Elementy teorii zbiorów. Funkcje i relacje. Metryki

Elementy teorii zbiorów.

Funkcje i relacje. Metryki

(notatki do wykładu)

Jan Jełowicki

Katedra Matematyki Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu jan.jelowicki[at]up.wroc.pl

http://karnet.up.wroc.pl/~jasj http://mat.up.wroc.pl/dydaktyka/bioinfo1

Wrocław 2012

Elementy teorii zbiorów Przykłady wstępne Pojęcie zbioru Właściwości zbiorów Działania na zbiorach

Systematyczna teoria zbiorów Relacje i funkcje

Relacje i funkcje jako zbiory Właściwości relacji

Relacje równoważności Relacje porządkujące Metryki

Odległość i metryka Przykłady metryk

Literatura

▶ Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów.

Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego.

Warszawa 2008. Rozdziały 2–4.

▶ Jan Kraszewski: Wstęp do matematyki.

Wydawnictwa Naukowo–Techniczne.

Warszawa 2007. Rozdziały 2. i 5–7.

▶ Marek Zaionc, Jakub Kozik, Marcin Kozik:

Logika i teoria mnogości.

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci

2008. Fragmenty rozdziałów 4., 5. i 10.

▶ Zbiór wartości logicznych{ T, F }

▶ Zbiór liczb naturalnychN = { 0, 1, 2, . . . }

▶ Zbiór liczb rzeczywistychR

▶ Zbiór wszystkich wielokątów wypukłych na płaszczyźnie

▶ Zbiór rodzajów wielokątów { trójkąt, czworokąt, pięciokąt, sześciokąt, … }

▶ Każdy alfabet (np. łaciński, grecki, Unicode, zasady tworzące kod DNA, itp.)

▶ Zbiór słów korzystających z danego alfabetu

▶ Zbiór tekstów literackich napisanych w danym języku

▶ Zbiór książek

▶ Zbiór gatunków owadów

Co to jest zbiór?

Definicja zbioru wg Georga Cantora:

Zbiór jest to dowolna kolekcja dobrze określonych, rozróżnialnych elementów, będących obiektami postrzegania albo wytworami myśli.

W teorii aksjomatycznej zbiór jest pojęciem pierwotnym. Zakłada się pewne właściwości zbiorów, jednak samego terminu „zbiór” nie definiuje się.

Wyrażenie x∈ A czytamy: „x jest elementem zbioru A”.

Element zbioru może być dowolnym obiektem, w tym również zbiorem.

Żaden zbiór nie może być swoim własnym elementem.

W praktyce na ogół rozpatrujemy zbiory składające się z elementów w pewnym sensie podobnych do siebie

(chociaż nie jest to formalny wymóg).

Kiedy zbiory są równe?

Jedynym kryterium równości dwóch zbiorów jest, by posiadały one takie same elementy.

A = B wtedy i tylko wtedy, gdy ^∧

x

(x∈ A ⇔ x ∈ B).

Wynika stąd, że powtórzenia tego samego elementu w zbiorze nie są istotne, np.{ a, a } = { a }.

Podobnie nie jest istotna kolejność elementów, np.{ a, b } = { b, a }.

Zbiór pusty, oznaczany symbolem∅, nie ma ani jednego elementu.

∧

x

¬x ∈ ∅

∅ = { }

Istnieje tylko jeden zbiór pusty

(gdyby było ich więcej, i tak byłyby sobie równe).

Nie istnieje „zbiór pełny”

Paradoks Bertranda Russella:

Nie istnieje zbiór wszystkich obiektów spełniających warunek ¬(x ∈ x).

Dowód (nie wprost):

Taki zbiór, gdyby istniał, nie mógłby ani być swoim elementem, ani nie być swoim elementem.

Wniosek: nie istnieje zbiór uniwersalny, którego elementami byłyby wszystkie zbiory.

Jak widać, rozważanie „wszystkich możliwych elementów” jest pozbawione podstaw. Ograniczymy się do rozpatrywania pewnego zbioru Ω (zwanego uniwersum), do którego należą wszystkie rozpatrywane elementy. Przy tym założeniu

A = B wtedy i tylko wtedy, gdy ^∧(x∈ A ⇔ x ∈ B).

