P O L S K A A K A D E M I A N A U K — O D D Z I A Ł W K R A K O W I E
KOMI S J A N A U K E K O N O M I C Z N Y C H I STATYSTYKI
K R A K O W S K A
A K A D E M I A
IM. ANDRZKJA FRYCZA M O D R Z E W SK IE G O
folia oeconomica
cracoviensia
KOMISJA NAUK EK O N O M IC Z N YC H I STATYSTYKI
KR AKOWS KA AKA DE MI A
IM. ANDRZEJA FRYCZA M O D R Z EW SK IEG O
FOLIA OECONOMICA
CRACOVIENSIA
Vol. LIII
201 2
WYDAWNICTWO ODDZIAŁU POLSKIEJ AKADEMII NAUK KRAKÓW
prof. dr hab. Andrzej Iwasiewicz
KOMITET REDAKCYJNY prof. dr hab. Anna Czubala prof. dr hab. Henryk Gurgul
prof. dr hab. Jacek Osiewalski — Sekretarz Naukowy Komisji Nauk Ekonomicznych i Statystyki Oddziału PAN w Krakowie i sekretarz naukowy Komitetu Redakcyjnego
Adres Redakcji 31-018 Kraków, ul. św. Jana 28
Wydanie publikacji finansowane przez Polską Akademię Nauk
oraz Krakowską Akademię im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego
Redaktor tomu Natalia Gackowska
© Copyright by Autorzy, Polska Akademia N auk Oddział w Krakowie
Kraków 2012
ISSN 0071-674X
Realizacja wydawnicza: PAN Warszawska D rukarnia N aukow a Skład i druk: PAN Warszawska D rukarnia N aukowa
ul. Śniadeckich 8, 00-656 Warszawa tel7fax 22 628-76-14
e-mail: w dnpan(a)w dnpan.pl w w w .w dnpan.pl
Je rz y M a rz e c , Jacek O sie w a lsk i: D w uw ym iarm uy model typu Z IP-CP w łącznej analizie zm iennych liczni
kowych ... 5
M a te u s z P ip ie ń : Orthogonal transformation of coordinates in copula M -G A R C H models — Bayesian analy
sis for W IG 20 spot and fu tu re s r e t u r n s ... 21
A rtu r P rę d k i: Podejście statystyczne w metodzie D EA na przykładzie jednoproduktowego modelu B a n kera 41
R e n a ta W ró b el-R o tter: Wybrane zagadnienia współczesnego modelowania strukturalnego, część I:
Estymo-wane modele równowagi ogólnej w z a r y s ie ... 59
R e n a ta W ró b el-R o tter: Wybrane zagadnienia współczesnego modelmoania strukturalnego, część II: W niosko
Vol. LIII (2012) PL ISSN 0071-674X
DWUWYMIAROWY MODEL TYPU ZIP-CP
W ŁĄCZNEJ ANALIZIE ZMIENNYCH LICZNIKOWYCH
J E R Z Y M A R Z E C
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie
e-mail: marzecj@uek.krakow.pl
JA C E K O S IE W A L S K I
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie
e-mail: eeosiewa@cyf-kr.edu.pl
A BSTR A C T
J. Marzec, J. Osiewalski. Bivariate ZIP-CP type model in the joint analysis of count variables. Folia Oeco- nomica Cracoviensia 2012, 53: 5-20.
In the paper a generalization of the Berkhout and Plug (2004) bivariate Poisson regression model is proposed; in the Berkhout and Plug model one of the variables has the marginal Poisson distribu tion, while the other follows the conditional Poisson distribution. In the new model the marginal distribution is of the ZIP type and has the same parameterization as the hurdle model. Bayesian estimation of the model and the formal Bayesian comparison of its two alternative specifications are presented. The empirical example concerns joint modelling of the number of cash payments and bank card payments in Poland as well as inference on their correlation.
ST R E SZ C Z E N IE
W pracy zaproponowano uogólnienie modelu dwuwymiarowej regresji poissonowskiej, który wprowadzili Berkhout i Plug (2004), przyjmujący brzegowy rozkład Poissona dla jednej zmiennej i warunkowy rozkład Poissona dla drugiej. W nowym modelu rozkład brzegowy jest typu ZIP i ma taką parametryzację jak w modelu płotkowym. Przedstawiono bayesowską estymację tego modelu i formalne bayesowskie porównanie dwóch alternatywnych jego specyfikacji. Przykład empiryczny dotyczy łącznego modelowania i wnioskowania o korelacji między liczbą płatności kartą i gotówką w Polsce.
KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE
bivariate Poisson regression model, zero inflated Poisson model, bank card and cash payments dwuwymiarowe modele regresji Poissona, model Poissona z nadwyżką zer,
1. W P R O W A D Z E N IE
R eg resja p o isso n o w sk a je s t p o d sta w o w y m m o d e le m an alizy z m ie n n y c h licz n ik o w y ch (tj. o w arto ściach ca łk o w ity ch n ie u je m n y c h ). Istn ie ją je j d w u w y m ia ro w e u o g ó ln ien ia; n ie k tó re n a k ła d a ją o g ran iczen ia n a k o relację m ięd zy z m ie n n y m i, in n e p ro w a d z ą do k o m p lik acji n a tu ry sta ty s ty cz n o -n u m e ry cz n e j; zob. np. K o ch erlak o ta i K o ch erlak o ta (1992), W in k elm an (2008). N a ty m tle o b iecu ją c y je s t m o d el, k tó ry z a p ro p o n o w ali B e rk h o u t i P lu g (2004) p rz y jm u ją c b rz e g o w y ro zk ład Poissona dla je d n e j z m ien n ej oraz w a ru n k o w y ro zk ład Poissona dla dru giej (p rzy u stalo n ej p ierw szej). M o d e l P -C P (Poisson — conditional Pois
son) je s t łatw y w esty m acji i d op u szcza k o relację ró ż n e g o zn aku (d o d atnią albo u je m n ą ), ale z n a k te n zależy od zn aku je d n e g o p aram etru , a n ie od z m ien n y ch o b jaśn iający ch ; zob. tak że M arzec (2012). M o d e l P-C P został u ży ty w Polsce do b a d a n ia z ależn o ści m ięd zy liczbą tran sak cji d o k o n y w a n y ch g o tó w k ą i liczbą tran sak cji d o k o n y w a n y ch k artą b a n k o w ą (zob. Polasik, M arzec, Fiszeder, G órka (2012)); w b rew in tu icji k orelacja m ięd zy n im i o k azała się d od atn ia, co sk łania do p o n o w ien ia bad ań , ale p o ro zszerzen iu o graniczon ej specyfikacji B erk h o u ta i Pluga.
M o d e le reg resji dla sk ok ow ej z m ien n ej o b jaśn ian ej z n a d m ie rn ą liczbą zer zo stały sp o p u la ry z o w a n e p rz e d e w szy stk im p rzez artyk u ł L am b erta (1992). C a m ero n i Trivedi (1998, 2005) oraz W in k elm an (2008) p rze d sta w ia ją ek on om e- try cz n e m o d ele d a n y c h liczn ik o w y ch z p rzy k ład am i ic h z asto so w ań w e k o n o mii. W p racy ro z w a ż a m y u o g ó ln ien ie m o d elu P -C P p o le g ające n a zastąp ien iu b rz e g o w eg o ro zk ład u P oissona p ierw szej z d w ó c h z m ie n n y c h ro z k ła d em ty p u Z IP (zero inflated Poisson), p rzy p o zo staw ien iu w a ru n k o w eg o ro zk ład u Poissona d ru giej zm ien n ej. R ozk ład ty p u Z IP m o że m ieć u zasad n ien ie w w ielu sy tu acjach p ra k ty cz n y ch , g dy ż b y w a tak, że z ero w a w arto ść z m ien n ej o b serw o w a n ej je s t ja k o ścio w o o d m ie n n a od in n y c h w artości. P ro p o n o w a n a w tej p racy p a ra m e try zacja o d p o w iad a tzw. m od elow i p łotk o w em u (ang. hurdle model). O siew alski (2012) w p ro w ad ził sk ok o w y ro z k ła d d w u w ym iarow y, n a z w a n y Z IP -C P (Z IP
— con d itio n a l P oisson) i p o d ał je g o m om en ty. M o del d w u w y m iaro w ej regresji p o isso n o w sk iej, o p arty n a ro zk ład zie ZIP-CP, p ro w ad zi do zn aku k ow arian cji z a le ż n eg o od w artości z m ie n n y c h o b jaśn iający ch . G łó w n y m ce le m p racy je s t o m ó w ien ie estym acji i em p iry czn eg o w yk orzystan ia teg o m o d elu statysty czn eg o , n a z w a n e g o też Z IP -C P (tak, ja k leżący u je g o p o d staw ty p rozkładu).
W n a stę p n e j części p racy p rz e d sta w ia m y zw ięźle ro z k ła d y P-C P i Z IP-C P sk u p iając u w ag ę n a m o m e n ta ch rzęd u 1 i 2 oraz w sp ó łczy n n ik u korelacji. W trze ciej o m aw iam y m o d el staty sty czn y ty p u Z IP -C P i je g o u jęcie b ay eso w sk ie, zaś w czw artej p re z e n tu je m y p rzy kład em piryczny.
