Hydromagnetyczny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie między wirującymi powierzchniami obrotowymi

M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I STOSOWANA 

3, 14 (1976) 

H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y  P R Z E P Ł Y W  C I E C Z Y  L E P K I E J W  S Z C Z E L I N I E  M I Ę D ZY  W I R U J Ą C Y MI  P O W I E R Z C H N I A M I  O B R O T O W Y M I 

E D W A R D  W A L I C K I  ( B Y D G O S Z C Z )  Wstęp 

Laminarny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami  obrotowymi [1 ­ 3] od dawna zwracał uwagę ze wzglę du na moż liwoś ci szerokich zasto­ sowań praktycznych zarówno w badaniach przepływowych maszyn wirnikowych, jak  i w teorii ś lizgowych łoż ysk wzdłuż nych. 

Ostatnio coraz wię ksze zainteresowanie budzą tego rodzaju przepływy cieczy lepkiej  i przewodzą cej, zachodzą ce w obecnoś ci pola elektrycznego i magnetycznego. 

W pracy [4] zbadano hydromagnetyczny przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy 

drgają cymi skrę tnie tarczami. Podobne zagadnienie — przy założ eniu porowatoś ci jednej  z tarcz — rozważ ono w pracy [10]. W pracach  [ 5 ­ 9 , 11­13] rozważ ano ustalone prze­ pływy mię dzy płaskimi tarczami stanowią cymi modele wzdłuż nych łoż ysk ś lizgowych. 

Prace [14, 15] zawierają opisy przepływów pełzają cych (w przybliż eniu Reynoldsa)  cieczy lepkich w kanałach pierś cieniowych w obecnoś ci silnych pól magnetycznych. 

Celem tej pracy jest podanie w postaci ogólnej rozwią zania zlinearyzowanych równań   ruchu ustalonego lepkiej cieczy przewodzą cej o stałej lepkoś ci i przewodnoś ci w szczelinie  mię dzy wirują cymi powierzchniami obrotowymi o dowolnym kształcie, poddanej dzia­ łaniu pola magnetycznego o stałym natę ż eniu. Zagadnienie rozwią zano zakładają c, że ma­ gnetyczna liczba Reynoldsa jest mała, co pozwala pominąć indukowane pole magne­ tyczne. 

Równaniami ruchu ustalonego hydromagnetycznego przepływu cieczy lepkiej są   nastę pują ce [16, 17]: 

równanie cią głoś ci 

1. Równania ruchu  (1.1)  V­v = 0;  g(v­V)v = ­Vp + pV2 v+JxB;  (1.3)  (1.4)  (1.5)  V x B = peJ,  VxE = 0,  VB = o  oraz prawo Ohma  (1.6)  _{J = a(E+'vxB).} 

418  E .  WALI CK 

Równań tych uż yjemy do zbadania przepływu cieczy w wą skiej szczelinie mię dzy po­ wierzchniami obrotowymi o wspólnej osi symetrii (rys. 1), z których wewnę trzna wiruje  z prę dkoś cią ką tową co1 ( a zewnę trzna — z prę dkoś cią ką tową co2. Dodatkowo założ ymy, 

że wektor pola magnetycznego B(0, 0, B0) jest prostopadły do linii symetrii szczeliny.  Wprowadź my krzywoliniowy układ współrzę dnych х , в , y, przy czym oś x niech bę­ dzie skierowana wzdłuż linii symetrii południkowego przekroju szczeliny, oś у  prostopadle  do linii symetrii szczeliny.  Rys. l  Dokonując w równaniach ruchu (1.1)­(1.6) odpowiednich przejść asymptotycznych  charakterystycznych dla przepływów w cienkich warstwach cieczy (h <^ R) zachodzą cych  przy małych magnetycznych liczbach Reynoldsa [3, 4, 10] moż na sprowadzić te równania  do układu  (1.7)  (1.8)  (1.9)  (1.10)  1 d(Rvx) dv  R dx — + dy = 0,  R' 2  dp d2 vx  „ ,  £ + ^ ­ а В Ь ^ х ,  0 = p­­^­­oB2 vn,  3 4  dy  dP  dy  = o, 

