Beitrag zur schlingerdämpfungsfrage unter besonder berücksichtigung des frahmschen tanks

XIV. Beitrag zur

unter besonderer

Beru&sithtiguflg des

t'rahmsthen Tanks

Von Erich L'eid, I)ortmufl(I.

I n h a I t.

I. Das Schill' mi Seegang (ireie und eriwungefle 11oltsciiwifiguflgen)

II. Die rregL1figslre(1tItiz der rzwuflgCfltfl olischwingUflgen.

III. Frahms Tank I (erste Fassung). 1. I)ie rzwufigCflCfl SchwiflgUflgefl.

a Die TerenLialglCict1Ufig der n1Lschwingungdi des SchifTes.

h) Die ffrefltialg1eichmtg der SchwingUflgefl des Tankwassers.

c) Die Losung der für

erzwungefie SchwingUligeIl.

2. Die freien Schwingtlflgeli.

IV. Frahms Tank I I (zweite Fassung). I. Die rzvungeIitfl SchwiflgUfigefl. 2. 1)ie Ireidfi ScltwiflgUngcfl

3. Zahienbeispiel für Frahms Tank II. Die erzwuflgeflcfl SchwingUflgefl.

l)ie freien SchwiflgUfigefl.

Die estimiflUflg des gunstigstefi Wertes f/F.

kontrolle der Gröe c.

I)ie experimentefle estimniUflg des gunstigsten f/F.Wertes.

I) Ohen geschIoSSCfie Tanks.

V. Frahms Tank II im ModeilverSuch.

I. Die

Die erzwungeflefl SchwiflgUflgefl. I)ie freien SchwingUflgefl.

VI. GegenübCrSteilun von Frahms Tank I und II. I. RechenbeisPiele für Fraluns Tank I.

rzwungefle SchwingUfigefl. Freie SchwingUflgen.

2. Rechenbéispiele für Frahins Tank II. lirzwungefle SchwingUflgen.

Freie SchwingUflgefl. 3. Vergicich von Tank I und II.

*

Das ist nicht mehr neu. und die

ttieore-tische Dynamik hat über die hauptsãchlich im SchiffbaU bisher angewand' ten ãmpfUflgS8ppate (SchIiCkSCller SchitTskreisel und

FrahinSCher Tank) hereits viel \VissensWertes gesagt. indem sie die

wegungSgIeiChung1

angdi) und die niathematischefl Losungen erörterte. Ober Theorie und

Experiment. soweit sic bis jetzt vorliegen und den FrahrnsChefl Tank

be-trelTen. gibi die am SchiuB angefuhrte LiteratUr erschôpfend Auskuflft.

Nachsteheflde Arbeit soil dazu beitragefl. besonderS hinsichtliCh des FrahmsCheui Tanks in einigen wichtigefl Punklen die vorliegende Theorie

19

.I;iIirIpiii'h 1937

290 lIeiliag zur S(:IIIingerd;iII)j)fIIngsIragc

zu ergãnzen,. u. a. durch Aufstellung elner neuen Theorie des Frahrnschen

Tanks in seiner weiter unten als zweite Fassung bezeichnelen

Ausführungs-form. Anschliefiend wird nach Beseitigung rechnerischer Schwierigkei ten eine zahlenmaBige Auswertung dieser neuen Theorie vorgenommen und

die lJbereinstimmung mit der Wirklichkeit durch Modeilversuche

nach-geprüft. Schliefihich erfolgt em rechnerischer Vergleich der beiden

Fassun-gen des Frahmschen Tanks hinsichtlich ihrer Wirksamkcit, urn zu

miter-suchen, weiche von beiden unter gegebenen Bedingungen der anderen

vor-zuziehen ist oder ob beide gleichwertig sind.

I. Das Sehil! ohne Dämpfuugselnrlchtung Im Seegang (frele und erzwungene Rollschwlngungen).

Die Schwingungen des Schiffes im Seegang lassen sich beschreiben, in-dern man sic zusarnmensetzt aus der Schwingungsbewegung des Schiffs-schwerpunkts im absoluten Raum (3 Freiheitsgrade) und den darüber ge. lagerten Drehschwingungen urn den Schwerpunkt (wiederum 3 Freiheits-grade). Unter den letzteren sind von besonderem Interesse die Roll- oder auch Schlingerbewegungen genannten Drehschwingungen urn die Haupt-Iangsachse des Schiffes, da der Formwiderstand des Schiffes gegen diese

Bewegung am geringsten ist. Im folgenden seien nur diese Roilbewegungen

und ihre Dampfung behandelt.

Bekannterma8en liegen bei den Rollschwingungen im allgemeinen wie bei alien Schwingungsvorgangen freie und erzwungene Schwingungen vor,

die einander überlagern. Die erregende Ursache dieser beiden

Schwingungs-formen ist, abgesehen von der Einwirkung des Windes, direkt darstelibar

durch die Form der Meeresoberflãche, die je nach der Wetterlage, der

Meerestiefe usw. mehr oder weniger von der theoretischen Trochoidenform

abweicht. Die Grundform, die Trochoide, lãBt sich nach Fourier harmonisch

analysieren. Es ware zu uberlegen, ob von den theoretisch sich ergebenden unendlich vielen Harmonischen schon die zweite Harrnonische überhaupt noch praktisch interessiert. Wie aus der Literatur hervorgeht, kommen im Seegang im ãuBersten Falle Wellen mit einem Steilheitsgrad von 1: 12 vor (Verhàltnis der Wellenhöhe, gemessen als senkrechter Abstand der

Tan-genten am Wellenscheitel und Wellentalsohie, zur Wellenlange). Durch

harmonische Analysierung einer soichen Trochoide 1st festzustellen, daB

im ungünstigsten Fall die Amplitude der zweiten Harmonischen bereits

weniger als 20% der Amplitude der ersten Harmonischen betragt, _woraus hervorgeht, daB in Anbetracht der wesentlich starker ins Gewicht fallénden UnregelmäBigkeiten der Wellenbewegung die zweite Harmonische keine praktische Bedeutung mehr haben kann. AuBerdem kann wegen der Höhe der Frequenz eine unangenehme Beeinflussung der SchifTsrollbewegung (Resonanz) nur bei verhãltnismäfiig spitzem Kurswinkel des Schiffes, be-zogen auf die Fortbewegungsrichtung der Weflen, erfolgen, in welchem

Falle das wirksame Wellenmoment bereits sehr gering ist (siehe hierzu

Abschnjtt II und die Bilder 1 his 3). Wãhrend also die erste Harmonische periodische Momente von konstanter Frequenz (bei einigerma8en grad-linigem Kurs und elnigermaBen regelmäBiger Meeresoberflãche)

_{auf das}

Schiff ausübt und somit die sogenannten

_{erzwungenen Schwingungen} hervorruft, bewirken die unregelmãBigen, nicht periodischen Uberlage.

rungen dieser Grundform je nach Stãrke und ZahI der durch sic

aus-geubten Impulse im Verein mit der Auswirkung der _{Ungleichmfi8igkeiten} der Windstromung die freien Schwingungen, die in der Eigenfrequenz des

SchilTes erfolgen und die _{erzwungenen Schwingungen überlagern. Infolge}

der vielfach -groBen Zahi dieser Einzelmomente sind freie Schwingungen

sozusagen im Dauerzustand vorhanden, da die EinzelanstöBe _{vor Auftreten}

der nachsten, in unregelmaBiger Folge _{auftretenden Impulse keine Zeit}

a'

F;

w Y/e* q6 42 0 00 0,8 w /sek 46

hi

I

I

3D 5U Jo0 0

Stãrkc auf- und abklingende freie Schwingungen in der Eigenfrequenz des Schiffes lagern, so ware es denkbar, daB die Addition dieser voneinander unabhSngigen Schwingungen die charaktenistische Schwebungsform ergibi, die man vielfach beobachtet und, die stets auftritt, wenn eine Ubereinander-lagerung von zwei Schwingungen angenãhert der gleichen Amplitude mit

kleinem Frequenzunterschied vorliegt. Aus diesen Erörterungen möchte

ich schlieBen, daB bei der Konstruktion von Schlingerdãmpfungsvornch-tungen auf die Vernichtung der freien und der erzwungenen Schwingungen die gleiche Sorgfalt zu verwenden ist. Siehe hierzu auch H. Hort, STG 1934, S. 312. Bud I. Bud 2. 19 1 We//eT=20sek 6Zffz 8/(n/ 2qK,//z. -4.0

__-iiiV'

---tr°

IiiI lag iii s,IlIlllgtllIiIIIb1s.usgsFl.g( ₂₉₁

ilein I aIIogrq)heu aulgenununeneli cliarakierisi ischeii Hi IIschwe1nuiigen der Seliifl'e ohne 1)amplungseinrichlung 7.LIIII Teil erklären (siehe z. B. lion,

.,Techiiische Schwingungslehre". Auflage 1922, § 121, BikI 354). 1)a der Iatsãcliliche Schwiugungszusland durch cine Cherlagerung von erzwungenen und freien Schwingungen darstelibar ist und mi Falle der Resonanz ange-nãhert die Eigenschwingnngsfrequeuz des Schiffes hinsiclitlich den erzwun-genen Schwingungeii vortiegen muU, andererseits aber, sich hierüber bei

2)2 1eit iig zur SIiIiiigidaiiipIuiigs1ragc

H. Die Erreguugsfrequenz der erzwungenen RoIlschwlngungen. Die wirklich für dais Schiff zur Geltung kommende Erregungsfrequenz ist niclit identisch mit der Kreisfrequenz der Meereswelle (unten kurz als

Vellenfrequenz bezeichnet), sondern hãngt ab von der

Relativgeschwindig-keit des Schiffes zu den Welien und deni Kurswinkel, den der

Schiffs-geschwindigkeitsvektor mit deni

Wellenfortbewegungsgeschwindigkeits-vektor bildet. Sic soil scheinbare Wellentrequenz genannt werden =

tat-sãchliche Erregungsfrequenz (ci). Der genannte Kurswinkel sei a°. In Bud 1 ist für eine WeHenfrequenz von 0,314 1/sek (etwa ãuBerster unterer

Grenzfall) bei gegebener Schiffsgeschwindigkeit von 8 und 24 kn/h (in etwa

praktisch vorkommende Grenzfãlle) die scheinbare Wellenfrequenz =

tat-sächliche Erregungsfrequenz abhängig von dem Kurswinkel zur Darstellung gebracht. Analog in Bud 3 das gleiche für die Wellenfrequenz 0,85 lfsek (in etwa oberste Grenze). Die GrenzfãHe für vorkommende Eigenfrequenzen

von Schiffen (0,3 bis 0,6 1/sek) sind durch 2 Horizontale dargesteilt. Bud 2

gibt die gleiche Darstellung für die Wellenfrequenz 0,65 1/sek. Die Berech-nung der Kurven erfoIgte nach der einfach abzuleitenden Forinel

T

_2u.T.cosa°'

₍₁₎

wobei sind:

= scheinbare \Veilenperiode (sek) = tatsächuiclie Erreguiigsperiode

= Dauer einer Schw.ingung,

T = wirkliche \Veltenperiode (sek), = Wellenlange (m),

v = Schiffsgeschwindigkeit (mjsek),

a° = Winkel zwischen Schillsgeschwindigkeitsvektor ii nd

Vellenfort-bewegungsgeschwindigkeitsvektor.

