ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6
Arkadiusz Tomczak
Stochastyczny model błędu pozycji GNSS
Słowa kluczowe: GNSS, GPS, DGPS, modelowanie błędu, stochastyczny model błędu pozycji, inżynieria ruchu morskiego
W artykule przedstawiono metodę budowy stochastycznego modelu błędu pozycji GNSS. Zaprezentowano również wstępne wyniki symulacji błędu DGPS, omówiono al-gorytm działania programu symulacyjnego i jego zastosowania w badaniach inżynierii ruchu morskiego.
A Stochastic Model of GNSS Position Error
Key words: GNSS, GPS, DGPS, error modeling, stochastic model of position error, marine traffic engineering
The article presents a method of stochastic modeling of a GNSS position error. Pre-liminary results of DGPS error simulation are presented, a simulation algorithm is de-scribed as well as its application in sea traffic engineering research.
Wprowadzenie
Ocena bezpieczeństwa manewrów na obszarach ograniczonych wymaga tworzenia modeli czynników wyznaczanych wskaźników bezpieczeństwa nawi-gacji [1]. Najistotniejszym czynnikiem decydującym o położeniu statku zobra-zowanego w zintegrowanych systemach nawigacyjnych jest błąd systemu pozy-cjonowania GNSS. Zbudowanie adekwatnego modelu błędu pozycji GNSS umożliwiłoby analizę wrażliwości prawdopodobieństwa awarii nawigacyjnej na zmianę wielkości i kierunku błędu w czasie trwania manewrów statku. Propo-nowane w literaturze podejście do modelowania błędu pozycji GNSS nie od-zwierciedla istoty problemu, którym zajmuje się autor. W dotychczasowych badaniach nad modelowaniem dążono do wydłużenia czasu trwania sesji pomia-rowej, na podstawie której wyznaczono błąd. Kierunek oddziaływania tego błę-du był jednak pomijany. W badaniach prowadzonych przez autora stwierdzono, że właśnie czas trwania pomiarów i kierunek działania wektora błędu jest czyn-nikiem najistotniejszym w procesie modelowania i czynniki te powinny zostać wzięte pod uwagę. Model zbudowany na podstawie takiego podejścia może lepiej opisywać rzeczywistość, a w konsekwencji pozwoli na dokładniejsze ba-danie wpływu błędu pozycji statku na prawdopodobieństwo awarii. Ze względu na losowy charakter zmiennej błędu pozycji za najodpowiedniejszą metodę bu-dowy modelu uznano metodę stochastyczną z wykorzystaniem symulacji kompu-terowej. W artykule przedstawiono metodę budowy stochastycznego modelu błę-du GNSS, który wykorzystano do budowy symulatora błębłę-du. W dalszej części zaprezentowano wstępne wyniki symulacji, na podstawie których sformułowano wnioski.
1. Założenia modelu
Analiza rejestrowanej trajektorii ruchu statku wykorzystując technologię pozycjonowania GNSS, technikę pomiarową RTK i DGPS oraz stację różnico-wą YALA w Dziwnowie wykazała, że budowany model powinien odzwiercie-dlać rzeczywistość w zakresie:
– RMS dla współrzędnych: x (długości geograficznej) i y (szerokości geo-graficznej),
– średniej wartości (m) błędu dla współrzędnych: x (długości geograficz-nej) i y (szerokości geograficzgeograficz-nej).
Ponadto model powinien odzwierciedlać ogólny charakter rozkładu błędu w funkcji czasu, czyli tendencji zmiany wartości błędu dla poszczególnych współrzędnych. Czas, przez jaki błąd odpowiednich współrzędnych utrzymuje
się w przedziale wartości dodatnich i ujemnych oraz jego wartość, wpływa bez-pośrednio na kierunek i czas utrzymywania się błędu pozycji statku w stosunku do jego wzorcowej trajektorii.
