Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu 12–1
12
Równania różniczkowe cząstkowe
drugiego rzędu, n = 2
12.1
Zagadnienie Cauchy’ego i charakterystyki
Równania rozważane w niniejszym rozdziale mają ogólną postaćF (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,
gdzie niewiadomą jest funkcja u = u(x, y). Ważnymi szczególnymi przypadkami są:
• równanie liniowe o zmiennych współczynnikach
a(x, y)uxx+b(x, y)uxy+c(x, y)uyy+d(x, y)ux+e(x, y)uy+f (x, y)u = g(x, y),
• równanie semiliniowe
a(x, y)uxx+ b(x, y)uxy+ c(x, y)uyy = g(x, y, u, ux, uy),
• równanie quasiliniowe
a(x, y, u, ux, uy)uxx+b(x, y, u, ux, uy)uxy+c(x, y, u, ux, uy)uyy = g(x, y, u, ux, uy).
W dalszym ciągu ograniczymy rozważania do równań semiliniowych (12.1) a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy+ d(x, y, u, ux, uy) = 0.
Będziemy zakładali, ze funkcje a = a(x, y), b = b(x, y) i c = c(x, y) są określone i dostatecznie regularne w pewnym obszarze Ω ⊂ R2 oraz d = d(x, y, u, p, q) jest określona i regularna w obszarze cylindrycznym Ω × R3.
Niech `0, o parametryzacji (x0(s), y0(s)), s ∈ [s1, s2], będzie zadaną krzywą
klasy C1 zawartą w Ω. Poszukujemy warunków, które pozwolą wyznaczyć w sposób jednoznaczny rozwiązanie u = u(x, y) równania (12.1) w pewnym otoczeniu `0. Przez analogię do równań pierwszego rzędu, wzdłuż `0
zadajemy wartości rozwiązania u
(12.2) u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ [s1, s2].
Warunkiem koniecznym (lecz nie zawsze dostatecznym) znalezienia rozwiązania jest możliwość wyznaczenia wzdłuż `0 wartości wszystkich
12–2 Skompilował Janusz Mierczyński
pochodnych funkcji u występujących w równaniu. W tym celu różniczkujemy obustronnie równość (2) otrzymując
(12.3) p0(s)x00(s) + q0(s)y00(s) = u
0
0(s) dla s ∈ [s1, s2],
gdzie
p0(s) := ux(x0(s), y0(s)), q0(s) := uy(x0(s), y0(s)).
Różniczkując funkcje p0(s) i q0(s) otrzymujemy kolejno
uxx(x0(s), y0(s))x00(s) + uyy(x0(s), y0(s))y00(s) = p 0 0(s), uxy(x0(s), y0(s))x00(s) + uyy(x0(s), y0(s))y00(s) = q 0 0(s)
dla s ∈ [s1, s2]. Uwzględniając równanie (12.1) otrzymujemy następujący
układ równań jakie spełniają wartości pochodnych uxx, uxy, uyy w punkcie
(x0(s), y0(s)) krzywej `0
auxx + 2buxy + cuyy = −d
x00uxx + y00uxy = p00
x00uxy + y00uyy = q00
(dla uproszczenia zapisu pomijamy argumenty we wszystkich
występujących tu wyrażeniach). Powyższy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
∆ = a 2b c x00 y00 0 0 x00 y00 6= 0 dla s ∈ [s1, s2], to jest, gdy
a(y00)2− 2bx00y00 + c(y00)2 6= 0 dla s ∈ [s1, s2].
Zauważmy, ze z równania (12.3) wynika, że spośród funkcji u0(s), p0(s) i
q0(s) co najwyżej dwie możemy zadać dowolnie.
Zwykle zadajemy (12.4) u|`0 = u0(s) dla s ∈ [s1, s2] i (12.5) ∂u ∂ν `0 := −p0(s)y 0 0(s) + q0(s)x00(s) q (x0 0(s))2+ (x00(s))2 = v0(s) dla s ∈ [s1, s2].
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu 12–3
Definicja. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania (12.1) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania równania (12.1) spełniającego
warunki Cauchy’ego (12.4) i (12.5).
Definicja. Krzywą γ klasy C1, o parametryzacji (x(τ ), y(τ )), τ ∈ (τ 1, τ2),
nazywamy charakterystyką równania (12.1), gdy
a(x(τ ), y(τ ))(y00(τ ))2− 2b(x(τ ), y(τ ))x00(τ )y00(τ ) + c(x(τ ), y(τ ))(y00(τ ))2 = 0 dla wszystkich τ ∈ (τ1, τ2).
12.2
Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych
drugiego rzędu
Rozważmy semiliniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu (RSL) a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy+ c(x, y)uyy+ d(x, y, u, ux, uy) = 0,
gdzie a, b, c : Ω → R są funkcjami klasy C1 określonymi na obszarze Ω ⊂ R2. Wyrażenie L[u] zdefiniowane jako
L[u](x, y) := a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy
nazywamy częścią główną równania (RSL). Definicja.
• Równanie (RSL) jest hiperboliczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy
(b(x0, y0))2− a(x0, y0) · c(x0, y0) > 0.
• Równanie (RSL) jest paraboliczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy
(b(x0, y0))2− a(x0, y0) · c(x0, y0) = 0.
• Równanie (RSL) jest eliptyczne w punkcie (x0, y0) ∈ Ω, gdy
(b(x0, y0))2− a(x0, y0) · c(x0, y0) < 0.
Mówimy, że równanie (RSL) jest hiperboliczne (odp. paraboliczne, eliptyczne) w obszarze Ω, gdy jest hiperboliczne (odp. paraboliczne, eliptyczne) w każdym punkcie tego obszaru.
12–4 Skompilował Janusz Mierczyński
Twierdzenie 12.1 (Postać kanoniczna równania semiliniowego). (1)
Jeśli równanie (RSL) jest hiperboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniu każdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać (RH-PK) uξξ− uηη+ . . . = 0.
(2) Jeśli równanie (RSL) jest paraboliczne w obszarze Ω, to w otoczeniu każdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać
(RP-PK) uξξ+ . . . = 0.
(3) Jeśli równanie (RSL) jest eliptyczne w obszarze Ω, to w otoczeniu każdego punktu (x0, y0) ∈ Ω istnieje zamiana zmiennych (x, y) ↔ (ξ, η)
klasy C2 taka, że w zmiennych (ξ, η) równanie ma postać (RE-PK) uξξ+ uηη + . . . = 0.
(W powyższych wzorach, . . . oznacza wyrazy z pochodnymi rzędu mniejszego niż dwa.)
Wyrażenie (RH-PK) (odp. (RP-PK), (RE-PK)) nazywamy postacią kanoniczną równania hiperbolicznego (odp. parabolicznego, eliptycznego).
