Empiryczne modele równowagi ogólnej : gospodarstwa domowe i producent finalny

Pełen tekst

(1)Zeszyty Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Naukowe Ekonomia. 869 Kraków 2011. Renata Wróbel-Rotter. Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych. Empiryczne modele równowagi ogólnej: gospodarstwa domowe i producent finalny* 1. Wprowadzenie Empiryczne modele równowagi ogólnej definiują szeroką klasę modeli strukturalnych wywodzących się z teorii ekonomii, służących ujęciu dynamiki głównych zmiennych makroekonomicznych. Modele te są znane w literaturze pod nazwą stochastycznych dynamicznych modeli równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium – DSGE) bądź nowokeynesowskich modeli równowagi ogólnej (New-Keynesian General Equilibrium). Określają one klasę modeli, których parametry są wyznaczane na podstawie danych empirycznych przez kalibrację bądź bezpośrednią estymację równań strukturalnych. Zasadniczą cechą wyróżniającą je spośród modeli makroekonomicznych są fundamenty ekonomiczne, na podstawie których są konstruowane związki między zmiennymi występującymi w teoretycznej gospodarce. Modele należące do tej klasy łączą optymalizacyjne decyzje podmiotów gospodarczych na poziomie mikroekonomicznym z obserwowanymi na poziomie makroekonomicznym inercjami i opóźnieniami w dostosowywaniu się zmiennych w odpowiedzi na zakłócenia stochastyczne, co jest możliwe przez konstrukcję odpowiednich mechanizmów agregujących. Z punktu widzenia teorii makroekonomii łączą one idee podejścia * Praca wykonana w ramach badań statutowych Katedry Ekonometrii Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Autorka pragnie złożyć podziękowania Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu za uwagi i komentarze dotyczące opracowania..

(2) 110. Renata Wróbel-Rotter. nowokeynesowskiego, dopuszczającego niedoskonałości rynków, z nurtem nowoklasycznym zakładającym racjonalność działania gospodarstw domowych oraz przedsiębiorstw. W odniesieniu do cen i płac przyjmuje się w modelu założenie nieelastyczności, oznaczające brak natychmiastowej i pełnej reakcji na zmianę warunków zewnętrznych. Modele te nie ujmują bezpośrednio wpływu rynków finansowych na gospodarkę, zakładając ich efektywność oraz zdolność powrotu do równowagi, oraz przyjmują równoważność ricardiańską w polityce fiskalnej. Obszerny wstęp do modeli DSGE, omówienie ich własności oraz możliwości zastosowania przedstawia m.in. C. Tovar [2008]. Empiryczne modele równowagi ogólnej stały się jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych w bankach centralnych do badania wpływu polityki pieniężnej na sferę realną gospodarki oraz ścieżek propagacji zakłóceń stochastycznych. Fundamentalnymi pracami z tego zakresu są modele takich autorów, jak: L.J. Christiano, M. Eichenbaum i C. Evans [2005], F. Smets i R. Wouters [2003], D.E. Altig, L.J. Christiano, M. Eichenbaum i J. Lindé [2004], M. Adolfson, S. Laseén, J. Lindé i M. Villani [2005], które wywodziły się z prac pionierów (np. M. Obstfeld i K. Rogoff [1995] oraz C.J. Erceg, D.W. Henderson i A.T. Levin [2000]). Przegląd literatury wraz z omówieniem rozwoju koncepcji modeli DSGE zwiera m.in. praca autorstwa P.R. Lane’a [1999]. Dalsze przykłady empirycznych modeli równowagi ogólnej stosowanych w bankach centralnych można znaleźć m.in. w pracach: [Erceg, Guerrieri i Gust 2005, Laxton i Pesenti 2003, Kortelainen 2002, Moran i Dolar 2002, Murchison, Rennison i Zhu 2004, Dib 2001, De Walque i Wouters 2004, Bouakez, Cardia i Ruge-Murcia 2002, Justiniano i Preston 2004, Smets i Wouters 2007, Benigno i Thoenissen 2003, Pytlarczyk 2005, Breuss i Rabitsch 2008, Haider i Khan 2009, Ratto, Röger, in’t Veld i Girardi 2005]. Z modeli estymowanych dla danych polskich warto wymienić opracowania NBP: [Grabek, Kłos i Utzig-Lenarczyk 2007, Kolasa 2008, Brzoza‑Brzezina i Makarski 2009, Gradzewicz i Makarski 2009]. Wymienione prace nie wyczerpują powstałych aplikacji DSGE, a mają jedynie zasygnalizować szerokie możliwości ich zastosowania praktycznego oraz użyteczność w badaniach empirycznych. Modele stosowane w praktyce zazwyczaj mają szereg rozbudowanych założeń i są opracowywane dla kilku sektorów gospodarki, co skutkuje ich znaczną złożonością operacyjną i trudnościami ze szczegółowym omówieniem wszystkich przyjmowanych założeń. Z tego względu w niniejszym opracowaniu zaprezentowano podstawowy dynamiczny model równowagi ogólnej stanowiący jeden z fundamentów obecnie konstruowanych systemów, który umożliwia prezentację zasadniczych mechanizmów i bloków równań występujących w bardziej rozbudowanych modelach. Głównym celem pracy jest szczegółowe omówienie zagadnień optymalizacyjnych i mechanizmów agregujących stanowiących konstrukcję teoretyczną.

