Gegenstände 3.1 absoluter Raum 2.1 Beobachtungsräume (d) 5.5 Differenzen (f) 4.1 Flüssigkeiten (k) 2.1 Körper 4.1 Reste 5.1 Systeme (y) 4.5 Verdrängungen 2.2 in (k) ruhendes Koordinatensystem 2.1 in (b) ruhendes Koordinatensystem
3.3 in (a) ruhendes Koordinatensystem
10.3 lJezugspunkte
B 9.5.7 Mittelpunkt der Gierkraft
F 9.5.4 Mittelpunkt der hydrodynamischen Querträglieit
HL 9.8.1 hinteres Lot
K 9.5.1 Massenmittelpunkt der Körper L 9.5.11 Mittelpunkt der ituderkraft
N 9.5.10 Neutralpunkt
0 9.6.8 Endpunkt der hydrodynamischen Trägheitsverteiiung
P 9.1.1 allgemeiner Bezugspunkt
R 9.5.7 Mittelpunkt der Schiebekraft S 9.8.1 Mittelpunkt der Systemquerträgheit
VL 9.8.1 vorderes Lot 10.4 Indizes i 6.1 Komponentenindizes, Laufindizes j 6.11 Komponentenindizes, Laufindizes n 7.2 Laufindizes i 7.4 Laufindizes u 9.1.1 Operationsindizes y 9.1.1 Operationsindizes w 9.1.1 Operationsindizes r 9.1.1 Operationsindizes x 9.5.6 Längs-9.5.4 Quer-, Schiebe-z 9.5.1 Hoch., Gier-10.5 Skalare Größen
det 6.7 Determinante von V
exp 7.10 Exponentialfunktion
f 9.8.12 Interpolationsfunktion
i 7.9
V-1
p 7.4 Operator der zeitlichen Ableitung
9.6.1 Diixnpfungsverteilungen 9.7.6 Ersatzdänipfungsverteilungen
9.7.6 Parameter der Verteilungen ri,'
9.7.8 Koeffizientenmatrizen
t 9.8.10 Tiefe
9.6.1 Trägheitsverteilungen
9.7.1 Ersatzträgheitsverteilungen 9.7.1 Parameter der Verteilungen t, 9.7.2 Koeffzientenmatrizen
y 9.8.1 Geschwindigkeitskomponeiiten w 9.8.3 Lagekomponenten
xÇ 9.5.1 Abstand von P nach K, PIC
a 9.8.3 Abstände von Wänden, Symmetrieebenen, freien Oberflächen
b 9.8.3 Schiffsbreiten B 9.5.7 Gierkraftzahlen 1 6.10 Invarianten 9.8.3 Schiffslängen L 9.5.11 Ruderkraftzahlen R 9.5.7 Schiebekraftzahlen T 9.5.1 Trägheitskomponenten 4.10 abhängige Variable 4.10 unabhängige Variab'e r 7.10 absolute Zeit
f
7.11 negative absolute Zeitw 7.9 Kreisfrequenzen
N 7.5 Operatoren ler Bewegungsstabiliät
336 Erörterung zu der Vortragsgruppe ,,Schiffstheorie"
li. Schrifttum
[11 Sc hmie ehen, M.: Eine allgemeine Gleichung für Bewegungen starrer Körper in Flüssigkeiten und ihre Anwendung auf ebene Bewegungen von Doppelkörpern. Mitteilungen der Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau, Berlin, H. 48, 1964.
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Erörterung zu der Vorfragsgruppe ,, Schilistheorie" Prof. Dr.-Ing. C. Kruppa, Berlin
Ich möchte mich zunächst den Worten des Herrn Vorsitzenden anschließen und betonen, wie sehr ich es be-grüße, daß durch den Vortrag von Herrn Professor Lerbs nunmehr auch für den praktischen Propellerentwurf die ersten systematischen numerischen Unterlagen aus der Wirbelflächentheorie des Propellers zur Verfügung stehen. Damit wird es auch für die Praxis möglich sein, sich den neuesten Stand der theoretischen Erkenntnisse für ingenieursinäßige Anwendungen dienstbar zu machen.
Ich möchte nun zum Vortrag von Herrn Professor Lerbs im einzelnen einige Bemerkungen machen, die sich mit der berechtigten Frage beschäftigen, ob nian erwarten darf, daß sich die dargestellten theoretischen Ergeb. nisse durch den Versuch bestätigen lassen.
Dabei geht es im Zusammenhang mit einer beliebigenEntwurfsmethode stets um zwei Aspekte:
Werden für den Entwurfsfortschrittsgrad die geforderten Schub- und Momentenbeiwerte erreicht, und läßt sieh die gewöhnlich beim Entwurf einbehaltenetheoretische Sicherheit gegen einsetzende Kavitation beim Versuch im Entwurfspunkt realisieren?
Hierzu möchte ich aus eigener Entwurfserfahrung aus dem Gebiet breitilügeliger Hochgeschwindigkeitspro-peller berichten, wobei in jedem Fall derEntwurfspunkt an der Grenze des Kavitationseintritts lag. Der Blatt-umriß war dabei stets symmetrisch, die Erzeugende ungeneigt, und als Mittellinie wurde die zweidimensionale Cleichdruckmittellinie benutzt.