2. Budowa modelu
Stochastyczna metoda budowy modelu błędu pozycji GNSS opiera się na rozkładach zmiennej losowej błędu pozycji generowanych z wykorzystaniem metod symulacji komputerowej i z użyciem generatora liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym zakresu (0,1). Do najważniejszych rozkładów ze względu na spełnienie założeń budowanego modelu zaliczono:
A – rozkład wartości, w których błąd osiąga maksima i minima lokalne
(punkty przegięcia) dla współrzędnych x i y ;
2 dla 1 dla ) 2 2 ( 2 dla 0 p p p p p p x X x X P x x F (2.1)
3 dl 1 dla ) 3 3 ( 3 dla 0 p p p p p p y a y Y Y P y y F (2.2) B – rozkład wystąpień kolejnych, następujących po sobie wartości
do-datnich i ujemnych w funkcji czasu fx ,p fyp dla współrzędnych x i y;
C – rozkład zmian wartości błędu w funkcji czasu dla współrzędnych x
i y. 1 x xn xn (2.3)
592 , 0 dla 1 dla 592 , 0 748 , 0 ( 748 , 0 dla 0 x X x x P x x F (2.4) 1 y yn yn (2.5)
494 , 1 dla 1 dla 494 , 1 147 ( 147 , 1 dla 0 y Y y Y P y y F (2.6)Dodatkowo wykorzystano zależność pomiędzy liczbą kolejno występują-cych po sobie wartości błędu fx, fy zawierających się między punktami przegięć
błędu, a wartością zmiany błędu między punktami przegięcia Δxp, Δyp dla
od-powiednich współrzędnych x i y: 1 2 p p p x x x (2.7) 1 2 p p p y y y (2.8) p x x f 0,1790,0296 (2.9) y y x f 0,250,158 (2.10) Poglądowy rysunek 1 przedstawia ideę analizy zarejestrowanych wartości błędu współrzędnych x i y oraz schemat wyboru istotnych rozkładów.
p
x
x y x, ] [s Czas p fxy fxy 4 p xy px
x ] [s Czas{
p fxy fxy 4 p xy ekstrema lokalneRys. 1. Fragment rozkładu błędu pozycji GNSS w funkcji czasu Fig. 1. A fragment of GNSS position error distribution
W celu zwiększenia dokładności modelowania zjawiska zastosowano roz-kłady empiryczne dyskretne. Wstępna analiza wykazała, że użyte rozroz-kłady
normalny i loglogistyczny (rozkład C), wykazują podobieństwo do rozkładów wartości normalnego (rozkład A).
Do budowy modelu błędu pozycji GNSS wykorzystano generator liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym z zakresu (0,1), dostępny w śro-dowisku programowym Delphi 7.0, z losową wartością początkową. Do gene-rowania rozkładów empirycznych zastosowano metodę odwracania dystrybuan-ty, która polega na losowaniu u z rozkładu jednostajnego w przedziale (0,1) (rys. 2). qF(u) jest wówczas liczbą losową z rozkładu o dystrybuancie F [3].
F F(t) 1 qF(u) u t
Rys. 2. Metoda odwrotnej dystrybuanty Fig. 2. The method of reverse distribution transformation
2.1. Ogólny algorytm modelu
Model pracuje w czasie przyspieszonym i umożliwia generowanie błędu dla dowolnego przedziału czasowego z zadanym w sekundach krokiem czasowym oraz dla wybranej techniki pozycjonowania GNSS (DGPS, YALA, EGNOS, GPS). Ogólny algorytm działania programu symulacyjnego jest następujący:
Określenie początkowego znaku „+” lub „–” dla wartości ekstremów lo-kalnych (punktów przegięcia) według rozkładu procentowego występo-wania znaku dla współrzędnych x i y.
Określenie liczby (fxp, fyp) następujących po sobie wartości dodatnich
lub ujemnych punktów przegięcia dla współrzędnych x i y, w zależności od znaku początkowego: dla znaku dodatniego – wartości dodatnich, dla ujemnego – ujemnych, według rozkładu empirycznego.