Ferner gilt bekanntlich: ci. 1" = 22t.

Zur Bestimmung der Abhãngigkeit der WTeHenlangen _{von der Periode}

wurde die mit der Wi rk Iichkeit

ziemlicli übereinstirnrnende Formel

2

₌

q

-j- benutzt.

Bud 3 zeigt uns für die kurzen Meereswellen von der Lange ). = 85 m, daB nur für Schiffe mit verhãltnisrnaBig groller Geschwindigkeit und für diese auch nur bei Kurswinkeln von im aligemeinen weniger als 60° elne

Resonanz von Welle und Schiff zu erwarten ist. Da das Wellenmoment

pro-portional dem sin des Kurswinkels a° ist, sind diese kurzen Wellen für die ltesonanzgefahr nicht von Bedeutung. Der gefahrliche Wellenbereich liegt zwischen den in Bud 1 und 2 dargesteIlten Fallen. Hier erkennt man in den Grenzen der wirksamen Kurswinkel von etwa 600 bis 120°, welche Reso-nanzmöglichkeiten bestehen. Elne Erörterung der hiermit gegebenen Si-tuation erfolgt welter unten bei den Anwendungsbeispielen.

III.. Frahms Tank I (erste Fassung).

An Theorie über diese Tankform liegen grundlegende Arbeiten _von

Frahm und Horn (Jahrbuch der Schiffbautechnjschen Gesellschaft _1911),

Lloyd Woolard (Tr. of the Inst. of Naval Architects 1913), Bauer (Jahrbuch

der Schiifbautechnischen Gesellschaft 1918), Hahnkamm _{(Jahrbuch der} SchilTbautechnjschen Gesellschaft 1933) und Hort (Technische

Schwin-gungslehre) vor. Darüber hinaus liegen krilische Ausführungen von Prof. Dr. Schuler, Göttingen (Werft, Reederei, Hafen 1928, _{S. 277 if.; Zeitschrift} für technische Physik 1929, S. 369 if.), und die Entgegnungen hierauf von Ingenieur Kruger in ,,Werft, Reederei, Hafen" 1928, S. 282, 283, und vom

Verlasser diesr ArL)elt in ..\erII. llet,derei. Haf'(,n" 1930. S. 9911.. vor.

I )urch Kiotter sind diese Meinungsverschiedenlieiten inzwischeii wohi zurn

Abschlua gehracht worden (siche I ngenieur-Archiv 1934). Es erscheint

irotzdem zweckmãllig. mt fulgenden nochmals kurz (lie Theorie zu

ent-wickein und sic dann spa icr un icr prak I ischen (ksichtspunkten rechnerisch auszuwerten.

1.

1)ie erzwungeneui Schwiiigungeii.

a)

l)ie I)ifferentialgleichung der Rollscliwingungen

des Sch.iffes.

Soweit die erh)rderl ichen Ikzeichitungen iticlit 8L15 Bild 4 hervorgehen,

scien sic mi folgenden aufgeführl:

v' ( lisek) 1 (kg in sek2) K (kg in sek) = Q...(/) (kg iii) I _sek2 Irn(kg. in F (in2) / (rn2) .c0 (rn) S C (kg-rn) ; (kg/in3)

scheinhare \Veilenfrequenz = Erregungsfrequenz. vollsiãndiges Trügheitsrnornent des SchilTes urn semen Schwerpunkt, hezogen auf die Hauptlüngsachse. I )ãinpfungspr )portiilalitatsfaktor für die

Vasser-reihung an der Aufienhaut des SchifTes, die propor-tional zur Vinkelgeschwindigkeit des Rollens an-genoinnien wird.

= wirksarnes Rückstellrnoment des SchufTes, für kleine \Viiiket proportional angenommen (Q = Vasserver-(Irangung in kg; s =.breiteninetazentrische Höhe in in). = Masseitelernent des Ta nkwa ssers.

()herer Tankquerschnitl.

Tankquerschnitt an der Sidle drn.

Lange des mittleren Wasserfadens urn Tank. Schwerpunkt (Schwingungsdrehpunkt). Anlplitu(le (les erregenden Wellenmoments. .spvi.. (iewicht des 'I'ankwassers.

I(,j1 lag ziir StiiIiiigtiiiiuiiiuiiiigs1i;ige

In BIM 4 it O

=

Nach Lagrange, d'Aleinbert oder ejufach nach dern Newtonschen Prinzip lãUt sich die Bewegungsgleichung des SchifTes aufstellen. Wir schlieflen uns an die Ausführungen von Hurt (Technische Schwingungslehre 1922, § 121) an unter Vornahrne einiger Druckfehlerberichtigungen sowie an Voo1ards ausführliche Theorie Es ergiht sich für eine heliebige Zeit ,,t":

1

J-(/'+It-

+Q.s-cp+

₂

;-F-B'p

+:im.

- r Cos a° = C

Iizw. J-±K-c'+Q-s-q+

0

+" -F-

r.cusa°-ds'p=

Das 4. (lied sleilt (lie Kraftkoppelung hzw. -rflckwirkung des Tank-wassers aiifs Sehiff dar, Glied a die Tragheitskoppelung hzw. -rückwirkung. In dies*'n (iliedern 1st die GröIIe F' n i c h t enthalten (engster Tankquer-schnitt), d. h. die Koppelungsglieder der 61. (2) ünder,i sich auch dann nicht, wenn z. II. F' = F. Nicht berücksichtigt sind Reibungsruckwirkung des Tank-wassers atif (las SchilT und Krãfte, die in höherer Potenz als der ersten von

'- F B

Bud 4.

zu den (iliedern mit 'p und ij' eigentlich noch korrespondierende (ilieder mit

q' und 3 gehören, von denen aber angenommen sei, daB sie in Q s und J be-reits enthalten seien (j' 1st relativ zurn $chilr gemessen!).

b) Die Differentialgleichung der Schwingungen

des Tankwassers.

Es gelten weiter folgende Bezeichnungen:

Fm (m2) Querschnitt eines gedachten, dem Tank des Bildes 4 hinsichtlich

seiner Eigenfrequenz gleichwertigen Tanks von konstantem Quer. schnitt und gleicher Gestalt und Lange des mittleren Wasserfadens.

k' (kg) = Dampfungsproporlionalitätsfaktor für dieTankwasserschwingung.

Dampfungskraft der Wasserreibung im Tank und der Luftreibung

im oberen Verbindungskanal in Summe proportional '' d. h. der Geschwindigkeit des Tankwasserspiegels relativ zum Schiff an-genommen und durch Luftdrosselventil im oheren Verhindungs-kanal in gewissen Grenzen regelbar.

Die Gleichung lautet dann:

+ thu

r

C(IS fi0 = 0

0 (3)

bzw.

F2.7s0B ,,+ F.'.8.j' + F.;'.B.tp + k .11

2 g Fm

+

Y.Fft.COSa0.dS.

=0.

Das 3. Glied stelit die Kraftruckwirkung der Schiifsbewegung auf das

Tank-wasser, Glied 5 die Trãgheitsrückwirkung dar. Reibungsrückwirkung bzw. -koppelung kommt nicht in Frage, da die Tankwasserreibung unabhãngig von ist, weil tj relativ zum Schiff gemessen wird. Von der Hinzufflgung cines Erregungsgliedes an Gleichung (3), wie bei Gleichung (2) vorliegend und von Woolard und Bauer auch hei Gleichung (3) vorgenommen, sei hier ahgesehen. Em soiches (lied eiitsteht bei Berucksichtigung der kreisförmigen Translationsbewegung der Wellenteitchen in ihrem EinfluU auf die

Be-wegung des Tankwassers. Dieser Punkt wird auf S. 316 weiter besprochen.

29.4 Iltit rig

q, und 'p und deren Ableilungen oder von Produkten dieser (röUen ahhängig skid, wie z. B. die Curioliskrãfte. un Hiiiblick .auf die Ausfiihrungen des Ver.

wobei

Hj0i3+0i+Q8

_w37Frcosa0da+F,B

_w'+k'1w±F78

(6) Die Scbwingungsamplituden des Schiffes (9,0) und des Tankwassers (yo) ergeben sich biernach mit den Rechenregein für Imaglnare Grô8en ala korn-pleze Zahien, die auf recbnerlschem Wege oder verwittels vekiorleller Dar-steflung die absoluten Betrilge der Amplituden unl die Phasenwlnkel gegen-fiber der Erregung erkennen lassen.

-2. Die freien Schwlngungen.

Entsrechend 4en Glekhungen (2) und (3) Iaüten die Gleichungen für

die freien Schwlflgungen: .

.

F'.Y8oB+B+FB+..7fod;()

_2g

g

Die Lösung dieser Gleichungen erfolgt durch den Ansata:

=q'.e'

und

_wLFSrcosa0ds+j7B3F

9, 'I'o = C

_w3iF!çrcosa0ds+!yB2F

.g

2.

2 0 2gFm LI

Jw'+Kiw+Qs

_w3--FSrcosaeds+F7B

C 0 (4) (5). 4

I4eh rag zur Sch1Ingerdmpfungsfragc ₂₉₅

c) Die Lösung der Schwingungsgleichungen

für erzwungene Schwingungen.

Es wird geseizi wie üblich: ,=q,o.Sthlund

'=v0.e.

Hiermit ergibt sich nach Bildung von ç, ç,

t,

und Einsetzen in Glei.

chung (2) und (3):

(Jw'+ Kiw+ Qs)rPo+(_wjF.frcosa0ds+YFfr)Wo

(2a

(_' '

_FJrcosa°

da + F7B)g

+(-

%-"w'

_{+ k'lw + FyB'o=O.}

I i2F- K L _Q S

J=i

u2'F13freosu0ds+

= 0. i, 1'

P;'s B

2!Frcosa°ds±F;R

'..--

i2+k'p±F;'R

(J 2gbm 0 (9)

Hieraus erinilleli sicli chic (Heicluing 4. Grades für i mit reellen positiveii Koeffizienten. so daB die Losungen stets konjugiert komplex oder negativ

reell sein müssen, wodurch (lie 4 Losungen praktisch in 2

zusainmen-schrumpfen. Der reelle Tell von 4u steilt die Dãmpfung, der imaginäre Teil die Frequenz der Schwingungen dar. Es ergehen sich somit Schwingungen mit 2 Frequenzen und 2 Dãmpfungsfaktoren. Für praktische Lösungeri ist folgender Weg gangbar. Es wird geseizi:

fi=X+iy.

(10)

Die Gleichung (9) ergiht für u folgende Gleichung (ailgemein)

4u4+au3± b1t2+cti+d = 0.

(11)

Aus Gleichung (10) errechnen sich U und u4.

