7. 1. POJECIE CIĄGU
Ciągiem nazywamy funkcję
f
:
N
+→
A
.
1
)
1
(
a
f
=
- pierwszy wyraz ciągu ,
2)
2
(
a
f
=
- drugi wyraz ciągu,
3
)
3
(
a
f
=
- trzeci wyraz ciągu
n
a
n
f
(
)
=
- n –ty wyraz ciągu
Sposoby określenia ciągu :
a) Opis słowny.
b) Wzór ogólny ciągu ( wzór na n – ty wyraz)
c) Wykres ciągu.
Przykład 7.1.1. Wypisz pięć początkowych wyrazów ciągu kolejnych liczb parzystych
większych od 5.
Rozwiązanie
Komentarz
14
;
12
;
10
;
8
;
6
2 3 4 5 1=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Wypisujemy wyrazy ciągu.Przykład 7.1.2. Wypisz pięć początkowych wyrazów ciągu znając jego wzór ogólny:
( )
n nn
a
=
2
⋅
−
1
Rozwiązanie
Komentarz
( )
1
2
1
2
1 1=
⋅
⋅
−
=
−
a
( )
1
4
2
2
2 2=
⋅
⋅
−
=
a
( )
1
6
3
2
3 3=
⋅
⋅
−
=
−
a
( )
1
8
4
2
4 4=
⋅
⋅
−
=
a
( )
1
10
5
2
5 5=
⋅
⋅
−
=
−
a
Wypisujemy wyrazy ciągu, wstawiając za n kolejne liczby naturalne dodatnie.
Przykład 7.1.3. Rysunek przedstawia wykres ciągu
( )
b
n. Wypisz pięć początkowych
wyrazów tego ciągu .
Rozwiązanie
Komentarz
2
;
1
;
0
;
3
;
1
2 3 4 5 1=
b
=
b
=
b
=
−
b
=
−
b
Wypisujemy wyrazy ciągu.Z osi x odczytujemy numery wyrazów, a z osi y wartości wyrazów.
Przykład 7.1.4. Podaj wzór ogólny ciągu:
,...
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
Rozwiązanie
Komentarz
n na
2
1
=
ZauwaŜmy, Ŝe w kaŜdym liczniku jest 1, natomiast w mianowniku potęgi 2. Sprawdzamy poprawność wzoru:2
1
2
1
1 1=
=
a
4
1
2
1
2 2=
=
a
8
1
2
1
3 3=
=
a
16
1
2
1
4 4=
=
a
Przykład 7.1.5. Narysuj wykres ciągu:
c
n=
n
2−
2
n
dla
n
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
}
Rozwiązanie
Komentarz
8
;
3
;
0
;
1
2 3 4 1=
−
c
=
c
=
c
=
c
Wypisujemy cztery pierwsze wyrazy ciągu.W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty
( ) ( ) ( ) ( )
1
,
−
1
;
2
,
0
;
3
,
3
;
4
,
8
, gdzie pierwsza współrzędna jest numerem wyrazu, a druga współrzędna wyrazem ciągu.Przykład 7.1.6. Ciąg jest podany wzorem ogólnym
a
n=
n
2−
12
n
a) Ile wynosi dwudziesty wyraz ciągu
( )
a
n?
Rozwiązanie
Komentarz
160
240
400
20
12
20
2 20=
−
⋅
=
−
=
a
Odp. Dwudziesty wyraz ciągu
( )
a
njest
równy 160.
Obliczamy dwudziesty wyraz ciągu, wstawiając 20 za n.
b) Które wyrazy ciągu
( )
a
nsą ujemne ?
Rozwiązanie
Komentarz
0
12
2−
<
n
n
0
,
12
,
1
=
−
=
=
b
c
a
144
0
1
4
12
2−
⋅
⋅
=
=
∆
12
2
12
12
1
2
144
12
0
2
12
12
1
2
144
12
2 1=
+
=
⋅
+
=
=
−
=
⋅
−
=
n
n
Rozwiązujemy nierówność :a
n<
0
Przy rozwiązywaniu nierówności wykorzystujemy wzory:
c
a
b
−
⋅
⋅
=
∆
24
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
+ + 0 - 12n
∈
( )
0
,
12
Sporządzamy szkic wykresu trójmianu
n
n
2−
12
.
Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.