Generowanie punktów przegięcia (xp, yp) rozkładu błędu w funkcji czasu
według rozkładu empirycznego. Liczba generowanych punktów jest równa liczbie fxp dla współrzędnej x i liczbie fyp dla współrzędnej y. Generowanie punktów rozkładu błędu (x, y) w funkcji czasu, pomiędzy
kolejnymi punktami przegięć w ustalonej kolejności: pkt. 2 – 1, 3 – 2, 4 – 3, itd. Liczbę generowanych zmiennych oblicza się z zależności (2.9; 2.10). Wartości zmiennych (x, y) generuje się według rozkładu empi-rycznego zmian wartości błędu Δx i Δy.
Model został zaimplementowany za pomocą kompilatora Delphi w języku Object Pascal. Interfejs modelu pozwala śledzić wyniki symulacji oraz wprowa-dzać parametry początkowe.
Rys. 3. Interfejs modelu symulacyjnego błędu GNSS Fig. 3. The interface of a simulation model of GNSS position error
2.2. Schemat blokowy programu symulacyjnego
Podaj czas symulacji w sekundach
Losuj fxp
Losuj xpi Losuj xpi1
Oblicz xpi xpi1xpi
Oblicz fx 0,1790,0296xp Losuj znak dla fx
Losuj xi
Oblicz xn1xnx
Ilość losowań = fx?
nie Czas < czas symulacji ?
Ilość losowań = fxp? nie nie Koniec tak tak tak
Rys. 4. Algorytm programu symulacyjnego w postaci schematu blokowego współrzędnej x Fig. 4. The simulation program algorithm for the x coordinate
3. Wyniki symulacji
W wyniku symulacji uzyskano wartości błędu współrzędnych x i y błędu pozycji GNSS dla techniki pozycjonowania DGPS. Dane, na podstawie których zbudowano model, pochodzą z badań rzeczywistych na promie „Jan Śniadecki”. Spośród zgromadzonych przejazdów promu, wybrano manewry wejścia do por-tu Świnoujście. Czas trwania rejestrowanych manewrów wyniósł 25 minut.
xpi xpi+1 Δxpi = xpi+1 – xpi Fx = –0,179 + 0,0296 Δxp fx fxp ? fx ? fxp
Zarejestrowano 1500 kolejnych pozycji statku z częstością rejestracji 1 s. Dane te posłużyły do zbudowania rozkładów użytych do budowy modelu. Poniżej przedstawiono wyniki symulacji błędu pozycji DGPS. W celach porównaw-czych zaprezentowano również wzorcowe (rzeczywiste) wartości błędu. Błąd poszczególnych współrzędnych powoduje odchylenie trajektorii DGPS statku od trajektorii wzorcowej. Na rysunkach 5 i 6 przedstawiono porównanie trajek-torii wzorcowej statku z trajektorią DGPS zmierzoną w czasie badań rzeczywi-stych oraz trajektorii wzorcowej z trajektorią DGPS wygenerowaną przez symu-lator. -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 0 500 1000 1500 Czas [s] Od c h y len ie [m ]
Rys. 5. Błąd pozycji DGPS współrzędnej x – wartości rzeczywiste Fig. 5. DGPS position error of the x coordinate – true values
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 0 500 1000 1500 Czas[s] o d c h y le n ie [ m ]
Rys. 6. Błąd pozycji DGPS współrzędnej x – wartości symulowane Fig. 6. DGPS position error of the x coordinate – simulated values
Zasymulowany błąd współrzędnej x odzwierciedla ogólny charakter rze-czywistego błędu. Odchylenia są stopniowe, zależne od poprzednich, nie wyka-zują tendencji do nagłych zmian o znacznej wartości. Podobieństwo symulowa-nych wartości do rzeczywistych potwierdza również nieznaczna różnica w war-tościach średniej oraz odchylenia standardowego, które dla współrzędnej x rze-czywistej i symulowanej wynoszą odpowiednio 0,065 i 0,01 oraz 0,677 i 0,708.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 500 1000 1500 Czas [s] Od c h y lan ie [ m ]