2. R O Z K Ł A D Y P -C P I Z IP -C P O R A Z Z W I Ą Z E K M I Ę D Z Y IC H M O M E N T A M I
R o zw ażam y łączn y ro zk ład p ra w d o p o d o b ień stw a d w ó ch z m ie n n y c h lo sow ych (Y i , Y2) — p rz y jm u ją c y c h w artości c ałk owi te n ieuje m n e — i p rz ed staw iam y go n a stęp u ją co:
P r f f = i, Y2 = j } = P r {Yi = i} Pr {Y2 = j I Yi = i } = g l h ( j , Ą , ( i j " N ! { 0 }) . (1) Je ś0 ro z H a d b ra e g o w y z m io n nej j ^;[ ^ s t ro zId a m m I^oi:^£^c^na o w artości o czelOw a- n e j i w aria n g i - j , a r ozCOed w nru n k ow y Yi p rz y u sIa lo n e j w ccto śd zm ie n n e i Yj j c rt r ozk ted e m P aisso n c o w arJości o czek iw a n ej iw a r ia n c ji m2e x p (a Y j), czyli
g ( i ) = e x p ( - p ) ( " ) ' /i ! , h ( j , i) = exp [- " e x p ( a ) ] (" " ) J e x p ( a j) / j ! , (2)
to m a m y ro zk ład d w u w y m iaro w y P -C P (Poisson — conditional Poisson), k tó ry za- jcro p o n o w ali B erk h o u t i P lu g (2004) i u z yskali d l a n ie o a w^]^n il?ai m .in . w p o staci n a stęp u ją cy ch m o m en tó w :
E ( Y 2) = # e x p [# ( e a - 1)], (3)
£ [(72) 2] = E ( Y 2) + [ E # exp[Ą ( ! - - 1)2], (4)
V a r(Y 2) = i ? - 1 ) 2] - 1 } , (5)
E { Y ^ e ^ E Y ) . (6)
Jeśli a ^ 0, to b ez w a ru n k o w a w ari an cja (5 ) z m ien n ej Y2 je s t w iększa od w artości o cz e kiw a n e j (3). Z ależ n ość m ię d zy ob u z m ie n n y m i spr aw ia, że b rz e g o w y ro z kł ad zmi e n n ej Y2 o d p k w ia d a ęm p iry czn i e c z ęstej sy -u acjj zw i ęk sz on ej w arian cji d a n y ch liezn ik ow y cW. lEOrj^tsg o w y eo zkła d zmie n waj Z - c:zy i:i r o ekłe d Poisaon e, n ie m a tej w łaśyiw o śei. J e st to p ieaw szy p o m 3d u o g ó haien ie d w u w y m iar ow ego ro z r kłmdn P -C P p z rc z w p eow a dayn i e co old a d o . 1 . o r m iej t y o boz yg o w e g 0 r o olCadu Poiss o n a . N a la ip tea za u w a ży ćj ż e z n a k P ow ariancji m ię d z y Wy i Yj , c z y l i z n ak w jn a ż eniy
C k K « ) = - £ ( % - № ) = b b “ - № h ) , (7)
zależy je d y n ie od zn aku stałej rzeczy w istej a , a n ie od w ielkości X y A2, para- m e try z o w a n y ch g łębiej (u z a leż n ia n y ch od j)z m ie n n y c h o b ja śn ia ją cy ch ) )w staty sty cz n y ch z a sto so w an iach tego m o d elu probabilisty cznego . W tej części k rótko p rze d staw im y u og ó ln ien ie , k tóre w p ro w ad ził O siew alski (2012), d o p u szczające
m o żliw ość u z m icn n ie n ia yego zn ak u , w zależn o ści od w arto tci zm i e n n y ch ob ja śn ia jący ch p ozi om j =
O b e cnie zoaw aż am n in n o, it^^i'^:ii!ii5i;z:;;^ n iż (h) p śzy p r d ek, w k ia cy m Cącwn y
m r u je m n n o e (% j " -/V U -^(0}-) je i y z k - ećCo n ą y zzzg t i r aoom w cou nCown hozłeład Za p rc y u sJ:a2ąndm Zt :
oeaz ro rkCan byśśg - w y zm ien nej Yw k tór y odm oen n ie n ir w (1.C traktu je w arto ść 0:
g dzie c je s t u sta ło n j Iicab ą z p rz ed zi ału (0, (.), z aż h cn k zje g i ( zą tałd e sśene j ak w (ai. J eśli J = &(zj/ to Pr e^ = p = g ( 0 = g ( 0 = P a 0 i j= ,r i ob a r r z lk a d]°i Inczn c są iś t n ty czn e. Jeeh y i o W ) o fu n k cje g i h ś c d a n e aą w z o t ^c:iciO (Oj , eo^ i c;-. p oioac - n z w skie, to b rz eg o w y r ozkład zm ie n n ej ° t jer% ty p u iO P (Z zro tInfla tzU i oiss o e ) ooa w aeun k oacy d(c Y2 p onostmje rozdtadzm I^oi.siir.onc^. R o -M a d ł akt ynnacc a my Z lP -C R a ja g o m o m en ty m a ją ogóln ą p o sta t
^ ( Y / Y - = (1 - g(0))-C [(l - Y W m Y C a + -(?-- g { Q ) W E i Y 2n | Y, = 0 )], (10)
Cdzie w yZorzy stu je n-ę zn t n ą p ost a ć m om en tó w r o zlkładu ^-djE V Cg ezcz e g ólności:
E \ Y 22) = (1 - gCO))-1^ - y) E ( Y 22) + " - g ( 0 ) ) ! ( 1 + ! ) ] , (14)
E ( Y Y E = (1 - g ( 0 ) ) -1 (1 - yW # ) = (1 - (0(O))_1 (1 - # ) " e x p ( a ) E ( Y 2) , (15) r a ą k ła d pcaw d ś jtn d n a ie ź s tw a Pr yzj = m, Z, =z zm ts n n o cłr Ch), m o w arżcńaircd
{^"2= o 1 y = a = K j i o = pc o i = a i n = y$ (g> a d/a i = 0, P r*a = i0 = g * ( 0 = -l i - r g(/) dZa i % N , (9) l - g ( 0 ) i ? * ^ ) = ( 1- g c o ) ) - ^ - ^ d ) = ( i - g ( o ) ) - i ( i - ,/ ) Ą , (11) £ * ( 7 / ) = (1 - g ( 0 )) - 1(1 - r ) E (Yj2) = (1 - g ( 0 ))- 1(1 - r ) ! ( 1 + ! ) , (12) E * ^ ) = (1 - g (O))“1 [(1 - y ) E ( Y 2) + ( " - g ( 0 ) ) ^ ] , (13) (
16
)1 - g (0 ) # - g (0 ) 1 - 1
C o y # J 2) = {C ov{Y x , Y 2) + Y- # " ± ! [ E ( Y 2) - A J }, (18)
Y - g (0 ) 1 - g ( 0 ) co c ro w adki d o w sp ółczy n n ik a korelacji p o st aci
C o r r \ Y x, j = , 1 g W , (19)
1/.(1 + p Y ^ ^ g ) + " E Y !i,,;( Y2) - ! ]2 + " Y ! ,}
0 ^ - JĘf(0]> S - &(0) 1 - "
g d zie E(Y2), Var(Y Z) i Cot^ Y j, Y 2) sv m o m e n tam i ro zk ład u P- C P d an ym i w (3), (5) i (7). R ó w Y ow ayn y z apis k o w nria n cj2 w ro z kła dzae ZIP-C P to (p o p rosty ch p r z e
k s z t a łc e n ia c h )
Cov* ( ) , Ę ) m (1 - g (0 ))-2(l - y i ! 1 (1 - C(0)) ex p (a)E (Y ,) - (1 - y)E (Y 2) - (y - g (0))A ,] = a - e m * - ! i ) " 2(i - y n o Y1 - e x o ( - ! ) y - (i - y)] «j;k:]3(>w.1i;ć'ct - 1)) - y + e z p o - c ) } .
W i dzim y, z e zzme n n e loso w e (Yj, Y i) 0 łocony m r ozkładzie p r aw d op od o b ień stw a
z i p-c p
1) są sk o relow a a e u je m n ie, jeśli
[(1 - e n o O -Ą ))
e a
- (1 - j#)] ee p(Ą (e “ - 1)) < " - ex p ( - ! ) ,
2) k j sk oralo w a n e d o dlatn io, j eśd[(1 - osp d -H
," e #
- (1 - y)] ekp(! (e# - - ) > o -
e x p (-C ,) a
3) są n iesknr c low a n e ,je ś liW#- ex p ( - ( n ) ) C - ( 1 - - ) ] e * ^ ! (- n - 1 ) ) = o - ^ar:]j:)(-^:>.
W p rzy p adku ) = = exp$—1 l), czyli b rz e g o w eg o ro zk ład u P oissona dla
Y 1, k tó ry p rzy jęli B e rk h o u t i P lu g (2004), sk om p lik o w an a fo rm u ła k ow arian cji o(18) i (20) sp ro w ad za się do z n aczn ie p rostszej p ostaci (7), gdzie z n a k kow arian cji zależy je d y n ie od zn aku stałej a . W p o zo stały ch p rzy p ad k ach , tj. g d y brzeg o w y ro zk ład dla Y 1 je s t ty p u Z IP z n a k k ow arian cji (20) zależy od w artości p rz y jm o w a n y c h p rzez mi i a (a n ie tylko od zn aku tej d ru giej stałej). O czy w iście, k o n k retn a w arto ść k ow arian cji w rozk ład zie Z IP-C P (a n ie sam je j zn ak) oraz w artość w sp ó łczy n n ik a korelacji (19) zależą od w szystkich stały ch w y stęp u ją cy ch w fu n k cji p raw d o p o d o b ień stw a teg o ro zk ład u , tj. od c , Aj, A2 i a .
Z a u w a ż m y też, że z w ięk szen ie p ra w d o p o d o b ie ń stw a zerow ej w artości Yj (w stosu n ku do rozk ład u P oissona o w artości o czek iw an ej i w arian cji Aj), czyli
p rzy jęcie ro zk ład u Z IP z y > g (0 ), p row ad zi do w arian cji (16) w iększej niż w ar tość o cze k iw an a (11). Z a tem ro zk ład Z IP-C P u m ożliw ia m o d elow an ie zw ięk szo n ej w arian cji obu o b serw o w a n y ch z m ie n n y c h liczn ikow ych , ch o ciaż nie są one trak tow an e sym etrycznie.