gdzie primem oznaczono pochodną wzglę dem zmiennej x. Równań tych uż yjemy do zba­ dania przepływu cieczy w szczelinie.  2. Całki równań ruchu  Rozwią zania równań ruchu powinny spełniać warunki brzegowe:  (2.1) vx(x, ±h) = 0,  (2.2) ve(x, ­li) = R(x)mi, v0(x, +h) = R(x)co2,  (2.3) v,(x, ±h) = 0. 

HYDROMAGNETYCZNY  PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  419  Ponadto na wlocie i wylocie ze szczeliny powinny być spełnione warunki brzegowe doty­ czą ce ciś nienia:  (2.4) p = pw dla x = xw,  (2.5) /; = pz dla x = xx,  gdzie przez xw oznaczono współrzę dną wlotu na linii symetrii przekroju południkowego  szczeliny, a przez xz — współrzę dną wylotu na tej linii. 

Całkując równanie (1.9) wzglę dem zmiennej у  i wyznaczając stałe całkowania z wa­ runków brzegowych (2.2), otrzymamy  R Г , . chky , . shky  (2­6) v, =  у[ (в| +<о 2)ш т ­ («, ­с о г )­^  tutaj oznaczono dla uproszczenia  (2.7)  k

 =

 B

°]/j 

Z równania (1.10) wynika, że  (2.8) P = p(x). 

Nastę pnie całkując równanie cią głoś ci (1.7) w poprzek szczeliny i uwzglę dniając warunki  brzegowe dostaniemy  1 д  Г   \+ h  ­RTX~R  J  ^ y + vy\_h = 0,  a stąd wynika  (2.9) • / vx4y = ^  +h 

Podstawiając wartość składowej prę dkoś ci ve ze wzoru (2.6) do równania (1.8) otrzy­ mamy po scałkowaniu i uwzglę dnieniu warunku brzegowego (2.1) oraz Zależ noś ci (2.8): 

1 / ć hky \ dp  pk2  \ chkh j dx  Po uwzglę dnieniu (2.10) w (2.9) i po wykonaniu całkowania znajdziemy  n i n „  „ . ч  , [A(x)­Az](pw­Bw)­[A(x)­Aw](pz­Bz)  ( Z . l l ) p = B(x)­\ ­ ,  AW — AZ 

420  E .  WALI CKI  gdzie oznaczono  A ( X ) =  I (thkh­kh)R ' A » = Л  =  (2.12) | |W = i С   * ^ \ & 1 * ^ [ Л Ш ­ Ш ­ v  ' w  48 J thkh­kh { ch2 kh  ­4(sh2 k/i­l)thkh] +  ^ ~ ­ ^2 ­) ­ ­ [sh2A:/7 + 6A:/z­4(ch2 /c/7+l)thA:/i]j^)  Bw = Ż ?(xw), fiz = B(xz).  Wprowadzając (2.11) do (2.10) wyznaczymy  n . ,ч  J Pw­Bw­(pz­Bz) i chky_ _  ( } x  "(iRk2  (Aw­Az)(thkh­kh) \ctikh  RR' \(co1+co2)  \2vk2  ch2 kh sh 2 ky­1 ­ (sh2 kh­l) +  ch kh  4(sh2 kh­1)thklt­ (shlkh ­6kh) I chky _ \  +  4{х Ш г ­Щ ~ \chkh j  4(co\—co2 ) . , ,

  , , , ч

, 1

 (ft>i—С У 2) 2  2 /  (chA:j­chA;/7)shA:j'+ v  sh2/c/7 V J  ' ' sh2 kh c h 2 / c y + l  2 ch/cj 4(ch 2 A:/;+ l)th/</7­(sh2/c/7 + 6/c/;) / ch/cy  \ 1 \ 

