MP-C10-1 ĆWICZENIE 10 PRZEPŁYW CIECZY NIEŚCIŚLIWEJ, LEPKIEJ PRZEZ RUROCIĄG Zagadnienie: przepływ przez rurociąg Przepływ: stacjonarny (ustalony) Czynnik: ciecz nieściśliwa ρ=const, lepka μ=const Układ przepływowy: rurociąg kołowy o promieniu r

ĆWICZENIE 10

PRZEPŁYW CIECZY NIEŚCIŚLIWEJ, LEPKIEJ PRZEZ RUROCIĄG

Zagadnienie: przepływ przez rurociąg Przepływ: stacjonarny (ustalony)

Czynnik: ciecz nieściśliwa ρ=const, lepka μ=const Układ przepływowy: rurociąg kołowy o promieniu r0

Układ równań dla takiego przepływu można opisać równaniem zachowania masy oraz równaniem Naviera – Stokesa.

divU 0

dU f gradp U

dt

 



     



Równanie zachowania masy jest równaniem skalarnym, równanie Naviera – Stokesa równaniem wektorowym, które zapisać można w formie skalarnej.

x y z

2 2 2

x x x x x x x

x y z x 2 2 2

2 2 2

y y y y y y y

x y z y 2 2 2

z z z z

x y z z

U U U

x y z 0

U U U U 1 p U U U

U U U f

t x y z x x y z

U U U U 1 p U U U

U U U f

t x y z y x y z

U U U U 1 p

U U U f

t x y z z

  

  

  

 

              

 

              

         

     

2 2 2

z z z

2 2 2

U U U

x y z











    

   

    

  

 gdzie:

x y z

U ,U ,U składowe wektora prędkości

p ciśnienie

x y z

f ,f f, składowe wektora gęstości rozkładu sił masowych (np. grawitacja)

 dynamiczny współczynnik lepkości

Niewiadomymi w tym układzie 4 równań są składowe wektora prędkości oraz ciśnienie: U_x,U_y,U p_z,

Rozwiązanie zagadnienia dla następującego przypadku:

Dane:

r 0 promień rurociągu

1 0

p p p

   spadek ciśnienia na odcinku 0-1 rurociągu l długość odcinka 0-1 rurociągu

 dynamiczny współczynnik lepkości

 gęstość cieczy

Szukane:

rozkład prędkości Uz(r) Rozwiązanie:

Składowe wektora prędkości U U U U_r, _, _z dla przepływu jednowymiarowego wyrażone w cylindrycznym układzie współrzędnych:

Ur

składowa promieniowa wektora prędkości

składowa obwodowa wektora prędkości

składowa osiowa wektora prędkości

Składowe wektora gęstości rozkładu sił masowych przy zaniedbaniu grawitacji:

dla

r z

f 0, f_ 0, f 0

Rozkład ciśnień: ^{pp z}

  ^{, dla}

p p p p

0 0

r z l

, ,

   

   

  

Układ równań zachowania przedstawiony w cylindrycznym układzie współrzędnych:

r r z

2

r r r r r

r z r r 2 2

r r

r z 2 2

z z

r

U U U U

r r r z 0

U 2 U

U U U U p U

U U U f U

t r r z r r r r

U U U U U U p U 2 U

U U U f U

t r r z r r r r

U U U

U U

t r



 



     

  



  

   

  

        

                   

   

     

                  

  

  

  ^{z z r z z}

U p

U f U

r z z











    

     

     

  



Laplasjan Δ w układzie cylindrycznym ma postać:

2 2 2

2 2 2 2

1 1

r r r r z

   

    

   

Po wprowadzeniu danych otrzymujemy:

z

0 0 0 p

r 0 0

0 p U

z

 

 

  

 

 

 

   

 



Rozwiązanie równania

 



prowadzi do zależności:

 

Rozwiązanie równania:

   



z

p U

z

  



2

z z

2

U U

p 1

z r r r

  

    

    

Dla

z l

 

  

otrzymujemy:

2

z z

2

U U

p 1

l r r r

  

      

2

z z

2

U U

p 1

l r r r

 

  

  

Rozwiązanie równania różniczkowego rzędu drugiego:

2

z z

2

U 1 U p

r r r l

    

  

Równanie jednorodne:

2

z z

2

U 1 U

r r r 0

 

 

 

Podstawienie:

2 z 2

U f

r r

 

 

,

 

 f 1

f 0 r r

  



f r

f r

 

 

df dr

f   r

 

f r C

ln  ln ln

0

f C

 r

Uzmiennienie stałej C:

 

f C r

 r

       

2 2

C r r C r C r C r

f f r 1

r r r r r

  

    

 

     

2

C r C r C r

1 1 p

r r r r r l

 

   

 

 

C r p

r lr

  

 

 

C r p

dr rdr

r l

 

   

 

 

C r l 2

 



2 s

p r 1 p

f r

l 2 r 2 l

 

   

 

0 s

C p

f f f r

r 2 l

    



Uz C p

r r 2 lr

   

 

2

z 1

U C r p r C

2 l 2

ln 

  



 

z 1

U r pr C r C

4 l ln

   



Stałe całkowania równania

 

U r pr C r C

4 l ln

   



wyznaczyć można z warunków brzegowych:

 

z z

U r0 U

z warunku wynika, że C=0 (prędkość jest ograniczona do pewnej wielkości)

 

z 0

U rr 0

z warunku wynika, że

 



Rozkład prędkości U

w funkcji promienia r wyraża się zależnością

  



z 0

U r p r r

4 l

  



Określenie prędkości średniej:

S

0

UdS U



 

0 r

2 r 2 4 4 2

2 2 2 0 0

0 0

2 2 2

0 0 0 0 0 0

r pr

1 p 1 p r r 1 p

U d r r rdr 2 r 2

r 4 l r 4 l 2 4 r 4 l 4 8 l

      



 

2 0

U pr 8 l

 



Zależność tę można przekształcić do postaci Darcy’ego – Weisbacha dla D2r₀

l U2

p D 2

   

gdzie λ jest współczynnikiem oporu zależnym od liczy Reynoldsa.