Optymalizacja formowania jednostek ładunkowych z uwzględnieniem ich środka masy Optimization of unit loads formation taking into account the center of mass

Pełen tekst

(1)PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 111. Transport. 2016. Kamil Popiela, Mariusz Wasiak _ " G Y

(2) . OPTYMALIZACJA FORMOWANIA JEDNOSTEK 9_6*=&>8q3_&34?6)6)% )8q2=*%'> \

(3) : maj 2016. Streszczenie:

(4) &

(5) lizacyjnego & "

(6) wanio" ! "

(7) % ' @& % [ .

(8) "

(9)

(10) "

(11) " =

(12) " " "'

(13) % [ & !%" !G

(14) szcze!"

(15) " % [ " !

(16) ' _ "

(17) "

(18)

(19)

(20) " "

(21) " w sposób zapewni [' _ /

(22) % % w

(23) !

(24) [' B

(25) & ' ! %

(26) ' '#

(27) Q

(28) G

(29)

(30) G & "G } czanie jednostek opakowaniowych.. 1. WPROWADZENIE _ & "

(31) } " =

(32)

(33) !

(34)

(35) $ nostek opakowaniowych w czasie transportu. Zatem,

(36) $ G

(37) & " % [ [ "

(38) " G

(39)

(40) % "

(41) " ' Zapotrzebowanie & " !

(42) "

(43) " & " "' #

(44) [ i

(45) ! " /'

(46) "

(47) "

(48)

(49) & " } "' { & " " !% [ " .

(50) 438. Kamil Popiela, Mariusz Wasiak.

(51) "G ' " G !

(52) G %. & !%" " " w '

(53)

(54)

(55) } % [ & "'

(56)

(57)

(58) & } dunkowych [6-10, 18, 20->>

(59) !%" % $

(60) "G !"

(61) -<

(62) " [6-DG >/G >>

(63)

(64)

(65)

(66) " " jednostek opakowaniowych [6-10, 18, 20->> ! " %

(67) % " /->' "G !" G trzy [ =

(68)

(69)

(70) " "

(71) "

(72) .

(73) % % ' #

(74) % &G %

(75) . G !" nego & G

(76)

(77) & "G ! G

(78)

(79) .

(80) "

(81) % % } dunkowej.. 2. (34<4)_>

(82)

(83) $

(84) " & "' "

(85) ! & !} " " "

(86) ny przez C. Chen, S.M. V. G è'@' @" ' ! " "

(87) "' ^ } F

(88)

(89) " !% G

(90) kontenerach w taki spo!G % [ %

(91) " ! |

(92)

(93) }

(94) G %

(95) " raz zapew

(96)

(97) " " ' W "

(98)

(99)

(100) " " }

(101) "G

(102) " ! okr "

(103) % % ' %. [

(104) czenia jednostek opakowaniowych " %

(105) " ! & } mowania j "' _

(106)

(107) }

(108) & "' Chang, Ch. He, J.W., Wu i Y.B. Zang [2]. \ &

(109)

(110)

(111)

(112) przez Wu Li Goh de Souza [23]. Autorzy zmodyfikowali problem formowania kontenero" "

(113)

(114)

(115)

(116) "

(117) ' Y

(118)

(119) G %

(120)

(121)

(122) .

(123) B

(124) & " " . 439. jest NP-'

(125) > % "

(126)

(127)

(128) "' & [ & '

(129)

(130) no > G

(131)

(132)

(133) " "

(134) " ! "

(135) % "' Q

(136) %

(137) G . daje G % &

(138)

(139)

(140) & } '

(141) >

(142)

(143)

(144) cyjnego %

(145) "

(146)

(147) } maliza _V+¢' % % [

(148)

(149) } ! %

(150) &

(151)

(152) ' Podobnie d

(153)

(154)

(155)

(156) & #' & G ' G @' { G V' ' #

(157) &

(158) G !} & " " " z

(159)