3. M O D E L S T A T Y ST Y C Z N Y T Y P U
Z IP-CP
R o z w ażam y T sto ch a sty czn ie n iez a leż n y ch dw u w y m iarow y ch z m ie n n ych loso w ych (Y1;,
Y2t
', t
= 1,2, ...- Oy o hóż n ju h r c z n łr d ach ty pu Z IP -C P p o s lz oP r * % - w
,
4= j }
= g= (i)h { j, i) (i, j E ; N U {0}) ,
(21) P r ^ = i} = # * ( i ) = ' y t d l a i = 0, l ~Y
t g t i ) 1 - g t ( 0 ) d l a i & N= g t ( i ) = e x p ( - " () ')’ / i \ , " 2) P r * { 4 = P I = 0 = - U " ) = e x p [ - " ) e x p ( ! ) \\( " t Y " x e ? { c d j) lĄ (23)# = <Ż^
I
) <.-,e^/2?i
S =exp(+ c! i ),
/ = (K p C -e^ A ,,) = ex p( -
z
j 1# (24)g dzie x t i w t są w ierszam i w artości z m ie n n y c h o b ja śn ia ją cy ch , k tó re m o g ą się p o k ry w a ć (w części lu b w całości). Z m ien n e o b jaśn iające ok reślają p ra w d o p o d o bień stw a p o ja w ien ia się p o szcze g ó ln y ch w artości z m ie n n y c h Y1t i Y2t, a w p ły w z m ie n n y c h o b ja śn ia ją cy ch n a te p raw d o p o d ob ień stw a je s t d ete rm in o w a n y w iel kością p o szcze g ó ln y ch sk ład o w y ch k olu m n b 1 i b 2 oraz w ielk ością p aram e tru 5, p rzy czy m p aram e tr 5 d ecy d u je o w ielkości o d ch y len ia p ra w d o p o d o b ień stw a, że Y1t= 0 , od w artości w y n ik ającej z ro zk ład u Poissona. W ta k o k reślo n y m p ara m e try c z n y m m o d elu staty sty czn y m w ek to r p ara m e tró w 6 je s t k olu m n ą g ru p u jącą 5 , a , b i b 2. Z au w ażm y, że m o m e n ty ro zk ład u łączn eg o p ary (Y1t, Y2t), p o d an e w p o p rzed n iej części pracy, zależą teraz od z m ie n n y c h objaśn iający ch .
W literatu rze sp ecy fik acja op arta n a w zo rze (22) je s t n a z y w a n a m o d elem p ło tk o w y m — ang. hurdle model; zob. C a m ero n i Trivedi (2005), s. 680. P orów n a n ie tej sp ecy fikacji z o ry g in a ln y m m o d e le m Z IP p o d a je W in k elm a n (2008). G łó w n y m i zaletam i n aszej p ro p o zy cji są p ro stota p aram e try zacji i stąd w zględ n a łatw ość estym acji, a zw łaszcza p rostota te sto w an ia zasad n o ści re d u k cji n o w eg o
m o d elu d o stan d a id o w e g o m o d elu Poissom . Poró w n y w e n ie o r ogam lo eg o m o d elu Z l P z e sta n d a rd o w y m m o d elem P oissona n astręcza p ro b lem y zw iązan e ze s p ecuPkaoj a m i (hip o te z am i) n i ezag n ie ż d ż o n y m i ;z o b .W (n k alm an(O 0080, ;^Sr. 180 .
Jeśli z a o b serw o w a n o Y 1; = y1t 2 Y2; = y2t (t = 1,2,...,T), to o d p o w ia d a ją ca ty m w arto ścio m fu n k cja w iary g o d n o ści m a postać
g dzie y o zn acza m acierz (2xT) zaw ierającą zao b serw o w an e w artości z m ien n y ch
W em p iry cz n y ch zasto so w an iach tego m o d elu w ażn e je s t nie tyle w n io sk o w an ie o 6 = (5, a , b i b 2')', ile raczej o w ielu n ielin io w y ch fu n k cja ch p aram etru 6 — tak ich , ja k p ra w d o p o d o b ień stw a łączn e, b rz e g o w e i w a ru n k o w e ró ż n y ch w artości p ary (Y1t, Y 2t) oraz m o m e n ty i in n e ch arak tery sty k i je j rozk ład u . M ało- p ró b k o w e w n io sk o w an ie zaró w n o o 6 , ja k i n ielin io w y ch fu n k cja ch 6 , m ożliw e je s t n a g ru n cie statystyki b a y eso w sk iej, k tó rej p o d staw y i p rzy k ład y zasto so w ań w em p iry cz n y ch b a d a n ia c h e k o n o m ic z n y ch p re z e n tu ją np. O siew alsk i (2001), O siew alski i P ajo r (2010).
J a k w iad o m o , p o d ejście b ay eso w sk ie sp ro w ad za się d o o k reślen ia n a p rze strzen i p a ra m e tró w m iary p ro b ab ilisty czn ej (lub p rz y n a jm n ie j v - s k o ń c z o n e j) z w an ej ro z k ła d e m a priori, a n a stę p n ie w y k o rzy stan ia fu n k cji w iary g o d n o ści do u zy sk an ia ro zk ład u a posteriori p a ra m e tró w (w a ru n k o w e g o w z g lęd e m da n y c h i re p re z e n tu ją c e g o k o ń c o w ą w ie d zę o 6). W szczeg ó ln o ści w a ż n y m za- d an i e m j e s t okr e ślen i e k i eru n k u i siły korelacji m ię d z y Y 1; ii Y2;, czyli p o d anie (dla d a n e g r i) p r nw d o p o d obee ń n tw a a / iz sienorz uje m n e j k orelacji , tj . w aru n k u [(1 - ex p (- ! 1t))e# - (1 - " t)] e x p ( ! t( e a - 1)) < " t - e x p ( - ! j t) ., oraz p re z e n ta c ja p e ł n e g o ro zk ład u a posteriori w sp ó łcz y n n ik a k orelacji o o gó ln ej p ostaci (19). D o d atk o w ą m ożliw ością je st form aln e b ay eso w sk ie p o ró w n a n ie em p iry czn ej ad e k w atn o ści d w óch n ie z a g n ież d ż o n y ch m od eli Z IP -C P o d p o w ia d a ją cy ch zam ianie k olejn ości z m ie n n y c h o b ja śn ia n y ch (czyli ic h n u m eracji). Stw arza to n o w e pole b a d a ń statysty czn ych . B ad an ie ad ek w atn o ści p ro stszeg o m o d elu P-C P k tó ry z a p ro p on ow ali B erk h o u t i P lu g (2004), sprow ad za się w ram ach specyfikacji (21)-(24) do te sto w an ia p ro stej h ip o tez y 5 = 0; m o ż n a to p rzep ro w ad zić form aln ie — p o ró w n u ją c czy n n ik i B ayesa d w ó ch n ie z a g n ież d ż o n y ch m od eli z 5 = 0 i 5 ^ 0 — lub u ży ć n ie fo rm aln eg o , ale p rostszeg o, testu ty p u L in d ley a w o g ó ln iejszy m m od elu , d o p u szczający m d o w o ln ą rzeczy w istą w artość 5. D od ajm y , że 5 > 0 (5 < 0 ) ozn a cza p ra w d o p o d o b ień stw o zerow ej w artości z m ien n ej Y1t m n ie jsz e (w iększe) niż w m o d elu Poissona. Z a tem w a ż n ą k w estią je s t obliczenie p ra w d o p o d ob ień stw a
a posteriori takiej sytuacji.
A by określić bay eso w sk i m o d el ty p u Z IP-C P n ale ży p rzy jąć ro zk ład a priori w ek to ra 6. W p ierw szej p racy d o ty czącej tak iego m o d elu p ro p o n u je m y założyć
n ie zale żn o ść a priori p ara m e tró w i dla k ażd eg o in d y w id u aln ie p rzy jąć stand ar d o w y ro zk ład n o rm a ln y N (0 , 1). Z e ro w e w artości o czek iw an e a priori ozn aczają, że n ajw ięk szą szan sę d ajem y w stęp n ie n ajp ro stsze m u m od elow i, w k tó ry m { Y 1t} i { Y 2t} są n iezależn y m i od siebie próbam i losow ym i pro stym i z d w óch rozk ład ów Poissona. Jed n o stk o w e od ch y len ia stan d ard o w e a priori d ają g w aran cję, że sp ecy fikacje od ległe od tej n ajp ro stsze j m a ją b ard zo isto tn e w stę p n e szanse. W ydaje się, że taki p ro sty łączn y ro zk ład a priori niesie słabą tylko w ie d zę w stę p n ą (nie je s t b ard zo in fo rm acy jn y ) i g w a ra n tu je łatw ość sy m u lacji M o n te C arlo z rozkładu
a posteriori, ale je g o k o n k retn a rola in fo rm a c y jn a (w stosu n ku do fu n k cji w iary god ności) oraz w rażliw ość rozk ład u a posteriori są k w estiam i em p iry czn y m i, które n ale ży b ad ać od ręb n ie dla k ażd eg o an alizo w an eg o zestaw u d w u w y m iaro w y ch d a n y ch licznikow ych.
4. P R Z Y K Ł A D E M P IR Y C Z N Y
W celu ilustracji em p iry czn ej p rzy d atn ości z a p ro p o n o w a n eg o m o d elu statystycz n e g o ty p u Z IP-C P oraz m ożliw ości, ja k ie daje je g o analiza bay eso w sk a, w ykorzy stam y d an e, które Polasik, M arzec, F iszeder i G órka (2012) badali sto su jąc m od el p ro stszy (P-CP), szaco w an y m e to d ą n ajw ięk szej w iary go d n o ści. D an e p rzed sta w iają liczbę p łatn ości g otó w k ą i k artą p łatn iczą d o k o n a n y ch (w m iesiącu) przez
T = 1190 osób, k tóre w p aźd ziern ik u i listopadzie roku 2010 oraz w styczniu roku 2011 an k ietow ał Pentor. W y m ienien i au to rzy u zyskali i analizow ali te d an e w ra m a ch p ro jek tu b ad aw cze g o fin an so w an eg o p rzez N a ro d o w y B a n k Polski w roku 2010. W yniki te w sk azy w ały n a d o d a tn ią k o relację m ięd z y liczbą p łatn o ści g o tó w k ą i k artą płatniczą. O b ecn ie spraw dzim y, czy zastąp ien ie b rz e g o w eg o roz kład u Poissona je d n e j z m ien n ej ro zk ład em typu Z IP je s t em p iry czn ie zasad n e, a u z m ie n n ie n ie w te n sp osób m o żliw eg o zn aku k orelacji m ięd z y zm ien n y m i w skaże na u je m n ą k o relację m ięd zy liczbą p łatn ości g o tó w k ą i k artą (dla p rzy n a jm n ie j części re sp o n d e n tó w ). W n in iejsz y ch b ad an iach , o ch arak terze p rzed e w szy stk im m e to d y c z n y m , w y k o rz y stu je m y d an e su ro w e, tzn. b e z in d y w id u aln y ch w a g u w z g lę d n ia ją cy ch re p re z e n ta ty w n o ść p o sz cz e g ó ln y c h o b serw acji (resp o n d en tó w ) w ch o d z ą cy ch w skład p róby; Polasik, M arzec, F iszed er i G órka (2012) użyli d a n y ch w ażo n ych.