Nach Einsetzen dieser Werte in (ileichung (11) fällt diese in 2

Gleichun-gen auseinander, da sowohi die reelien wie auch die imaginãren Bestand-teile getrennt 0 ergehen müssen.

x4-6x2y2+y4+ax3-3axy2+ bx2by2+cx+d= 0.

(12)

4x3-4xy2+3ax2ay2+2bx+c= 0.

(13)

Aus Gleichung (13) ergiht sich:

..

4x+ 3ax2+ 2bx+ c

11

4x+a

(13a)

Nach Einsetzen von Glekhung (13a) in (12) erhalten wir schlieBiich fol-gende Gleichung für den Dämpfungsfaktor x:

64 6 + 96 a x3 + (48 a2 + 32 b) x' + (32 ab + 8 a3) 3

+ (4b2+4ac+8a2b-16d)x2+(2a2c+2ab2-8ad)x

+abcc2--da2=0.

(14)

Gleichung (14) erlauht tins. nach Aultragen dieser Funktion f(s) über x die Werte x für f(s) = 0 als Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen. Damit sind die Dampfungsfaktoren festgelegt. 1st dies erfolgt, so lassen

sich mittels Gleichung (13a) auch die Frequenzen y ermittein. 1)ie imaginãren Wurzeln von x nach Gleichung (14) hahen keine praktische Bedeutung.

IV. Frahms Tank II (zweile Fassung).

(S. ,,SchilTbau" 1929, Heft 4, S. 84 fI. [Druckfehler!])

Es herrscht in Fachkreisen (lie Anschauung, daB beide Fassungen des

Frahmschen Tanks dynamisch enge Beziehungen zueinander haben (s. z. B.

,,Verft, Reederei, Hafen" 1928, S. 277, Sp. 1). Ob und inwieweit dies. der

Fall 1st, wird im folgenden untersucht. Die Art der Ausführung des Tanks 11

zeigt Bud 5.

Es soil zunãchsj eine grundlegende Untersuchung üher die Strömung in cinem fesistehenden Tank durchgerührt werden: Gegeben sd zur Zeit ,,t"

2tft Heil lag 7.111 SeI,IiIIger(IaIu)f1lIlgsFIage

u. 1st allgenicin cine koniplexe Zalil. Die Verte nud 'j" eiitlial(en die

An-iangsbedingungen. aut die aber bier nicht nãher eingegangen werden soil. Nach Bildung von 9', ó. _'2', 'e tind Einsetzen in Gleichnng (7) und (8)

leitungen von x nach der Zeit. Die Ableitung der _{Bewegungsgleichung erfolgt} nach Lagrange: Geschwindigkeitsenergie E - _{F (a - x) x2}

7r

2. -

-

rflX rZX r X,

dt g _{g g}

2g

l)ie Arbeit der ãuUeren KrSfte für eine _{Vegãnderung dx: F ' x dx. Hinr.i,} kommt noch der Drosselverlust, in dem _{zum Ausdruck kommt, daB die}

Ge-schwindigkeitshohenanderung von (z F)2 auf *2 _{beim tbergang}

vom Querschnitt

_f

_{auf (len Querschnitt F o1l verlorengeht, also keine}

Druck-[(xi)2_x2

steigerung zur Folge hal: , der hei ciner Wegãnderung dx

be-Irãgt: + Fy gleichung:

[cf)2

J

2 g . d x. Daraus ergibt sich die

BcwegungsdilTerential-- *2

(F\2+g

2(a-x)\fJ

a-x

-Lost man diese (Ileichung durch stufenweise Integration für _endliche Zeitmtervalle 41 auf und ermittelt auf diese Weise punktweise mit Zeit-intervallen von 0,1 und 0,2 sek x = f(t) und x = ((1), so ergeben sich Kurven, die in den Bildern Sb und Sc aufgezeichnet sind. Zugrunde _gelegt skid bei der Berechnung für die Konstanten der Gleichung: _{a = 3 m; = 0,1.} Als Anfangsbedingungen wurden gewahlt für I = 0 : xo = 1 m und *o = 0

und = - 0,45 m/sek und = - 0,9 rnfsek. Wie aus BUd Sb ersichtlich, laufen

die Kurven X = 1(t) für x < 0,9 m in die Kurve a zusammen, wãhrend sie für 0,9 <x < 1,0 entsprechend den Anfangsbedingungen der

Geschwindig-BUd Os.

(a) Ifritrag zur iIIiIIgtrdãnIpfuug%frage ₂₉₇ lolgender liewegungszustjuid des Vassers im Tank, (lessen wirksame

wasser-scilige OlTnung f das Tankwasser mit dcn Aulienwasser verhindel. Siehe hierzu Bud Sa.

l)er AuBenwasserspiegel sei stets konstant;

_f

und F seien die

Slrömungs-querschnitte in m. Gesucht sei: x = f (t), d. h. die Tankwasserspiegel.

Z)7Z. as 4', 43 42 00 Bud 5c. C .1;,.to '0=-as 7 2 3 z jefr 5 BUd 5b. BUd M.

schar a aus Gleichung (a) für verschiedene ±0-Bedingungen und Kurve b aus Gleichung (b) feststellen, daB der tatsãchliche Ablauf der Bewegung mit ingenieurmãBig genügender Genauigkeit durch die Integralkurve der

(ileichung (b) dargestellt 1st. Diese Feststellung besagt aber Jetzten Endes folgendes:

Die Geschwindigkeit des Wassers im Tank ist praktisch nicht abhangig

von den Geschwindigkeitsanfa ngsbedingu ngen, sondern lediglich von dem Niveauunterschied x. Man kann für eine genugend genaue Beschreibung des

Bewegnngsvorganges festlegen, daB i praktisch starr kinematisch

an x gebunden isi.

Da jedoch der mathematischen Auflosung von

SchwingungsdilTerential-gleichungen im aligemeinen unüberwindliche Schwierigkeiten entgegen-stehen, wenn einzelne Verãnderliche unter der VurzeI vorkommen, sehen

wir iins nach einer weiteren Näherung urn, die für unsere Zwecke der

Auf-2'J8 IeiI rag zui sehIiltgercIaIII)1uIIgsIragc

keit ±o verschiedeii gelagert sind. Die Kurve b in Bud h, wekhe durcli die

Gleichung

i=-V2jx

(b)

dargesteilt wird. dürItc als für ingenieurmãBige Zwecke geiiügeiide

Nãhe-rungsforni für die Kurven ±

=1(t)

aus Gleichung (a), dargestelit durch

die Kurven a in Bud 5b, angesehen werden, wie man am besten aus eineni Vergleich der zugehörigen Kurven x

= I

(t)

erkennt, die in Bud 5c

Kurven-_2]+xg=o.

_(d)

Das Minuszeichen vor dem 4. Glied gilt für positive x, das Pluszeichen für

negative x. Aus Gleichung (d)

erhãlt man für : = = = 0 die Glei.

chung (a).

Essei: :=r.sinwt; r=1.Om;w=0,3 1/sek;

a=3,Om;

0,1. l)amit ergibt sich die (Ileichung:

x (sino.31 + :1r) --- x2+

o,3cso,:it

(x _0,3cosO.31)

+x9,81=0.

(e)

Versucht man den durch Gleichung (c) dargesteliten Vorgang aus ld 5d

an Hand der Naherungsgleichung (c) zu beschreihen, SO ergiht skh:

(f)

oder mit den Konstanlen der Gleichung (e), ferner mit e = 9,0 und tinter den Anfangshedinguflgen : = 0, = (I und x = (1 für I = 0:

± = 0.3.cosO.31X0,9.

(g)

Uin sich ciii Urteil zu bilden üIwr den (rad der Annaherung der ('ilei-chuiig (g) an Gleichung (e) sewn (lurch stufenweise Integration gewonnene

I(iiI i.ig IUI SgI,hi,rJiIøiiiiIUiig.I rIge

29

slellung ii ner mathemntisch loslartii Itewegiangsdilrerentialgleichiing für lrahms Tank 11 geeigneter 1st. inshesondere uher auch die soeben festge-stellie Sachiage einer starren k inematisclicn K ppI tmg zulu Aiisdrnck bringi. (c)

sd als Ansatz vorgeschlageii, woIei c eiiie Konslante 1st, die so gewãhlt

wird, daU die Naherungslösung eine möglichst gute 1st. Es sei gewãhlt c = fl,0 1/sek, d. Ii. i = - 0,6 x, dargesteHt durch die (ierade c in Bud 5b. Diese

Annäherung erscheint zunãchst reichlich grob. Die zugehörige Integralkurve in Bud bc zeigt jedocli, da6 wenigstens für Werte x> 0,20 eine gute Nãhe-rung vorliegi. DaB die stãrkeren Abweichungen in dem Gebiet für x < 0,20 hei Verwendung der gewãhlten Annaherung beim Ansatz von Schwingungs-gleichungen für das Endergehnis ohne wesentliche Bedeutung sind, sehen wir weiter unten.

Vir behandein, auf dem Vorsteheiiden aufbauend, welter die Aufgabe. die Schwingungsbewegung des Wasserspiegels in cinem sinusförmig auf und ab bewegten Tank (s. Bud 5d) zu beschreiben:

Die Marke A sei fest im Ralim in Höhe des AuBenwasserspiegels; z be-schreibt die Bewegung des sinusförmig auf und ab bewegten Tanks,

wãh-rend x die Bewegung des Tankwasserspiegels, bezogen auf den Au8enspiegel, miBt; die Marke B sei fest am Tank. Der Tank werde unten

wasser-dicht geführt. Ahnlich der Ableitiing (icr (ileichung (a) ergibt sich dann

iiach Lagrange:

E---

_2g

F(:+u--x)x

d

' F[(: x)x + (:±ux)xj:

-

_:

= +

Unter Einbeziehung dér Eiiiflüsse des Niveauunterschiedes x und des Drossel-verlustes bei ergibt sich (lie Differentialgleichung:

300 iii1r;ig /ilt' eIlIiIlgul(IahtilfIiuigFI age

I - - [ I - in Bud 5e.

l)ic gewonnenen

-

.-'---'

- -- -

Kurn sind sinngerniB mit c

IT

-

\i-

i Li1I(l fJ I)C?CiChflit Dii hurve

:

1

--

_{- _.-} -.----i (leutet nur die zeitliche Lage

-

fr-H

TT 1'T

...TYT-

dcr Erregung z = r.sinwt =

±ii

/'Ii_.

sin 0,d t an, nicht deren

tat-Gf 7$ , , /33% 'i sachliche GroUe. \Vie

erkenn-_T1i I hiP _P_*

ii

bar ist, geht sowohi die Kurve e

z

H

wit. auch die kurve q nach

!II ii\

_L 3 sek Cbergangszeit, abhangig

\ i+

rnITYTETt\ -

/

von den Anfangsbedingungen,

-' H-H

iii dcii reguiSren Zustand der

+4i erzwungenen Bewegung über.