(160) "

(161) "' ^

(162)

(163)

(164)

(165) &

(166) ! " "

(167) "' # } del matematyczny opisany w [6] % $

(168) "G ' ' }

(169)

(170)

(171)

(172) " "

(173) "G

(174) " ! "

(175) % % & ' _ % & wali G. Perboli, M.M. Baldi oraz R. Tadei [14], i I. Moon i T.V.L. Nguye [11]. G %

(176) "

(177) " "

(178) %

(179) G ' $

(180) "

(181)

(182)

(183) " "

(184) wych, masy jednostek opakowaniowych oraz/lub zagadnienia przenoszenia przez jednostki

(185) % $

(186) " ! "

(187) % % ' @

(188) G % " zy " " /:G >' # } &

(189) & & owania jednostek "G ! . '. 3. ZADANIE OPTYMALIZACYJNE ¡^^39=6) B

(190) &

(191) & } dunkowych stanowi rozszerzenie modelu matematycznego zaproponowanego w [16], w !

(192) % $

(193) "

(194)

(195) . i

(196) G

(197)

(198)

(199) " "

(200) -.

(201) 440. Kamil Popiela, Mariusz Wasiak. " % [

(202) " ! ' # matematyczny przedstawiony w niniejszym artykule zawiera dodatkowe ograniczenia wa

(203) % % met '

(204) [ & " "

(205)

(206) "' _

(207)

(208) " pu % F &

(209)

(210) " tek opakowaniowych, przy czym powierzchnie podparcia jednostek opakowanio" !

(211) "

(212) G %

(213)

(214) G % [

(215) " ! D:o, zapewnione jest podparcie

(216) " %

(217) G

(218) . i

(219)

(220) " '. ¡^^'$=%_9=&6)36)=(>%4)38>"6= ^ " ": zbiór numerów jednostek opakowaniowych JO = {1, …, i, …, k, …, n}, gdzie n to

(221) "G i oraz k to numery jednostek opakowaniowych, jednostek opakowaniowych, pi R+, i JO, jednostek opakowaniowych, qi R+, i JO,

(222) "G ri R+, i JO, masy jednostek opakowaniowych, mi R+, i JO,

(223)

(224) "

(225) "G dmi R+, i JO, ! ! $

(226) " & " "

(227) " % " = {1, …, j, …, m}, gdzie: j to

(228) & " } rzo

(229) % G m $ pomocni" & " "

(230) " % " jednostek, "G Lj R+, j , "G Wj R+, j , " "G Hj R+, j , $

(231) " & 'G rpj R+, j ,

(232) " $

(233) " & } dunkowych, Bj R+, j , parametr pomocniczy UG ! %

(234) [ % [

(235) ' U = 10000, % [

(236) " " "F xi R+, i JO

(237)

(238) ! i-tej jednostki opakowaniowej na osi X, yi R+, i JO

(239)

(240) !

(241) i-tej jednostki opakowaniowej na osi Y,.

(242) B

(243) & " " . 441. zi R+, i JO

(244)

(245) ! i-tej jednostki opakowaniowej na osi Z, si {0, 1}, i JO, przy czym si = 1, gdy i-ta jednostka opakowaniowa jest umieszczo %G

(246) nym przypadku si = 0, lxi R+, i JO o interpretacji wymiaru i-

(247) % ¢G lyi R+, i JO o interpretacji wymiaru i-

(248) % ÂG ttoikj {0, 1}, i, k JO: i z k, j , przy czym ttoikj = 1, gdy i-ta oraz k-ta jednostka opakowaniowa jest umieszczona w j- G

(249) przypadku ttoikj = 0, toij {0, 1}, i JO, j , przy czym toij = 1, gdy i-ta jednostka opakowaniowa jest umieszczona w j- G

(250)

(251)

(252) toij = 0, oj {0, 1}, j , przy czym oj = 1, gdy j-

(253) % & G

(254)

(255)