Mówimy: „zbiór A zawiera się w zbiorze B” albo „zbiór A jest podzbiorem zbioru B”, kiedy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.

Oznaczenie A⊆ B stosujemy, gdy

∧

x∈A

x∈ B, czyli ^∧

x∈Ω

x∈ A ⇒ x ∈ B.

Uwaga: istnieje różnica między „należy” i „zawiera się”. Element zbioru jest w podobnej relacji ze zbiorem, jak z jego podzbiorem (tj. należy bądź nie należy do niego). Podzbiór składa się z niektórych elementów danego zbioru, ale na ogół nie jest jego elementem.

Zbiór podzbiorów danego zbioru

Często rozważany jest zbiór wszystkich podzbiorów pewnego ustalonego zbioru A. Oznaczamy go symbolemP(A).

Jest jasne, że X⊆ X, ∅ ⊆ X.

Wobec tego X∈ P(X), ∅ ∈ P(X).

W konsekwencji{ X, ∅ } ⊆ P(X).

Zachodzi ogólne twierdzenie (Georg Cantor):

Każdy zbiór ma istotnie więcej podzbiorów niż elementów.

Zbiór skończony posiadający n elementów ma 2ⁿpodzbiorów.

Na przykład dla zbioru X ={ a, b, c }

P(X) = { ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c } }.

Suma zbiorów A∪ B jest zbiorem, do którego należą wszystkie elementy obu zbiorów.

A∪ B = { x ∈ Ω : x ∈ A∨x∈ B }

▶ A∪ ∅ = A

▶ A∪ A = A

▶ A∪ Ω = Ω

▶ A∪ B = B ∪ A

▶ B⊆ A ⇒ A ∪ B = A

A B

A∪B

Operacje algebraiczne na zbiorach

Część wspólna (przekrój) zbiorów A∩ B jest zbiorem, do którego należą wspólne elementy obu zbiorów.

A∩ B = { x ∈ Ω : x ∈ A∧x∈ B }

▶ A∩ ∅ = ∅

▶ A∩ A = A

▶ A∩ Ω = A

▶ A∩ B = B ∩ A

▶ B⊆ A ⇒ A ∩ B = B

A B

A∩B

Różnica zbiorów A\ B jest zbiorem, do którego należą te elementy pierwszego zbioru, których nie ma w zbiorze drugim.

A\ B = { x ∈ Ω : x ∈ A∧x /∈ B }

▶ A\ ∅ = A

▶ A\ A = ∅

▶ A\ Ω = ∅

▶ A\ B ⊆ A

▶ (A\ B) ∩ B = ∅

▶ A\ B = B \ A ⇒ A = B

A B

A\B

Operacje algebraiczne na zbiorach

Różnica symetryczna zbiorów A△ B jest zbiorem, do którego należą elementy należące do dokładnie jednego ze zbiorów A i B.

A△ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

▶ A△ ∅ = A

▶ A△ A = ∅

▶ A△ B = B △ A

▶ A△ B ⊆ A ∪ B

▶ (A△ B) ∩ A ∩ B = ∅

A B

A4B

Dopełnienie (do uniwersum Ω) A^′zbioru A jest zbiorem, do którego należą wszystkie elementy nie będące elementami zbioru A.

A^′ ={ x ∈ Ω : x /∈ A }

▶ A^′′= A

▶ A^′∩ A = ∅

▶ A^′∪ A = Ω

▶ A^′ = Ω\ A

▶ Ω^′ =∅

▶ A^′ = B⇒ B^′= A

A A⁰

Algebra zbiorów a rachunek zdań

Operacje algebraiczne na zbiorach są ściśle związane z rachunkiem zdań logicznych.

A = B⇔^∧

x

(x∈ A ⇔ x ∈ B) A⊆ B ⇔^∧

x

(x∈ A ⇒ x ∈ B) x∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A∨x∈ B x∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A∧x∈ B x∈ A \ B ⇔ x ∈ A∧¬x ∈ B

x∈ A △ B ⇔ (x ∈ A∨x∈ B)∧¬(x ∈ A∧x∈ B) x∈ A^′⇔ ¬x ∈ A

zbudowanymi niezgodnie z regułami rachunku zbiorów.