Bud 5e. I)ie Anfange der Kurven vor

Erreichung dieses Zustandes sind mit c1 und g1 bezeichnet, wäiirend dtirch 2 der anfãngliche Verlauf

der Kurve y unter sinngemäUer Ruckwartser1ãngerung der endguliigen Dauerbewegung his zur Zeit f = 0 dargestellt ist, urn zu zeigen, wann g1

und g in g ubergehen, d. h. waun (icr Dauerzustand erreicht ist und die

Anlangsbedingungen uberwLlnden sinti. Kurve g stelit clue regelrechte

Sinus-i)ewegung dar, während Kurve e keine reine Sinushewegung darsteilt,

son-oem jedesmal nach 1)urchgang (lurch x 0 eine Verzögerung ertãhrt, die

eine kleine Verseizung irn Kurvenverlauf zur Folge hat. Ursache hierfür

sind die oben bereits angedeuteten besonderen Verhãltnisse I iir kleine \Verte

von x (s. Bud 5c). Es geht

jedoch aus deni aligerneinen Vergleich der Kurven e und g hervor, daB für ingenieurmäBige Zwecke es voilkomnien genügt, die Kurve e durch die Annãherung g zu erseizen. \Vie crsichtlich, hat die Kurve g gegenüber der Erregung elne Voreilung urn etwa 4,2 sek. Abgesehen von der Einiaufzeit lãUt sic sich uhrigens leicht auch

mathe-matisch Iösen.

Nach dieser Zwischeniiberlegung und von (icr so gewonnenen Platt form

ausgehend wollen wir nun an die Aufstellung der Bewegungsdifferential-gleichUng des Tanks II herangehen unter BezLlgnahnie auf Bud 5 und der

in diesem beigefügten Bezeichnungen

Die seitlichen Tanks sind dLirch die Offntingen //2 mit dern Seewasser verbunden; es fehit gegenüher Tank I eine wasserseitige Verbindung des rechten und linken Tanks. I)ic Tanks können auch oben geschlossen sein

und auUerdem durch einen Lufikanal mit Drosselventil verhunden werden.

%Vir hehandein zunãchst den einfachsten, in Bud 5 dargesteilten Fall.

1. Die erzwungenen Schwingungen.

Es bedeuten:

J (kg in sek2) = Tragheitsmornent des SchifTes urn seine Lãngsachse durch

den Schwerpunkt tinter BerUcksichtigung des

Tragheits-momentes des Tankwassers, das in erster Annatierung als

konstant angenommen wird.

Q . s (kg ni) = Rückstellmornent ties SchilTes, gernessen bei bis zur WL gefü Ilten Tanks und geschlossener Au BenhautofTnung.

r (m) = Abstand von Tankrnittellinie und Schiffsniitteliinie.

Bezügiich K, S, ' und C siehe Seite 293.

F12 = innerer Tankdurchströrnquerschniu.

f/2 = Querschnitt der AuBenhautolTnung tinter Berucksichtigung ei nes Kontrak tionskoeffizienten für die Wasserströmung. Es lassen sich folgende Gleichungen aulsiellen:

I ki I u;sg it i Sib Iiiigi.i-.Ii,npIiiiigJr.gi $01

(died S slelIt die Krailkoppiuiig I,zw. ruckwirkung des 'l'ankwassers atils SchilT dar. Ferner lãUt sick auit (irund der prinzipielien Ausfiihrnngen am

Anlang dieses Kapitels aussagen:

(i'ank)

r 1i'-r'i' +

= (1 (21)

o(ler nach 1)ivision durch r timid imacli Einsetzen von p = c

(Tank) ' + ptp = 0. (21a)

Diese (leichung Imringl.die oben geschilderle starre Kopplung von Tank-wassergeschwindigkeit r. (' -- q') und Niveauunterschied r ' zum Aus-druck. Die Konstanle c kann man zuräckführen auf eine wirksame mittlere Steig- bzw. Fallhöhe des Vassers mi Tank imach den (ileichungen (h) und (c):

Ii-

,.. .

-X

c FX =

--,y2ux.

d.h.c =,i -. lur c = 9 (s. Ihid

d) ergiht

sick umgekehrt cine miUlere llöhe von 0,24 m = 1(M) = 75% der

Amplitude (xmax). 2

Es wurde auf die Berücksichtigung der Reaktionswirkung des bei /2 em-bzw. ausströmenden Vassers verzichtel, einmal wegen der Kleinheit dieser Kräfte und zum andern. weil sie sick nahezu aufheben, da sic emander ent-gegenwirken. Auerdem wurde. ausgehend von der geringen Steilheit der Meereswellen, der AuUenwasserspiegel als festliegend horizontal betrachtet,

soweit er die HöhendilTerenz r ' hestimmi. Dieser Punkt wird jedoch bei

der 1)urchrechnung eines praktischen Beispiels auf S.320 noch einer beson-deren Untersuchung unterzogen, beson-deren Ergebnis mit obiger Añnahme vor-weggenommen sei. Die Lösung (icr Gleichungen (20) und (21a) se.i im fol-genden durchgeführt.

Es wird geseizi:

K

QsF;r2

F;'r2 C

=L.

--=q, -=a.

1)aiin lauten die (leichungen (20) und (21a):

(SchilT)

± k + ç' + q 'j = a e't

(20a)

(Tank)

'+P'1'O.

(2th)

Die Losung lautet wie üblich: = é" und '1'= 1l'o

Nach Bildung von , , ', i) und Einsetzen in die Gleichungen (20a)

und (21k) haben wir nach 'eghehen von

( w2

+ k i w + ) q'. + q 'e'° = a. (20k) ( i cc) + (i to + p) 'Po = 0. (21c) In Determinanten: + kiw + a q I 0 V'

Hlw

I° _{'I'o =}

- c+ Li '0

+ e q

9'oTh__wz+kiw+e

q

iw+p!

I_ito

I)ie Ausrechnung ergibt:

+ P) ₍₂₂₎

(to+ kiw+e)(lw+ p)+ qiw

aiw

. (93)

(_2jwQ)(Iw+p)+qiW

_wip

Mit den Gleichungen (22) und (23) lassen sich für verschiedene Werte von p, d. Ii. c und f/F die gesuchten Amplitüdenkurven ermittein.

Mit tier Bedingung:

oder stalt (29)

ka ± !

q

_'=

/L + J) ergiht sich für u die Gleichung:

(a2 + k Au + ). C" + p) ± q AU = 0 oder

(26)

Zwecks Lösung dieser Gleichung soil analog Abschnilt III 2 verfahren werden. (fleichung (26) sei symbolisiert dureh die Gleichung:

/L3+(i./C+b/t+C0.

(27)

Setzen wir a = x + i y, bilden Au2 und 4a3 und fiigen diese \Verte in (27) em,

so ergehen sich, da x und y reell sein sollen, folgende beide Gleichungen:

x.-3y2x+ux2ay+bx+C= 0

(28)

3x2yy±2nx+bij=0

(29)

3x2y2±2ux±b=0

(29a)

x3+ax2±bx+c

Nach (28) ist: y

---Nach (29a) 1st:. y2 = 3 x + 2 i x ± b.

Durch Gieichsetzen ergibt sich schlieBl ich:

8x3+8ax2+x(2b+2a2)±abc=0=I(x)

(30)

Durch graphische Auftragung dieser Funktion f (x) über x finden wir an

dem Achsenschnilt1(x) = 0 den Dampfungsfaktor x als gesuchten

Wurzel-wert. Die beiden imaginären Lösungen sind ohne praktische Bedeutung

Falls die Schwingungsfrequenz auch interessiert, kann sie ermiUelt werden nach der (sleichung

y=V3x2+2(,x.ñ,,

(31)

die aus (29a) hervorgegangen ist.

3. Em

Zahienbeispiel für Frahms Tank 11.

Wir benutzen als Unterlagen die MaBe und Daten des SchilTsmodells nach

Bud 6 und 13 (Schiffsmodell mit abgeschnittenem Bug und Heck). Die Be-zeichnungen gehen aus Abschnitt 1113 hervor. Es wird gesetzt in (20a) und (21b):

k = 0,176 1/sek; = 11.20 lfsek2; q = 6,1i 1Jsek.

302 Itit lag zur StIlIi,gt.l4Iilru1M%Ir;Ig(.

2. Die

Freien Sehwingungefl.

Aii( (rund der (ileieLitingeii (20a) und (21 li) hiutei (lie Gkiehnngen für

die frelen Schwingungefl:

(24)

- P + p

j' = 0.

(2)

Die Ansälze für die Lösung sind: q = çv

et und

'i' = ei". i und tj1

Sifl(l \Verte, in denen die Anfangsbedingungen entlialten sind. Wir verzichten

darauf, nãher auf diese einzugehen und beschränken uns auf die Ermittlung

des Wertes Au dessen reeller Tell die Dampfung und dessen imaginärer Teil (lie Frequenz der freien Schwingungen darsteilt. Nach DhlTerenzierèn von

und 'p und Einsetzen in (24) und (2) hahen

wir:

(/

(,u2 ± ku + ) ± p'

q = 0 (24a)

Is wiril vs 22.4 so g.wãhlt.

.IuU die spãk'r milgcicilk'n

Versiieliscrgebnisse

vergicich-liar siiid. Für die VahI von c

dknc rulgs'nd Reclanung. Es

,iii vine mittlere Slcigliöhe

r (1(5 Vassers im Tank

ülwr din AuUt'nwasserspiegel

aslge'laanlnl('Il und vs werde

C I'Fr('Chflhl 2 y

Is Irgul)t sich dami:

r

TaI* Ja

hJav

Hilil.3.

r', (cm)

1 2 3

IJMk) -- 44.3 :ii .8 25.5.

Es wird gewählt r = 35. Eine Kontrolle erfolgi welter tanten.

l)ic erzwuiigenen Scliwingungen.

I )ii t iIiidu.ngen (20a) und (211)) bunko mit obigen Zahien:

j' ± 0.17.; ' ± 11.20 + 6,15 'r = 22,4 82)

(33

Für she Vcrle f/F 0.1 mid f/F = 0.2 werden die Amphitudi'uskurven

erredi-iail. Es ergiht skh mini 6leichuuig (22) und (23)

22.4 ( w + 35

- i vu __(is . ± 0.176)

±

(is

+ 6,16 1w + 392 unit

+1w IjØ =

trügt man die hiermit errichneten Betrüge von q- über w, der Erreguiigs-Irequenz, auf, so erglbt sich Bild 7. Diese Kurven ãhneln stark denjenigen,

die sich bei gedãmpften Schwingungen von einem Freiheitsgrad ergeben, und

audi den Amplitudenkurven bei Woolard für Tank I, fallS stark gedãmpfte

auch den Amplitudenkurven

9 bei Voolnrd für Tank I,

4.7 falls stark gedãmpfte

Tank-schwingungen vorliegen. Zur Bestimmung des

.günstig-.5

den Wertes f/F müssen die

Maxima der Amplitudenkur.

yen für verschiedene f/F über

den zugehorigen Werten I/F

als Abszisse aufgetragen

wer-den. Diese Maxima werden

nuf dem Wege über die

- _{nachfolgende Untersuchung}

/

der freicn Schwingungen

ge-Bild?. funden.