(256) oj = 0, lp {0, 1} , i, k JO: i z k, j , przy czym aikjlp = 1, gdy i-ta jednostka opakowa aikj

(257) k-tej jednostki opakowaniowej w j-tej jednostce lp 0, G

(258)

(259)

(260) aikj aikjpz {0, 1} , i, k JO: i z k, j , przy czym aikjpz = 1, gdy i-ta jednostka opakowa

(261)

(262) k-tej jednostki opakowaniowej w j-tej jednostce G

(263)

(264)

(265) aikjpz 0 , wn {0, 1} , i, k JO: i z k, j , przy czym aikjwn = 1, gdy i-ta jednostka opakowa aikj.

(266) % k-tej jednostki opakowaniowej w j- } wn 0, wej, w przeciwnym przypadku aikj aikjs {0, 1} , i, k JO: i z k, j , przy czym aikjs = 1, gdy i-

(267)

(268) %

(269)

(270) " k-tej jednostki opakowaniowa s 0, w j-tej jednostce G

(271)

(272)

(273) aikj akjstp {0, 1} , k JO, j , przy czym akjstp = 1, gdy k-ta jednostka opakowaniowa %

(274)

(275) " j-

(276) mocniczego do formo G

(277)

(278)

(279) akjstp 0 , aikjst {0, 1} , i, k JO: i z k, j , przy czym aikjst = 1, gdy i-ta jednostka opakowanio

(280)

(281)

(282)

(283) "

(284) k-

(285) st 0, niowej w j- G

(286)

(287)

(288) aikj zmXj R+, j

(289)

(290) % j- na osi X, zmYj R+, j

(291)

(292) % j- na osi Y, G

(293) F

(294) " % X:. i JO lxi. pi si qi (1 si ). (1).


(296) " % ÂF i JO lyi qi pi lxi. (2).

(297) " % ¢F lp i, k JO : i z k j J xk U (1 aikj ) t xi lxi. (3).

(298) " % ÂF i, k JO : i z k j J yk U (1 aikjpz ) t yi lyi. (4).

(299) " % F i, k JO : i z k j J z k U (1 aikjwn ) t zi ri. (5).

(300)

(301)

(302) niowych: i, k JO : i z k j J ttoikj d toij. (6). i, k JO : i z k j J ttoikj d toij tokj 1. j J o j d. (7). ¦ to. (8). ij. iJO.

(303)

(304) " F. i JO. ¦ to. ij. d1. (9). jJ.

(305)

(306) "F lp lp wn i, k JO : i z k j J aikj akij aikjpz akijpz aikjwn akij t ttoikj. (10). % [

(307)

(308)

(309) " "

(310) "

(311) } ne jednostki opakowaniowe: i, k JO : i z k j J aikjst d ttoikj (11). i, k JO : i z k j J aikjst d aikjs. (12). % [

(312)

(313)

(314) "

(315) " }

(316) & "F k JO j J akjstp d tokj (13)

(317)

(318)

(319)

(320) " "

(321) " jednostkami opakowaniowymi1: i, k JO : i z k j J zi ri z k d U (1 aikjst ) (14). i, k JO : i z k j J 0 d zi ri zk U (1 aikjst ). (15). i, k JO : i z k j J xi d xk (1 D ) lxk U (1 a ) (16) st ikj. i, k JO : i z k j J xk D lxk d xi lxi U (1 aikjst ). (17). i, k JO : i z k j J yi d yk (1 D ) lyk U (1 a ). (18). i, k JO : i z k j J yk D lyk d yi lyi U (1 a ). (19). st ikj. st ikj. 1.

(322) " )/- - (19)

(323) ! |

(324) [ % '

(325) nia on

(326)

(327) "

(328)

(329)

(330) "'.

(331) B

(332) & " " . 443.

(333)

(334)

(335)

(336) " "

(337) " niem pomocni & F k JO j J rp j zk d U (1 akjstp ) (20). k JO j J 0 d rp j zk U (1 akjstp ). (21).

