1
Relacje A. Mróz
1. Znajd¹ dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦ relacji R ⊆ X × X oraz narysuj jej diagram, gdy (a) X = {a, b}, R = {(a, a), (b, b), (a, b)};
(b) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)};
(c) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c)}; (d) X = N, x R y ⇔ x < y;
(e) X = N, x R y ⇔ x ≤ y.
2. Zbadaj wªasno±ci relacji z zadania 1 (tj. czy s¡ zwrotne, przechodnie itp.)
3. Jakie wªasno±ci ma diagram relacji zwrotnej, przeciwzwrotnej, symetrycznej, antysymetrycznej, spójnej?
4. Podaj przykªad relacji, która:
(a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia;
(b) jest zwrotna, sªabo antysymetryczna i nie jest przechodnia; (c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna;
(d) jest sªabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna.
5. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X (tj. czy jest zwrotna, przechodnia itp.), gdy: (a) X = N, x R y ⇔ x| y; (b) X = N, x R y ⇔ 2| (x − y); (c) X = R, x R y ⇔ x + y = 1; (d) X = R, x R y ⇔ x − y ∈ Z; (e) X = R2, (x, y) R (x0, y0) ⇔ x = x0; (f) X = R2, (x, y) R (x0, y0) ⇔ x = y0; (g) X = 2N, A R B ⇔ A ⊆ B; (h) X = 2N, A R B ⇔ A ∩ B 6= ∅; (i) X = R, x R y ⇔ xy > 0; (j) X = R, x R y ⇔ x2= y2; (k) X = N2, (x, y) R (s, t) ⇔ x + t = s + y.
6. Niech X b¦dzie zbiorem wszystkich prostych na pªaszczy¹nie. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X, gdy
(a) R jest relacj¡ równolegªo±ci prostych; (b) R jest relacj¡ prostopadªo±ci prostych. 7. Sprawd¹, czy poni»sze relacje s¡ funkcjami.
(a) R = {(a, a), (a, b), (b, a)} ⊆ {a, b} × {a, b}; (b) R = {(a, a), (b, a), (c, b)} ⊆ {a, b, c} × {a, b}; (c) R = {(x, y) : xy = 1} ⊆ R × R;
(d) R = {(x, y) : x2 = y2} ⊆ R × R;
(e) R = {(x, y) : x2 = y2} ⊆ R
+× R+;
(f) R = {(x, y) : x2+ y2 = 1} ⊆ R × R.
8. Uzasadnij, »e jedyn¡ zwrotn¡, symetryczn¡ i sªabo antysymetryczn¡ niepust¡ relacj¡ na zbiorze niepustym jest relacja równo±ci.
9. Wska» w±ród relacji z zada« 1 i 5 relacje cz¦±ciowego porz¡dku. Które z nich s¡ porz¡dkami liniowymi?
2 10. Rozwa»my zbiór {n ∈ N : 5 ≤ n ≤ 15} cz¦±ciowo uporz¡dkowany relacj¡ podzielno±ci. Narysuj diagram Hassego dla tego porz¡dku i wska» (o ile istniej¡) elementy najmniejsze, najwi¦ksze, minimalne, maksymalne oraz ªa«cuchy. Zrób to samo dla zbioru {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}(równie» z relacj¡ podzielno±ci).
11. Opisz elementy minimalne w zbiorze {n ∈ N : n ≥ 2} uporz¡dkowanym relacj¡ podziel-no±ci. Czy istniej¡ w nim elementy maksymalne, najmniejsze, najwi¦ksze? Opisz elementy minimalne i ªa«cuchy w tym zbiorze.
12. Na zbiorze X = R2 rozwa»my relacj¦ deniowan¡ nast¦puj¡co:
∀(x,y),(x0,y0)∈R2 (x, y) (x0, y0) ⇔ x ≤ x0 ∧ y ≤ y0.
Wyka», »e jest to relacja porz¡dku. Czy jest to porz¡dek liniowy?
13. Wska» przykªad (o ile istnieje!) zbioru cz¦±ciowo uporz¡dkowanego, który:
(a) posiada czteroelementowy ªa«cuch, dwa elementy maksymalne i jeden najmniejszy; (b) posiada dwa elementy minimalne i jest relacj¡ spójn¡;
(c) posiada dokªadnie jeden element minimalny i »adnego elementu najmniejszego. 14. W±ród poni»szych liniowych porz¡dków wska» porz¡dki dobre, g¦ste, ci¡gªe.
(a) (N, ≤); (b) (Z, ≤); (c) (Q, ≤); (d) (R, ≤); (e) ({1 n : n ∈ N}, ≤); (f) ({−1 n : n ∈ N}, ≤).
15. W±ród relacji z zada« 5,6 i 7 wska» relacje równowa»no±ci i opisz ich zbiory ilorazowe. 16. Rozwa»my na zbiorze R relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co
∀x,y∈R x ∼ y ⇔ |x| = |y|.
(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy R/∼. (b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:
• f : R/ ∼ → R, f ([x]) = x3; • f : R/ ∼ → R, f ([x]) = x2; • f : R/ ∼ → R/ ∼, f([x]) = [x3];
• f : R/ ∼ → R/ ∼, f([x]) = [x − 2].
17. Rozwa»my na zbiorze N relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co ∀n,m∈Rn ∼ m ⇔ 3| (n − m).
(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy N/∼. (b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:
• f : N/ ∼ → N, f ([n]) = n mod 3; • f : N/ ∼ → N, f ([n]) = n;
• f : N/ ∼ → N/ ∼, f([n]) = [n2];