Wyznaczanie reakcji w belkach Gerbera

C D B D C B A A E F G E F G

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Aby policzyć Belkę Gerbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach

uzyskując pojedyncze belki

Aby móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale muszą być statycznie wyznaczalne i geometrycznie niezmienne, zatem muszą opierać się na dwóch podporach przegubowych lub skrajne mogą być utwierdzone. W powstałych po podziale belkach dokładamy fikcyjne podpory w przegubach tak, aby stały się one geometrycznie niezmienne.

Najniżej znajdują się belki, które bezpośrednio po podziale są statycznie wyznaczalne i nie potrzebują

dodatkowych podpór (utwierdzenie lub belka oparta na dwóch podporach). Najwyżej umiejscawiamy belkę, która po podziale nie ma żadnego podparcia i potrzebuje dwóch podpór fikcyjnych (schemat 1.) lub skrajna belka, która po podziale opiera się na jednej podporze, jeżeli w danym układzie nie ma części nieodpartej

żadną podporą zawierającej się między dwoma przegubami (schemat 2.). Pozostałe belki umiejscawiamy schodkowo, od tej położonej najwyżej do tej położonej najniżej. Jeżeli wyżej ulokowana belka ma w danym przegubie fikcyjną podporę to druga musi mieć w tym miejscu swobodny koniec.

Obciążenie w przegubie:

Jeżeli zdarzy się, że siła skupiona przyłożona w przegubie to po rozbiciu w przegubach przykładamy ją na belce dolnej ( tylko i wyłącznie!!! – nie wolno jej przyłożyć na obie belki, ponieważ zwiększymy wartość tej siły dwukrotnie!). Moment po podziale występuje na tej części belki, na której znajdował się przed rozbiciem, bez względu na to czy jest to belka dolna czy górna.

A

B

C

D

D

C

B

A

_E

_F

_G

D

C

B

A

_E

_F

_G

- fikcyjna podpora

Przykład 1. Podziel Belkę Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych części i zaznacz reakcje podporowe.

Schemat 1.:

Krok 1.: Dokonujemy podziału belki gerbera w przegubach.

Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak, aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysokości:

Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynając od tej położonej najwyżej i schodzimy stopniowo w dół obciążając belki niżej położone wyliczonymi wcześniej reakcjami.

W schemacie 1. najpierw liczymy część FG ( część ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby policzyć reakcje poziome, należy wyznaczyć HG z sumy rzutów na oś x dla części GD), później części EF lub GD, na końcu zaś AE.

A B C D VA VC V_E HA MA E F G A B C D E F G VA HA MA VB VB HB HB VD VC HD VD HD VE VF HF VF HF VG VG Schemat 2.:

Schemat 3.: F A B C VB _VD D E G VC VB HC VC HC VD VE HE VE HE VG VG F A B C D E G VF VF M P M P M P

4 2 3 6 2 1 1 2 q2=4kN/m q1=6kN/m P=15kN 60 M=4kNm A B C D E F G q2=4kN/m V = 12kNE V = 12kND H = 7,5kNE H = 7,5kND P=15kN 60 V = 12kNE H = 7,5kNE V = 30,495kNF Psin60=12,99kN Pcos60=7,5kN V = 5,505kNG q1=6kN/m M=4kNm V = 12kND V = 3,5kNC V = 2,5kNB H = 7,5kND H = 7,5kNB V = 2,5kNB V = 2,5kNA H = 7,5kNB H = 7,5kN M =10kNmA

Przykład 2. Podziel Belkę Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych części i zaznacz reakcje podporowe oraz policz ich wartości z równań równowagi.

a) Wyznaczenie reakcji: Część DE: ∑FX= -HD + HE=0 ∑MD= -q2·6·3 + VE·6=0 → VE=3q2=3·4=12kN ∑ME= q2·6·3 - VD·6=0 → VD=3q2=3·4=12kN Sprawdzenie: ∑FY= VD + VE – q2·6 = 12 + 12 - 4·6 = 0 Część EG:

∑FX= -HE + Pcos60°=0 → HE = Pcos60°=7,5kN → HD= 7,5kN

∑MF= VE·2 - Psin60°·1 - VG·2=0 → VG=0,5(2VE - Psin60°·1) = 0,5(2·12 – 12,99·1)=5,505kN

∑MG= VE·4 + Psin60°·1 - VF·2=0 → VF=0,5(4VE + Psin60°·1) =0,5(4·12 + 12,99·1)=30,495kN

Sprawdzenie: ∑FY= VF - VE – VG - Psin60° = 30,495 – 12 - 5,505 - 12,99= 0 Część BD: ∑FX= -HB+ HD= 0 → HB = HD =7,5kN ∑MB= -VC·2 + M + q1·3·3,5 - VD·5=0 → VC=0,5·(M + q1·3·3,5 - VD·5) = 0,5(4 + 6·3·3,5 - 12·5)=3,5kN ∑MC= VB·2 + M + q1·3·1,5 - VD·3=0 → VB=0,5·(-M - q1·3·1,5 + VD·3) = 0,5(-4 - 6·3·1,5 + 12·3)=2,5kN Sprawdzenie: ∑FY= -VB – VC – VD + q1·3= - 2,5 – 3,5 - 12 + 6·3= 0 Część AB: ∑FX= -HA+ HB= 0 → HA = HB =7,5kN