(338)

(339) !"

(340)

(341) " .

(342)

(343) " dzenia pomocniczego do formowania jednost "F st (22) k JO j J akjstp aikj t tokj. ¦. iJO :i z k. na usytuow

(344) " % ¢ 2: i, k JO : i z k j J xi d xk 0,5 lxk U (1 aikjs ). (23). i, k JO : i z k j J xk 0,5 lxk d xi lxi U (1 a ) (24) s ikj.

(345) " % Â 2: i, k JO : i z k j J yi d yk 0,5 lyk U (1 aikjs ). (25). i, k JO : i z k j J yk 0,5 lyk d yi lyi U (1 a ) (26) s ikj. na zapewnienie niewystawania jednostki opakowaniowej poza dzenia pomocniczego do formo % ¢F i JO j J xi lxi d L j U (1 toij ) (27). i JO xi t 0 (28)

(346)

(347)

(348) dzenia pomocni & % ÂF i JO j J yi lyi d W j U (1 toij ) (29) i JO yi t 0

(349) F i JO j J zi ri d H U (1 toij ). (30) (31).

(350)

(351) "

(352) "

(353) & F i JO j J zi t rp j (32)

(354) ednostek opakowaniowych: s i JO j J aikj mk d dmi. ¦. (33). k JO :k z i.

(355)

(356) F j J toij mi d B j. ¦. (34). iJO. 2.

(357) " )>- )>- )>- )>-

(358) ! :G zapewnia podparcie jednostki opakowaniowej '.


(360) % " % ¢F ( xi 0.5 lxi ) mi toij j J zmX j iJO mi toij. ¦. ¦. (35). iJO.

(361) % " % ÂF ( yi 0.5 lyi ) mi toij iJO j J zmY j mi toij. ¦. ¦. (36). iJO. na

(362)

(363) % " % ¢ } rantu " [

(364)

(365) "3: (37) j J (1 E ) L j o j d 2 zmX j j J 2 zmX j d (1 E ) L j. (38).

(366)

(367) % " % Â } rantu " [

(368)

(369) adunkowych3: (39) j J (1 E ) W j o j d 2 zmY j j J 2 zmY j d (1 E ) W j. (40). &

(370) %" " o postaci: (41) ¦ ¦ pi qi ri toij U ¦ o j o maksimum jJiJO. iJO.

(371) [ ' @&

(372) & wych zaimplemen

(373) V{XB'

(374) & kowana poprzez porównanie uzyskiwanych wyników z obliczeniami analitycznymi.. 4. STUDIUM PRZYPADKU

(375)

(376) % /:

(377) "

(378) } lach typu euro (Lj = 1200 mm, Wj = 800 mm, rpj ¸ / -' # [ %

(379) Hj ! / ' _ U

(380) ! /::::G | jako 0,9, a } :G>:' _ " jednostek opakowaniowych zestawiono w tablicy 1.

(381)

(382)

(383) alono, % [ & ' { ' /

(384) /:

(385) "

(386)

(387) -. 3.

(388) " );-–(40)

(389) ! E % " nost "

(390) % " ! "..

(391) B

(392) & " " . 445. ' { ' >

(393) " /0

(394) "

(395) ' Tablica 1 Parametry jednostek opakowaniowych Numer jednostki opakowaniowej (i). ^ [ } nostki opakowaniowej w mm (pi). @ [ } nostki opakowaniowej w mm (qi). [ } nostki opakowaniowej w mm (ri). Masa jednostki opakowaniowej w kg (mi). Dopuszczalny nacisk na jed

(396) } (dmi). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 1100 500 600 450 400 500 600 400 450 300. 500 510 600 400 400 500 400 400 450 300. 100 531 500 300 400 500 200 600 200 300. 7,5 9,0 2,5 5,0 5,0 8,0 9,0 5,0 5,0 6,0. 50,0 7,0 50,0 54,0 20,0 15,0 10,0 15,0 10,0 30,0. ! F

(397) . i=2. i=6. i = 10. i=9. i=1 \' /'

(398) –

(399) / ! F

(400) .