(3) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 111. empirycznych modeli równowagi ogólnej na przykładzie zaczerpniętym z pracy [Erceg, Henderson i Levin 2000]. Model ten ze względu na swoje fundamentalne znaczenie stał się obiektem późniejszych badań nad estymacją bayesowską parametrów strukturalnych (m.in. [Rabanal i Rubio-Ramírez 2005]) oraz punktem wyjścia do konstrukcji bardziej rozbudowanych systemów. Całość prezentacji założeń i zagadnień optymalizacyjnych zawiera się w trzech opracowaniach: niniejszym oraz [Wróbel-Rotter 2011a, 2011b], co pośrednio wskazuje na znaczne skomplikowanie i złożoność problematyki. Pierwszą część zawierającą charakterystykę zagadnień decyzyjnych gospodarstw domowych oraz producenta finalnego prezentuje poniższe opracowanie. Kontynuację stanowi część druga, zatytułowana: Sektor producentów pośrednich w empirycznym modelu równowagi ogólnej [Wróbel-Rotter 2011a], oraz część trzecia, zawierająca modelowe ujęcie kształtowania się płac: Struktura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospodarstw domowych [Wróbel-Rotter 2011b]. Zagadnienia estymacji i wnioskowania o parametrach strukturalnych oraz charakterystykach ekonomicznych modelowej gospodarki będą stanowić temat dalszych opracowań. Empiryczny model równowagi ogólnej przedstawiony w pierwszej i drugiej części opracowania zakłada istnienie reprezentatywnego gospodarstwa domowego maksymalizującego użyteczność w procesie podejmowania decyzji oraz continuum przedsiębiorstw pośrednich działających na rynku konkurencji monopolistycznej. Ilustruje on zagadnienia modelowania nieelastyczności cenowych oraz konstrukcji krzywej Philipsa dla inflacji. Model przyjęty w trzeciej części pracy oprócz nieelastyczności cen dopuszcza również niepełne dostosowania płacowe pozwalające na konstrukcję krzywej Philipsa dla wynagrodzeń. Na gruncie modelowym są one bezpośrednią konsekwencją założenia niejednorodności gospodarstw domowych, obok zróżnicowania przedsiębiorstw pośrednich obecnego w modelu z części pierwszej i drugiej. Szczególny nacisk położono w pracy na pełny opis zagadnień optymalizacyjnych podmiotów gospodarczych występujących w modelu na poziomie mikroekonomicznym, reguł decyzyjnych, ograniczeń zasobowych oraz metod definiowania mechanizmów inercyjnych na poziomie makroekonomicznym. Zaprezentowano szczegółowo techniki wyprowadzenia równań strukturalnych, przedstawiono mechanizmy agregujące oraz zależności łączące zmienne w konstrukcji teoretycznej ze zmiennymi obserwowalnymi. Omawiany przykład pozwala również na ilustrację możliwości elastycznej rozbudowy empirycznych modeli równowagi ogólnej przez definiowanie kolejnych bloków założeń prowadzących do uzyskania dodatkowych równań strukturalnych oraz alternatywnych procesów stochastycznych dla zakłóceń strukturalnych..

(4) 112. Renata Wróbel-Rotter. 2. Struktura modelu Omawiany w pracy empiryczny model równowagi ogólnej składa się z warunków pierwszego rzędu mikroekonomicznych zagadnień optymalizacyjnych podmiotów gospodarczych, reguły decyzyjnej banku centralnego oraz równań opisujących procesy stochastyczne postaci strukturalnej. Stacjonarność zmiennych występujących w konstrukcji teoretycznej oznacza, że należy on do klasy dynamicznych modeli równowagi ogólnej (Dynamic General Equilibrium – DGE). Składa się z dziesięciu równań strukturalnych, w których zdefiniowano dziesięć zmiennych teoretycznych, w szczególności rozważa się: zagregowany produkt yt, stopę procentową rt, wskaźnik inflacji πt t oraz wskaźnik zmiany płacy nominalnej πt tw, realną płacę wtr, zakłócenia stochastyczne obecne w preferencjach konsumentów gt oraz technologii producentów pośrednich at, nakład pracy nt, koszt krańcowy produkcji dodatkowej jednostki dobra pośredniego mct oraz krańcową stopę substytucji między konsumpcją a pracą mrst. Model w postaci strukturalnej ma następującą postać: 1) yt = Et yt + 1 – σ _rt – Et πt t + 1 + Et gt + 1 – gt i, 2) mrst = σyt + γnt – gt, _1 – βθ wi_1 – θ wi _ mrst – w tr i, 3) πt tw = βEt πt tw+ 1 + θ w (1 - γε w) 4) yt = at + (1 – α) nt, 5) mct = wtr + nt – yt , 6) wtr = wtr – 1 + πt tw – πt t , _1 – αi_1 – θβi_1 – θi ` mct + εtλj , 7) πt t = βEt _ πt t + 1i + θ`1 + α _εr – 1ij 8) rt = ρ r rt – 1 + _1 – ρ r i_ γ π πt t + γ y yt i + εtz , 9) at = ρ a at – 1 + εta, 10) gt = ρ g gt – 1 + εtg, gdzie ogół zdefiniowanych zmiennych makroekonomicznych składa się z czterech zmiennych stanu # rt , wtr, gt , at -, trzech zmiennych statycznych {n t, mct, mrst} oraz czterech zmiennych wyrażonych w formie oczekiwanych przyszłych wartości # yt + 1, πt t + 1, gt + 1, πt tw+ 1- . Równania strukturalne tworzą liniowy system racjonalnych oczekiwań, kształtowany w czasie przez wektor czterech innowacji: ε*t = 8εta, εtg, εtz, εtλ Bl, o niezależnych, identycznych rozkładach normalnych z odchyleniami standardowymi odpowiednio: σa, σg, σz oraz σλ; parametry strukturalne zawiera wektor postaci: θ(B) = 7α σ β γ ε θρr γπ γy ρa ρg θw εw Al. Formuła analityczna modelu jest zwięzła, nie umożliwia bezpośredniej interpretacji parametrów strukturalnych oraz nie pozwala na natychmiastowe.