­ (ch kh+iy^ + .

  m k h

_

k h )

 [ftich ~

 1

 J\ (•  

Składową prę dkoś ci vy wyznaczymy podstawiając (2.13) do (1.7) i całkując otrzymane  wyraż enie wzglę dem zmiennej y: 

(2\4) v = 1 8  ! 1  Py­B ^­iPz­B z) l sh/ćy \  1  ' ' " Л  и х _{1/г А :}3  (Л „,­Л )(1Ь А ;Л ­/с /7) [chkli У ) 

) ] " 

Л 2 Л '  '  ( « i + W2) 2  12J­/ C3  { 4ch2 kh  ch kh  ­ky  4(sh2 kh­l)thkh­ ­(sh2kh­6kh)  (sh ky  thkh­ • kh  \ ch kh  2(io\ — m2 ) , , , ,  . , . , (с о ,— co2)2  Г  ,  „ ,  4 / u n sh/Vj 4(ch 2 /c/i + l)th/c/i­(sh2ycA + 6/cA) / sh/cy  ­ 4 ( с Ь 2 ^ +  1 ) ­ь Ж +

 [Ж к Т ­

к

Ш

 

Równania (2.6), (2.11), (2.13) oraz (2.14) pozwalają okreś lić składowe prę dkoś ci  i rozkład ciś nienia w przewodzą cej cieczy lepkiej przepływają cej w szczelinie mię dzy wiru­ ją cymi powierzchniami obrotowymi w obecnoś ci pola magnetycznego prostopadłego do 

HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ 421 

3. Dyskusja otrzymanych wyników 

Aby przeprowadzić analizę otrzymanych wyników założ ymy dla uproszczenia, że  w i ­ ruje tylko powierzchnia wewnę trzna, co wyrazi się zależ noś ciami 

(3.1) w, = (о  ф  0, w2 = 0. 

Wprowadzając bezwymiarową współrzę dną r\ w kierunku prostopadłym do osi symetrii  szczeliny oraz oznaczając 

(3.2) n =  | ­ , Я  = kh, 

moż na wzory (2.6) ,(2.13) oraz (2.14) okreś lają ce rozkład prę dkoś ci w szczelinie przedsta­ wić w postaci  (3.3) v,~DJi(P;rj),  (3.4) vx = D2f2iH;tj)+D3MH;rj),  (3.5) vy = DĄft(H; rj) + D5f5(H; v) + D6f6(H; т у ),  gdzie dla uproszczenia oznaczono  ch Htj sh Я г /  (3.6)  / , ( " ; ? / ) =  chH shH '  (3.7)  / , ( * ; „ ­  ­ * ^ t ó § U l | . 

(3.8) .A№

,)4^ 

s h2 ^  ­ 1 ­  ( s h 2 / / ­ +  4 ( s h2 / / ­ l ) t h # ­ s h 2 # + 6 # / chHrj  +  ~  4 ( t h Я ­ Я ) \ chH  ^ „ (c h ^ ­ c h ^ ) s h ^+ ­ J 7 7  ch 2 HV+ 1 ­ (ch2 H+1)  ­ ^ Щ ­ +  4 ( с Ь 2 Я + 1 ) И 1 Я ­ 5 Ь 2 Я ­ 6 Я  /  c h ^ ł ? _  \ ] |  +  ~  4 ( 1 Ь Я ­ Я )  ~ \  с Ь Я   (3.9)  / Д Я ; , ) =  Л Ь ^ 8 Ь 2 Я 91 ­ 6 Я г 2­ 4 ( з Ь 2 Я ­ 1) S ^ f y +  ^ т А Я ­ ^ Ь Я ^ г я + б Я   2   ( с Ь Я ? 1 ­ с Ь Я )2 + '  sh2H 4  ' '  4 8 1 г 2 Я   П л Я ­ Я   sh 2Я »? + 6Щ  ­  4 ( с Ь 2 Я + 1 )  2, , ,  , 4  с Ь Я   4 ( с Ь 2 Я + 1 ) А Я ­ 5 Ь 2 Я ­ 6 Я  / shHrj _ \  thH­H ~ \ chH V )  (З Л О )  /5( Я ; rj) = ~{mhHri­Hr,shH), 