(401) 446. Kamil Popiela, Mariusz Wasiak. i=5 i=8. i=3. i=4 i=7. \' >'

(402) –

(403) > ! :

(404) . %

(405) G

(406) "

(407)

(408)

(409) % "

(410) "G "

(411)

(412) % palet. Dodat

(413) / ¢ // G Â /;

(414) ' { }

(415) > ¢ > G Â /

(416) '

(417)

(418) & " " palety, co

(419) G %

(420)

(421) "' # % jest zastosowa

(422) tyce.

(423) [F.

(424) B

(425) & " " . 447. 1100 500 100 1 500 510 531 1 600 600 500 0 450 400 300 0 400 400 400 0 500 500 500 1 600 400 200 0 400 400 600 1 050 450 200 1 300 300 300 1 1100 500 100 0 500 510 531 0 600 600 500 1 450 400 300 1 400 400 400 1 500 500 500 0 600 400 200 1 400 400 600 1 050 450 200 0 300 300 300 0 1000 (1 1) 0.824905 109. 5. PODSUMOWANIE @&

(426) 16] jest

(427) " "G !" } %

(428) G !

(429)

(430) " [

(431) wane, w tym: pomi

(432) "G

(433) nie

(434)

(435)

(436) " "

(437) "G $ run"

(438) % "' \

(439)

(440)

(441)

(442)

(443)

(444)

(445) & % "

(446) ' % &

(447) !

(448) } "

(449) " $ " ! %

(450) % "' @

(451) G % %

(452)

(453) ! "G !" .

(454) %

(455) % } [

(456)

(457) ' { % %[G %

(458)

(459)

(460) . % $

(461) "

(462)

(463) '

(464) % niem ma

(465) " %

(466) " " "' W

(467) % %

(468)

(469) G !

(470)

(471)

(472) ' } &

(473) G !

(474) % $

(475) } "

(476) "

(477)

(478) "G '

(479) " % " "

(480) " "

(481) '. Bibliografia 1.. 2. 3.. Alian W., Baisong Ch., Zhang J., Liangfeng L., Three-dimensional Packing by Tabu Search Algorithm in Military Airlift Loading, 2010 International Conference on Optoelectronics and Image Processing, IEEE, 2010. Chang Ch., He Ch., Wu J-W., Zang Y-B., Research of Three-Dimensional Container-packing Problems Based on Discrete Particle Swarm Optimization Algorithm, ICTM , IEEE, 2009. Chen C.S., Lee S.M., Shen Q.S., An analytical model for the container loading problem, Theory and Methodology, European Journal of Operational Researc, No. 80,pp.68-76, Elsevier, 1995..