;_, 2J4 sg

Ilsilrig zur IIIiII)IrsIa.nIItIIIg%lraI ₃₀₃

i v' ± 35 F

'.7 45 b BHd S. C

=0

45 45 (34

cines anderen Wertes c, wurden auBer für c 35 (Bud 8b) die

entsprechen-den Kurven für c = 25 (Bud 8a) und c = 45 (Bud 8c) aufgezeichnet. Eine für den Tank 11 charakteristische Feststellung ist die, daa nur einer, nichi

zwei DSrnpfungsfaktoren sich ergeben im Gegensatz zu Tank I (s. Bud 29). Die aus Bild 8a, b, c sich ergebenden Dãmpfungsfaktoren _{x wurden in Bud 9} über f/F aufgetragen. Es zeigt sich dabei, daB zwar das Optimum an Damp-lung für die verschiedenen c-%Verte annãhernd das gleiche ist, die optimale

Virkung aber für 'erschiedene c -Werte hei verschiedenen f/F-Verten

em-tritt. Da c und f/F iii den Ausgangsgleichungen in

p = c

_{vorkommen und}

in ihrer Wirkung beide gleich zu werten sind. muB sich für die _maximalen Dämpfungswerte multipliziert mit dem zugehörigen //F-Wert für alle c

der-selbe Wert ergeben, was auch der Fall ist. Die erreichbare Dampfung

be-trãgt etwa das Sechsfache der EigendSmpfung des ModellschitTs _{ohne Tank} (s. Thld 9 hei f/F _{= 0). Urn festzustellen, wie weit wir noch von der Grenze}

C254

'p/i

WI"

1

Cd

IJIX

/IAU

7 -48 ( ' -42-0

¶11 I

304 IliiIi.ig zur

h)

I)ie freien Schwiigiuiigeii.

l)ie (riindgleichungen laulen hier:

+ 0,176 + 11.20 + 6,1 U

,t -f- u .0,176 + 11.20 + 6.l.i

=

-

If

+,u+3

uder

.+...

(5f_

+

0,176) 2 + (6,16 .

± I

7.3.) + : =

Für jeden Wert f/F erhalten wir eine andere GleichLlng und nach Ahschn. 1%' 2

einè andere Eigenfrequenz und Damplung. Setzt man f/F = 0,1, so ist:

+ 3,676 + 17,966 u ± 39.2 = 0 iind mittels Gleichung (30)

0,298 x3 + 1,094 x2 + 2,34 x + 1,0 =0.

Die graphische Darstellung dieser und der zu den anderen Werten f/F ge-hörigen Funktionen f (x) üher x zeigt Bud 8k Urn em Urteil zu gewinnen ilber (lie Anderung der hier gewonnenen Dampfungswerle mit der Annahme

0

/ .d

485

47./ 4

Bud 9.

I liii ri g z u r S liii n gti .Iã iii 1i,iii.1r, ge

tier an'riodiselieui 1)Snipiuiig eutiernt sind, sci diese flacIISteIIefl(l kurz er-iiitteIt. Allgemeuuie Form euler gedampt'teuu Scliwiiigung V( in eiuieuii

Frei-heutsgrad: 9' + (1 9'

+

b ( 0.

Vird gesetzi (/) = 9' e, danui isi: p2 4- i p 4- b = 0 un(i

= ---. ±

- b.

.periotiistiie 1 )änipIung virtt eheui erreu lit. veuin

2

- b = 0,

d. ii.

o = 2 b. Danti 1st

a -

. I)a mi Zahienheispiel b = 11,2 1st, ergiht sick

-- 3.345. \Vir sehen aus (kill Vergleich mit Ilild 9, (IaU wir von diesein \Vert weit en tlernt sind.

c)

Die Restiuninung des giiiistigsten \Vertes f/F.

Aus BikI 9 geht hervur, weldier Vert f/F hei gegehenern Vert c eine ciptimale 1 )ãmpiLing der freien Rollschwingungen ermöglicht. Nachstehend sd das oplimale f/F für die erzwungenen Schwingungcn ermitteit, und zwar nkht tinier direkier Beinitzung der Ergehnisse ties Ahschnittes IV 3a. Vir

S 408 7 6 5 4, J a I 0,05 LW 420423

f/F

Bud 10.

gehen vielmehr aus von den Ireien Schwingungen und benutzen die Ergeb nisse von Bud ), indem wir die Eigenfrequenz y des Systems SchifT - Tank nach der Gleichung (31) ermitteln.

Das Ergehnis zeigt nachstehende Tahelle für c = 35.

Vir ersehen, daB mit wachsendern f/F die

Eigen-frequenz ahnimrnt. was auch atis Bud 7 ersichtlich ist,

wenn man (lie w-Verte für die maximalen

Ampli-tuden heachtet. Nunmehr können wir nach Gleichung (22) die maxiunalen p0-\Verte für verschiedene y.Werte I)zw. f/F-Vcrte nach nebenstehender Tabelle

errech-nen. Das Ergehnis zeigt Bud 10. Die maximalen

q70-Verte sind uber f/F aufgetragen und weisen em Minimum ant hei f/F = rd. 0,12. Vir sehen, daB auftallenderweise das Op-tiniurn fur die I)Sunpfung tier erzwungenen Schwingungen bei dem gleichen f/F-Vert Iiegt wie für die DSmpfung der freien Schwiuigungen (s. Bud 9).

d) Kontrolle (icr GröUe c.

Mittels Gk'iciiung (23) läUt sicli Po, der Tankwasser-Ausschlagwinkel. bei gegebenern 'p ausrechnen. Vir henutzen die 9'0-\Verte aus BUd 10, weiche saintlicli als kritische hinter der Erregung urn hercilen, wie noch weiter

iiuilen bewuesen 'wird (s. Bud l3 1111(1 3:h) . In Ilild Ii ist als Resultat de

.liisrliuieli i',:I; 20 1/F x fJ 0 0,088 4,17 0.05 0,38 4.o8 01O 0,545 3,86 0.15 0,55 :1,64 0.20 ,47

306 l3eilrag zur Schlingeriliinplulllgsfragc

Rechnung i' für versehiedene f/F in vektorieller F'orm aulgeiragen. Der

Vinke1 zwischen deni jeweiligen '0-Vektor und der p0-Aclise 1st der

Phaseji-winkel, urn den hinter q'° hereilt. Vir sehen, daU die Kurve, weiche die Endpunkte der Vektoren verbindet, in bezug auf die q0-Achse em

Maxi-mum hat bei f/F = rd. 0,12. Das bedeutet em Optimum für die Dampfung der erzwungenen Schwingungen. Eine inoglichst groUe, urn - hinter q'0

hereilende Amplitudenkompofleflte von Po 1st erwiinscht, weil diese Kompo.

nente, da q'0 urn hinter der Erregung hereilt, der Erregung gerade ent-gegenwirkt. In der Nãhe des optimalen Wertes von f/F betrãgt = rd. 4"

oder im BogenmaB 0,07. Somit ist die Steighöhe r = 20. 0,07 = 1,4 cm.

Nach S. 301 ist c

=

V

!i

em Fuktor, der urn so gröUer wird, je kleiner die inittlere Steighöhe im Tank ist. Da als höchste Steighöhe des Wassers

= 1,4 cm ermittelt wurde, so entspricht diesem Höchstwert cm

Kleinst-wert von C

=

= 37,4, woraus sich ergiht, daB wir mit dem

von c = 35 annãhernd das Richtige getrolTen haben.

e) Experimentelle Bestimmung des gfinstigsten

f/F - e r t e s.

Unter Benutzung eines Modells nach Bud 12 ware es möglich, auf experi-mentelle Weise das günstigste Verhältnis f/F zu ermittein. Bild 11 lehrt uns, daB die gunstigste Dampfung erreicht wird bei einem f/F, bei weichem

die urn - hinter q'0 hereilende Komponente von IPO em Maximum wird. Man

kann mit Hilfe der vorgeschlagenen Versuche die Amplitudenkurven und

2 7 0

BUd 11.

die zugehorigen Phasenwinkel der in Bud 12 eingezeichneten Grö8e b auf-nehmen und daraus die gewünschten Schlflsse ziehen für die rechnerische Projektierung von Schlingertanks der Bauart II. Die Versuche hätten unter

angenãhert den Verhãltnissen und Frequenzen zu erfolgen, die praktisch auf-treten, und würden es gestatten, die Unsicherheiten, die durch die Stromungs-verhãltnisse im Querschnitt f und durch die Ausbildung der Ausströmkanten

Bud 13.

20*

I siiI;II / air Sali ii ii.iu',iäi liplili si r;i ₃₀₇

iiiiil iIIi i:iirin iiiu Au UluuihIuul 111% Sehillis usw. eiiutreteu. iii erFassen tinil

in hestitigen. / wurde obeui dir wirksauiie AiisIliuUqiurselinitI gennuint unit hrauiiit daliur iii.ht mit diuii gelnessineil Qtierseliiiift iihvreinziislimmeii, ula man Slöruuigeii uauiul Slromuiugsverliãttnisse in eineiu iiiit (kin geunessenen

Querschnittswert in inullupluzuirenden FakIuir uiach Art des viellach

ge-lirfluiclilieliu'n Knuilrtukliuns- KIKilizielIteIl

liii

Flüssigkeitsslrömung dureh

(ITnuiigen zusaininenlassen könuute. Zur Kiarstellung all dieser Fragen wiiren (III! vorgesehlageneii E%J)triul)eflIe selir iiiitzlieh. Besondere

Unter-suchungen sind dahei erlorderlieli, nan diii KinliuB der Wasserströrnung

entlang der AiiUenh.uil des SiluiITu,s atif das tIi- aind :uuisslriimende Tank-'yasser in erinhtteln.

1)

Olicia gesehiossene Tanks.

Verweiiukt man ilaeui gesuhlossene Tanks ohne erhindeiiden Luftkanal,

so hüngt die Virkung des Tanks von dirGröIle des Luftraumes im Tank UI).

un die her entstehenikn Luftdrücke durch die GröBe theses Raumes bedingt

werden. d. h. z. W hci Verkicinerung des Raumes tinter sonst gleichen

Be-dingungeil Werdcfl iiie Liiltcirucke gröUer, je kleiner der Lufiraum ist, und urn so stürker wirkt der auftretendc Luftdruck reduzierend auf die Steig-höhe des Tankwasstrs. Es trilt dunn an die Stelle eines Minus an Vasser-saule tin iluis an Lufldruek. Da die inathernatische Einführung obiger

Be-diiiguing &nif Sehwierigkeitcn stoUt. zudean these Bauart seltener in Frage

k* mrnt. sei ewe rechnerische Verfolgung dir Angelegenheit nicht

unter-nomnien. Es hleibt also die Frage dein EperinienL olTen, 01) mit

geschlosse-nern Tank günstigere Resultate ZU erzieien sind. Zn verniliten ist das

Gegen-liii oder hOehstens (Ieichwertigkeit.