422  E .  WALI CKI  „  . . . : 1 I  с Ь 2 Я  f 6H+4mh2 H­3sh2H 

(3.11)  /

в

( Л ; , ) =  д 5 ­ {

( Й 1 Я

_ д

) <

д

1

2

2

я [  c h

2

/ / " 

6sh2 HthH­2Hth2 H­4Hsh2 H I shHn „ \1  +

 —sra  w ­ "

4

 Г  

. ch2HchHri­chH , , „ . . sh#  + 4  ( с п Я э т ­ с г л Я ) ­ ——­ г —  8 Ь 2 2 Я  v  ' ' 2с 1г 3 Я   и Ъ 2Щ  ­ en л , и г .г  ,,shH?] 4(sh2 H­l)thH­sh2H+6H I shHn  ­Щ   chH  2 s h3 / /  к Ь 2Я »? +  6 Я ?7­ 4 ( с 1 1 2 Я + 1 ) ^ | ^ +  4 ( с Ь 2 Я + 1 ) 1 1 1 Я ­ 5 1 1 2 Я ­ 6 Я / в Ь Я и  \  +

  А

Я

­ Я   ­ ( d l i r ­ ^ ) 

Tutaj Z), oznaczają współczynniki zależ ne od lokalnego położ enia przekroju poprzecznego  szczeliny. 

­1,0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ą  

Rys. 2 

Z analizy otrzymanych wzorów wynika, że przepływ w szczelinie jest wywołany przez  dwa czynniki: ruch wirowy powierzchni ograniczają cych szczelinę (w analizowanym przy­ padku przez ruch wirowy powierzchni wewnę trznej) oraz przez róż nicę ciś nień mię dzy  wlotem i wylotem szczeliny. 

Wzór charakteryzują cy składową obwodową prę dkoś ci v0 pozwala stwierdzić, że profil  tej prę dkoś ci dla ustalonego położ enia przekroju szczeliny (funkcja ft(H;rj) na rys. 2) 

HYDROMAGNETYCZNY  PRZEPŁYW  CIECZY LEPKIEJ  423 

zmienia się od prostoliniowego dla H = 0 do krzywoliniowego dla H > 0, charakterystycz­ nego dla hydromagnetycznego przepływu Couette'a mię dzy dwiema płaszczyznami, umiesz­ czonymi w prostopadłym polu magnetycznym, z których jedna jest nieruchoma, a druga  posiada lokalną prę dkość równą coR(x). 

Z postaci wzorów opisują cych składową wzdłuż ną prę dkoś ci vx wynika, że główną   jej czę ś cią jest profil hydromagnetycznego płaskiego przepływu Poiseuille'a (funkcja 

f2(H; tj) na rys. 3) uwarunkowany istnieniem wspomnianej uprzednio róż nicy ciś nień  

i ruchem wirowym powierzchni wewnę trznej. 

­1,0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,7 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ą  

Rys. 3 

I—I — I — I I I I I I I 

Rys. 4 

N a główną czę ść składowej wzdłuż nej prę dkoś ci nakłada się przepływ wtórny, wy­ wołany ssą cym działaniem wirują cej powierzchni wewnę trznej. Powierzchnia wewnę trzna  zasysa w swoim są siedztwie ciecz wywołując jej ruch wzdłuż ny odś rodkowy. Ruch ten  musi być równoważ ony ruchem wzdłuż nym doś rodkowym przy powierzchni zewnę trznej  i ruchem poprzecznym okreś lonym składową vy prę dkoś ci. Przepływ wtórny opisany jest  funkcjami f3(H; г ц ) ­ f6(H; r?) pokazanymi na rys.  4 ­ ^ 7 . 