W przypadku zdań

Mam spisane adresy wszystkich znajomych, którzy znają język angielski i którzy znają język francuski.

Przyniosłem książki z pierwszej i drugiej półki.

mamy na myśli sumę zbiorów. Użycie spójnika „i” ma związek z koniecznością przeanalizowania zawartości obu zbiorów:

A⊆ A ∪ B∧B⊆ A ∪ B.

W przypadku zdania

Żaden kandydat nie spełnia warunków konkursu.

myślimy, że nie istnieje kandydat spełniający warunki, czyli że każdy

Sposoby definiowania zbiorów

▶ Przez wskazanie elementów, np.

{ kot, pies, mysz } { 0, 2, 4, 6, . . . }

▶ Przez wycięcie: elementy danego zbioru spełniające daną funkcję zdaniową tworzą zbiór, np.

{ x ∈ A : p(x) }

{ x ∈ N : x jest liczbą pierwszą }

▶ Przez zastąpienie: wartości elementów danego zbioru przy przekształceniu przez daną funkcję f tworzą zbiór (nosi on nazwę obrazu zbioru A przez funkcję f), np.

{ f(x) : x ∈ A }

Para uporządkowana⟨a, b⟩ jest obiektem składającym się z dwóch elementów, rozróżnialnych pod względem kolejności.

Para⟨a, b⟩ jest więc czymś innym, niż zbiór dwuelementowy { a, b }. Formalnie parę uporządkowaną definiuje się jako

⟨a, b⟩ = { { a}, { a, b } }. Szczegóły tej definicji są jednak mniej ważne, niż sama możliwość jej sformułowania.

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B jest zbiorem, do którego należą wszystkie pary uporządkowane, których pierwsza współrzędna jest elementem zbioru A, a druga — zbioru B. W notacji symbolicznej

A× B = { ⟨a, b⟩ : a ∈ A∧b∈ B }.

Dla zbioru A× A używamy oznaczenia A².

Produkt kartezjański

Jeżeli schematycznie przedstawimy zbiory A i B jako odcinki, to ich iloczynowi kartezjańskiemu będzie odpowiadał prostokąt.

(Z takiego przedstawienia w ogólnej sytuacji nie wolno wyciągać żadnych wniosków odnośnie uporządkowania elementów.)

A B

A×B

h_{a, b}i

a b

Rzutem zbioru X na pierwszą oś nazywamy zbiór pierwszych współrzędnych wszystkich elementów zbioru X,

tj.{ a ∈ A : ^∨

b∈B⟨a, b⟩ ∈ X }.

Analogicznie, rzutem zbioru X na drugą oś nazywamy zbiór drugich współrzędnych wszystkich elementów zbioru X,

tj.{ b ∈ B : ^∨

a∈A⟨a, b⟩ ∈ X }.

Rzuty zbioru X na obie osie oznaczono na rysunku pogrubioną kreską.

Rzuty zbioru X na osie są odpowiednio podzbiorami

X B

A×B

Cięcia

Rozważamy dowolny zbiór par uporządkowanych X⊆ A × B.

Cięciem poziomym zbioru X nazywamy każdy zbiór postaci { ⟨a, b⟩ ∈ X : a ∈ A }, gdzie b jest ustalonym elementem zbioru B.

Podobnie, cięciem pionowym zbioru X nazywamy każdy zbiór postaci { ⟨a, b⟩ ∈ X : b ∈ B }, gdzie a jest ustalonym elementem zbioru A.

Każde cięcie zbioru X jest jego podzbiorem.

Przykładowe cięcia (poziome i pionowe) zbioru X zaznaczono na rysunku liniami

ciągłymi.

X

A B

A×B

Zbiór skończony zawsze da się wyliczyć element po elemencie.

Zbiór nieskończony zawiera tyle samo elementów, co pewien jego właściwy podzbiór.

ZbiórP(A) zawsze zawiera istotnie więcej elementów, niż A (nawet w przypadku, kiedy A jest nieskończony).

Liczbę elementów zbioru X oznaczamy symbolem|X|.

|∅| = 0, |P(∅)| = 1.

|{ 1, 2, 3 }| = 3, |P({ 1, 2, 3 })| = 2³ = 8.