V. Frahms Tank 11 Ian Modeihersuch.

Urn Zn prilfen. inwieveit (las oben für den Tank 11 berechnete

Zahien-lwispiel mit der \Virklichkeit

iiberuinstiin ant, wurden

Modell-ursuchc ausgefuhrt mit cinem ''otora Modull, dessen Bewegungskon

-stanten dir oben nu sgeliilirten

Berechnung inisprachen

(Ab-sehnitt IV 3 LIIRI Bud 6).

1. Die \'ersuchs.

a ii o r ii n ii n g.

Die Untersuchung erstreckle

sich auf die erzwungenen und

Ircien Schwingungen. Bud 13

ziigt die ganze

Versuchseinrich-tiung in maUstãbiicher

Aufzei!ch-flung. Der klcine Elektromotor (1

(Ilno,mo2 = 3000 U/miai) (N =

1/ _{PS) wird durch einen Regulier.}

widerstand fein reguliert. Uher die

Riemeniiberse(zung bc (I: 3,3k

tand anschIieend das dreirãdrige

Zahngetriebe b (1: 21) und die

hiermit verbundene Kurbel e und

die Pleuclstange wird die ins

Langsame übersetzte Frequenz

des Motors dern im Wasser

liegenden Modell i aufgedruckl (tlwr ciii

-B11i 14.

hieraus ergebende Sunune entsprach dem helm Rechnungsbeispiel (Ab.

schnitt IV 3) eingesetzten Rückstellmoment. Das Bedenken, die Wasser-bewegung in der benutzten Wanne (s. Bud 14; lichte Breite 60 cm, Lange 160 cm, Vassertiefe 60 cm) könne das Ergebnis beeinflussen, 1st unbegrundel.

Der \Vasserspiegel blieb bel den Versuchen auBerordentlich ruhig, weil die Frequenzen, mit denen gearbeitet wurde, bei den vorliegenden Abmessungen der Wasseroberfläche und des Wasservolumens usw. keine Resonanz fanden,

auBer bei ganz hohen Frequenzen, die für die Untersuchung nicht mehr in Frage kamen. Da die Em- bzw. Ausströmöffnungen der Tanks stets unter 'Vasser blieben, land die Energieabgal:)e des ausströmenden Tankwassers

tinter Wasser statt. SO daB die Oherflãche hiervon nicht berührt wurde. Die

Erregung durch die Blattleder h geschah so, daB nur Momente zur Wirkung

it

D

Bud 15. ThId 16.

308 Bcitrag zur Schiingcrdamplungsfrage

oberen Eiidc ciner mit deiti Modell fest verhundenen Blaitfeder h. In der

Höhe des Modellschwerpunktes, der besonders ermittelt wurde, sind an den Niodeilseiten die AchssturnmeL k aulgelotet, die auBerhaib in cinem senk-senkrechten Schlitz so gelagerl sind, daB die Schwingungsachse des Schiffes

stets in ciner Ebene senkrecht zur Schtibrichtung der Pleucistange tileibt.

1)as Rückstdllrnoment des Modelts seizi sick zusammen aus dem Rückstefl-moment des verdrangten \Vassers und demjenigen der Blattfeder h. Die sick

=

Beitrag zur Schlingcrdãmpfungslragc ₃₀₉

S

Dild IT. mid 18.

-.kamen, da die Scliwingungsschwerachse durch die Zaplen k in Schlitzen

gehalten wurde, so daU die Wirkungsweise des Modells den Verhãltnissen gerecht werden dürfte, wie sie bei Aufstellung der Theorie vorausgcsetzt

wurden. Am ModelI war em leichter Zeiger aus Holz befestigt (s. Bild 14 bis 16), der an ciner im Raum feststehenden Skala mit Gradeinteilung vor-heilief, so dais die RollausschlSge direkt ahgelesen werden konnten (siehe

Buld 14). Ferner waren seitliche Tanks angebracht nach den MaBen der Ruder 6 und 13. Die AuUenhautöffnung butte die Form eines Langsschlitzes und wurde nach jeder Versuchsreihe mit verschiedenen Frequenzen und konstantem / durch Abdecken mit Blech verkteinert, ausgehend von dem

Verhãltnis f/F = 1, his auf f/F = 0, wobei f diesmal den tatsãchlich

ge-inessenen Querschnitt bezeichnet. Bilder 17 und 18 zeigen das Modell selbst .hei geschlossener Aullenhautö(Tnung. Die Stelle der AuenhautöfTnung und

die eingebauten Tanks sind gut erkennbar.

2. Die erzwungenen Schwing-ungen.

Für cine Anzahl Offnungsverhallnisse i/F wurden die Amplitudenkurven aufgenommen. Em Metronom (s. z. B. Bild 15 links) wurde auf eine ge-wünscbte Frequenz eingestellt und die Motordrehzahl so einreguliert, daB sie mit der Metronomfrequenz überernstimmte. Die zugehorige Amplitude des Modells wurde abgelesen. Die Einrichlung war sehr feinfühllg und arbeitete so exakt, daB die Ausschlige sowohi nach beiden Seiten gleich groB waren als auch bei konstant gehaltener Frëquenz bei wiederholten Versuchen sehr gennu die gleichen Werte ergaben. Die gemessenen Amplitudenkurven für verschiedene Verte f/F sind. in Bild 19 aufgetragen. Da die Kurven bei gleichb!eibendem Kurbeiradius (Kurbel e) aufgenommen wurden, ergab sich hei w = 0 naturgemäfi für =0 eine kiemere

Amplitude als für + 0. In Bild 20 sind über den Werten f/F die miuimalen Rollamplituden

aus Bud 19 aufgezeichnet. Hierbei zeigt sich deutlich, da2 für einen

be-stimmten Wert I/F eine opti.

male Dümpfung der erzwun-

_j

genen Schwingungen zu

ver-zeichnen ist. Für FIF = 0,15 ist ?

dies der Fall. Wir sehen auch,

da8 bei Anderungen von I/F die iS

llesonanzfrequenz sich mit

an-40 qz' Sildis.

lieu lag ZUF SIiIiiigeiIiiiip[iins1iie

dcii. Bel f/F = I i.st sic ' = id. ;3.3; 1/sek.

wahrend wir lici f/F = 0 co = 4,17 1/sek habeit. Urn die in Abschnitt IV 3c recli-nerisch erniittelten Rollainplituden mit

den Ergebnisseii des Modellversuchs

ver-gleichen zu können, sind in Bud 20 über den Werten f/F die errechneten

Ampli-tuden von Bud 10

aufgetragen

(ge-striclielle Kurve). Bei der Rechnung

Cr-gal) sich das Optimum für f/F = 0,12.

Das Experiment lieferte einen etwa 25% gröBeren Wert. Dieser Unterschied 1st, abgesehen von der nicht genau békann-ten GröBe c, die für das Rechenbeispiel.

8 47 eV 4 4" 4'

4' 4.45 4

' auf Grund der Kontrolle in

Ab-schnitt IV 3d em wenig zu klein gewãhlt

Bud 20. zu scm scheint. wesentlich auch auf die

liii Abschnitt IV 3e behandelten Umstãnde

zurückzuführen. Das wirkliche Offnungsverhãltnis dürfte wesentlich durcli die konstruktive Ausbildung von ff2 hedingt sein. Wenn man bedenkt, daU durch Einfuhrung elnes Ausflu Bkontraktionskoeffizienten die Ergebnisse von Rechnung und Experiment einander nähergebracht werden (bei einem Koeffizienten von 0,8, der durchaus wahrscheinlich ist, würden sie sogar zusammenfallen), so ergibt sich eine gute Ubereinstimmung von Rechnung

und Experiment. Eine weitere Auswertung der experimentellen Ergebnisse

wurde nicht vorgenommen. Eine Untersuchung, wie die kritischen

Fre-quenzen für verschiedene f/F mit der Rechnung übereinstimmen, scheitert

an der Unsicherheit des AusfluBkoeffizienten, der nicht einmat konstant sein

wird, da er sicli mit der Austrittsgeschwindigkeit ündern diirfte.

3. Die freien Schwingungen.

Urn die Dampfung der freien Schwingungen zu ermittein. wurde die Kurbel e in Bud 13 senkrecht nach oben oder nach unten gesteilt, so daB die

Lage des Modells vertikal war. Dann wurde das Modell urn 15° ausgelenkt und losgelassen, so daB es nach einigen Schwingungen in die Nullage

zurück-chwang. Dies wurde für verschiedene f/F ausgeführt. Die Ausschlage nach jeder halben Schwingung wurden abgelesen und in Kurvenform (Bud 21a)

aufgetragen. Aus diesen Ausschwingungskurven 1st ersichtlich, daB zwischen

den Werten f/F = 0,2 und f/F = 0,1 em _{Wert f/F liegen muB, für den die} l)ampfung am stãrksten ist. 1)as Abklingen der Amplitudenerfolgt nach der Gleichung:

= q'0 (38).

wobei _{eine beliebige Amplitude zur Zeit I, q'0 die Anfangsamplitude, u den}

Dãmpfungsfaktor darsteilt. 1st t = T, d. h. gleich der Periode, so 1st u T das

cogenannte Iogarithmische Dekrement der Schwingung, über die voile Periode gerechnet. Dieses kann ails den Kurven von BUd 21a bestimmt werden, indem mit 2 Werten von am Anfang und Ende einer vollen Schwingnng _und 92

das Verhältnis _{gebildet wird.}

92

Setzt man t1 = 0, so ergibt sich = e" und hiermit:

iT=lnJ.

(39)

'P:.

Aus (ileichung (39) ergibt sich sofort _{p T und nach Division mit T auch .}

8

2

'7

l)as Ergehuis dir Bestimmung des

higarithmi-sclwn I )ckrements T ist in IlikI 211) aufgetragen.

.Jede Kurve gilt für ciii hcslimmtes f/F. Vie er-sichtlich. liegi der \Vert .si T für die ersten Schwin-gungeii (hei grölIcrem Ausschlagwinkel!) holier

iiuflrctende Relatigescliwin-als hei den folgenden. da die digkeit zwischen Wasser und ModellauUcnhaut mit

zunch-...

inendin Ausschlãgen

zu-7 ₁ 5 7 , fl niinmt. die Beihung und

da-geJ'c/ff/guflgef? her auch die Dãnipfung. d. Ii.