W Tabeli 1 p o d a je m y zm ien n e o b jaśn iające i ic h ty p o w e w artości, tj. średnie w p rzy p ad k u z m ie n n y c h ciąg ły ch i n a jcz ę stsz e dla z m ie n n y c h d y ch o to m icz- nych.
W Tabeli 2 p rze d staw iam y d w u w y m iaro w y ro zk ład em p iry czn y liczby p łat n o ści g o tó w k ą i k artą oraz je g o ro zk ład y b rze g o w e. Ś re d n ia liczba p łatn ości g o tó w k ą w y n o si 20,5 (w arian cja je s t ró w n a 299), śred n ia liczba p łatn o ści kartą w y n o si 5 (p rzy w a rian cji 45), k o relację em p iry cz n ą zaś ch a ra k tery z u je w sp ó ł cz y n n ik ró w n y 0,008, w sk a z u ją cy n a b ra k liniow ej zależn o ści m ięd zy liczbą
płat-Tabela 1 Informacje sumaryczne o zmiennych objaśniających
Zmienna objaśniająca Średnia/ modalna
Płeć (1-mężczyzna, 0-kobieta) 0
Wiek (w latach) 40
Stan cywilny (1-żonaty lub zamężna, 0-nie) 1
Miejsce zamieszkania (1-miasto, 0 — wieś) 1
Miesięczny dochód w rodzinie (w tys. zł) 3,5
Wykształcenie (lata nauki) 12,5
Czy posiada internet (1-tak, 0-nie) 1
Źródło: opracowanie własne.
ności k artą (Y1) i g o tó w k ą (Y2). D la obu z m ie n n y c h o b se rw u je m y em p iry czn ą w a ria n c ję zw ię k szo n ą w stosu n k u do śred n iej. P on ad to m o ż n a zau w aży ć ró ż n ice m ięd zy ro zk ład am i b rzeg o w y m i, tj. em p iry czn y ro zk ład Y2 je s t p rzesu n ięty n a p raw o (na osi n o śn ik a ro zk ład u ) w z g lęd e m p emp(y1), tzn. w arto ść m o d aln a i m e d ia n a dla liczby tran sak cji g o tó w k ą są w iększe n iż dla p łatn o ści kartą. D la tej ostatniej fo rm y p łatn ości o b serw u je się d u żą frak cję z er (34% ), k tóra k on tra stu je z n isk im (około 0,007) p ra w d o p o d o b ień stw em zera, o b liczo n y m z rozkład u Poissona o w arto ści o czek iw an ej ró w n e j śred n iej z p ró b y (czyli 5). D la p ła tn o ści g o tó w k ą frakcja zer w y n o si około 2% , co p rzew y ższa p raw d o p o d o b ień stw o z ro zk ład u Poissona ró w n e zaled w ie 10-9. W obu p rz y p a d k a ch w sk azu je to na p o trz eb ę zastoso w an ia ro z k ła d ó w z n ad w y żk ą zer.
U w z g lęd n ia m y te sam e zm ie n n e o b ja śn ia ją ce dla obu z m ie n n y c h liczn ik o w y ch , a zate m (biorąc p o d u w ag ę w y razy w o ln e w re g re sja ch poisson ow skich ) b i i b 2 są k olu m n am i 8-w y m iarow y m i, n ato m iast w ek to r w szystkich p aram etró w 6 je s t k o lu m n ą 18-w ym iarow ą. P rzyp om n ijm y, że 6 m a łączn y n o rm a ln y rozk ład
a priori o w artościach o cze k iw an y ch 0 i jed n o stk o w e j m acierzy k ow ariancji. Próbę z ale żn ą z 18-w y m iarow eg o ro zk ład u a posteriori sy m u lu jem y za p o m o cą se k w e n cy jn e g o ła ń c u c h a M etro p o lisa i H astin g sa (M -H ), tj. m e to d y z g ru p y M C M C
(M a rk o v C hain M o n te Carlo). W p rzy p ad k u obu m o d eli (M 1: Y1t o zn acza liczbę p łatn o ści k artą a Y 2t — liczbę p łatn o ści g o tó w k ą, M 2: n a od w rót) p rz e p ro w a d zo n o 500 ty sięcy lo so w ań trak to w an y ch ja k o próba z rozk ład u a posteriori. W cze śn iej w y k o n a n o kilka m ilio n ó w lo so w ań w stę p n y c h (sp alo n y ch ), b a d a ją c m .in. w rażliw ość alg ory tm u M -H n a je g o p u n k ty starto w e w p rzestrzen i param etrów .
N a W ykresie 1 p rz e d sta w io n o zb ieżn o ść p rz y ję te g o ła ń c u c h a M -H do ro z kład u a posteriori w m o d elu M 1, która je s t zad aw alająca z u w ag i n a szybko stabili z u ją cy się dla w szystkich p ara m e tró w p rzeb ieg tzw. sta n d a ry z o w a n y c h statysty k su m sk u m u lo w an y ch (C u Su m ), tzn. śred n ich a ry tm e ty cz n y ch (z p o szczeg ó ln y ch
Empiryczny łączny rozkład liczby płatności gotówką i kartą oraz jego rozkłady brzegowe
Transakcje kartą (Yj)
T ra n sa k cj e go tó w k ą (Y 2)
Pemp(yi,y2) 0 (0/5] (5; 10] (10;15] (15;20] (25;30] >30 pemp(y2) struktura
0 0 2 l i 6 2 2 1 24 2% (0;5] 13 46 39 18 6 1 3 126 11% (5;10] 69 114 38 16 8 3 0 248 21% (10;15] 76 55 38 9 7 8 3 196 16% (15;20] 57 52 27 5 4 2 1 148 12% (20;25] 40 36 19 6 3 2 2 108 9% (25;30] 46 20 9 7 3 0 0 85 7% (30;35] 26 17 12 5 4 1 1 66 6% (35;40] 21 17 7 3 1 1 5 55 5% (40;45] 13 8 3 4 4 0 0 32 3% (45;50] 11 9 5 4 1 1 1 32 3% >50 37 15 3 4 4 2 5 70 6% pemp(yi) 409 391 211 87 47 23 22 1190 struktura 34% 33% 18% 7% 4% 2% 2%
lo sow ań ) sta n d a ry z o w a n y ch k oń co w y m i w artościam i śre d n ich i o d ch y leń stan d ard o w y ch . W p rzy p ad ku d ru gieg o m o d elu z a sto so w an y alg o ry tm tak że okazał się efek ty w n y m n a rz ę dzi em n u m e ry cz n y m .
0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 -0,1 -0,15 -0,2 Liczba losowań x 10
Źródło: opracowtnie własne.
Wykres 1. Zbieżność statystyk CuSum w modelu Mj
P ieaw szą kw estią, Istóną n ależy p o d d ać em p iry c z n ej w e ry fika c ji, j e st w yt ó r j e d n ej z d w óch aleer n key w ą y ćh s p i c yfik acji (M y M t ) m r d e l u stayerty c z n ć go ty p u n iP - ć E W yrdo o r zy p o m n i eż, że p raw d o p od o b ień stw o p posteriori m o d elu M g jż o k,P) w okrZa, z g o d n ie z w z ore m B ayesa, form u ła
(M \ ) _ p (y K - ) • p {M , )
n , y M(y p ) - n (M i ) -+ ^(y|bó2 ) ‘ p ( M 2 )
(26)
M o ż n a p r zy j ą ć r e w n e e s an se r p ri ożi, j i,(^ yi ) = 0,5, bo b ra k je s t te o re ty c z n y c h p r z żsłan ek do fa w o ryz o w z n ia k tór e g oś m odelu. D o p o ró w n a n ia w ystar czy w ięe coy n n ik B ayesa, czy li ilo raz brz e g ow y ch g ęstości w ek to ra o b serw acji
B F = wiy |-AS2)/ /oWyMj); zob. O siew alski (2001), W róblew ska (2009). W yniki p re z e n tu je m y w Tabeli 3.
M odel M j je st kilkaset rzęd ów w ielkości lepszy od M 2 i skupia praw ie całą m asę p ra w d o p o d o b ień stw a a posteriori; p ra w d o p o d o b ień stw o a posteriori m o d elu M 2
w y n o si p rak ty czn i e z e r o . Prz ew ag a m o delu M 1 w opisie b a d a n eg o zjaw isk a je s t z d e c y d ow a n a. W u e u p e łn i e n i u pociaj e m y dla obu m od eli w artości fu n k cji w iary g o d n ości L {0NW; y ) , z o b . w z ó r (25), dla o cen najw ięk szej w iary god ności, k tóre z o stały w ye n nczon a w eom a ch n u m e zy ozn ej realizacji alg ory tm u M -H . D la m o d elu M i o lrzy m a n o L ( ! . ; je;) = 55 235, a dla d ru giej specyfikacji n ajw ięk sza w arto ść fu n k cji w iary g o d n o ści by ła niższa, b o w ie m w y n io sła 54 161. Z n iebayesow skieg o p u n k tu w id zenia w y n ik p o ró w n an ia m od eli op arty n a k ry teriu m in fo rm a c y jn y m (którym k olw iek) tak że w sk azu je n a ad ek w atn o ść m o d elu M i (w kontek ście M 2). W arto w sp o m n ie ć, że z u w ag i n a n ie sta n d a rd o w ą p o stać m o d elu (2 1 )-(2 4 ) za sto so w an ie d e term in isty cz n y ch p ro c e d u r op ty m alizacji fu n k cji w iary g o d n o ści sp o tk ało się z o g rom n y m i p ro b lem am i obliczeniow ym i. N u m e ry cz n e narzędzia analizy b ay eso w sk iej o k azu ją się zate m p rzy d atn e tak że w esty m acji m e to d ą n a j w iększej w iary god ności.