Systematyczna teoria zbiorów

Istnieje wiele ważnych pytań, na które da się odpowiedzieć jedynie pod warunkiem dobrego ugruntowania pojęć podstawowych.

▶ Czy istnieje jeden zbiór uniwersalny?

(nie: Bertrand Russell)

▶ Czy zbiór może być swoim elementem?

(nie: aksjomat regularności)

▶ Co to znaczy „tyle samo” elementów?

▶ Co to znaczy „istotnie więcej” elementów?

▶ Ile jest różnych nieskończoności?

Systematyczne ujęcie teorii zbiorów: Georg Cantor

Aksjomaty teorii zbiorów: Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel

przyporządkowania”. Każdy obiekt, któremu funkcja coś

przyporządkowuje, jest jej argumentem. Każdy obiekt, który funkcja przyporządkowuje, jest jej wartością.

Dziedzinę funkcji tworzy zbiór wszystkich jej argumentów.

Przeciwdziedzina funkcji to zbiór utworzony ze wszystkich wartości danej funkcji.

Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych, w których pierwszy wyraz jest argumentem, a drugi — odpowiadającą mu wartością funkcji.

Wykres funkcji f : X→ Y, czyli zbiór

{⟨x, y⟩ ∈ X × Y : y = f(x)},

Relacje

Nieformalnie, relacja jest to związek zachodzący między pewnymi obiektami.

Formalnie, relacją nazywamy dowolny podzbiór R produktu kartezjańskiego A× B.

Jeżeli para⟨x, y⟩ ∈ R, to mówimy, że „element x ∈ A jest w relacji R z elementem y∈ B”, co oznaczamy często x R y.

Jeżeli A = B = X, to mówimy o relacji określonej na zbiorze X.

Rzut relacji na pierwszą oś nazywamy jej dziedziną. Innymi słowy, dziedzina to zbiór tych elementów, które są w relacji z jakimiś elementami.

Rzut relacji na drugą oś nazywamy jej przeciwdziedziną. Innymi słowy, przeciwdziedzina to zbiór tych elementów, z którymi są w relacji jakieś elementy.

Relacją odwrotną do relacji R⊆ A × B nazywamy relację R⁻¹⊆ B × A zdefiniowaną następująco:

R⁻¹ ={ ⟨y, x⟩ : ⟨x, y⟩ ∈ R }.

Cięcie poziome relacji wyznaczone przez element b∈ B pozwala wyznaczyć zbiór wszystkich x∈ A będących w relacji z b.

Cięcie pionowe relacji wyznaczone przez element a∈ A pozwala wyznaczyć zbiór wszystkich y∈ B, z którymi a jest w relacji.

Funkcja jako relacja

Funkcja f : X→ Y, jako podzbiór produktu kartezjańskiego X × Y, spełnia definicję relacji. Funkcje są więc szczególnego typu relacjami.

Dla każdego argumentu funkcja przyjmuje co najwyżej jedną wartość.

Dlatego każde cięcie pionowe funkcji jest co najwyżej jednoelementowe.

Funkcja jest różnowartościowa, kiedy każda jej wartość jest przyjmowana dla dokładnie jednej wartości argumentu.

Każde cięcie poziome funkcji różnowartościowej jest co najwyżej jednoelementowe.

Relacja odwrotna do funkcji f jest funkcją wtedy i tylko wtedy, kiedy f jest różnowartościowa.

Niech R będzie relacją zawartą w X× X.

Niżej wymienione warunki są ważnymi właściwościami niektórych rodzajów relacji.

▶ Zwrotność: ^∧

a∈Xa R a

▶ Spójność: ^∧

a∈X

∧

b∈X(a R b∨b R a)

▶ Symetria: ^∧

a∈X

∧

b∈X(a R b⇔ b R a)

▶ Antysymetria słaba: ^∧

a∈X

∧

b∈X(a R b∧b R a⇒ a = b)

▶ Antysymetria silna: ^∧

a∈X

∧

b∈X¬(a R b∧b R a)

▶ Przechodniość: ^∧

a∈X

∧

b∈X

∧

c∈X(a R b∧b R c⇒ a R c)

Relacje równoważności

Relacje określone na zbiorze X, które są zwrotne, symetryczne i przechodnie, są nazywane relacjami równoważności.