Rys. 7. Błąd pozycji DGPS współrzędnej y – wartości rzeczywiste Fig. 7. DGPS position error of the y coordinate – true values
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 500 1000 1500 Czas [s] O d c h y le n ie [ m ]
Rys. 8. Błąd pozycji DGPS współrzędnej y – wartości symulowane Fig. 8. DGPS position error of the y coordinate – simulated values
Symulowane wartości błędu współrzędnej y (rys. 7 i 8), podobnie jak war-tości współrzędnej x, oddają charakter błędu oraz wykazują duże podobieństwo w zakresie wartości średnich i odchyleń standardowych do wartości rzeczywi-stych: dla współrzędnej y rzeczywistej i symulowanej wynoszą odpowiednio 0,95 i 0,88 oraz 0,787 i 0,784. 200 210 220 230 240 250 200 210 220 230 240 250 x[m] y[m] DGPS RTK
Rys. 9. Trajektoria wzorcowa i trajektoria rzeczywista DGPS promu „Jan Śniadecki” Fig. 9. The reference and true DGPS trajectories of the m/f “Jan Śniadecki”
1140 1150 1160 1170 1180 1190 1140 1150 1160 1170 1180 1190x [m] y [m] SYM RTK
Rys. 10. Trajektoria wzorcowa i trajektoria symulowana DGPS promu „Jan Śniadecki” Fig. 10. The reference and simulated DGPS trajectories of the “Jan Śniadecki”
Odchylenie symulowanej trajektorii DGPS (rys. 10) od trajektorii wzorco-wej wynika z błędu współrzędnych x i y. W porównaniu do odchyleń trajektorii DGPS rzeczywistej od trajektorii wzorcowej (rys.9) zaobserwowano, że wartość symulowana utrzymuje się na poziomie wartości rzeczywistej DGPS oraz cha-rakteryzuje się podobnym przebiegiem, przebiegając przez dłuższy czas po jed-nej stronie trajektorii wzorcowej.
Wnioski
Analizując uzyskane wyniki można sformułować następujące wnioski: – porównanie ogólnego charakteru rozkładu błędu pozycji GNNS z jego
symulowanymi wartościami wykazuje znaczne podobieństwo;
– wartości średnich i odchyleń standardowych błędów obserwowanych w warunkach rzeczywistych i błędów symulowanych są prawie równe, nieznaczne różnice wydają się nie mieć istotnego znaczenia ze względu na rząd wielkości;
– do jednoznacznego stwierdzenia przydatności modelu konieczne jest przeprowadzenie weryfikacji modelu metodami statystycznymi;
– w przyszłości warto rozważyć szersze badanie typów rozkładów użytych w modelu, pozwoliłoby to na zuniwersalizowanie modelu i uproszczenie programu symulacyjnego;
– przedstawiony model stochastyczny ze względu na swoje właściwości może mieć zastosowanie w badaniach wpływu błędu pozycji GNSS na prawdopodobieństwo awarii statku, po uprzedniej weryfikacji.
Literatura
1. Gucma L., Modelowanie czynników ryzyka zderzenia jednostek
pływają-cych z konstrukcjami portowymi i pełnomorskimi, Akademia Morska,
Szczecin 2005.
2. Gucma S., Nawigacja pilotażowa, Okrętownictwo i Żegluga, Gdańsk 2004. 3. Wieczorkowski R., Zieliński R., Komputerowe generatory liczb losowych,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1997.
4. Kornacki J., Mielniczuk J., Statystyka, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.
5. Kaplan Elliot D., Understanding GPS principles and applications, Artech House, Boston, London 1996.
Wpłynęło do redakcji w lutym 2006 r.
Recenzent
dr hab. inż. Jacek Januszewski, prof. AM w Gdyni
Adres Autora
mgr inż. Arkadiusz Tomczak Akademia Morska w Szczecinie Instytut Inżynierii Ruchu Morskiego Zakład Urządzeń Nawigacyjnych Wały Chrobrego 1/2 70-500 Szczecin