∑MA= VB·4 - MA=0 → MA=4VB = 4·2,5 =10kNm

∑FY= -VA + VB =0 → VA= VB =2,5kN

Sprawdzenie:

A 60 2 2 3 3 4 2 3 1 M=9kNm P2=15kN _P1=12kN q=6kN/m q=6kN/m M=9kNm P1=12kN 60 P2=15kN Psin60=12,99kN Pcos60=7,5kN B C D E F G V = 16kNG V = 8kNF H = 0kNF H = 0kNF V = 8kNF V = 27kNE V = 7kND H = 0kND H = 0kND V = 7kND V = 7kNC V = 2kNB H = 0kNB H = 0kNB V = 2kNB V = 10,99kNA H = 7,5kNA M =17,98kNmA b) Wyznaczenie reakcji: Część FG: ∑FX= HF=0 ∑MF= - q·4·2 + VG·3=0 → VG=1/3(8q)=8/3·6=16kN ∑MG= q·4·1 - VF·3=0 → VF=4/3q=4/3·6=8kN Sprawdzenie: ∑FY= VF + VG – q·4 = 8 + 16 - 4·6 = 0 Część DF: ∑FX= -HF + HD =0 → HD = HF =0kN ∑MD= VE·4 - q·2·5 - VF·6=0 → VE=0,25(6VF + 10q) = 0,25(6·8 – 10·6)=27kN ∑ME= VD·4 - q·2·1 - VF·2=0 → VD=0,25(2VF + 2q) =0,25(2·8 + 2·6)=7kN Sprawdzenie: ∑FY= -VF – 2q + VE – VD = - 8 – 2·6 +27 - 7= 0 Część BD: ∑FX= HB- HD= 0 → HB = HD =0kN ∑MB= VC·3 + M - P1·6 + VD·6=0 → VC=1/3·(-M + 6P1 - 6VD) = 1/3·(- 9 + 6·12 - 6·7)=7kN ∑MC= VB·3 + M - P1·3 +VD·3=0 → VB=1/3·(-M + 3P1 - 3VD) = 1/3·(- 9 + 3·12 - 3·7)=2kN Sprawdzenie: ∑FY= -VB + VC + VD - P1= - 2 + 7 + 7 – 12 = 0 Część AB:

∑FX= HA- HB – P2cos60°= 0 → HA = P2cos60° + HB =7,5 +0 = 7,5kN

∑MA= VB·4 + MA - 2·P2sin60°=0 → MA=- 4VB + 2·P2sin60° = - 4·2 + 12,99·2 =17,98kNm

∑FY= VA + VB - P2sin60° =0 → VA= P2sin60° - VB = 12,99 – 2 = 10,99kN

Sprawdzenie:

P1=17kN 45 M =4kNm _{M =8kNm} q=6kN/m 4 2 2 3 2 1 1 1 A B C D _E F G P1=17kN 45 M =4kNm q=6kN/m M =8kNm V = 6,01kNA H = 12,02kNA M =20,04kNm V = 6,01kNB H = 12,02kNB H = 12,02kNB V = 6,01kNB V = 6,01kNC H = 0kNC H = 0kNC V = 6,01kNC V = 22,475kND V = 1,515kNE H = 0kNE H = 0kNE V = 1,515kNE V = 9,515kNG V = 11,03kNF Psin45=12,02kN Pcos45=12,02kN A 1 1 2 2 c) Wyznaczenie reakcji: Część BC: ∑FX= -HB + HC + P1cos45° =0 → HB = HC + P1cos45° ∑MB= VC·4 - P1sin45°·2=0 → VC=0,25·( 2P1sin45°)=0,25·2·12,02=6,01kN ∑MC= - VB·4 + P1sin45°·2=0 = → VB=0,25·( 2P1sin45°)=0,25·2·12,02=6,01kN Sprawdzenie: ∑FY= VB + VC – P1sin45° = 6,01 + 6,01 - 12,02 = 0 Część CE: ∑FX= -HC + HE =0 → HC = HE ∑MD= -q·5·0,5 - VE·2 + VC·3=0 → VE=0,5(3VC – 2,5q) = 0,5(3·6,01 – 2,5·6)=1,515kN ∑ME= VD·2 - q·5·2,5 + VC·5=0 → VD=0,5(-5VC + 12,5q) =0,5(- 5·6,01 + 12,5·6)=22,475kN Sprawdzenie: ∑FY= -VC + 5q – VD – VE = - 6,01 + 5·6 – 22,475 – 1,515 = 0 Część EG: ∑FX= - HE= 0 → HE = 0kN → HC = 0kN → HB = 0 + P1cos45° = 0 + 12,02 = 12,02kN ∑MF= VG·1 - M2 - VE·1 =0 → VG= M2 + 1VE = 8 + 1·1,515 = 9,515kN ∑MG= VF·1 - M2 - VE·2 =0 → VF= M2 + 2VE = 8 + 2·1,515 = 11,03kN Sprawdzenie: ∑FY= -VF + VE + VG = - 11,03 + 1,515 + 9,515 = 0 Część AB: ∑FX= - HA + HB = 0 → HA = HB = 12,02kN ∑MA= - VB·4 + MA + M1 =0 → MA= 4VB – M1 = 4·6,01 - 4 =20,04kNm ∑FY= VA - VB =0 → VA= VB = 6,01kN Sprawdzenie: ∑MB= -VA·4+ MA + M1 = 4·6,01 – 20,04 - 4 = 0