Spis treści 8 Zasady zachowania 3 8.1 Ładunek i energia . . . 3 8.2 Pęd . . . 8
Elektrodynamika
Część 7
Zasady zachowania
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas
8.1.2 Twierdzenie Poyntinga We = ǫ0 2 Z E2 dτ Wm = 1 2µ0 Z B2dτ Uem = 1 2 Z ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 !
dτ całkowita energia zmagazynowana w polu elektromagnetycznym Ogólniejsze wyprowadzenie: F · dl = q(E + v × B) · v dt = qE · v dt q = ρ dτ, ρv = J 8 Zasady zachowania 8.1 Ładunek i energia 8.1.1 Równanie ciągłości Q(t) = Z V ρ(r, t) dτ ładunek w obszarze V dQ dt = − Z S
J · da zasada zachowania ładunku Z V ∂ρ ∂t dτ = − Z V ∇ · J dτ ∂ρ ∂t = −∇ · J równanie ciągłości
E · J = −1 2 ∂ ∂t ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 ! − 1 µ0 ∇ ·(E × B) dW dt = − d dt Z V 1 2 ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 ! dτ − 1 µ0 I S (E × B) · da
Twierdzenie Poyntinga: praca wykonana nad ładunkami przez siły elektromagnetyczne jest równa ubytkowi enegii zmagazynowanej w polach, pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez powierzchnię ograniczającą obszar S ≡ 1 µ0 (E × B) wektor Poyntinga dW dt = Z V (E · J) dτ E · J = 1 µ0 E ·(∇ × B) − ǫ0E · ∂E ∂t z prawa Ampère’a-Maxwella ∇ ·(E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B) pochodne iloczynów ∇ × E = −∂B ∂t prawo Faradaya E ·(∇ × B) = −B · ∂B ∂t − ∇ · (E × B) B · ∂B ∂t = 1 2 ∂ ∂t(B 2 ), E · ∂E ∂t = 1 2 ∂ ∂t(E 2 )
8.2 Pęd
8.2.2 Tensor napięć Maxwella
F = Z V (E + v × B)ρ dτ = Z V (ρE + J × B) dτ f = ρE + J × B gęstość siły
f = ǫ0(∇ · E)E + 1 µ0 ∇ × B − ǫ0 ∂E ∂t ! × B ∂ ∂t(E × B) = ∂E ∂t × B ! + E × ∂B ∂t ! tożsamość dW dt = − dUem dt − I S S · da dW dt = d dt Z V umechdτ
praca wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną
uem = 1 2 ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 !
gęstość energii pola d dt Z V (umech + uem) dτ = − I S S · da = − Z V (∇ · S) dτ ∂ ∂t(umech + uem) = −∇ · S
E × (∇ × E) = 1 2∇(E 2 ) − (E · ∇)E B ×(∇ × B) = 1 2∇(B 2 ) − (B · ∇)B f = ǫ0[(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ0 [(∇ · B)B + (B · ∇)B] − 1 2∇ ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 ! − ǫ0 ∂ ∂t(E × B) Tij ≡ ǫ0 EiEj − 1 2δijE 2 + 1 µ0 BiBj − 1 2δijB 2 tensor napięć Maxwella δij = 1 dla i = j
0 dla i 6= j delta Kroneckera
∂B ∂t = −∇ × E prawo Faradaya ∂E ∂t × B = ∂ ∂t(E × B) + E × (∇ × E) f = ǫ0[(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 µ0 [B × (∇ × B)] − ǫ0 ∂ ∂t(E × B) + 1 µ0 (∇ · B) | {z } =0 B ∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A)
+ (A · ∇)B + (B · ∇)A pochodne iloczynów
F = I S ←→ T · da − ǫ0µ0 d dt Z V Sdτ
8.2.3 Zasada zachowania pędu
F = dpmech dt dpmech dt = −ǫ0µ0 d dt Z V S dτ + I S ←→
T · da zasada zachowania pędu pem = ǫ0µ0 Z V Sdτ pęd pola elektromagnetycznego Txx = 1 2ǫ0(E 2 x − E 2 y − E 2 z) + 1 2µ0 (Bx2 − By2 − Bz2) Txy = ǫ0(ExEy) + 1 µ0 (BxBy) itd. (a · ←T→)j = X i=x,y,z
aiTij iloczyn wektora a z tensorem
←→ T (∇ · ←T→)j = ǫ0 (∇ · E)Ej + (E · ∇)Ej − 1 2∇jE 2 + 1 2µ0 (∇ · B)Bj + (B · ∇)Bj − 1 2∇jB 2 f = ∇ · ←T→ − ǫ0µ0 ∂S ∂t
8.2.4 Moment pędu uem = 1 2 ǫ0E 2 + 1 µ0 B2 ! gęstość energii ℘em = ǫ0µ0S = ǫ0(E × B) gęstość pędu
ℓem = r × ℘em = ǫ0[r × (E × B)] gęstość momentu pędu
Nawet statyczne pola mogą mieć pęd i moment pędu! ℘em = ǫ0µ0S gęstość pędu pola
∂
∂t(℘mech + ℘em) = ∇ · ←→
T
←→