( )
0
,
12
∩
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
}
∈
N
+n
Odp. Wyrazami ujemnymi są wyrazy
od pierwszego do jedenastego
Zapisujemy odpowiedź uwzględniając , Ŝe
+
∈
N
n
c) Ile wyrazów ciągu
( )
a
njest mniejszych od 108 ?
Rozwiązanie
Komentarz
108
12
2−
<
n
n
0
108
12
2−
−
<
n
n
108
,
12
,
1
=
−
=
−
=
b
c
a
(
108
)
144
432
576
1
4
12
2−
⋅
⋅
−
=
+
=
=
∆
18
2
24
12
1
2
576
12
6
2
24
12
1
2
576
12
2 1=
+
=
⋅
+
=
−
=
−
=
⋅
−
=
n
n
Rozwiązujemy nierówność :a
n<
108
+ + -6 - 18n
∈
(
−
6
,
18
)
Sporządzamy szkic wykresu trójmianu
108
12
2
−
−
n
n
.
Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.
(
)
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
,
12
,
13
,
14
,
15
,
16
,
17
}
18
,
6
=
=
∩
−
∈
N
+n
Odp. Siedemnaście wyrazów ciągu
( )
a
njest mniejszych od 108.
Zapisujemy odpowiedź uwzględniając , Ŝe +
∈
N
n
KaŜdy z ciągów: rosnący, malejący, stały, nierosnący, niemalejący jest ciągiem
monotonicznym.
Aby zbadać monotonicznośc ciągu naleŜy zbadać znak róŜnicy
a
n+1−
a
n0
1−
>
+ n na
a
- ciąg rosnący0
1−
<
+ n na
a
- ciąg malejący0
1−
=
+ n na
a
- ciąg stały0
1−
≤
+ n na
a
- ciąg nierosnący0
1−
≥
+ n na
a
- ciąg niemalejącyPrzykład 7.1.7. Zbadaj monotoniczność ciągu:
a)
a
n=
2
n
−
5
Rozwiązanie
Komentarz
5
2
−
=
n
a
n Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.(
1
)
5
2
3
2
1
=
+
−
=
−
+
n
n
a
n Wyznaczamy wyraz następny , zan
wstawiając
n+1
(
2
3
) (
2
5
)
2
3
2
5
2
1
−
=
−
−
−
=
−
−
+
=
+
a
n
n
n
n
a
n n Wyznaczamy róŜnicę tych wyrazów.0
2
1−
=
>
+ n na
a
Odp. Ciąg
( )
a
njest rosnący.
Badamy znak róŜnica
a
n+1−
a
ni ustalamy monotoniczność ciąguSuma częściowa ciągu
( )
a
n nn
a
a
a
a
S
=
1+
2+
3+
...
+
Przykład 7.1.8. Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu
d
n=
4
−
2
n
.
Rozwiązanie
Komentarz
6
,
4
,
2
,
0
,
2
2 3 4 5 1=
d
=
d
=
−
d
=
−
d
=
−
d
Obliczamy pięć początkowych wyrazów ciągu.( ) ( ) ( )
2
4
6
10
0
2
5
=
+
+
−
+
−
+
−
=
−
S
Dodajemy wyznaczone wyrazy i obliczamy sumę5
Ć
WICZENIA
Ćwiczenie 7.1.1. (1pkt.) Ciąg jest określony wzorem
n
n
a
n+
−
=
2
1
. Oblicz piąty wyraz tego
ciągu.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie piątego wyrazy ciągu .
1
Ćwiczenie 7.1.2. (1pkt.) Ciąg jest określony wzorem
b
n=
n
2−
3
n
. Wyznacz
b
2k+1.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanieb
2k+1.1
Ćwiczenie 7.1.3. (1pkt.) Którym wyrazem ciągu
c
n=
27
−
3
n
jest liczba 6?
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podaniektóry wyraz ciągu jest równy6
.1
Ćwiczenie 7.1.4. (1pkt.) Które wyrazy ciągu
c
n=
27
−
3
n
naleŜą do przedziału
−
5
,
5
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1Podaniektóre wyrazy ciągu naleŜą do przedziału
5
,
5
−
.1
Ćwiczenie 7.1.5. (2pkt.) Zbadaj monotoniczność ciągu
d
n=
2
−
3
n
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wyrazu następnegoa
n+1.1
2 Podanie róŜnicy