(5) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 113. dostrzeżenie zależności i założeń, jakie znajdują się u podstaw równań. Zrozumienie i analiza empirycznych modeli równowagi ogólnej wymaga znajomości szczegółowej teorii makro- i mikroekonomicznej, na której opiera się konstrukcja systemu. Celem pracy jest zatem wyprowadzenie powyższych zależności wraz z prezentacją założeń oraz ujawnienie schematów konstrukcji równań strukturalnych, zwyczajowo niepublikowanych w opracowaniach z tego zakresu. Obszerność tematu wykracza poza ramy jednego opracowania. Z tego względu prezentację podzielono na trzy części: równania (1) i (2), opisujące zachowanie gospodarstw domowych, zostały wyprowadzone w niniejszym opracowaniu, w którym również zaprezentowano część teorii dotyczącej sektora produkcyjnego (w szczególności zagadnienia optymalizacyjne producenta finalnego, z których wynikają funkcje popytu na czynniki produkcji). Omówienie pozostałych równań, z wyjątkiem (3), znalazło się w pracy [Wróbel-Rotter 2011a], natomiast konstrukcja równania (3) jest tematem opracowania [Wróbel-Rotter 2011b]. Ostatnie z opracowań ilustruje również jedną z własności empirycznych modeli równowagi ogólnej, której zawdzięczają one swoją popularność dotyczącą możliwości elastycznej rozbudowy systemu przez modyfikację i uwzględnianie dodatkowych elementów teorii ekonomii. Empiryczny model równowagi ogólnej składa się z kilku zasadniczych bloków założeń, które w tym przypadku opisują zachowania gospodarstw domowych, producentów dóbr pośrednich i dobra finalnego oraz decydenta monetarnego. Głównymi podmiotami są gospodarstwa domowe, które podejmują kluczowe decyzje dotyczące poziomu konsumpcji poszczególnych dóbr, podaży pracy oraz ustalają poziom płacy. Sektor produkcyjny składa się z producentów wytwarzających dobra pośrednie, które następnie są wykorzystywane jako nakłady w procesie produkcji producenta dobra finalnego. Funkcję decydenta monetarnego pełni bank centralny. Empiryczny model równowagi ogólnej opiera się na decyzjach optymalizacyjnych podmiotów na poziomie mikroekonomicznym, w szczególności rozważa się trzy główne zagadnienia: 1) maksymalizacji użyteczności gospodarstw domowych, warunkowej względem ograniczenia budżetowego oraz zadanej egzogenicznie, przez producentów pośrednich, funkcji popytu na pracę. Na jego podstawie otrzymujemy optymalny poziom konsumpcji gospodarstw domowych i odpowiednią podaż pracy, co jest tematem niniejszego opracowania, oraz optymalny poziom wynagrodzenia, co prezentuje opracowanie [Wróbel-Rotter 2011b]; 2) maksymalizacji zysku producentów dóbr pośrednich, warunkowej względem zadanej egzogenicznie przez producenta dobra finalnego funkcji popytu. Składa się z dwóch części: pierwsza obejmuje standardową mikroekonomiczną minimalizację kosztu uzyskania danego poziomu produkcji, natomiast druga wykorzystuje zagadnienie maksymalizacji oczekiwanego, zdyskontowanego.

(6) : :. : : Dobro konsumpcyjne l. Clt. C1t. Nt. Dobro konsumpcyjne 1. Przedsiębiorstwo pośrednie 1: (N1t, Y1t ). Źródło: opracowanie własne.. Rys. 1. Schemat zależności w empirycznym modelu równowagi ogólnej. Dobro konsumpcyjne ∞. C∞t. Reprezentatywne gospodarstwo domowe: (Ct, Nt ). Bank centralny: (rt ). Ct = Yt. Y1t. Przedsiębiorstwo pośrednie i: (Nit, Yit ). Yit. Producent finalny: (Yt ). Y∞t. Przedsiębiorstwo pośrednie ∞: (N∞t, Y∞t ). 114 Renata Wróbel-Rotter.

(7) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 115. zysku do optymalnego ustalenia ceny sprzedaży dobra pośredniego. Uwzględnia ono również prawdopodobieństwo tego, że przedsiębiorstwo nie będzie mogło optymalizować ceny w przyszłości, co konstruuje w modelu mechanizm inercyjny. Prezentacja oraz rozwiązanie tego zagadnienia jest tematem opracowania [Wróbel-Rotter 2011a]; 3) maksymalizacji zysku producenta dobra finalnego, prowadzącej do funkcji popytu na czynniki produkcji, którymi są dobra wytwarzane przez producentów pośrednich. Funkcje popytu na dobra pośrednie są traktowane przez producentów jako egzogeniczne. Prezentacja oraz rozwiązanie tego zagadnienia stanowi temat drugiej części niniejszego opracowania. Struktura zagadnień optymalizacyjnych ściśle wiąże się z podmiotami występującymi w modelu, zależnościami oraz przepływami dóbr, których schemat został zaprezentowany na rys. 1. Symbole Yt oraz Ct występujące na rys. 1, oznaczają odpowiednio: zagregowany 1. produkt finalny, Yt = > # Yt 0. ε ε –1 ε –1 , _ i i ε di. H. gdzie Yt (i) oznacza produkt i-tego przed-. siębiorstwa pośredniego, oraz całkowitą konsumpcję gospodarstw domowych: 1. Ct = > # Ct. 0. ε ε –1 ε –1 ε , _ l i dl. H. (1). gdzie Ct (l) oznacza konsumpcję l-tego dobra w okresie t. Na mocy konstrukcji modelu, wymagającego zrównoważenia się wszystkich rynków, zagregowana konsumpcja jest równa zagregowanemu produktowi finalnemu, Yt = Ct, oraz podaż pracy Nt jest równa zagregowanemu popytowi na pracę, stanowiącemu agregat zapotrzebowania Nt (i), zgłaszanego przez poszczególnych producentów dóbr 1. pośrednich, Nt = > # Nt _ i i 0. *. ε –1 ε* di. ε* ε –1. H. *. . Stopa procentowa ustalana przez bank. centralny została oznaczona przez rt.. 3. Gospodarstwa domowe 3.1. Uwagi ogólne Gospodarstwa domowe w modelu równowagi ogólnej podejmują kluczowe decyzje dotyczące: poziomu konsumpcji różnych dóbr, podaży pracy oferowanej przedsiębiorstwom pośrednim oraz podziału otrzymywanego dochodu na bieżącą konsumpcję i oszczędności reprezentujące konsumpcję przyszłą. Empiryczny model równowagi ogólnej z doskonale elastycznymi płacami przyjmuje założenia.