Tab ela 3
Brzegowe gęstości wektora obserwacji i prawdopodobieństwa a posteriori obu modeli
Model M1: Y1t liczba płatności kartą, Y2f — gotówką
M2: Y1t liczba płatności gotówką, Y2l — ]^£^rł;ą ln p { y \M t) 55218,3 i4152,1 Logio BF - - 467 CzynniO Bayesa (BF) - <4 0 pBM ,) a,5 a,5 p{M i \y ) «1 «0
Źródło: opracowanie własne.
Z u w ag i n a w yn iki p o ró w n a ń m od eli, dalsze ro zw ażan ia n a tu ry in terp reta cy jn e j b ę d ą op ierać się n a M 1, a w yn iki dla d ru g ieg o m o d elu b ę d ą m iały ch a rak ter u zupełniający. W Tabeli 4 p o d a n o w artości o czek iw an e i o d ch y len ia stan d ard o w e a posteriori p a ra m e tró w n aszej d w u w y m iaro w ej re g re sji ty p u Z IP-C P W M 1 w szystkie z m ie n n e o b jaśn iające istotn ie w p ły w a ją n a liczbę p łatn ości g o tó w k ą, n ato m iast tylko p o siad an ie in te rn e tu , iw yk ształcen ie i d o ch ó d p o w o d u ją z n aczące zró żn ico w an ie liczby p łatn o ści kartą. O c e n y p ara m e tró w i b łęd y sza cu n ku , k tó re p o d a ją Polasik, M arzec, F iszed er i G órka (2012), są b ard zo zbliżone do b ay eso w sk ich w artości o cz e k iw a n y ch i o d ch y leń sta n d a rd o w y ch a posteriori p re z e n to w a n y ch w tej p racy — m im o, że w n aszy ch b ad a n ia ch liczba zm ien n y ch o b jaśn iający ch je s t p o n a d d w u k rotn ie m niejsza. B rzeg o w y ro zk ład a posteriori p a ra m e tru 5 (W ykres 2) p o k a z u je, że re d u k c ja m o d elu Z IP-C P do P-C P je s t b ezza
sad n a, g d y ż p raw d o p o d o b ień stw o zero w ej liczby p łatn ości g o tó w k ą je s t istotnie w iększe n iż w y n ik ało b y to z ro zk ład u Poissona. W artość oczek iw an a a posteriori dla 5 w y n o si -1,876 p rzy o d ch y len iu sta n d a rd o w y m 0,041.
Tabela 4 Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe a posteriori parametrów modeli
Model M 1 M2
Zmienna/parametr E(i|y) D(0|y) E(i|y) D(0|y)
p ła tn oś ci k ar tą „1" 0,909 0,098 -0,259 0,101 Płeć -0,045 0,025 0,006 0,026 Wiek -0,002 0,001 -0,007 0,001 Stan cywilny -0,047 0,029 0,056 0,031 Miejsce zamieszkania -0,007 0,028 0,077 0,030 Dochód 0,051 0,010 0,094 0,011 Wykształcenie 0,056 0,006 0,089 0,006 Internet 0,360 0,039 0,558 0,042 p ła tn oś ci g o tó w k ą „1" 2,826 0,049 2,803 0,048 Płeć -0,102 0,013 -0,093 0,013 Wiek 0,008 0,001 0,008 0,001 Stan cywilny -0,158 0,015 -0,152 0,014 Miejsce zamieszkania 0,145 0,015 0,133 0,015 Dochód 0,016 0,006 0,019 0,005 Wykształcenie -0,008 0,003 -0,004* 0,003 Internet -0,085 0,016 -0,066 0,016 a 0,004 0,001 0,0023 0,0007 5 -1,876 0,041 -1,638 0,053
Źródło: opracowanie własne.
Z a tem ro zk ład te n u leg ł z n a cz n e m u p rzesu n ięciu w stosu n k u do rozk ład u
a priori i je d n o cz e śn ie zm n ie jszy ło się je g o ro zp ro szen ie. D la a ch araktery sty ki te w y n o szą o d p o w ied n io 0,004 i 0,001, w sk azu jąc n a istotn ie d o d atn ią zależn ość w a ru n k o w ej śred n iej liczby p łatn o ści k artą od liczby p łatn o ści g otów k ą. B rz e g o w y ro zk ład a posteriori p a ra m e tru a (W ykres 3) je s t p rak ty czn ie o g raniczon y do p rzed ziału (0,0006; 0,0076), czyli zaw iera się w p rzed ziale o w ysok iej gęstości
a priori, je d n a k ż e in fo rm a c je z p ró b y sp o w o d o w a ły u zy sk an ie ro zk ład u o z n a cząco m n ie jsz y m rozp roszeniu .
a lfa
1,6
t1,4
1,2
1
+
0
,:
0,6
+
0,4
0,2
0
H 1--- 1--- 1 O O ^ H ^ H ^ H C N C N C O C O C O ^ t ^ t ^ n ^ n ^ s O ^ s O ^ s O t ^ t ^ O © o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 2 , 6 , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o , o " 0 , 1 1 d <Z2 CD o " CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CDŹródło: opracowanie własne.
Wykres 2. Brzegowy rozkład a posteriori parametru a
delta
o ac <N <N Źródło: opracowanie własne.
Źródło: opracowanie własne.
Wykres 4. Rozkłady a posteriori próbkowych korelacji dla wybranych obserwacji
O siew alski (2012) d ow od zi, że w m o d elu ty p u Z IP -C P d o d atn io ść p ara m e tru a nie m u si ozn aczać d o d atn iej k orelacji p ró b k o w ej z m ie n n y c h o b jaśn ian y ch (ja k to je s t w m od elu P-CP). R ozk ład y a posteriori p ró b k o w y ch korelacji trzech par ( Y 1t, Y 2t) — tych, dla k tó ry ch w arto ść oczek iw an a a posteriori w sp ó łczy n n ik a k o relacji je s t n a jm n ie jsz a , p rz e ciętn a w sen sie m e d ia n y i n ajw ięk sza — są p o k azan e n a W ykresie 4. D o w o d z ą one słabej, ale je d y n ie d o d atn iej korelacji m ięd zy licz b am i p łatn ości g otó w k ą i kartą. Z asto sow an ie m o d elu bard ziej a d ek w atn eg o , tj. ty p u Z IP-C P zam iast P -C P nie zm ien ia (pod ty m w zg lęd em ) w y m o w y w yników , k tóre podali Polasik, M arzec, F iszed er i G órka (2012).
5. P O D S U M O W A N I E
Z a p ro p o n o w a n e u o g ó ln ien ie m o d elu P -C P o k azało się u z a sa d n io n e w p rzy p ad k u w stę p n y c h b a d a ń d o ty czący ch p re fe ren cji p olskich k o n su m en tó w w w y b o rze m e to d płatności. W sk azu je to n a a d ek w atn o ść m o d eli ty p u Z IP-C P w sy tu acjach , g dy o b serw u je się n ad w y żk ę (bądź d eflację) o b serw acji z ero w y ch lub g d y d w ie z m ie n n e liczn ikow e, o d d a ją ce re zu ltaty d ecy zji k on su m en tó w , są ze so b ą p o te n cja ln ie sk orelo w an e (u jem n ie albo d o datnio). P od ejście bay eso w sk ie po zw oliło n a esty m a cję p a ra m e tró w ro zw ażan y ch m o d eli b ez od w o ły w an ia się d o ap ro k sy m acji asy m p to ty cz n y ch . Bayesow skie p o ró w n y w a n ie m o cy w yj
a-śn iającej k o n k u re n cy jn y c h (n iez a g n ie ż d ż o n y ch ) m o d eli fo rm aln ie p otw ierd ziło w stę p n e w n io sk i u zy sk an e w e w cz e śn ie jsz y ch b a d a n ia ch , a d oty czące w ybo ru je d n e j z d w ó ch a ltern a ty w n y ch sp ecy fikacji staty sty czn y ch w k on tek ście zaob se rw o w a n y c h danych.
In te re su ją cy m k ieru n k ie m d alszy ch b a d a ń je s t zasto so w an ie d w u p aram etro - w ej ro d zin y ro zk ład ó w Poissona (generalized Poisson distribution; zob. C on su l i Jain (1973), F am oy e i S in g h (2006)) dla b rz e g o w eg o ro zk ład u zm ien n ej Y j b ąd ź także dla rozk ład u w a ru n k o w eg o dru giej zm ien n ej.
B IB L IO G R A F IA
Berkhout P, Plug E. (2004), A bivariate Poisson count data model using conditional probabilities, "Statis- tica Neerlandica" vol. 58, 349-364.
Cameron A. C., Trivedi P K. (1998), Regression Analysis of Count data, Cambridge University Press, New York.
Cameron A. C., Trivedi P L. (2005), Microeconometrics: Methods and Application, Cambridge Univer sity Press, New York.
Consul P C., Jain G. C. (1973), A Generalization of the Poisson Distribution, "Technometrics" 15, s. 791-799.
Famoye F., Singh K. P (2006), Zero-Inflated Generalized Poisson Regression Model with an Application to
Domestic Violence Data, "Journal of Data Science", 4, s. 117-130.
Kocherlakota S., Kocherlakota K. (1992), Bivariate Discrete Distributions, Marcel Dekker, New York. Lambert D. (1992), Zero-inflated Poisson regression, with an application to defects in manufacturing,
"Technometrics" 34, s. 1-14.
Marzec J. (2012), Wybrane dwuwymiarowe modele dla zmiennych licznikowych w ekonomii, „Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie — Metody Analizy Danych" nr 884, s. 59-70.
Osiewalski J. (2001), Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii Ekonomic znej w Krakowie, Kraków.