424 •  E .  W A L I C K I 

­1.0 ­0,8 ­0,6 ­0,4 ­0,2 O 0, 2 0,4 0, 6 0, 8 ą  

Rys. 7 

Z przytoczonych wykresów funkcji ft wynika, że wzrost natę ż enia pola magnetycznego,  wyraż ają cy się wzrostem wartoś ci H, wywiera hamują cy wpływ na wartoś ci prę dkoś ci.  Rozkład ciś nień wzdłuż tworzą cej powierzchni symetrii daje się przedstawić w postaci  sumy dwóch składowych: pierwszej — wywołanej ssą cym działaniem wirują cej powierzchni  i drugiej — bę dą cej skutkiem istnienia przepływu wzdłuż nego. 

H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y  P R Z E P Ł Y W  C I E C Z Y LEPKIEJ  425  Literatura cytowana w tekś cie  1. K.  W .  M C A L I S T E R ,  W .  R I C E , Throughflows between rotating surfaces of revolution, having similarity  solutions,  J . Appl. Mech., Trans.  A S M E ,  E , 4,  3 7 (1970) 924­930.  2.  K .  W .  M C A L I S T E R ,  W .  R I C E , Flows between stationary surfaces of revolution, having similarity solu­ tions,  J . Appl. Mech., Trans.  A S M E ,  E , 2,  3 9 (1972) 345 ­ 350. 