(8) Renata Wróbel-Rotter. 116. istnienia reprezentatywnego konsumenta o nieskończenie długim horyzoncie życia oraz rozważa continuum dóbr konsumpcyjnych, których liczba jest normalizowana do jedności i indeksowana przez l  (0,1). Decyzje ekonomiczne, związane z optymalnym poziomem konsumpcji w czasie oraz podażą pracy, są podejmowane na podstawie maksymalizacji oczekiwanej, zdyskontowanej w czasie użyteczności warunkowej względem ciągu ograniczeń budżetowych. Reprezentatywne gospodarstwo domowe podejmuje decyzje po rozwiązaniu następującego zagadnienia optymalizacyjnego dla każdego z momentów: 3 Gt _Ct i1 – σ N1 + γ max E0 / βt > 1 – σ – 1 +t γ H, Ct, Nt, Bt t=0. gdzie Ct oznacza agregat (1) koszyka dóbr konsumowanego przez gospodarstwo domowe w danym momencie t, zaś Ct (l) oznacza ilość l-tego dobra konsumowanego przez reprezentatywne gospodarstwo domowego w okresie t. Ograniczenie budżetowe przyjmuje standardową postać:. 1. # Pt _ l i Ct _ l i dl + Qt Bt = Bt – 1 + Wt Nt + Tt ,. 0. gdzie Pt (l) oznacza cenę l-tego dobra konsumpcyjnego, egzogeniczną dla gospodarstwa domowego, Wt – nominalną, jednostkową stawkę płacy, Nt – podaż pracy – liczbę przepracowanych godzin, Gt zmienną losową ujmującą zmiany preferencji w czasie, Tt pozostałe transfery do i od gospodarstwa domowego (np. dywidendy i podatki), σ jest odwrotnością elastyczności międzyokresowej substytucji konsumpcji, Bt oznacza wartość obligacji zakupionych w momencie t i wygasających w okresie (t + 1), których cena w momencie wygaśnięcia jest równa Qt, przy czym musi zostać spełniony warunek wypłacalności: lim Et # BT - ≥ 0, dla T "3 każdego t. Cena Pt zagregowanego dobra konsumpcyjnego Ct, stawka płacy Wt (w przypadku niewystępowania w modelu nieelastyczności płacowych) oraz cena obligacji Qt są egzogeniczne dla reprezentatywnego gospodarstwa domowego. Rozwiązanie zagadnienia maksymalizacji użyteczności przy zadanej egzogenicznie funkcji popytu na pracę i ustalanie optymalnego wynagrodzenia jest tematem opracowania [Wróbel-Rotter 2011b]. 3.2. Optymalizacja koszyka konsumpcji Pierwszym zagadnieniem decyzyjnym podejmowanym przez reprezentatywne gospodarstwo domowe jest ustalenie optymalnego koszyka konsumpcji w każdym z okresów t i znalezienie funkcji popytu opisujących optymalną konsumpcję każdego z dóbr w zależności od jego ceny względnej, ` Pt _ l i Pt j , oraz zagregowanej konsumpcji Ct. Oznacza to, że podmiot maksymalizuje zagregowaną konsumpcję przy danym poziomie wydatku całkowitego Zt:.

(9) Empiryczne modele równowagi ogólnej… 1. max > # Ct _ l i. Ct _ l i. 0. ε ε –1 ε –1 ε dl. H. 117. przy warunku. Funkcja Lagrange’a przybiera postać:. LtK. 1. = > # Ct _ l i 0. ε ε –1 ε –1 ε dl. 1. # Pt _ l i Ct _ l i dl = Zt .. 0. 1. – λtK > # Pt _ l i Ct _ l i dl – Zt H,. H. 0. skąd otrzymujemy warunek pierwszego rzędu postaci:. ε. 1. ε –1 ε –1 2LtK = ε ε– 1> # Ct _ l i ε dl H 2Ct _ l i 0. –1. ε – 1 C _ l i ε ε– 1 – 1 – λK P _ l i , t t t ε. co po przekształceniach i przyrównaniu do zera prowadzi do postaci: 1. Ct ε K G = λt Pt _ l i . = Ct _ l i. Równość powyższa implikuje następującą zależność dla dwóch dowolnych dóbr konsumpcyjnych, l oraz l*, w modelu: 1. Ct _ l i ε Pt _l*i , > H = Pt _ l i Ct _l*i. skąd otrzymujemy funkcję popytu na l-te dobro w zależności od cen względnych oraz zapotrzebowania na l*-te dobro substytucyjne:. Ct _ l i = >. Pt _ l i H Ct _l*i . Pt _l*i –ε. Optymalny poziom konsumpcji danego dobra w zależności od poziomu dobra substytucyjnego i relacji ich cen uwzględniamy następnie w funkcji wydatku całkowitego,. Zt =. otrzymując:. Zt =. 1. #. 0. 1. # Pt _ l i Ct _ l i dl,. 0. Pt _ l i>. (2). Pt _ l i H Ct _l*i dl, Pt _l*i –ε. co prowadzi w kolejnych przekształceniach do postaci:. Zt = Ct _l*i Pt _l*i. ε. 1. # Pt _ l i1 – ε dl.. 0. Cena Pt zagregowanego dobra konsumpcyjnego Ct jest standardowo przyjmowana jako agregat CES cen Pt (l) poszczególnych dóbr:.

(10) Renata Wróbel-Rotter. 118 1. Pt = > # Pt _ l i. 1– ε. 0. 1 1– ε. dl H. ,. co prowadzi do wydatku całkowitego postaci:. Zt = Ct _l*i Pt _l*i P1t – ε,. * Z P _l i Ct _l*i = Pt = t P G . t t. ε. skąd ostatecznie otrzymujemy relację popytu na dane dobro, w zależności od ceny zagregowanej Pt, ceny danego dobra Pt (l*) oraz poziomu wydatku całkowitego Zt: –ε. (3). Ostatnim przekształceniem jest eliminacja z funkcji popytu na dobra konsumpcyjne, Ct (l*), wydatku całkowitego Zt. Po uwzględnieniu w agregacie CES (1) indywidualnej funkcji popytu Ct (l*) otrzymujemy następującą zależność:. skąd:. i ostatecznie:. Z P _l i Ct = > # * Pt = t P G 4 t t 1. *. –ε. ε –1 ε. 0. ε –1 ε. Ct. ε –1 ε. Z = < Pt F t. dl*H. 1. Ptε – 1 > # Pt _l*i. ε ε –1. 1– ε. 0. ,. dl*H,. Zt = CtPt.. Oznacza to, że wydatek całkowity na konsumpcję jest równy iloczynowi zagregowanej ceny dóbr konsumpcyjnych Pt oraz agregatu CES poszczególnych dóbr, Ct. Uwzględnienie wydatku całkowitego w funkcji popytu (3) prowadzi do następującej ostatecznej jej postaci:. P _l*i Ct _l*i = = t P G Ct . t –ε. Funkcja popytu na dane dobro konsumpcyjne ze strony gospodarstwa domowego jest zależnością od ceny względnej tego dobra, Pt _l*i Pt , i poziomu zagregowanej konsumpcji Ct, parametr ε > 1, określa elastyczność cenową popytu, która na mocy konstrukcji modelu jest ujemna. 3.3. Warunki równowagi konsumenta Ograniczenie budżetowe gospodarstwa domowego może zostać uproszczone po uwzględnieniu zależności Zt = CtPt oraz (2) prowadzących do równości:.

