Relacje cz¦±ciowego porz¡dku lista zada«

Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci

Relacje cz¦±ciowego porz¡dku  lista zada«

1. Sprawd¹, »e podane poni»ej relacje s¡ relacjami cz¦±ciowego porz¡dku na Z. Tam, gdzie trzeba, zakªadamy,

»e  jest relacj¡ cz¦±ciowego porz¡dku na X . Ponadto przyjmujemy, »e x ≺ y ⇐⇒ x  y ∧ x 6= y.

(a) Relacja zawierania ⊆ dla Z = P(X), gdzie X jest dowolnym zbiorem.

(b) Relacja podzielno±ci | dla Z = Z+ (zbiór liczb caªkowitych dodatnich).

(c) Relacja x E y ⇐⇒ f(x) ≺ f(y) ∨ x = y gdy f : Z → X jest jak¡± funkcj¡.

(d) Relacja f E g ⇐⇒ (∀x ∈ Y )f(x)  f(y) gdy Z = X^Y. (e) Porz¡dek leksykograczny na ci¡gach:

a E b ⇐⇒ a = b ∨ (∃n ∈ N) (aⁿ≺ bn∧ (∀k < n)ak = bk) gdy Z = X^N.

(f) Porz¡dek produktowy: (p, q) / (p⁰, q⁰) ⇐⇒ p ≺ p⁰∧ q ≺ q⁰ dla Z = X².

(g) Porz¡dek leksykograczny w produkcie: (p, q) E (p⁰, q⁰) ⇐⇒ p ≺ p⁰∨ (p = p⁰∧ q  q⁰)dla Z = X². (h) Porz¡dek maksymoleksykograczny w produkcie:

(p, q) E (p⁰, q⁰) ⇐⇒ max(p, q) ≺ max(p⁰, q⁰) ∨

(max(p, q) = max(p⁰, q⁰) ∧ min(p, q) ≺ min(p⁰, q⁰)) ∨ (max(p, q) = max(p⁰, q⁰) ∧ min(p, q) = min(p⁰, q⁰) ∧ p  p⁰) gdy  jest liniowym porz¡dkiem na X , Z = X².

2. Podaj przykªad niesko«czonego zbioru dobrze uporz¡dkowanego, który posiada element najwi¦kszy.

3. Czy (wzgl. przy jakich zaªo»eniach) porz¡dki z zadania 1. s¡ liniowe? Czy s¡ dobrymi porz¡dkami?

4. Udowodnij, »e je±li w zbiorze uporz¡dkowanym istnieje element najwi¦kszy, to jest on jedynym elementem maksymalnym. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

5. Czy (wzgl. przy jakich zaªo»eniach) w porz¡dkach z zadania 1. istniej¡ elementy minimalne/maksymalne/

najmniejsze/najwi¦ksze?

6. Udowodnij, »e je±li (xn)i (yn)s¡ ci¡gami liczb naturalnych, to istniej¡ liczby k i l takie, »e k < l, xk ≤ xl

oraz yk ≤ yl.

7. Zaªó»my, »e X = R,  = ≤. Czy w porz¡dkach z zadania pierwszego istniej¡ niesko«czone ªa«cuchy i antyªa«cuchy?

8. Rozwa»my zbiór X = P(N) z relacj¡ zawierania ⊆. Czy istnieje w X ªa«cuch równoliczny z X ? Czy istnieje antyªa«cuch równoliczny z X ?

9. Udowodnij, »e je±li X jest zbiorem dobrze uporz¡dkowanym przez relacj¦  i w X nie ma elementu najwi¦kszego, to  i porz¡dek maksymoleksykograczny E na X² s¡ równowa»ne. Korzystaj¡c z twierdzenia o dobrym uporz¡dkowaniu, wywnioskuj st¡d, »e |A| = |A²| dla ka»dego niesko«czonego zbioru A.