3.  E .  W A L I C K I , Przepływ cieczy lepkiej w szczelinie mię dzy wirują cymi powierzchniami obrotowymi, Mech. 

Teoret. i Stos., 1, 12 (1974)  7 ­ 16.  4.  S .  D A T T A , Hydromagnetic flow between torsionally oscillating discs, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci.  techn., 11 ­ 12, 13 (1965) 979 ­986.  5.  S .  K A M I Y A M A , Inertia effects in MHD hydrostatic thrust hearing, i. Lubric. Technol., Trans.  A S M E ,  F, 4,  9 1 (1969) 589­596.  6. V.  K .  A G R A V A L , Magneto­gasdynamic externally pressurized bearing with an axial magnetic field, Wear,  15 (1970) 79­82.  7.  S .  K A M I Y A M A , The influence of wall conductance on performance of the MHD hydrostatic thrust bearing,  J. Lubric. Technol., Trans.  A S M E ,  F , 1,  9 3 (1971) 113 ­ 120.  8. V.  K .  A G R A W A L ,  K .  L .  G A N J U , Effect of lubricant inertia in a magneto­gasodynamic externally pressur­ ized bearing, Wear,  2 0 (1972) 123­ 128.  9.  V .  K .  A G R A W A L ,  K .  L .  G A N J U , S.  C .  J E T H I , Effect of angular inertia in magnetogasdynamic externally  pressurized bearing by numerical method.  J . Lubric. Technol., Trans.  A S M E ,  F , 2,94(1972) 193­ 194.  10.  A .  A .  K .  M O H D , Hydromagnetic flow of an electrically conducting fluid due to unsteady rotation of  a porous disk over a fixed disk, Indian  J . Appl. Math., 4, 3 (1972) 556 ­ 567.  11.  V .  K .  K A P U R ,  K .  V E R M A , Energy integral approach for hydrostatic thrust bearing, Japanese  J . Appl.  Phys., 7,  1 2 (1973) 1070­ 1074.  12. S.  K A M I Y A M A ,  A .  S A T O , The effects of wall conductance on torque of the MHD viscous coupler and  hydrostatic thrust bearing,  J . Lubric. Technol., Trans.  A S M E ,  F , 2,  9 5 (1973) 181­ 186.  13.  И .  E .  Т А Р А П О В , О б  э ф ф е к т и в н о с т и  м а г н и т о г и д р о д и и а м и ч е с к и х  о п о р ,  М а г н и т н а я   г и д р о м е х а н и к а ,  4 (1971), 63—74.  14.  А .  И . Б Е Р Т И Н О В ,  Л .  К .  К О В А Л Е В ,  С .  М .—А .  К О Н Е Е В ,  В .  И .  П О Л Т А В Е Ц , Л а м м и н а р н о е  с л о и с т о е   т е ч е н и е  п р о в о д я щ е й  с р е д ы  в  к о л ь ц е в ы х  к а н а л а х  п р и  б о л ь ш и х  п а р а м е т р а х  М Г Д  — в з а и м о д е й с т в и я ,  М а г н и т н а я   г и д р о д и н а м и к а , 1 (1973), 79—84.  15.  Л .  К .  К О В А Л Е В ,  С .  М .—А .  К О Н Е Е В , Т р е х м е р н ы е  т е ч е н и я  ж и д к о с т и  и  г а з а  в  к о л ь ц е в ы х  к а н а л а х   п р и  б о л ь ш и х  п а р а м е т р а х  М Г Д — в з а и м о д е й с т в и я ,  М а г н и т н а я   г и д р о д и н а м и к а , 4 (1973), 84—93.  16.  Э .  В . Щ Е Р Б И Н И Н , С т р у й н ы е  т е ч е н и я  в я з к о й  ж и д к о с т и  в  м а г н и т н о м  п о л е , И з д .  З и н а т н е , Р и г а  1973.  17.  Л .  Г .  Л о й ц я н с к и й , М е х а н и к а  ж и д к о с т и  и  г а з а ,  И з д .  Н а у к а ,  М о с к в а  1973.  Р е з ю м е   Г И Д Р О М А Г Н И Т Н О Е   Т Е Ч Е Н И Е   В Я З К О Й   Ж И Д К О С Т И  В   З А З О Р Е   М Е Ж Д У   В Р А Щ А Ю Щ И М И С Я   П О В Е Р Х Н О С Т Я М И   В Р А Щ Е Н И Я   В  р а б о т е   в ы в е д е н ы   ф о р м у л ы ,  о п р е д е л я ю щ и е   с о с т а в л я ю щ и е   с к о р о с т и  vx, VQ, vy и   д а в л е н и е  р   д л я  л а м и н а р н о г о  с т а ц и о н а р н о г о  г и д р о м а г ц и т н о г о   т е ч е н и я   в я з к о й   п р о в о д я щ е й   ж и д к о с т и  в   з а з о р е   м е ж д у   в р а щ а ю щ и м и с я   п о в е р х н о с т я м и   в р а щ е н и я .  П р и м е н е н ы   л и н е а р и з о в а н н ы е   у р а в н е н и я   д в и ­ ж е н и я   в я з к о й   ж и д к о с т и   д л я  о с е с и м м е т р и ч н о г о   т е ч е н и я  в  с и с т е м е   к р и в о л и н е й н ы х   к о о р д и н а т   х , 0, у .  Р е ш е н и я   у р а в н е н и й   д в и ж е н и я   п р о и л л ю с т р и р о в а н ы  г р а ф и к а м и   с о с т а в л я ю щ и х   с к о р о с т и  vx, v0,  i>y  д л я   т е ч е н и я  в   з а з о р е   п е р е м е н н о й   т о л щ и н ы . 

426  E .  W A L I C K I  S u m m a r y  H Y D R O  M A G N E T I C  F L O W  O F  V I S C O U S  F L U I D  B E T W E E N  R O T A T I N G  S U R F A C E S  O F  R E V O L U T I O N  This paper contains formulae which define such parameters of the steady laminar hydromagnetic flow  of viscous conducting fluid between rotating surfaces of revolution as the velocity components vx, v0, vy   and pressure p.  The linearized equations of motion of the viscous fluid flow for axial symmetry in the intrinsic curvi­ linear orthogonal coordinate system x, в , у  arc used.  The solutions of the equations of motion have been illustrated by plots of velocities vx, v0, vy for  the flow through the slot of variable thickness.  AKADEMIA TECHNICZNO­ROLNICZA  BYDGOSZCZ  Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 grudnia 1975 r.