Osiewalski J. (2012), Dwuwymiarowy rozkład ZIP-CP i jego momenty w analizie zależności między zmien
nymi licznikowymi, [w:] „Spotkania z królową nauk (Księga jubileuszowa dedykowana Profeso rowi Edwardowi Smadze)", red. A. Malawski i J. Tatar, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonom icznego w Krakowie, Kraków 2012, s. 147-154.
Osiewalski J., Pajor A. (2010), Bayesian Value-at-Risk for a Portfolio: Multi- and Univariate Approaches
Using MSF-SBEKK Models, "Central European Journal of Economic Modelling and Economet rics" 2, s. 253-277.
Polasik M., Marzec J., Fiszeder P, Górka J. (2012), Modelowanie wykorzystania metod płatności detalic
znych na rynku polskim, „Materiały i Studia" nr 265, NBP, Warszawa.
Winkelman R. (2008), Econometric Analysis of Count Data, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Wróblewska J. (2009), Bayesian Model Selection in the Analysis of Cointegration, "Central European
Vol. LIII (2012) PL ISSN 0071-674X
o r t h o g o n a l
t r a n s f o r m a t i o n
o f
c o o r d i n a t e s
i n
c o p u l a
m
-
g a r c h
m o d e l s
—
b a y e s i a n
a n a l y s i s
f o r
w iG 2 0
s p o t
a n d
f u t u r e s
r e t u r n s
M A T E U S Z P IP IE Ń
Department of Econometrics and Operations Research, Cracow University of Economics
e-mail: eepipien@cyf-kr.edu.pl
A BSTR A C T
We check the empirical importance of some generalisations of the conditional distribution in M-GARCH case. A copula M-GARCH model with coordinate free conditional distribution is con sidered, as a continuation of research concerning specification of the conditional distribution in multivariate volatility models, see Pipień (2007, 2010). The main advantage of the proposed family of probability distributions is that the coordinate axes, along which heavy tails and symmetry can be modelled, are subject to statistical inference. Along a set of specified coordinates both, linear and nonlinear dependence can be expressed in a decomposed form.
In the empirical part of the paper we considered a problem of modelling the dynamics of the returns on the spot and future quotations of the WIG20 index from the Warsaw Stock Exchange. On the basis of the posterior odds ratio we checked the data support of considered generalisation, comparing it with BEKK model with the conditional distribution simply constructed as a product of the univariate skewed components. Our example clearly showed the empirical importance of the proposed class of the coordinate free conditional distributions.
ST R E SZ C Z E N IE
M. Pipień. Wielowymiarowe modele Copula M-GARCH o rozkładach niezmienniczych na transformacje
ortogonalne — bayesowska analiza dla notowań spot i futures indeksu WIG20. Folia Oeconomica Craco- viensia 2012, 53: 21-40.
W artykule przedstawiono uogólnienie rozkładu warunkowego w wielowymiarowym modelu typu GARCH, oraz poddano empirycznej weryfikacji skonstruowany model. Praca stanowi kon tynuację badań prowadzonych przez Pipienia (2007, 2010) nad właściwą specyfikacją rozkładów warunkowych wektora stóp zmian instrumentów finansowych. Zasadniczym elementem okre ślającym giętkość rozważanej klasy wielowymiarowych rozkładów jest możliwość zmiany układu współrzędnych, i - tym samym — kierunków w przestrzeni obserwacji, według których grube ogony i asymetria rozkładu mogą występować empirycznie. Zgodnie z przyjętą orientacją w prze strzeni obserwacji, możliwe jest modelowanie zależności pomiędzy elementami wektora losowego, zarówno o charakterze liniowym (stosowana transformacja liniowa) jak i nieliniowym (funkcja po wiązań, copula).
W części empirycznej przedstawiamy wyniki modelowania dynamicznych zależności pomiędzy zwrotami z notowania spot i futures indeksu WIG20. Uzyskane rezultaty wskazują na zasadność proponowanego uogólnienia stosowanego w modelu BEKK. Model z proponowanym typem roz kładu warunkowego uzyskuje silne potwierdzenie empiryczne, mierzone ilorazem szans a poste riori i wartością brzegowej gęstości wektora obserwacji.
KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE
Bayes factors, multivariate GARCH models, coordinate free distributions, Householder matrices czynnik Bayesa, wielowymiarowe modele GARCH, macierze Householdera
1. I N T R O D U C T I O N
M o st of co n trib u tio n s in v o lv ed w ith m u ltivariate G A R C H (M -G A R C H ) m o d els — for a su rv ey see B a u w e n s, L a u re n t an d R o m b o u ts (2006) — re ly on th e as su m p tio n of th e co n d itio n al G au ssian distribu tion. In spite of th e fact th a t the M -G A R C H m o d els are ap p lied in m o d e llin g an d p re d ictin g te m p o ra l d e p e n d en ce in th e se c o n d -o rd e r m o m en ts, som e o th e r p ro p erties of th e co n d itio n al dis tribu tion , like fo r exam p le fat tails an d sk ew n ess, are also v ery im p o rtan t. This re su lt w as co n firm ed b y B ay e sian co m p ariso n of G A R C H -type m o d els w ith n o r m al an d S tu d e n t-i co n d itio n al d istribu tions p re sen ted b y O siew alski an d P ipień (2004). In te rm s of th e m o d el data su p p ort, m e asu re d b y p o sterior o d d s ratio and p o ste rio r p robabilities, th e y clearly sh o w e d th a t co n d itio n al n o rm a lity is co m p letely u nrealistic in m o d ellin g fin an cial tim e series. H e n ce , lo n g jo u rn e y b ey o n d n o rm ality is n ecessary — see G e n to n (2004) — for b e tte r u n d e rsta n d in g th e d e p e n d e n ce stru ctu re b e tw e e n re lated tim e series in g en eral, an d b e tw e e n financial re tu rn s particularly.
In th e p re sen ce of em p irical an aly ses d ecisively re je c tin g co n d itio n al n o rm al d istribu tio n , a few stu d ies co n c e n tra te d o n th e a p p lication of th e co n d itio n al d istribu tio n s th a t allow b o th for h ea v y tails an d a sy m m etry w ith in M -G A R C H m odels. Som e d ev e lo p m e n ts on this su b je ct p re sen t B a u w e n s an d L a u ren t (2005). M o d e rn p ropositions of m od ellin g volatility an d co n d itional d ep e n d en ce b etw ee n fin an cial re tu rn s try to resolve th e p ro b lem b y co m p licatin g stoch astic stru ctu re of th e m o d el rather, th a n g e n eralisin g explicitly co n d itio n al distribution. R ece n tly O siew alski an d P ajor (2009, 2010) p ro p o se M S F -B E K K m od el, as an exam ple of th e p rocess attribu ted w ith b o th , th e flexibility of th e Stoch astic Volatility fam ily of m o d els, an d p arsim o n y of p a ram eterisatio n of sim ple M -G A R C H covarian ce structu res. So m e other, m o re co m p licated m u ltifactor p ro cesses h as b e e n re cen tly p ro p o se d b y O siew alsk i an d O siew alski (2011, 2012). T h o se h y b rid p rocesses ca n o u tp e rfo rm p u re M -G A R C H sp ecification , ev e n in th e case of co n d itio n al norm ality. As an alternativ e to ap p ro a ch in v e stig a ted b y O siew alsk i an d P ajor (2009, 2010) o n e m ay co n sid er an explicit g en era lisa tio n of th e co n d itio n al d istribu tion, also le a d in g to m o re em pirically im p o rta n t specifications.
In m o d ellin g volatility an d d yn am ic d e p e n d en ce of re tu rn s of d ifferen t fin an cial assets, a lin ear d e p e n d e n c e is econ om ically in terp retab le an d popular. Stan d ard em p irical exercises in fin an cial e co n o m etrics, like co n tro llin g an d p ricing risks, op tim al p ortfolio allocation, an aly sin g volatility tran sm issio n m e ch a n ism or co n ta g io n an d b u ild in g h e d g in g strategies, rely o n solu tion s th a t are strictly c o n n e c te d w ith m ea su re s of stoch astic d e p e n d e n c e of th e lin ear n atu re. H o w ev e r last d ecad e h av e se e n p articu larly stro n g a tten tio n in m o d ellin g d e p e n d e n c e in a n o n lin ea r setting. O n e of th e im p o rta n t top ic of fin an cial eco n om etrics th a t m ade substantial p ro g ress d u rin g last d ecad e, re lates to m ak in g in feren ce ab o u t m e as u res o f stoch astic d e p e n d e n c e th a t are alternativ es to th e con d ition al correlation.
It see m s th a t b o th , d efin itio n of a n o n sta n d a rd distribu tion of observ ables, an d a m o re d etailed analysis of d e p e n d e n c e are crucial in p ro p e r m o d ellin g of financial retu rn s. O n e o f th e a p p roach es th a t m ay resolve to som e ex ten t b o th is su es in v o lv es co p u la fu nctio ns. T h e ap p ro ach w as in ten siv ely d ev e lo p e d b y Pat to n (2001, 2009), Jo n d e a u an d R o ck in g e r (2006) and , in th e case of Polish financial m ark et, b y D o m a n (2008), D o m a n an d D o m a n (2009), Jaw orsk i an d P itera (2012) an d others. Vast em p irical literatu re clearly in d icate th a t v o latility m o d els bu ilt w ith in fra m ew o rk of cop u la fu n ctio n s co n trib u te su bstan tially to stan d ard e m pirical issu es in financial eco n o m etrics stated above; see E m b rech ts, M cN eil and S trau m an n (2002), B rad ley an d Taqqu (2004), R od rigu ez (2007), C h av ez-D em ou lin an d E m b re ch ts (2010), B alk em a, N old e, E m b re ch ts (2012).