(11) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. Ct Pt =. 119 1. # Pt _ l i Ct _ l i dl,. 0. która powoduje, że przybiera ono postać standardową, analogiczną do ograniczeń budżetowych w modelach gospodarek, w których występuje tylko jedno dobro konsumpcyjne. W szczególności decyzje reprezentatywnego gospodarstwa domowego są opisane następującym zagadnieniem decyzyjnym: Gt _Ct i1 – σ N1t + γ > H max E / β 1– σ – 1+ γ , Ct, Nt, Bt 0 t = 0 3. t. przy ograniczeniu budżetowym:. PtCt + QtBt = Bt – 1 + WtNt + Tt.. Rozwiązanie zagadnienia maksymalizacji użyteczności jest wyprowadzane po zapisaniu funkcji Lagrange’a:. 3 G C1 – σ N1 + γ L*t = E0 / βt *= 1t – tσ – 1 +t γ G + μt _ –Pt Ct – Qt Bt + Bt – 1 + Wt Nt + Tt i4 , t=0. skąd otrzymujemy następujące dwie grupy warunków pierwszego rzędu: 1) równanie ustalające optymalne proporcje poziomu konsumpcji i podaży pracy, które wymaga spełnienia następujących warunków pierwszego rzędu:. skąd:. oraz:. stąd otrzymujemy:. 2L*t = Gt Ct–σ – μt Pt , 2Ct μt =. Gt Ct–σ Pt ,. 2L*t = – Ntγ + μt Wt , 2Nt Nγ μt = Wt . t. Mnożnik Lagrange’a μ t jest interpretowany jako krańcowa użyteczność konsumpcji w okresie t wyrażona w kategoriach realnych. Łącząc powyższe równania, otrzymujemy warunek zrównujący krańcową stopę substytucji pracy konsumpcją z realną stawką płacy dla reprezentatywnego gospodarstwa domowego:. W Ntγ Gt–1 Cσt = Pt . t. Sprowadzenie do postaci logliniowej oraz uwzględnienie warunku równowagi na rynku dóbr, oznaczającego przeznaczenie całej produkcji na konsumpcję Yt = Ct, otrzymujemy postać:.

(12) Renata Wróbel-Rotter. 120. wt – pt = γnt + σct – gt,. (4). gdzie zmienne oznaczone małymi literami alfabetu łacińskiego odpowiadają odchyleniom zmiennych wyjściowych od ich wartości w stanie ustalonym. Loglinearyzacja równań charakteryzujących równowagę została zaproponowana w pracach: [King, Plosser i Rebelo 1988] oraz [Campbell 1994]. Polega ona na zastosowaniu szeregu Taylora do sprowadzenia równań do postaci liniowych, które są funkcjami zmiennych wyrażonych w formie logarytmów odchyleń od u j , gdzie X oznacza bieżącą ich wartości w stanie ustalonym modelu, xt = ln ` Xt X t u wartość danej zmiennej, a X jest jej wartością w stanie ustalonym (steady state), zaś 100xt wskazuje na procentowe odchylenie w danym momencie t zmiennej xt od jej wartości w stanie stabilnym. W empirycznych modelach równowagi ogólnej jest to technika powszechnie stosowana w celu uproszczenia postaci analitycznej i umożliwienia stosowania liniowych metod rozwiązywania i estymacji modelu [Uhlig 1999]. Prawa strona równania (4) określa proporcje, według których gospodarstwo domowe wartościuje pracę i konsumpcję (uzyskane po zróżniczkowaniu funkcji użyteczności względem Nt oraz Ct), w szczególności przy doskonale elastycznych stawkach płac otrzymujemy równość krańcowej stopy substytucji pracy konsumpcją, mrs t, i płacy realnej. Ostatecznie w modelu szacowane są dwa oddzielne równania umożliwiające w wersji rozszerzonej modelu uwzględnienie nieelastyczności na rynku pracy:. mrst = γnt + σct – gt oraz mrst = wt – pt;. 2) równanie opisujące międzyokresową substytucję konsumpcji, uzyskane przez ustalenie optymalnego poziomu oszczędności, równoważnemu wybraniu odpowiedniego zaangażowania w obligacje przy danej stopie procentowej ustalanej przez bank centralny. Gospodarstwo domowe może bieżące dochody przeznaczyć na obecną konsumpcję Ct bądź zakup obligacji Bt, które umożliwiają przechowanie wartości i zwiększenie konsumpcji przyszłej Ct + 1. Optymalny poziom obligacji jest ustalany z warunku pierwszego rzędu otrzymanego z funkcji Lagrange’a:. 2L*t = –βt μt Qt + E0 βt + 1 μt + 1, 2Bt. skąd otrzymujemy standardowe równanie wiążące przyszłą i teraźniejszą konsumpcję, wyrażające równość stopy zwrotu z obligacji Qt oraz zdyskontowanego, oczekiwanego przyrostu konsumpcji: μ Qt = βE0 μt + 1 . t. Uwzględniając warunek: μt =. Gt Ct–σ Pt , otrzymujemy następującą zależność:.

