Zagadnienie początkowe
(zagadnienie Cauchy'ego).
Poprawność zadania
warunków początkowych
Autorzy:
Vsevolod Vladimirov
2019
(1)
(2)
Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego). Poprawność zadania warunków początkowych
Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego). Poprawność zadania warunków początkowych
Autor: Vsevolod Vladimirov
Powstaje pytanie: co należy zrobić, by rozwiązanie skalarnego RRZ nie zależało od dowolnych stałych? W innym sformułowaniu pytanie to brzmi następująco: przy jakich warunkach rozwiązanie RRZ będzie jednoznaczne? Otóż, skoro rozwiązanie ogólne skalarnego RRZ -go rzędu zależy od dowolnych stałych, to, żeby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, wystarczy, jak się wydaje, podać dodatkowych warunków algebraicznych. Domniemanie to jest słuszne w większości przypadków, z którymi stykamy się w praktyce.
Jednak w pewnych wyjątkowych sytuacjach, a mianowicie wówczas, gdy dane początkowe są zadane niepoprawnie, rozwiązanie wciąż będzie niejednoznaczne. Może też powstać sytuacja, że przy źle postawionych danych początkowych rozwiązanie nie będzie w ogóle istnieć.
Dla przykładu rozpatrzmy następujące równanie:
Równanie to można przepisać w postaci równości
które ma równowazną postać różniczkową
Implikuje to następujący ciąg równości:
Podstawiając funkcję do równania wyjściowego, możemy przekonać się, że czyni ona z niego tożsamość. Lewa strona:
Prawa strona:
Zatem
zadając warunek początkowy w postaci
i rozwiązując równanie algebraiczne względem , otrzymamy jedyne rozwiązanie Zadając warunek początkowy
otrzymamy niedorzeczność: Przyczyną tego jest nieokreśloność prawej strony równania przy . Warunek początkowy
jest spełniony przy dowolnej wartości stałej .Przyczynę tego można zrozumieć, gdy rozpatrzymy zbiór wszystkich możliwych rozwiązań równania ( 1 ) postaci ( 2 ). Obrazuje go na płaszczyźnie fazowej pęk linii prostych przechodzących przez początek współrzędnych, (zob. Rys. 1). Widzimy że początek współrzędnych jest jedynym punktem na płaszczyźnie, przez który przechodzą wszystkie rozwiązania równania. Dlatego właśnie zadanie warunków początkowych w tym punkcie prowadzi do nieijednoznaczności.
n
n
n
= .
d x d t xt= ,
d x x d ttdlog x = dlog t.
∫ dlog x = ∫ dlog t ⇔ log x = log t + log C ⇔ x = Ct, C ∈ R.
x = C t
= C,
d (C t) d t=
= C.
x(t) t C ttx( ) = a, gdzie
t
0t
0≠ 0,
x( ) = a = C
t
0t
0C
x(t) = a .
tt0x(0) = b ≠ 0,
b = C ⋅ 0.
t = 0
x(0) = 0,
C
(t, x)
- 3 - 2 - 1 1 2 3 t - 10 - 5 5 10 f(t) -> x x
Rysunek 1: Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania ( 1 ) odpowiadających różnym wartościom parametru , na płaszczyźnie fazowej
Podsumowując to co powiedzieliśmy, wprowadzimy następujące oznaczenie: Punkt Punkt płaszczyzny fazowej nazywa się płaszczyzny fazowej nazywa się punktem osobliwym, jeżeli w tym punkcie prawa strona RRZ
punktem osobliwym, jeżeli w tym punkcie prawa strona RRZ
przybiera wartość zerową, lub jest nieoznaczona.
przybiera wartość zerową, lub jest nieoznaczona. Ogólna reguła więc brzmi następująco:
Postawienie warunków początkowych w punkcie osobliwym prowadzi do niejednoznaczności rozwiązania zagadnienia Postawienie warunków początkowych w punkcie osobliwym prowadzi do niejednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego, lub do niedorzeczności.
początkowego, lub do niedorzeczności.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:21:25
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=7641fcf83034e687b97a8296cbaa3ee4
Autor: Vsevolod Vladimirov
C (t, x)
( , )
t
0x
0= f(t, x)
d x d t