Meine ersten Entwürfe dieser Art gingen von der Arbeit vonEckhardt & Morgan aus, wobei die auf den Ergebnissen von Lud wie g & G i n z el basierenden Wölbungskorrekturen sowie die von Herrn Professor Le r b s vor etlichen Jahren abgeleitetenAnstellwinkelkorrekturen zur näherungsweisen Berücksichtigung des Wirbel-f lächeneWirbel-fWirbel-fekts Verwendung Wirbel-fanden. Nach dieser Methode wurden die angestrebten Schub- und Momentenbei-werte meist mit ausreichender Näherung im Modellversuch erreicht, jedoch habe ich stets die Tendenz zur Saugseitenkavitation an der Flügelspitze feststellen müssen, was ja darauf hindeutet, daß die Anstellwinkel zu groß sind.
Nach Erscheinen der Ergebnisse von Co x habe ich einige Propeller mit Hilfe der sich hieraus ergebenden Krümmungskorrekturen entworfen und im Kavitationstank untersucht.Hierbei ergaben sieh ohne zusätzliche Anstellwinkelkorrekturen infolge der höheren Wölbungskorrekturen ebenfalls befriedigende Ergebnisse hin. sichtlich Schub- und Drehmomentenbeiwert un Entwurfspunkt jedoch habe ich in einigen Fällen Tendenz zur Druckseitenkavitation an den Flügeispitzen beobachtet.
Ich habe in meinen folgenden Entwürfen daher auf empirischeni Wege Krümmungskorrekturen an den äußersten Radien benutzt, die um etwa 25-30% kleiner als die Coxschen Werte waren, jedoch größer als man sie nach den in der Arbeit von Eckardt & Morgan angegebenen Daten erhalten hätte. In Abb. 9 der Arbeit von Herrn Professor Lerbs ist der Unterschied zwischen den Weiten von Cox und den nunmehr neu berech-neten von gleicher Größenordnung ersichtlich.
Die auf diesem halbempirischen Wege im Modellversucherhaltenen Ergebnisse waren außerordentlich zu-friedenstellend, so daß ich persönlich an Hand der von Herrn Professor Lerbs angegebenen Werte glaube, daß die in Aussicht gestellte experimentelle Uberprüfung der Berechnungsergebnisse diese in der erwarteten Weise bestätigen wird.
Prof. Dr. T. Y. Wu, California Institute of Technology, Pasadena
I would like to add a few words to express my appreciationof this impressive work of Prof. Lerbs. Because of the complicated numerical computations involved in the lifting-surface theory for propellers, its development has been a relatively recent event in the cia of high speed computers. Before this period, it is all too familiar
Erörterung zu der Vortragsgruppe ,,Schiffstheorie" 337 toUSthat Prof. Lerbs had made numerous contributions in
developing ingenious methods, such as the induction factors, to render the propeller theory readily useful in practical applications. It is gratifying to see that now
he is making further contributions in the lifting-surface propeller theory to aid its full establishment.
Within the framework of the present lifting-surface theory, the boundary condition for the induced velocity at a given blade surface is expressed in terms of a set of integral equations, the complete inversion of which has not been obtained in an analytical form. Even for the inverse problems with prescribed load distribution, the different numerical schemes for calculating the lifting-surface theory developed previously by variousauthors,
namely Sparenberg, Pien , Kerwin , and others, have been reported to produce numerical results not always in complete agreement. (The discrepancy has been noted particularly in the case of asymmetrical loadings.) I wonder if Prof. Lerbs may have any comment regarding this point.
From the present result it is of interest tosee that Prof. L e r s ' method is versatile enough to handle a
broader form of load distribution, such as the logarithmiccase demonstrated in this paper. lt is important that a method is capable of determining precisely the camber and pitch correction factors, especially near the tip and hub of the blade. Furthermore, I think that the insightand understanding of the physical significance
of
these elements gained here may be very valuable for calculating the direct physical problems (i.e. with pres-cribed blade geometry).
On this subject matter a broad common interest andparallel activities have also been noted to exist in other research laboratories elsewhere. With this common devotion and complementary efforts, and with more future experimental results forthcoming, the final establishmentof the theory is already in sight. It is a pleasure to see that Prof. Lerbs has again done a systematic work ofa gross magnitude, thus laying down an important piece of stone to the foundation of this propeller theory.