(13) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 121. –σ G C P Qt = βE0 ) Gt + 1 d Ct + 1 n P t 3, t +1 t t. przy czym Qt jest stopą zwrotu z obligacji i może zostać uznane za odwrotność nominalnej stopy procentowej Rt występującej w modelowej gospodarce: R = Qt–1, prowadząc po przekształceniach do następującej równości:. –1 σ G C P σ Rt–σ = βσ E0 )d Gt + 1 n d Ct + 1 n d P t n 3 . t +1 t t. Sprowadzenie do postaci logliniowej:. –σrt = σ _ E0 gt + 1 – gt – Et pt + 1 + pt i – E0 ct + 1 + ct. oraz uwzględnienie warunku ct = yt i oznaczenie przez: πt t + 1 = pt + 1 – pt odchylenia wskaźnika inflacji: πt + 1 = Pt + 1 Pt od jego wartości w stanie stabilnym prowadzą do ostatecznej postaci zależności:. yt = E0 yt + 1 – σ _rt – E0 πt t + 1 + E0 gt + 1 – gt i .. Otrzymane równanie wyraża zależność między stopą wzrostu zagregowanego produktu w modelowej gospodarce yt a obowiązującą nominalną stopą procentową rt, skorygowaną o oczekiwany wskaźnik inflacji w okresie przyszłym, πt t + 1 ; wszystkie zmienne są zapisane w formie logliniowej dla odchyleń od ich wartości w stanie ustalonym.. 4. Funkcje popytu na czynniki produkcji producenta finalnego W empirycznych modelach równowagi ogólnej strona produkcyjna gospodarki jest ujmowana przez zdefiniowanie grupy producentów, składającej się z podmiotów produkujących dobra pośrednie, które są następnie wykorzystywane jako nakłady w procesie produkcyjnym przedsiębiorstwa wytwarzającego produkt finalny. Schemat taki może zostać skonstruowany dla jednego sektora gospodarki, tak jak w modelu prezentowanym, bądź dla kilku wybranych, jak to ma miejsce w modelach stosowanych w praktyce do analiz ekonomicznych; w szczególności w modelach dla gospodarek otwartych wyróżnia się dodatkowo sektory importerów i eksporterów. Struktura modelowa obejmująca sektor producentów pośrednich działających na rynku konkurencji monopolistycznej oraz producenta finalnego funkcjonującego według zasad konkurencji doskonałej pozwala na utworzenie mechanizmu agregującego, w którym zagadnienia optymalizacyjne przedsiębiorstw na poziomie mikroekonomicznym pozostają w zgodzie z obserwowanymi na poziomie makroekonomicznym inercjami. Sposób agregacji, przez koncepcję producenta finalnego i producentów dóbr pośrednich, umożliwia uwzględnienie procesów mających na celu ujęcie opóźnień w dostosowywaniu.

(14) Renata Wróbel-Rotter. 122. się cen w odpowiedzi na zakłócenia zewnętrzne. Proces podejmowania decyzji w sektorze producentów obejmuje trzy zasadnicze bloki, na które składają się: minimalizacja kosztu i ustalanie cen produktów przez producentów pośrednich oraz zagadnienie wyznaczania funkcji popytu na czynniki produkcji przez producenta finalnego. Ostatnie zagadnienie jest przedmiotem rozważań w tym opracowaniu, natomiast reguły decyzyjne producentów dóbr pośrednich są tematem pracy [Wróbel-Rotter 2011a]. Producent finalny pełni w modelu funkcję ostatecznego agregatora produktów pośrednich przekształcającego je w produkt finalny przeznaczany następnie na cele konsumpcyjne gospodarstw domowych. Budowa produktu finalnego Yt z continuum dóbr pośrednich Yti jest dokonywana standardowo przez agregat CES o stałym efekcie skali produkcji [Dixit i Stiglitz 1977]: 1. Yt = > # Yt. 0. ε ε –1 ε –1 , _ i i ε di. H. (5). gdzie ε oznacza elastyczność substytucji, identyczną pomiędzy wszystkimi parami dóbr pośrednich Yt (i). Producent finalny działa według zasad doskonałej konkurencji na rynku produktu, natomiast ceny czynników produkcji Pt (i) są dla niego zadane egzogenicznie przez producentów pośrednich, z których każdy jest monopolistą w dostarczaniu swojego produktu. Cena sprzedaży Pt zagregowanego produktu finalnego jest ustalana z warunku zerowych zysków ekonomicznych na rynku doskonale konkurencyjnym. Funkcje popytu na czynniki produkcji producenta finalnego można rozpatrywać w kategoriach zagadnienia maksymalizacji zysku ze sprzedaży ustalonej wielkości produkcji Yt0:. max f Pt Yt – Yt _ i i. 1. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di p przy warunku > # Yt. 0. 0. ε ε –1 ε –1 ε _ i i di. H. = Yt0 ,. gdzie Yt oznacza indeks CES continuum produktów pośrednich definiujący technologię producenta finalnego. Charakteryzuje się ona własnością malejącej krańcowej produkcyjności nakładów oraz stałą i jednakową dla wszystkich dóbr elastycznością substytucji, ε > 1, implikującą ich znaczną zastępowalność. Stały efekt skali produkcji w agregacie opisującym technologię CES powoduje, że zagadnienie maksymalizacji zysku ma rozwiązanie jedynie dla przypadku zerowych zysków ekonomicznych [Varian 1992]. Wielkość przedsiębiorstw bądź przedsiębiorstwa finalnego nie jest możliwa do wyznaczenia ze względu na fakt, że przy dodatniej produkcji Yt oraz zerowych zyskach podmiot nie określa jej optymalnego poziomu. Optymalne zaangażowanie czynników produkcji możemy jednak wyznaczyć z zagadnienia minimalizacji kosztu, które jest implikowane przez zasadę maksymalizacji zysku na rynku doskonale konkurencyjnym..

(15) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 123. W szczególności funkcje warunkowego popytu na czynniki produkcji wytwórcy finalnego uzyskujemy przez rozwiązanie zagadnienia minimalizacji kosztu całkowitego wytworzenia ustalonego poziomu produkcji Yt0:. min f Yt _ i i. 1. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di p przy warunku Yt = Yt0 oraz Yt = > # Yt 0. 0. Funkcja Lagrange’a przyjmuje postać:. ε ε –1 ε –1 . _ i i ε di. H. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di – λtF _Yt – Yt0i ,. LtF =. 0. skąd otrzymujemy następujący warunek pierwszego rzędu: 2LtF 2Yt = Pt _ i i – λtF , 2Yt _ i i 2Yt _ i i. z którego po uwzględnieniu zerowania się pierwszej pochodnej cząstkowej: 2LtF = 0, uzyskujemy zależność ogólnej postaci: 2Yt _ i i Pt _ i i = λtF. 2Yt . 2Yt _ i i. (6). Oznacza ona, że produkcyjność krańcowa i-tego nakładu (produktu pośredniego) pomnożona przez mnożnik Lagrange’a jest równa cenie danego dobra pośredniego. Z powyższej zależności są wyprowadzane dwa warunki niezbędne do wyznaczenia ostatecznej postaci funkcji popytu na produkty pośrednie ze strony producenta finalnego: 1) zależność pierwsza jest otrzymywana po uwzględnieniu w powyższej postaci definicji agregatora CES produkcji (5) i wyznaczeniu pochodnej cząstkowej:. ε. 1. ε –1 ε –1 2Yt = ε ε– 1> # Yt (i) ε di H 2Yt _ i i 0. –1. ε – 1 Y _ i iε ε– 1 – 1, ε t. skąd otrzymujemy następującą zależność:. Pt _ i i =. λtF. 1. > # Yt 0. ε ε –1 ε –1 _ i i ε di. 1. H > # Yt _ i i 0. która po przekształceniach przybiera postać:. Pt _ i i = λtF Y1t –. zapisaną ostatecznie w formie:. Yt _ i i = >. ε –1 ε Y t. –1. H Yt _ i i– ε , 1. –1. _ i i ε,. Pt _ i i H Yt ; λtF –ε. ε –1 ε di. (7).