T h e m ain goal of th is p a p e r is to c h e c k th e em pirical im p o rta n c e o f som e g en eralisatio n s of th e co n d itio n al d istribu tion in M -G A R C H case. We generalise th e M -G A R C H m o d el p ro p o sed an d em pirically an aly sed b y P ip ien (2006, 2007) w h o ap p lied a no vel class of p ro bability distribu tions, w h ich is co o rd in ate free in th e sen se fo rm u lated b y Fang, K otz an d N g (1990). P ip ien (2010) co n sid ered a m u ltiv ariate d istrib u tio n w ith in d e p e n d e n t co m p o n e n ts, w ith sk ew n ess im p o se d a cc o rd in g to th e in v e rse p ro b a b ility in te g ra l tra n sfo rm a tio n s, d iscu ssed in d etails b y F erreira a n d Stee l (2006) an d P ip ien (2006). In th e next step , o rth o g o n al tra n sfo rm a tio n w as in c o rp o ra te d in o rd er to assu re th a t fat tails an d also possible sk ew n ess can be im p o sed alo n g a set of co o rd in ate axes. C on sequ en tly, th e co n stru ct p o stu lated th e existence of a set o f co o rd in ate axes, alon g w h ich th e u nivariate c o m p o n e n ts are in d e p e n d e n t an d th e d en sities o f the m arg in al distribu tion s are k n o w n analytically. N o w w e ad d itio n ally co n sid er a g en eralisatio n , b y im p o sin g cop u la fu n ctio n th a t cap tu res possible d e p e n d en ce of n o n lin ea r n atu re b e tw e e n elem e n ts o f th e ra n d o m vector. T h e m ain ad vantag e of th e p ro p o se d fam ily of p robability d istribu tions is th a t th e co o rd in ate axes are su b je ct to statistical in feren ce an d can be v e ry d ifferen t fro m th e o n es d efin ed by can o n ical basis. A long a set o f co o rd in ates, su p p o rte d b y th e data, b o th , lin ear an d n o n lin ea r d e p e n d e n c e can be m odelled.
In th e em pirical p a rt of th e p a p e r w e co n sid er th e biv ariate series of the re tu rn s o n th e sp o t an d fu tu re s q u o tatio n s of th e W IG 2 0 in d e x (W IG 20 and
F W I G 2 0 i n stru m e n ts) c ov erin g t h e p erio d fro m 2 1 .12.1992 n l l c 7.0 2 .2c(08^/ t = 20 5 3 obs erv a tio n s . In m c^d^^l^l^]^j5 ^ ^ ^ o i ^ii Itioi2^1 d ec^i^i^di^c^ c e2^C t h e c om p c n i n .r r= tii e b ivariate tim e series w e co n sid er C op u la-B E K K (1,1) m o d el w ith co o rd in ate fre e c on dition a l divltrib e tion ac c i r d i n g t o ^1e i ! (^^t (;ul^^(^^ e^f: th e c o n stru c t. iloe a co m p ariso n w e also co n sid er so m e restricted cases, le ad in g to the m u ch sim pler co n d itio n al distribution. W e ap p ly form al ap p roach to te st ex p lan ato ry p o w er of a set o f co m p e tin g specifications, b ased o n th e p o sterio r od d s ratio, a n d discuss su p erio rity an d p ossible p ractical u sefu ln ess of th e co n sid ere d co o rd in ate free c e n dition e l diclrib u Oo n . A d d itio n allo tn e p o s lor i o r i n f eeen ee ab o u t c oovCin a to vnncis els o p re oe n te d.
2 . A C L A S C O F tt<i^<0^]t^DtN IOr e F R E E C O N D i T i O N A L D I S T R tB U T I O N S
T h e m oi n g o al o f t h i s c h ap tar i r t o p re s en t a fam ily o f m u ie v ari ate sk e w ed d istribu tions an d ap p ly it in th e m u ltivariate G A R C H setting. T h e basic n o tion eo n sid ere d a eoe f e t . ! n m f i e d2ep l e l e n ta0 o n o f tfie u m e ariate sk c w n eos t iial:
a p ^ e s i n n ero i p eubaHUty in to0Re l Han el o r m a tio n ,=ro p 9 i e v m iv 2iiy b y F e eтoir e an d Steel (2006). W e follow the settin g p re sen ted in th e u nivariate case b y P ipień (2006, 2007) a n d b y P ip ień (2010) in m u ltivariate case. T h e sk ew ed v ersio n of originally sy m m etric an d u n im o d a l d en sity /(.| 0) (w ith cu m u lativ e distribu tion fu n ctio n F(.| 0)) can be d efin ed as follow s:
s ( x | 0 ,")= fx | &)"p(F(x\ 0) |" ) , Otr x # R , (1)
w h ere p(.| h) d en o te s th e d en sity of th e d istribu tion d efin ed on th e u n it interval. T h e asy m m etric distribu tio n s(.| 0 ,h ) is o b tain ed b y ap p licatio n of th e d ensity p(.| h) as a w e ig h tin g fu n c tio n of th e d en sity /(.| 0). T h e case, w h e n p(.| h) = 1, re sto res sym m etry. A n y fam ily of d en sities p(.|h), for h £ H, d efin ed o v er u nit in terv al, is called sk ew n ess m ech an ism . For a rev iew of sk ew in g m e ch a n ism s th a t in c o rp o ra te h id d e n tru n c a tio n m e ch a n ism , so m e a p p ro a c h e s b a se d on th e in v e rse scale factors, o rd er statistics co n cep t, B eta or B e rn ste in d istribu tion tra n sfo rm a tio n or a co n stru c tiv e m e th o d see P ip ień (2006). T h e em p irical im p o rta n ce of th e co n d itio n al sk ew n ess in m o d ellin g th e re latio n sh ip b e tw e e n risk an d re tu rn w as also stu d ied in th e u niv ariate case b y P ip ień (2007). Som e r e c e n t d ev e lo p m e n ts co n firm resu lts p re sen ted b y P ip ień (2007) th a t it is possible to re sto re th e re la tio n sh ip , m e n tio n e d abo v e, o n ce a h ig h ly n o n sta n d a rd stoch astic p rocess is co n sid ere d in volatility m od ellin g ; see for exam p le M arkov sw itch in g -in -m ea n Stoch astic Volatility m od el, p ro p o se d b y K w iatk ow sk i (2010).
N o w let co n sid er m -d im ensional ra n d o m v ecto r £ = (£ 1,...,£ m) ' an d let d en o te b y /i(.|$i),..., /m(|$m) a set of u n im o d al (w ith m o d e at zero) u nivariate d ensities, p aram e te rise d b y v ecto rs 0 1,...,0 m respectively. In the first step , for i = 1,...,m, w e
im p o se sk ew n ess m ech a n ism s p,-(. | a r) o n d ensities ( . . 10 r) . N d e th at in g e n er al th e co n stru ct d oes n o t r eqdire im p o sin g; th e sa m f typ e ccf t k ew n ess m e f h naiem for eac h z'= l , ; ..,s j . Foe nim p li i i t y, in th s ym g isicel p art o t t g y p a p ess w s co nscder tiie ca sa, w h ase tSie oa m t eUe w e eer m e ch a n ism is c on sid eeed foc e acti o S th e eo ornen r tot. Poseib le di b er t n t asy m m etcy e ffc c t s w iti j^t s u it Urona dotfsre n i v tlo e s
2. ( a ra m ste rs gb S f e sscu(ridd d s n sity e,t. | <t;re it te k es tq y fasees p rr s s n Sab io
e q uation (10:
s , ( x \
6
l,nd
=fI(x \6
l) -p l(F l( x \e
i) In ), fo o x # R aoS 7=1,;;;,e ,w h ere F,(. | 0,) d en o te s cu m u lativ e distribu tion fu n ction . Initially, for th e ran d o m v ector e = (S ec..si:s n ' WS Iie^fittt2 ti e dteSdib u tio n edith iinidt^fj^sfceer^e tlist^snese^erlc c om g e n e ots:
m
PCo\ ° n ) = E k (e, \ 0 t , ! c) , (2) i=l
w h ere c = ( e a\ ...rv ) \ r i = ( m r . . h my .
P ip ien (2010) sh o w s ex am p les of distribu tio n s in b ivariate cases in d ica tin g th a t p ossible ou tliers a n d a sy m m etry can be ca p tu red b y d istribu tion (2) only if th o se fea tu re s of th e d ata w ill o ccu r alo n g o rig inal co o rd in a ts axes, d efin ed b y can o n ica l basis in R m. Also, an y fam ily of d istribu tions (2) is n o t closed w ith re sp e c t to the o rth o g o n al tran sfo rm atio n s of th e co m p on e n ts. H e n ce , in o rd er to im p ro v e flexibility of ou r class of distribu tions, a special m e ch a n ism th a t w ou ld m ak e th e co o rd in ate axes v a ry in g is in co rp o rate d acco rd in g to th e id ea p rop o sed b y per r e i r a a n y pt e e l (2 0 0 6 ). We p roericl e it o n th e b e s^ o f t hie ft n o w in g h n eac (uffine) fran s. or m ^ o u o f tn e r a n q o m v ecto r f :
n = A £ + n (3
fot e n o n sin g u lar m vtci x 2^,,1,,,,] c n y ksention v e c tor /^mxb e 2 e . T ine d e n si.ty ttj t y s distrib u tio n o f t i f e ean d o m v r e to r y i g d efin en b y th e follo w in g form ula:
m
p 0 1 c , o d aA)n I ( t e t ^ )"11 F I s(y - /n)' A .1 ^,,/),)a (4)
i= 1
w h e re A f 1 d en o te s th e i-th co lu m n of A -1. If th e d en sities f,(. 10,) are u nim od al, w ith m o d e at zero, th e n th e d istribu tion th e v e c to r of y in (4) is u nim o d al, w ith m o d e d efin ed b y n an d sk ew in g m e ch a n ism s p,(.| h ) . Tran sform atio n m atrix A in tro d u c e s th e d e p e n d e n c e b e tw e e n co m p o n e n ts o f y, w h ile h d ete rm in e s the sk ew n ess of th e in d e p e n d e n t co m p o n e n ts of £. A ssu ring th e variability of th e p a ram eters, eq u atio n (4) g e n e ra te s a flexible class of m u ltivariate d istribu tions th at is closed u n d e r o rth o g o n a l tran sfo rm atio n s. H e n ce , th e c o n stru c t (4) is co o rd i
n ate free, in th e sen se d efin ed in F ang, K otz an d N g (1990). In our ap p roach w e do n o t re strict th e d istribu tion to th e case th a t A is a squ are ro o t of th e sy m m et ric an d p ositiv e d efin ite co v arian c e m atrix. C on se q u e n tly, p rartical ajcp ticat i o n c f sp e cific f armlie s of m ultiv ari ate disM tm tinn s ^ oe quires in te rp re tin g th e effect of th e tran sfo rm atio n m atrix A. W ith n o loss o f g en erality let assu m e in (3) th at
n 0 [mxl]*
n = Gf' a
-A cco rd in g to th e th e o re m p re se n te d in G o lu b an d Van L o s n (1993) an y n o n sin g u la e m a M n A ^ ^ jn o n b e w ritts n as the p ro d u ct of m x m o rth o g o n al m atrix
O m an d u p p e r trian g u lar m atrix U[mxm] w ith p ositive d iag o n al elem ents: A n o w e,
an d su cWe d ec o m p o t itia n a s p lle d th e Q n d s co m p ositio n ) is u niqu e. N o w th e re sults of th e tran sfo rm atio n m atrix A can be co n sid ered in tw o steps:
y = = ' £ = (O ml U ' £ = U ° m £ . (5) In iti ally t h t oa n Cam v ac)or £ i n t 5 t i s suble ct to t f a ao tatco m (= < ^^f O q = l ) oc ic ^to^i^va s^on (it d s tO a = - l (. T h s n t h e v e c t o c £ = O m' £ i t tc^^nE^i OTa^^d^ci^c^i^^ii^re to t t a c onarian ce -tdp s i in c a r f r on=tcr m a tic n. T h e dicorib ntco n of th o v e c to r f p o stu lates th a t th ere exist a set of coo rd inate axes, alo n g w h ich th e co m p o n e n ts of p are in d e p e n d e n t an d th e d en sities of th e m arg in al d istribu tions are k n o w n an aly tieally n h e m om diffaren o o b atw e e n diefrtou ^ n n ^^i^<f. ^ i o thiaM h o s e c o ar d in a ta c^^eo ( ^^n v ary from f l i a axes n oti n e d b n c a n o n i=oi c nsis i n . R ^ ' I h e i^nt a b u tio n o- y is t h e n o^ta^n e a b y im o o sin o scal e mannfos m a cCo n o n t:he distriP o tio n d £,, b e c a u ce m atrio o can e e in ferp rere d a a t h e q h o lesby cq u arr rnnt o tb h e sy w m etoic e n a n o siCaoe d onm te m a =tix d e f in in g co v arian ce structu re.