Prof. Dr. IL. Lerbs (Schlußwort)
Znächst möchte ich Herrn Prof. Kru p p a für seine Bemerkungen danken, die ja im wesentlichendarauf hinauslaufen, daß die zwischen den Rechnungen von Cox und unseren eigenen Ergebnissen auftretenden Diffe-renzen in die Richtung seiner experimentellen Erfahrung gehen. Wir hoffen,
daß eigene Experimente die wir in Kürze anstellen werden, die gleiche Tendenz zeigen und zu einer Bestätigung der vorgetragenentheoretischen
Ergebnisse führen werden. Die von Herrn Kruppa erwähnte Korrektur des Anstellwinkels, die
von mir vor mehreren Jahren als Näherung für den Effekt der tragenden Fläche angegeben war, ist, wie sich jetzt zeigt, grob und erfaßt keine Feinheiten. Diese Näherung sollte als überholt angesehen werden ebenso wie diebisherige Vorstellung, daß man mit einer affinen Verzerrung einer zweidimensionalen Mittellinie auskommt.
Herrn Prof. Wu danke ich sehr für seine anerkenndenden Worte. Seine Frage nach einer Erklarungfür die z. T. unterschiedlichen numerischen Ergebnisse, die sich bei denbekanntgewordenen Auswertungen der ver-schiedenen theoretischen Ansätze gezeigt haben, ist nicht einfach zu beantworten und würde einen eingehenden Vergleich der angewandten numerischen Methodenerfordern. Im Falle der Rechnungen von Kerwin war be-reits darauf hingewiesen worden, daß u. E. die Zahl der Aufpunkte in der Nähe der Kantenzu gering ist. Ferner treten bei der in dem Vortrag behandelten Problemstellungeiner vorgegebenen Lastverteilung singuläre
Inte-grale auf, die wir durch Abspalten von Singularitäten und nicht, wie in den übrigen uns bekanntenArbeiten durch weniger genaue Verfahren, z. B. durch Verfeinerung der Integrationsechritte in der Umgebung der Singu-laritäten, behandelt haben. Ich darf erwähnen, daß wir die Fehlergrenzen in unseren Ergebnissen sorgfältig untersucht haben, und daher glaube ich nicht, daßgegen diese Ergebnisse von Seiten der numerischen
Auswer-tung lier Einwände bestehen. Schwierigkeiten treten in denäußeren Radien für z > 0,9 auf,wo die Ititegranden auch nach dem Abspalten der Singularitäten noch stark variieren. Dieses Verhalten wirduns wahrscheinlich veranlassen, für spätere Rechnungen, insbesondere für unsymmetrische Druckdifferenzen, die analytische Formulierung zu ändern.
Dipl.-Ing. D. Wustrau, Bremen
Ich möchte meinen Diskussionsbeitragganz kurz in folgenden Worten zusammenfassen: ,,Da saß ich nun, ich armer Tor, und kam mir rechtverlassen vor ' ' Und in dieser Verlassenheit
und bei der Betrachtung Ihrer gewiß sehr schönen Gleichungen drängte sich mir eine Frage auf, die ich heutemorgen in meinem Vortrag streifte, als ich zeigte, daß mit kleiner werdendem
L/B-Verhältnis das Stahlgewicht des Schiffes günstig zu beeinflussen ist. Können Sie nun, Herr Dr. Sc h mie che n, aus Ihrer Forschungsarbeitheraus uns für die Praxis eine Grenze nennen, an die man mit dem L/B.Verhältnis herangehen kann, ohnedabei Kurs-stabilität und Steuerfähigkeit der Schiffezu gefährden?
Prof. Dr.-Ing. O. Griw, Hamburg
Es fällt mir schwer, zu dein Vortrag von Herrn Dr. Sc h mie ehen in der Diskussion zu sprechen.Die Schwie-rigkeit liegt auch für mich darin, daß ich nicht immer dem Manuskript folgen konnte. Wenn ich mich als Modell für einen bestimmten Personenkreis betrachten darf, möchte ich daraus doch schließen, daß Herr Dr.ehen versuchen sollte, etwas mehr auf Anwendungen einzugehen und es einem größeren Leserkreis Sc h in i e
-zu erniögli. ehen, diese Methode anzuwenden.
Nun möchte ich zu einem speziellen Punkt sprechen. An einer Stelle des Manuskriptes heißt
es: Im
zwei-dimensionalen Fall, d. h. zum Beispiel bei Kuisbewegungen von Schiffen oder bei Tiefenbewegungenvon Unter. wasserfahrzeugen läßt sich zeigen daß die Eigenwerte von Gamma überhaupt real sind. ImaginäreAnteile sind praktisch nicht möglich. Die Eigenbewegungen verlaufen in diesem Fall stets aperiodisch". Soweit diese Be. merkung sich auf die Kursbewegungeri von Schiffen bezieht, stimme ich dem zu. Das wird auchbestätigt durch die Beispiele, die in der bekannten Arbeit von Davidson und Schiff behandelt sind. In diesen
Fällen verlaufen die Eigenbewegungen, soweit die Stabilität überhaupt
vorhanden ist, aperiodiseb. Ich bin aber nicht so sicher ob das auch für die Tiefenbewegungen von
Unterwasserfahrzeugen so allgemein ausgesprochen werden kann. Bei diesen Bewegungen spielt das durch das Gewicht desFahrzeuges und die hydrostatische Kraft
verursac1te Moment eine Rolle. Wenn die Geschwindigkeit groß genug ist, ist der Anteil dieses Moments sicherlich