(16) Renata Wróbel-Rotter. 124. 2) drugi z warunków umożliwia eliminację mnożnika Lagrange’a λtF z zależności (7). Obustronne pomnożenie warunku koniecznego (6) przez Yt _ i i Yt prowadzi do zależności: Pt _ i i Yt _ i i 2Yt Yt _ i i = λtF , Yt 2Yt _ i i Yt. z której, zapisując całkę po indeksie producentów pośrednich, otrzymujemy:. 1 Yt. 1. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di = λtF Y1t #. 0. 0. 2Yt Y _ i i di. 2Yt _ i i t. (8). Wyrażenie podcałkowe po prawej stronie równości określa iloczyn produkcyjności krańcowej danego czynnika produkcji (dobra pośredniego) i poziomu jego zaangażowania, natomiast sama całka wyraża całkowitą wielkość produkcji przedsiębiorstwa finalnego:. Yt =. 1. #. 0. 2Yt Y _ i i di, 2Yt _ i i t. co prowadzi do uproszczenia warunku koniecznego (8) i zapisania go w postaci:. 1 Yt. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di = λtF.. (9). 0. Wyrażenie podcałkowe to iloczyn cen Pt (i) czynników produkcji oraz poziomu ich nakładu, co oznacza, że całka w powyższym wyrażeniu określa koszt całkowity produkcji dobra finalnego, który na podstawie założeń rynku doskonale konkurencyjnego jest równy jego wartości: Pt Yt = wyrażenie (9) do postaci:. Pt = λtF.. Pt _ i i 2Yt = P . 2Yt _ i i t. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di, co upraszcza. 0. (10). Oznacza ona, że mnożnik Lagrange’a w zagadnieniu minimalizacji kosztu produkcji przedsiębiorstwa finalnego jest równy cenie zagregowanego produktu. Z tej zależności wynika również warunek optymalnego zaangażowania danego czynnika produkcji przez producenta finalnego, zrównujący wartości krańcowej produkcyjności danego nakładu z jego krańcowym kosztem równym względnej cenie danego dobra pośredniego. Łącząc zależność (6) oraz (10), otrzymujemy:. Założenie malejącej krańcowej produkcyjności czynników produkcji oznacza, że producent będzie wykorzystywał cały dostępny zakres nakładów produktów pośrednich..

(17) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 125. Łącząc zależności (7) oraz (10) otrzymujemy ostateczną postać funkcji popytu Yt (i) na i-ty produkt pośredni w danym okresie t ze strony producenta finalnego: Pt _ i i Yt _ i i = = P G Yt. t –ε. (11). Określa ona zapotrzebowanie producenta finalnego (równoważne popytowi w całej modelowej gospodarce) na i-te dobro pośrednie w zależności od jego ceny względnej Pt _ i i Pt oraz danej wielkości produkcji Yt. Gospodarstwa domowe podejmują decyzje dotyczące wielkości zagregowanej produkcji Yt przez ustalenie optymalnej z ich punktu widzenia konsumpcji bieżącej Ct, która jest równa całkowitej produkcji Yt na mocy przyjętych w modelu założeń. Funkcje popytu na dobra pośrednie charakteryzują się jednorodnością stopnia pierwszego względem produktu finalnego oraz stałą elastycznością cenową popytu ε > 1, oznaczającą popyt elastyczny na postawie założeń: jeśli cena danego dobra pośredniego Pt (i) wzrośnie względem ceny dobra finalnego Pt, to popyt na dane dobro zmaleje i nastąpi substytucja pozostałymi dobrami pośrednimi. Otrzymane zależności łączą cechy funkcji warunkowego popytu na czynniki produkcji wynikające z mikroekonomicznego zagadnienia minimalizacji kosztu (zależność od poziomu produkcji i ceny nakładów) z funkcjami popytu otrzymywanymi po maksymalizacji zysku (zależność popytu na dobro od ceny produktu oraz cen nakładów). Agregator cenowy. Agregacja produktów cząstkowych w modelowej gospodarce przez koncepcję producenta finalnego umożliwia również zdefiniowanie agregatu określającego cenę Pt sprzedaży dobra finalnego Yt. Otrzymywana jest ona na podstawie warunku zerowania się zysku ekonomicznego wytwórcy finalnego określonego w modelu jako różnica między wartością produktu finalnego a kosztem nakładów:. Pt Yt –. 1. # Pt _ i i Yt _ i i di = 0,. 0. skąd po uwzględnieniu funkcji popytu na poszczególne nakłady (11) otrzymujemy zależność:. Pt Yt –. 1. #. 0. Pt _ i i=. Pt _ i i ε G Yt di = 0, Pt –. która po obustronnym podzieleniu przez Yt oraz przekształceniach prowadzi do równania opisującego cenę dobra zagregowanego jako indeks CES cen dóbr pośrednich:. 1. Pt = > # Pt _ i i 0. 1– ε. 1 1– ε. di H. ..