Przykłady

▶ Najprostszą relacją równoważności jest relacja równości.

Jej wykres tworzy przekątną iloczynu kartezjańskiego.

▶ Relacją równoważności jest relacja totalna, której wykresem jest cały zbiór X× X.

▶ Każda relacja równoważności jest postaci a R b⇔ f(a) = f(b) dla pewnej funkcji f (o jakich wartościach?).

Niech R będzie relacją równoważności na zbiorze X.

Klasę abstrakcji elementu x∈ X tworzy zbiór wszystkich elementów, które są w relacji z x. Zbiór ten oznaczamy symbolem [x]_R.

Dwa dowolne elementy mają albo identyczne, albo rozłączne klasy abstrakcji.

Przykłady

▶ Zbiór wielokątów na płaszczyźnie, z relacją∼: „obie figury mają tę samą liczbę wierzchołków”. Jest to relacja równoważności.

Wszystkie trójkąty są ze sobą w relacji∼. Klasą abstrakcji relacji∼, do której należy ustalony trójkąt, jest zbiór wszystkich trójkątów. Zbiór klas abstrakcji relacji∼ odpowiada zbiorowi wszystkich typów wielokątów (ilustracja na następnej stronie).

Relacje równoważności — przykłady

Rozpatrujemy zbiór wielokątów W z relacją równoważności a∼ b ⇔ a i b mają jednakową liczbę wierzchołków.

Od lewej: zbiór W; klasa równoważności [t]_∼wybranej figury t; zbiór klas równoważności W/∼.

Relacje określone na zbiorze X, które są zwrotne, słabo antysymetryczne i przechodnie, są nazywane relacjami porządkującymi.

Przykłady

▶ Nierówności w zbiorach liczbowych (N, R)

▶ Inkluzja zbiorów⊆

▶ Porządek produktowy

▶ Porządek leksykograficzny

▶ „Jest przodkiem” w zbiorze osobników

▶ „Jest potomkiem” w zbiorze osobników

Relacje porządkujące — przykłady

Niech X = [0, 1], a, b∈ X², a =⟨a1, a2⟩ , b = ⟨b1, b2⟩ (zamiast przedziału liczbowego możemy rozpatrywać inny zbiór uporządkowany).

Porządek leksykograficzny L jest relacją na X²określoną następująco:

a L b⇔ a1< b_{1 ∨}(a₁= b_{1 ∧}a₂¬ b2).

Uwaga: zamieszczony rysunek nie jest wykresem relacji L.

X

{a : a L p}

{a : p L a}

p

∈ X ⟨a1 2⟩ , b = ⟨b1 2⟩ (zamiast przedziału liczbowego możemy rozpatrywać inny zbiór uporządkowany).

Porządek produktowy P jest relacją na X²określoną następująco:

a P b⇔ a1 ¬ b1 ∧a2 ¬ b2.

Uwaga: zamieszczony rysunek nie jest wykresem relacji P.

X

{a : a P p}

{a : p P a}

p

Porównywalność elementów

Niech R będzie relacją porządkującą na zbiorze X.

O dwóch elementach x, y∈ X mówimy, że są porównywalne, jeżeli x R y lub y R x.

Przykłady

W relacji¬ między liczbami rzeczywistymi każde dwa elementy są porównywalne.

W relacji „jest przodkiem” określonej w zbiorze wszystkich ludzi dana osoba jest porównywalna z wszystkimi swoimi przodkami i z wszystkimi swoimi potomkami.

Relacje porządkujące, które są dodatkowo spójne, są nazywane porządkami liniowymi.

Spójność oznacza, że każda para albo jest w relacji, albo jest w relacji odwrotnej (tzn. wpada do relacji po zamianie kolejności elementów).

W porządku liniowym każde dwa elementy są porównywalne.

Do operowania tego typu relacjami jesteśmy przyzwyczajeni.

Przykłady:

▶ Porządek liczb naturalnych na osi liczbowej,

▶ Porządek liczb rzeczywistych na osi liczbowej,

▶ Porządek leksykograficzny punktów na płaszczyźnie,

▶ Porządek leksykograficzny słów (stąd pochodzi nazwa),

Skale porządkowe

Porządek liniowy jest dobry, jeśli każdy zbiór elementów posiada element najmniejszy. Dobrym porządkiem jest np. porządek¬ w zbiorze liczb naturalnychN.