A p ara mafrip t a m p h n g m o d ei c n q t t q c o rp or n tss dlpfrin u tio n s Oecc r ib e d b y anu adun ( У ) r s qniner u n io u e p ar c m a ta o s c tic n o f tna l aw Uy a t om th o g o n a l m a tn c c s O m an t^m.A ^ c co m t re strieti a n s n ave tp n a im u o ss d , i n o c d sn t e a s s nne i n on tificatie n . T h r e n c -to -q n e p ar am e oerisatiun w a s o ^c^vid ^cCb y Stew r sad iІ.aoai a s d Uor seira n n o PCeel an np pUcali o n o t t= e H o u s e h oCdes m atrices d eco m p o sitio n . L e t d e n o te V = (V1,...,Vm) ' e R m, th e m -dim pn sio n al col u m n vector. T h e H o u se h o ld e r m atrix H (V ) (H o u se h o ld er reflectio n or H o u se h o ld er tran sfo rm atio n ) is d efin ed as follow s:
2
H
(v
) =I
vv
' .m v v
G olu b an d Van L o a n (1983) sh o w so m e u sefu l p ro p e rties of H(V). Firstly, for each
V s R m H(V) is o rth o g o n al, an d seco n d ly H(V) = H (-V) = H (a V), for an y scalar a ^ 0. F rom th e seco n d p ro p e rty if w e restrict the v ecto r V to the u n it half sp h ere in R m
(d e n o te d b y H Sm-1) w e w ill keep th e co v erag e of th e w h o le fam ily of H o u se h o lder m atric e s .P a r a m e terisation of th e u n it h alf s p h e re i s e asily o b tain e d t f w e w rite d o w n th e v ecto r V~ = (V1r..,Vm) ' e H S m-1 in p olar coo rd inates:
j m-1
ai=rin(a»i), aj= rm (o j) !
cos(
rns) , for j< m , a m= n cos( ms) , (6)s=1 s=l
w h ere
( % / 2, % /2 ) i f m = 2
(0,%/2) x ( %/2, % /2 )m-3 x (%,%) i f m > 2.
Now , for an y [mxm] o rth o g o n al m atrix O m w ith d etO m = - l m+1, th ere exist u niqu e d ecom p o sition :
O m = H ( ~ m)-... H ( ~ 2), (7)
to m -1 H o u seh o ld e r reflectio n s H ( ~ ) d efin ed b y v ecto rs ~ [ mx1] of th e form :
~ j (om-j, V~j) , j 2,...,m,
for m -j d im en sio n al v ecto r of zeros, om-j = (0,...,0)' if j < m an d for an em p ty v ecto r for j = m. T h e v ecto rs V ~ j e H S j-1 are p aram e te rise d in te rm s of th e p o lar co o rd in a tes applied in (6). T h e in tere stin g case is m = 2, w h ere th e class o f H o u seh o ld er re flectio n s pro vide p aram etric fam ily of o rth o g o n al m atrices of d im e n sio n [2x2] w ith id en tificatio n restriction s im p o sed ; see Stew ard (1980), G olu b an d Van L o an (1983).
3. A N O T H E R S T E P — I N T R O D U C I N G C O P U L A F U N C T IO N S
D istribu tion of y, d efined b y th e d en sity (4), w h ere A = O mU, w ith orth o g o nal m a trix O m, p aram eterised a cco rd in g to d eco m p o sitio n (7), is ob tain ed on th e basis of th e lin ear tran sfo rm atio n of a ra n d o m v ecto r £ w ith th e d en sity (2). C o n se q u e n tly, on ly lin ear d e p e n d e n c e b e tw e e n ra n d o m variables, re p re se n tin g coo rd inates, can be m od elled. Possible ch a n g es in co o rd in ates th a t m ay be su b je ct to statistical in fe re n ce , en rich e d flexibility o f th e family, h o w ev er th e n atu re of d e p e n d e n c e of e lem e n ts of th e v ecto r y m ay still b e linear. In o rd er to m o d el a m o re com p licated d e p e n d e n c e stru ctu re in v ecto r y w e follo w th e ap p ro ach th a t in v o lv e s co p u la functions.
L e t co n sid er a bivariate ra n d o m variable z = (z1,z2) ' , w ith cu m u lativ e d ensity fu n ctio n (cdf) F an d d en sity fu n ctio n f, an d w ith f i an d Fi th e d en sity an d cd f of th e m arg in al d istribu tion o f Zi re sp ectiv ely (i = 1,2). A cco rd in g to Sk lar (1959), th e re exists a fu n ctio n C :[0,1]2 ^ [0,1], w ith th e follo w in g properties:
1. C (uyu2) is in crea sin g in u 1 an d u 2
2. C(0,u2) = C (u1,0) = 0, C(1,u2) = u2, C(u1,1) = u1
3. For each (u1,u1',u 2,u2' ) e [0,1]4, su ch u1< u 1' an d u2< u 2' : C(u1',u 2')-C (u 1',u 2)-C(u1,u2' ) + C(u1,u2)>0, such:
F(Z1,Z2) = C (F1(Z1), F2(Z2)).
T h e d en sity of th e jo in t distribu tion of z (if exist) is d efin ed as follow s:
f(z 1,z2) = f 1(z1) f 2(z2) cd (F1(z1^ F2(z2))/ w here:
cd( « i , “ 2 ) = ^ — ( « i , « 2 ) -duldu2
F u n ctio n C is called co p u la, an d resto res d e p e n d en c e reflected in th e jo in t distri b u tio n F, w h e n m arg in al d istribu tions F 1 an d F 2 are co n sid ered . F u n ctio n cd(•,•) is called th e d en sity of th e co p u la C. In th e case w ith C(u1,u2) = u1u2, w e h ave F (z1,z2) = F1(z1)F2(z2), Cd(u1,u2) = 1 an d f(z1,z2) = f1( z1) fj( z2), h e n c e C(u1,u2) = u1u2
d efin es stoch astic in d e p e n d e n c e b e tw e e n z1 an d z2. For d etailed th e o ry of copula fu n ctio n s an d of the c o n c e p t of m e a su rin g stoch astic d e p e n d en c e w ith in co p u la fra m ew o rk see Jo e (1997) an d N elsen (2006).
N ow , in th e bivariate case (m = 2), w e g en eralise ou r d istribu tion of y, d efined b y th e d en sity (4), b y in c o rp o ra tin g co p u la fu n c tio n in th e distribu tio n of the ra n d o m v ecto r f . We co n sid er a ra n d o m v ecto r y of th e form :
y = U 'O m 'z , (8)
w ith u p p e r trian g u lar m atrix U an d th e o rth o g o n al m atrix O m d efin ed b y (7) and the bivariate ra n d o m variable z w ith the fo llo w in g density:
p ( z | e , h ,9 cop) = S1(z1 | 01,h1) S2(z2 | 02,h2) Cd(S1 (2 1), S2(z2)| 6 cop), (9)
for th e d en sity cd of a p articu lar co p u la fu n ctio n p aram eterised b y th e v ecto r Qcop, an d sk ew ed u nivariate d en sities s{, co n sid ered initially in (2). In (9) b y S1 an d S2 w e d en o te cd f fu n ctio n s of th o se sk ew ed u nivariate distributions. In tro d u cin g co p u la fu n ctio n in th e d istribu tion o f y , acco rd in g to (9), p ro v id es an o th e r source of possible stoch astic d e p e n d en ce in the ra n d o m v ecto r y , n o t in v o lv ed w ith linear tran sfo rm atio n w ith m atrix A , co n sid ered initially. T h e case w ith C (u 1,u 2) = u 1u 2 (or eq u iv alen tly cd (u1,u2) = 1) re sto res in d e p e n d e n c e in th e v ecto r z, an d h e n ce