(18) 126. Renata Wróbel-Rotter. 5. Podsumowanie Opracowanie stanowi pierwszą z trzech części opisujących zagadnienia optymalizacyjne leżące u podstaw konstrukcji empirycznych modeli równowagi ogólnej. Szczegółowo zaprezentowano schemat budowy modelu wraz z omówieniem założeń przyjmowanych dla gospodarstw domowych oraz producenta dobra finalnego w teoretycznej gospodarce. Skoncentrowano się na prezentacji mikroekonomicznych zagadnień optymalizacyjnych, warunków ograniczających i metod ich rozwiązywania, linearyzacji oraz uzyskiwania równań strukturalnych. W efekcie zaprezentowano schemat wyprowadzenia pierwszego z równań empirycznego modelu równowagi ogólnej – równania Eulera – wyrażającego relację między stopą wzrostu zagregowanego produktu a nominalną stopą procentową skorygowaną o oczekiwany wskaźnik inflacji w okresie przyszłym. Równanie w takiej bądź nieco bardziej złożonej postaci występuje w każdym z empirycznych modeli równowagi ogólnej. Literatura Adolfson M., Laseén S., Lindé J., Villani M. [2005], Bayesian Estimation of an Open Economy DSGE Model with Incomplete Pass-through, Sveriges Riksbank, Working Paper Series 15. Altig D.E., Christiano L.J., Eichenbaum M., Lindé J. [2004], Firm-specific Capital, Nominal Rigidities, and the Business Cycle, Federal Reserve Bank of Cleveland, Working Paper 04–16. Benigno G., Thoenissen C. [2003], Equilibrium Exchange Rates and Supply Side Performance, „Economic Journal”, nr 113. Bouakez H., Cardia E., Ruge-Murcia F.J. [2002], Habit Formation and the Persistence of Monetary Shocks, Bank of Canada Working Paper 2002-27. Breuss F., Rabitsch K. [2008], An Estimated Two-country DSGE Model of Austria and the Euro Area, FIW Working Paper 17. Brzoza-Brzezina M., Makarski K. [2009], Credit Crunch in a Small Open Economy (manuscript), Munich Personal RePEc Archive. Campbell J.Y. [1994], Inspecting Mechanism: An Analytical Approach to the Stochastic Growth Model, „Journal of Monetary Economics”, nr 33. Christiano L.J., Eichenbaum M., Evans C. [2005], Nominal Rigidities and the Dynamic Effects of a Shock to Monetary Policy, „Journal of Political Economy”, nr 113. De Walque G., Wouters R. [2004], An Open Economy DSGE Model Linking the Euro Area and the US Economy (manuscript), National Bank of Belgium. Dib A. [2001], An Estimated Canadian DSGE Model with Nominal and Real Rigidities, Bank of Canada Working Paper 2001-26. Dixit A.K., Stiglitz J. [1977], Monopolistic Competition and Optimum Product Diversity, „American Economic Review”, nr 67..

(19) Empiryczne modele równowagi ogólnej…. 127. Erceg C J., Guerrieri L., Gust C. [2005], SIGMA: A New Open Economy Model for Policy Analysis, International Finance Discussion Papers 835. Erceg C.J., Henderson D.W., Levin A.T. [2000], Optimal Monetary Policy with Staggered Wage and Price Contracts, „Journal of Monetary Economics”, nr 46. Grabek G., Kłos B., Utzig-Lenarczyk G. [2007], SOE-PL – model DSGE małej otwartej gospodarki estymowany na danych polskich, Materiały i Studia NBP, nr 217. Gradzewicz M., Makarski K. [2009], The Macroeconomic Effects of Losing Autonomous Monetary Policy after the Euro Adoption in Poland, Materiały i Studia NBP, nr 58. Haider A., Khan U.S. [2009], A Small Open Economy DSGE Model for Pakistan (manuscript), State Bank of Pakistan. Justiniano A., Preston B. [2004], Small Open Economy DSGE Models: Specification, Estimation and Model Fit (manuscript). King R.G., Plosser C., Rebelo S. [1988], Production, Growth and Business Cycles: I and II, „Journal of Monetary Economics”, nr 21. Kolasa M. [2008], Structural Heterogeneity or Asymmetric Shocks? Poland and the Euro Area through the Lens of a Two-country DSGE Model, NBP, Warszawa. Kortelainen M. [2002], EDGE: A Model of the Euro Area with Applications to Monetary Policy, Bank of Finland Studies E:23. Lane P.R. [1999], The New Open Economy Macroeconomic: A Survey, CEPR Discussion Paper 2115. Laxton D., Pesenti P. [2003], Monetary Rules for Small, Open, Emerging Economies (manuscript), International Monetary Fund, Federal Reserve Bank of New York i NBER. Moran K., Dolar V. [2002], Estimated DGE Models and Forecasting Accuracy: A Preliminary Investigation with Canadian Data, Bank of Canada Working Paper 2002-18. Murchison S., Rennison A., Zhu Z. [2004], A Structural Small Open-Economy Model for Canada, Bank of Canada Working Paper 2004-4. Obstfeld M., Rogoff K. [1995], Exchange Rate Dynamics Redux, „Journal of Political Economy”, nr 103. Pytlarczyk E. [2005], An Estimated DSGE Model for the German Economy within the Euro Area, Deutsche Bundesbank, Discussion Paper 33. Rabanal P., Rubio-Ramírez J.F. [2005], Comparing New Keynesian Models of the Business Cycle: A Bayesian Approach, „Journal of Monetary Economics”, nr 52. Ratto M., Röger W., in’t Veld J., Girardi R. [2005], An Estimated New Keynesian Dynamic Stochastic General Equilibrium Model of the Euro Area, European Commission Economic Paper 220. Smets F., Wouters R. [2003], An Estimated Dynamic Stochastic General Equilibrium Model of the Euro Area, „Journal of the European Economic Association”, nr 1. Smets F., Wouters R. [2007], Shocks and Frictions in US Business Cycles: A Bayesian DSGE Approach, European Bank Working Paper 722. Tovar C. [2008], DSGE Models and Central Banks, BIS Working Papers 258. Uhlig H. [1999], A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models Easily [w:] Computational Methods for the Study of Dynamic Economies, red. R. Marimón, A. Scott, Oxford University Press, London. Varian A.H. [1992], Microeconomics Analysis, 3rd ed., W.W Norton, New York..

(20) 128. Renata Wróbel-Rotter. Wróbel-Rotter R. [2011a], Sektor producentów pośrednich w empirycznym modelu równowagi ogólnej, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, nr 872, Kraków. Wróbel-Rotter R. [2011b], Struktura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospodarstw domowych, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie (w druku).. Empirical General Equilibrium Models: Households and Final Producer The paper is the first of three parts that present methods for building a dynamic general equilibrium model. The presentation includes details of micro-economic optimisation problems, ways of solving them and techniques for deriving first order conditions. The representative household maximises the expected, discounted sum of utilities that are a function of consumption and labour. The solution to the problem leads to the Euler equation, which links output to the interest rate and inflation. Other optimality conditions set optimally the consumption/labour ratio and the consumption allocation over time. The second part of the paper examines the profit maximisation of the final producer of a good that is needed to obtain demand functions for the intermediate goods, which are treated as exogenous by intermediate producers. All derived equations appear in the standard New-Keynesian model..

(21)