)UId2Ia. si abcr etwa quadratisch

star-ker wird. Für kleinere Aus-schlãge gehen die Kurven von Bud 211) angeniiliert in Parallele zur Ahzis.sen-achse über. Für eunen Ausschlagwinkel von 2° wurden in Biki 21h die

logu-rilhmischen Dekremente für die verschiedenen f/F-Verte (lurch kleine Kreise markiert. Mittels dieser Werte wurde dann das Bud 21c berechnet, welches ;t

als Funktion von f/F darstelit. Hier zeigt sich eine

opti-bei f/F = 0,15 entsprechend

p male Dãmpfung genau

(Ahschn. V 2). In dieser Beziehung stimmen also auch 'I'heoriiv und Experiment genau überein, insofern

be-wiesen ist, daB das Op-timuni von f/F für die

" DAnipfung der freien

Schwingungen auch für

I die

erzwungenenSchwin-gungen em Optimum ist. Zeichnet man die KUrven

0 7 2 J

3 J

7 g 9 ff ,j rq von Bud 21c für

Roll-anefchwmgunge# _{winkel von 3° und 5°.} Si) hid 21b. ergibt sich audi ungefihr

f/F = 0,15 als Optimum. Aus hId 20 und 21c ist zu erselwn. daB man auch SO schon fast ohue

Modell-versucli in (ICr Lage ist. die optimale AusfluBOiTnung cines projektierten Tanks rechnerisch zu hestimnien, da

selbst Fehier von 25 % in der Bestimmung

'.0,1 f/F die Wirkung des Tanks noch

ii icht wesent lich verschlechtern un(l auBerdem noch em Korrektiv in Form eines Luftkanals mit Drosselorgan

ange-bracht werden kann. Es empilehit sich

jedoch, grundsãtzlich voile Klarheit durch das Experiment zu schaffen ülwr die nocli olTenslehenden Fragen, die in Ahschnitt IV 3e angeschnitten wurden.

VI. (iegeuBbcrstellung von Frahms Tank I und II.

In (1dm vorhergehenden Abschnitten wurde die BewegungsFurm des

Tanks 11 nntersucht und (lie Ohereinstimmung von Theorie und Wirktich-keit durch Modeilversuch geprült. I)amit ist die Dynamik der Bewegungs-vorgãnge kiargesleilt; urn sich aber em Urteil üher die charakteristischen

Eigenschaften der Tanks I tmnd II bilden zu kOnnen, ist eine rechnerische

Liitersmicl,u ng aim Tanks natü rlichcr 6rOUe erforderlich imnter

BerOcksichti-Bud 210.

çc

00 _{47 41 43 49 43 43.47 48 45 4}

'T dem Ergebnis bei den erzwungenn Schwingungen

312 Beitiig zur SIhIiIIgeI(IaIup1IIuIgs1Iage

gung der in Virk1ichkeit beirn Seegang auftretenden Verhältnisse, wie sic

z. T. schon in Abschnitt I und II behandelt wurden. Es sollen daher Beispiele für Tank I und II ausgerechnet und ausgewertet werden, urn beide

Tank-lormen schlieBlich gegeneinander abwãgen zu können. Vorausgeselzt muli

natürlich werden, daB die benutzten theorelischen Grundlagen geeignet sind,

die auftretenden Vorgãnge genau genug zu beschreiben. Dies geht aber für

Tank I vor allem aus den Experiiuenten von Biles (Tr. of the J. of N. A. 1923)

und für Tank 11 aus den vorstehenden Ausführungen (Ahschnitt IV und V) zur Genüge hervor.

1. Reclienbeispiele für Frahms Tank I.

Für die Dimensionierung eines Tanks in der Praxis spielt die Frage der

Abstimmung des Tanks eine groBe RoDe. Es ist heute üblich, die gedämpfte

Eigenfrequenz des Tankwassers gegen die Schiffsfrequenz zu verstimmen. Urn den EinfluB dieser Mafinahrne besser beurteilen zu können, wird im

foigenden die Wirkungsweise eines Tanks für drei verschiedene

Abstimmun-gen durchgerechnet, d. h. es werden die Amplitudenkurven ermittelt und die

Dampfungsfaktoren bestimmt. Die Dimensionen des zugrunde gelegten Tanks

sind aus Bud 22 zu ersehen, abgesehen von der QuerschnittsgroBe des

Ver-hindungskanàls, die sich mit geãnderter

Verstim-- mung der

Frequenz des

I ( Tankwassers ebenfalis

an-I a Snz dert, wãhrend die GröBe des

--i-

1

I

seitlichen Tanks beibehalten

.1 )

wird. Bekanntiich kann man

\

Ttrnk/o1iqe ja die gewunschte

Eigenfre-quenz des Tankwassers auf

BUd die bequemste Weise durch

entsprechende

Dimensionie-rung des untenhiegenden Wasserüberströmkanals erreichen bei gegebener GröBe der Seitenbehälter. Eine Anderung der Tankfrequenz durch Einfüllen ver-schiedener Wassermengen in einen gegebenen Tank ist nur in ganz engen Grenzen möglich. Analog zu den Bezeichnungen inAbschnitt III auf den im

foigenden zurückgegrilTen wird, Soil sein We

=

= 0,3 1/sek = damp.

fungsfreie Schiffseigenfrequeni. Die Wasserverdrangu ng des benutzten

Schiffes sei rund 31 000 t.

Die Zahleneinsetzung ergibt für Gieichung (2):

(Schiff) _{' + 0,01 q' + 0,09 q, + 0,04 1 $ + 0,044 tp = 0,5. (40)}

Die Eigendampfung

( = 0,01 angenommen) des SchilTes ist durcli

Glied 2 dargesteilt, hat jedoch wegen ihrer Kieinheit _{nur geringen EinfluB.}

Bei Schiffen ohne Dãmpfungsvorrichtung insbesondere

_{bei groen}

Aus-schlägen (Resonanz) steigt die Dãrnpfung natürlich nicht linear, wie hier vorausgesetzt, und gewinnt dann wesentliche Bedeutung. Das Trãgheits-kopplungsglied in Gleichung (40) wurde _{aus den gegebenen Daten nach} graphischer Ermitliung des Integrals r CO5 a° ds (unabhangig von der

0

Grö8e des Uberstromkanalquerschnius, vielmehr lediglich _{von der Form und} den Abmessungen des mittieren Wasserfadens im Tank, der stets der gleiche

ist) errechnet. Ferner wurde der Einfachheit haiber gesetzt C = 0,5, da die

absoluten GröBen der Roilbewegungsamplituden nicht interessiereñ, sondern

zur 4-IIIiIIgII.Ia,tIIIIuIIgsIrag..

C = 0. ztu gibeui. sti I,emcrkl, dali ilies für dit Itechniung hedenlil: weriku tllinfelder -Ini verflnderlicher Freq tutnz ahtr giiiehhkihender

..wirksamir" Veilinschrage (5.56 ), hizogen ani (las Scljilr, für die

I )urchlührung dt'r Verglciclisrecliiiuiigen zugriindi gelegi. I )iesc

rein-lachung erFolgl lediglich zu dciii Zweck. chic kiare Vergleiclisgrundlagi in

schalTen, die unahhãngig isi oii den ielen Mögiielikeiten, die hedingi suuul

ii. a. durch Kurswinkil und 'elknliiIlie Es werdin hinsivhllich (Icr

Tank-gleichung ((ihiehuing 131) folgende FüIle gerechnel:

I )ãnipliuigslreie 'l'aiikFrequtiii. = (lJlfl)itlI1gsIreIC SehilTsfreqiienz.

Schavlie ersliininung '.1)11 SelnIr iind Tank.

Slarke 'ersliiuInLIng von SdiiIl und Tank.

1ür Fall 2 iiiitl 3 wird die Verstimmung so vorgcnommin. daU clas

wasser stels selineller sekwingt als (las Sehifi. l)iirch Aiiderung (Icr Tank-tigenfrequenz mittels Anderung des Vcrhindungska na lqiierschn ills werden

a uch die Kopplungsglieder der Ta nkgleichiing lieeinflu Ut. Dagegen flndern

sich die Kopplungsglieder der Schiffsgieichimg nicht, da sic von F

iinah-hSngig sind. Somit latilen die drci T:inkgleiiiiiingen tiitsprechend den uhigen

(Irel FSIli'ii:

('Funk) Fall 1: 0.0852 -f-- 0.09 q

+ i + k'

' + 0,09 p = 0

Fall 2: 0,116 + 0,12259, + + k' ',' + 0.1225 'p = 0

Fall 3: 0,154 ' ± 1)1625 p + ii + k ' ± 0.1625 j' = 0 (41)

Für die Ermittliing der Kopplungsglieder war clue Bestimmung ViJil Fm er-forderlich. l)iese crgiht sick aius der jeweils gewünschten dãrnpfungsfreien

l'unkcigviiirequenz (w,) wie tolgi: 'rn = Ct) , WOh)CL S, = 25,8 in

ent-2g

sl)rechend Ilild 22. Ms Fall 4 wird cm Tank untersucht. (icr balk 5(1 groU ist

wie der Tank in HiM 22, d. Ii. stalL 15 in Tankiãnge (in der

Lflngsachsen-richlung des Schilics gemesstiij Ireten 7,5 rn Tanklange. 1)ie Halhierung er-lulgt also (lurch eunen Sch,iitt senkreeht zur Schiflslangsachsc. 1)er SO ge-wonnenc Tank, in (liii Hezeichnungen (kr folgenden J3ulder gekennzeichnet

dutch das Verliãltnis von 1' (Scitentankquersrhnitt) zu F

(Seitentankquer-sehnilt für (len Ausgaiigstank). wird hinsichtlieh des

Vasserverhindungs-kanals so dimensioniert. daU skh entsprechend Fall 3 (s. oben) eine starke Verstimmung sciner Elgen Irequcnz gegenuher dir Schilrseigenfrequenz

er-gibt, genau gleick (Icr des FaIles 3 ihrer 6röBe iunh. l)ie entspreeliende Tank. gleichung lautet dunn wie (leiehung (41) 3. wie ohne weiteres einziisehen 1st.

1)agegcn muB in diesem Fall die Seliiflsgleichung (40) urngeformt werdeii in

(SchilT) FaIl 4: ii + 0,01 'P ± 0,09 q' + 0,0205 ij' + 0,022 'p = 0,5. (40a)

indem die Kopplungsgliedir halbiert werden. (ilied 3 wird nicht geandert,

da diese Jlan(ltlaI)ung für uuiseren Zweck am richligsle.i erseheint. F' kann

0 -

.-

. . _{. so}

bls

aul grapliische vise iiurih ProIieren mitlels (icr (ileichung =

-erreclinet ver(Ien.

a) Erzwungene Schwingungen.

Bild 23 stelIt (lie für Fall I erreclineten Aniplitudenkurven dar. Id 24

für Fall 2, hId 25 für FaIl 3 und Ilild 26 für Fall 4. Es sind die

Roll-ampliluden des Schiltes (9,o) üher der schèinbaren Vdllenfrequcnz =

Er-regungsfrequenz (w) aufgetragen. Nehen dem AmplitudenmaBstab ist gleich-zeilig eine Skala für (len Verzerrungsfaktor angebracht, eine allgemeingültige

'erhãltniszahl. die (las Verhãltnis der jeweiligen Rollamplitude zur ,,wirk-samen", für alk' Unlersuchungen des Abschnitts VI ak iinvründer!ich

-q

durch das Drosselventil im Luftkanal geregelt werden kann. Die in alien vier Bildern vorkommende Amplitudenkurve mit unendlich groBer Amplitude

für w = 0,3 1/sek steilt die Amplitudenkurve für folgende Gleichung dar: + 0,09

= 0,5.

e1".

Dies ist die Rollamplitudenkurve eines Schiffes ohne Dãmpfungseinrichtung und bei gleich null gesetzter AuBenhautreibung. Sie wurde als Hintergrund,

ohne Tank BUd 23. ohne Tank

Y.