Porządek liniowy jest gęsty, jeśli między dwoma elementami zawsze da się wskazać inny element. Gęsty jest np. porządek¬ w zbiorze liczb wymiernychW.

Porządek liniowy jest ciągły, jeśli zbiór wszystkich elementów większych od wszystkich elementów innego zbioru posiada element najmniejszy, i na odwrót. Ciągły i gęsty jest np. porządek¬ w zbiorze liczb rzeczywistychR.

Uwaga: używając skali porządkowej mamy możliwość dokonywania jedynie porównań typu „większy”–„mniejszy”; nie ma działań arytmetycznych pozwalających sprawdzić „o ile”, ani tym bardziej

„ile razy” dany element a jest większy od elementu b.

Metryka jest funkcją, która każdej parze elementów a, b∈ X przypisuje liczbę d(a, b), zwaną odległością między a i b.

Metryka musi spełniać następujące

warunki: ^X

a

b d(_{a, b}) c

d(_{a, c})

d(_{c, b})

▶ d(a, b) = 0⇔ a = b (odległość między różnymi punktami jest niezerowa),

▶ d(a, b) = d(b, a) (symetria; kierunek pomiaru odległości jest bez znaczenia),

▶ dla dowolnego punktu c∈ X zachodzi d(a, b) ¬ d(a, c) + d(c, b) (nierówność trójkąta).

Metryka naturalna na prostej liczbowej

Funkcja d :R × R → R+∪ { 0 } dana wzorem d(a, b) =|b − a|

jest metryką.

W metryce tej każde trzy punkty są współliniowe.

Niech a =⟨a1, a₂⟩ i b = ⟨b1, b₂⟩ będą punktami płaszczyzny.

▶ Metryka euklidesowa dE(a, b) =

√

(b1− a1)²+ (b2− a2)²

▶ Metryka miejska

d_m(a, b) =|b1− a1| + |b2− a2|

▶ Metryka centrum o środku s =⟨s1, s₂⟩

dc(a, b) =

{ 0 jeśli a = b,

dE(a, s) + dE(s, b) w przeciwnym razie

Przykłady metryk na powierzchni Ziemi

▶ Metryka naturalna: długość najkrótszej drogi na powierzchni sfery, łączącej dwa zadane punkty.

(Droga ta jest fragmentem łuku koła wielkiego łączącego oba punkty.)

▶ Metryka indukowana: długość najkrótszej drogi w przestrzeni trójwymiarowej, łączącej dwa zadane punkty umieszczone na sferze.

(Droga ta jest cięciwą łuku koła wielkiego; jej trasa przebiega pod powierzchnią sfery.)

dH(a, b) =

∑n

i=1

(ai̸= bi)

zlicza, na ilu miejscach słowa różnią się znakami.

dH(„kura”, „kuna”) = 1; dH(„kara”, „arka”) = 3.

d_H(„kantar”, „arkana”) = 6.

Metrykę redakcyjną Levenshteina d_L(a, b) w zbiorze słów definiuje się jako minimalną liczbę operacji polegających na wstawieniu, usunięciu lub zastąpieniu znaku, niezbędnych do zamiany słowa a w słowo b.

d_L(„kura”, „kuna”) = 1; d_L(„kara”, „arka”) = 2;

Odległości między zbiorami i metryki na P(X)

Niech X będzie skończonym zbiorem dowolnych elementów.

▶ Funkcja przypisująca parze zbiorów A, B⊆ X liczbę elementów ich różnicy symetrycznej

d_s(A, B) =|A △ B|

jest metryką naP(X).

Odległość dsdwóch zbiorów może być bardzo duża. Czasami jest to wadą.

▶ Wolna od niej jest metryka Steinhausa zdefiniowana jako

dS(A, B) = |A △ B|

|A ∪ B| gdy A∪ B ̸= ∅, 0 gdy A = B = ∅.

W metryce Steinhausa odległość zbiorów rozłącznych wynosi 1 (dlaczego?).