(482) 448. 4. 5. 6. 7.. 8. 9.. 10. 11. 12. 13. 14.. 15. 16.. 17. 18. 19. 20. 21. 22.. 23. 24.. Kamil Popiela, Mariusz Wasiak. Chen C.S., Sarin S., Balasubramanian R., A mixed-integer programming model for a class of assortment problems, European Journal of Operational Research 63, pp. 362-367, 1993. Dahmani N., Krichen S., On solving the bi-objective aircraft cargo loading,5th International Conference on Modeling, Simulation and Applied Optimization (ICMSAO), IEEE, 2013. Hifi M., Kacem I.,Negre S., Wu L.,A Linear Programming Approach for the Three-Dimensional BinPacking Problem,Electronic Notes in Discrete Mathematics, No. 36, pp. 993–1000, 2010. Liu W. Lin Ch., Yu Ch., On the three-dimensional container packing problem under home delivery service, Asian-Pacific Journal of Operational Research, No. 5/Vol. 28, pp. 601-621, World Scientific Publishing Co. & Operational Research Society of Singapore, 2011. Lodi A., Martello S., Monaci M., Two-dimensional packing problems: A survey, European Journal of Operational Research, No. 141,pp. 241-252, Elsevier Science Ltd., 2002. Lodi A., Martello S., Vigo D., Models and Bounds for Two-dimensional Level Packing Problems, Journal of Combinatorial Optimization, No.8, pp. 363-379, Kluwer Academic Publishers, 2004 the Netherlands. Mongeau M., Bes Ch., Optimization of Aircraft Container Loading, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol.39, No 1., IEEE, 2003. Moon I., Nguyen T.V.L., Container packing problem with balance constarints, OR Spectrum, Springer, December 2013. Pargas R.P., Jain R., A Parallel Stochastic Optimization Algorithm for Solving 2D Bin Packing Problems, AIA,IEEE, 1993 Orlando Florida United States. Perboli G., Baldi M.M., Tadei R., The Three-Dimensional Knapsack Problem with Balancing Constraints, CIRRELT, 2011. Piekarska M., Mrozek-Kantak J., V 'G \ % "

(483) !

(484) ! } " $"! #X _ G F {

(485)

(486) G _ V } V ' # & G _ $ >::G ' /;;-126. Popiela K., Wasiak M., O

(487) & "G

(488) V 4/2014, s. 2335-2344. _

(489) 'G #'G B

(490) & " " } G F V F

(491)

(492) & tów, Instytut Logistyki i Magazynowania, nr 4, 2015, ss. 836-845. Popiela K., Wasiak M., Optimization of unit load formation taking into account the mass of packaging units, The Archives of Transport, vol. 30, issue 2, 2014. Ratkiewicz A., Rozprawa doktorska – B

(493)

(494) $} chów transportowo- "G Y

(495) _ " G >::>' \ " Y'G ^ ¼ [ ^'G X ^'G Y & ¼ ¼

(496)

(497)

(498) " & packing problem, MIPRO, 2013,Opatija Croatia. Saito T., Morianga T., Yano N., Packing Optimization for Cargo Containers, SICE Annual Conference 2008, The University Electro-Comunications, 2008 Japan. @¼ [ ('G @ ¼ [ Y'G

(499) ¼ [ 'G @BV{X Y+ YB-DIMENSIONAL PACKING PROBLEM WITH m-M CALCULUS, Yugoslav Journal of Operations Research 21, No. 1, pp.93-102, 2011. Tlili T., Faiz S., Krichen S., A particle swarm optimization for solving the one dimensional container loading problem, 5th International Conference on Modeling, Simulation and Applied Optimization (ICMSAO), IEEE, 2013. Wu Y., Li W. Goh M. de Souza R.,Three-dimensional bin packing problem with variable bin height, Europena Jurnal of Operational Research 202, pp.347-355, 2010. Zhang Z., Cheng W., Tang L., Cheng Y.,Improved Ant Colony Optimization for One-Dimensional Bin Packing Problem,ICNC,IEEE 2007.. OPTIMIZATION OF UNIT LOADS FORMATION TAKING INTO ACCOUNT THE CENTER OF MASS Summary: The linear mathematical model of loading unit formation, which contains mass, strength and center of gravity of gravity units, is presented in this article. The proposed model can be applied to optimize the arrangement of non-uniform cubical loading units in/on auxiliary loading equipment. In the model, the.

(500) B

(501) & " " . 449. possibility of defining various masses and dimensions of particular packaging units and their vertical axis rotation was ensured. Furthermore, constraints of the mathematical formulation take into account masses and the strength of packaging units, as well as support of bearing surfaces of packaging units in a way that provides stability. The mathematical model presented in this article is an expanded linear version of the model [16] which now includes constraints of loading unit stability. The mathematical model was verified and a sample calculation is presented. Keywords: optimization, packing problem, formulation of loading units, arrangement of packaging units.

(502)