(LI BUd 23. Js 4. 25 25 0 ohne Tank -g -J 7

v

00 47 4: 4.J 4' BUd 24. ohne Tank BUd 26.

d. ii. als Vergleichsamplitudenkurve für die Bilder gewãhlt, urn die Virkung

der Tanks besser beurteilen zu können. Beirn Vergleich der Bilder 23, 24 tuiid 25 erkennen wir zunãchst folgendes: Die Kurven für verschiedene k' bilden Knotenpunkle auf der Vergteichsamplitndenkurve. Für k' = 0 bilden

-S Msrzsny.t-'

'factor

II -j -a 00 _{a' 42 4.'} 40 4J 44

-'

1. frcfor

r -s

A

4,44.t 4c4

,,, To -' flrz&,-factor I - - -4.-s 25

20-

-a 47 42 _4.'

314 Hii rag zur Schliaigt.rdãtiipfuugsfrage

dargesteilt (siehe hierzu S. 312: C = 0,5) und tritt bei deui Scliiff ohue Tank für w =0 als Amplitudenwert in Erscheinung (Verzerrungsfaktor = 1). Iii

den Bildern ist die Veränderliche für die verschiedenefl Kurven die GröBe k'.

7ft, liild 2.

U

den Ampliludenkurven für ge-

111

a

a V 2 O. &Q OS O

i(itI;Ig uu S(IuIiIIg.I(I.uIII)u1uuIgsII-agt.

: 13 ich (s. Biki 24) Itir ilie l)vi(leIi in Irsrlieiiitiiig Iretenden kritiselivii Fry-tueiizen. sic seieii kopptitreqticiizen genannt. List unendliche Ausselilage aus, während bei ai = rd t).3, q = 0. 1 )ie erwãhnten kimtenpunkte ver-schieben skIi für waehseude Verstimmung heide imcii rechts, wãhrend gleicli-i.eitig die KoppelfreqLienzen beide nach rechis rücken (gesteigerte Tankeigeii-1requenzl). Ferner 1st für ciii bestimmies k z. B. k' 0,2 bel steigender Ver-stimmung ciii Absinken (icr Amplitude 4cr oheren Koppelfrequenz und em

Ansteigen 4cr Amplitude (icr umiteren Koppelfrequenz erkennbar. Ailgemein

gesagt lindeL (lurch den Einbau von Frahms Tank I stets links von dein unteren Lind rechts von dciii oberen Knotenpunkt vine Vergröllerung der ursprunglichen Amplitude für (las Sehi if oline 1 )ãmpfungseinrichtung stall, wShrend in 4cr. Mitte zwisehen (len Knotenpunkten s(ets elne Yerkleinerting 4cr Amplitude sich ergiht. tim sicli ciii Bud liber die aultretemiden Phasemi-verschiebuitgen (Nacheilumig 4cr Schilrsschwingung gegenuber der Erregung

machen zu köiinemi. ist in Bud 27 für die KLIrVeII you Bild 24 die Phase ° über w aulgetrageim. iiierbei zeigt vs sieh, daB vine Phase von 90° = für k' = 0 (Ireimal autlritt, und zwar bei o; = 0,18, w = 0,35 und

w = 0,42. 4. ii. gerade für die KoppelIrequenien tund diejenige Frequenz, bel weleher 9'o = I) ist. Für griUcrc 'erle von k in den hier dargesteilten

Grenzcn von 0.15 bis 0.25 gibt vs

nur e in e ii Phasenwinkel von 90°. und zwar in 4cr Nãhe der

unteren Koppelfrequenz (0.18 .

Bei welter gesteigertem k' miahern .4 sicli die Phasenkurvemi (Icr h(-kanntemi Form für ge(lamnpf Ic Schwingungen von einemn Frci-heiv'grad (s. auch Bud 33a) ehen- j,, so wie sich auch die Amplituden-kurven für zunebmende k-Verte

dampfleSchwingungen von cinemu Freiheitsgrad nãhermi (s. z. 11. BUd 23; k' = 0,4). Es soil nun. was in etwa der Virk1ichkeit entspreclien durfte, angenommuemi

'werden, k sci iii dvii gtzeichnekn (trtnzen von 0.13 bis 0,25 regetbar.

Nunmehr fragt vs sich beim Verglcich von Bud 23 his 25, welche riiikai)stinum(mng ani gunsligsten ist. Bei VooIard (T. of the I. of N. A. 1913) heiUt es: Vhen considering the application to a large ship it is evident. however, that the periods of the waves actually encountered by such a ship are usually less than that uf the ship. l)as würde für tins bedeuten, daU nur scheinhare Wellenfrequenzvui, 4. Ii. talsachliche Erregiingsfrequenzen von w > 0,3 l/sek in Frage koinmen, da vs sich hier audi urn cm groBes SchifT

handell. 6ehen wir auf BUd I his 3 zurüek, so ist don ersichtlich, thU iii

4cm X.irsgehiet von 60° his 120°, d. h. wo das Schiff in verhaLtnismãBig

spilzern Vinke1 zu den VellenkSmmen IShrl, für praklisch vorkonimende Vel1en von 100 rn his 600 m sehr wob) (lie Muglichkeit hesteht, elner schein-haren Wclienlrequenz w < Schiifseigenfrequenz zu l)egegncn, hesonders für sclinelle SchilTe. Am eheslen hesteht diese 6efahr für kleine schmielle SchilTe you verliültnismSUig holier hgemilrequenz. Für imseren Fall clues schnellen Sehiffes Von langsamer ligenfreqimenz ergibi sich ais den Bildern als tmnterste

(rcnze für die Errcgiungslrequenz etwa w = 025 1/wk im ungünstigslen

Falle. Vühlt man jetit tinter den BiLdermi 23 his 23 die günsligstc Verstim-imiung aims. so ergihl sick die slarki' Yerslimmiung von BUd 23 als am zweck-unãUigsleii, da sue in 4cm iii Fragv kommendemi Bereidi die niedrigsten

Ampli-Iiiitiig zui IiIjn1i.iI:iini1ti1igiIage

316

mdcii aulwtist. Starker dart ilk Verslimuiiiiig nkhl scm, ila soiist die groUc AmplitiLde (Ler iiiitereui koppellreqiienz zu iiahe an den Bereich (icr prakliscli auftretcnden Frequenzen heranrückt. Für kleine schitdlle Schille liegt (lie

(irenzstärke der Verstimmuiig i,alürlkh nicht so hoch. Sic muU daher VOfl Fall zu Fail ermittelt werden aI)haflgig von (ksehwiiidigkeit uind Eigen-frequenz des Schifles. von der TankgröUe usw. lid Beirachiung von Bud 26,

das für bathe TankgröBe ermittelt wurde, zeigt sich, daB bei der bier

eben-tails aflgeWaiI(ItCli starken Verstimmiing Von Bud 25 die Amplitude der unteren Koppellrequenz schon bedenklich in die Nãhe des Grenzgehiets für

to = 0,25 gerãt, so daB hier zweckmãBig eine schwãcherc Verstimmung in

Anwendung komrnt. Somit 1st ersichtlich, daB für die I)imensionierung eines

Tanks die vorherige Unterrichiung an Hand (icr Amphtudenkurven für

ver-schiedene Verstimmungen und von den Kurven der Ruder 1 his 3 sowie der

Daten des Schilles unhedingt erforderlich ist, tim keine Fehier ZLL machen.

Venii audi die Eigenlrequenz des SchilFes je nach dent Ladezustand

schwankt, so kann duch, da die Grenzwerte dieser Frequenz von vornherein

cinigermaBen bekannt sind, eine l)dfriedigende Lösting gefunden werden. Die

im vorstehenden gezogenen Schlüsse bezüglich der Tankverstimmung

he-ziehen sicli zunãchst nur aut die Dãmpfung der erzwungenen Schwingungen. An Hand von Bud 23 his 26 sei itoch aut Bauers und \Voolards Theorien Bezug genommen, weiche (s. S. 294) inihrem Ansatz die kreisforntige Trans-lationsbewegung der VelIenteiIchen berücksichtigt haben, wobei sicli die Forderung einer gewissen Verstimmung des Tanks gegenüher dem Schiff

er-gab. Voolard schlãgt auf Grund sciner Ermittlungen für groBe Schiffe vur,

die gedampfte Tankperiode 0,7Omal so groB zu machen wie die Schiffs-periode, wãhrend nach Bud 23 his 26 ciii \Vert von etwa 0,77 zweckmüBig

erscheint und Bites 0,79 angibt. Letztere Verstimmungsfaktoren sind tinter-einander nicht wesentlich erschieden, obwohl sic tinter ganz verschiedenen Voraussetzungen (mit tind ohne Berucksichtigung der Ve1IentransIation) er-niittelt wurden. ich möchte daher auf Grund des Vergleichs dieser Zahien

ILnd unter Hinweis auf die von Bauer ausführlich geschilderten stark

ver-änderlichen Bedingungen fur die Auswirkung der Translationsbewegung der

Vasserteilchen aut die Schifis- und Tankwasserbewegung, den EinfluU der Vellentranslation mit Riicksicht auf das Endziel dieser Untersuchungen für

geringfügig haiten, zumal Bauers SchiuBfolgerungen ci nen dämpfungsfreien

Tank voraussetzen, der in (icr Praxis weder vorkommt noch überhaupt er-wünscht 1st (s. Abschnitt I Ende) und auBerdem bei gedãmpftem Tank an zunehmen ist, daB die Ergebnisse beider Ansätze erst recht nur

unwesent-liche Unterschiede atu Iweisen durften.

b) Die freien Schwingungen.

Nach Ahschnitt III 2 lassen sich fur die (ileichungen (40), (41) und (40a)

die Frequenzen tiiid Darnpfungen der freien Schwingungen errechnen. Die

entsprechenden Funktionen 1(x) nach Gleichung (14) wurden für die

Glei-chungen (40), (41) und (40a) gehildet mid nach einer kleinen Umformung in Bud 28 aufgetragen, Urn ais Abszisscnschnitte die Dãmpfungsfaktoren

zu erhaiten. Es wurden verschiedene k'-Werte ausgewählt und die

Dämpfun-gen hierfür ermittelt. Bud 29 zeigt die sich ergebenden

Koppeldämpfungs-werte, aulgetragen über dem Verhãltnis gedampfte Tankfrequenz geteilt

durch gedãmpfte SchifTsfrequenz, das audi als MaB für die Verstimmung

des Tanks angesehen werden kann. Die durch gestrichelte Linien

mit-elnander verbundenen Verte gelten für k' = 0,2. Dies soil die Zusammen-gehorigkeit der Dampfungslaktoren erlãutern. Rechnet man nämlich mit Hilfe von Gleichung (1 3a) die zu den jeweiligen DampIungsfaktoren

ge-! rendcn Kppelfrequenzen aus, so zeigi sich, daB bel Gleichstimmung die slärkerc 1)ãmpfung ziir iinleren Koppelfrequenz gehürt, während bel