Ciągi – monotoniczność, ograniczoność, granice Zadanie 1. Napisać kilka pierwszych wyrazów ciągu (¥=1

Ciągi – monotoniczność, ograniczoność, granice

Zadanie 1. Napisać kilka pierwszych wyrazów ciągu (a_n)^∞_n=1 określonego następująco:

a) a_n= n+2, b)a_n =n⁽⁻¹⁾ⁿ, c)

2 ) 5

1

(− +

= n

a_n ⁿ

Zadanie 2. Ciąg (a_n)^∞_n=1 jest dany poprzez równanie rekurencyjne:

a) a_n+2 =5a_n+1 −6a_n, a₀ = 2, a₁=5.

b) a_n+3 =2a_n+2 + a_n+1− 2a_n, a₀ =6, a₁=5, a₂ =16. Napisać kilka początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 3. Zbadać monotoniczność następujących ciągów:

a) 3 5

1

= +

a_n n b) a_{n n}

5

= 1 c)

2 2 +

= − n

a_n n d)

5 2

4 3

+

= + n a_n n

e) a n

n n

) 1 3+(−

=

Zadanie 4. Zbadać, który z następujących ciągów jest ograniczony

a) 3 5

1

= +

a_n n b) a_{n n} 5

= 1 c)

2 2 +

= − n

a_n n d)

5 2

4 3

+

= + n a_n n

Zadanie 5. Znaleźć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mając dany wyraz a oraz różnicę r: ₁ a) a₁=−3, r =5, n=7

b) 2

3

1=

a ,

2

−1

=

r , n=11

c) 6

1

1=

a ,

4

=3

r , n=8

Zadanie 6. Znaleźć n-ty wyraz ciągi geometrycznego, mając dany wyraz a oraz iloraz q: ₁ a) a₁=2, q=3, n=5

b) 2

3

1=

a ,

2

= 1

q , n=6 c) a₁=2,8,

7

= 1

q , n=4.

Zadanie 7. Oblicz następujące granice:

a) lim( ² +6 −4)

∞

→ n n

n b) lim( ³ −3 −9)

∞

→ n n

n c) lim(−3 ⁵ +5 ³ −4)

∞

→ n n

n

d) 4 7

lim 1

−

∞

→ n

n e)

8 5 lim 12

+

−

−

∞

→ n

n f)

12 4

lim 1₂

−

−

∞

→ n

n

g) 7

lim ₂ 3

2

− +

∞

→ n n n

n h)

7 1 lim 2

−

−

∞

→ n n

n i)

3 4

1 lim 3₆

6

− +

−

∞

→ n

n

n

j) 3 2 4

1 lim ₃6

3

− +

−

∞

→ n n

n

n k)

n n

n 4

lim 2

2 −

∞

→ l)

3 2

1 lim 3₂

3

− +

−

∞

→ n

n

n

m) _{3 2}

4

9 8

3 2 lim 5

n n

n n

n +

+

−

∞

→ n) _{4 2}

2 9

81 64

3 2

lim 4

n n

n n

n +

+

−

∞

→ o) _{3 2}

4

9 8

5 2 lim 2

n n

n n

n +

− +

−

∞

→

p) 7 1

1 lim ₂2

+

− +

∞

→ n n

n

n q)

1 5 4

lim ₃ 2₂

2

− +

−

∞

→ n n

n n

n r)

3 4

1 lim ₇2

3

+

− +

∞

→ n

n n

n

s)

3

5 3

lim 2 



 





− +

∞

→ n

n

n t)

2 5

4

lim 2







− +

∞

→ n

n

n u)

20

3 7

1

lim 2 



 





− +

∞

→ n n

n

Zadanie 8. Oblicz następujące granice:

a) n

n

n +

−

∞

→ 2 1

lim 2 b)

1 2 lim 2

− +

∞

→ n

n

n c)

7 lim ₂ 3

2

− +

∞

→ n

n n

n

d) lim( 2 −1− −7)

∞

→ n n

n e) lim( n² 6n n)

n + −

∞

→ f) lim( 2n² 3n n)

n + −

∞

→

g) lim2 ⁺¹

∞

→

n n

n h) lim3¹⁺¹

∞

→

n

n i) lim4^{(n2 n)}

n

−

∞

→ j) lim5^{( n2 n)}

n

+

−

∞

→

k)

( )

2 ¹

lim 1 ⁺

∞

→

n n

n l)

( )

2 ¹¹

lim 1 ⁺

∞

→

n

n m)

( )

2 ^{( 2)}

lim 1 ⁻

∞

→ n

n n)

( )

2 ^{(3 )}

lim 1 ⁿ n

−

∞

→

Zadanie 8. Oblicz następujące granice:

a) 2 7

3 lim 4₂

1

−

− −

∞

→ n

n

n b) ₁

2 1

3 3 lim 2 ₋

+ +

∞

→

−

n n n

n c) _{1 1}

1 1

3 5 4

4 2 2

lim 7 _{+ −}

− +

∞

→ + ⋅

⋅

−

⋅

n n

n n

n

d) ₁

2 1

4 3 lim 2 ₋

+ +

∞

→

−

n n n

n e) _{1 1}

1

7 3

4 lim 2_{+ −}

+

∞

→ +

−

n n

n n

n f) _{1 2 1}

2

2 2

lim ₋3 ₊

+

∞

→ ⁿ + ⁿ

n

n

Zadanie 9. Oblicz następujące granice:

a) 3

) 1 3 lim sin(

+

−

∞

→ n

n

n b)

7 ) 1 ( lim 2

−

− +

∞

→ n

n

n c) ₃ cos ²

2 1

lim 3 n

n n

n +

+

∞

→

Zadanie 10. Oblicz a) ⁿ

nlim 2n³ ₋3n₊5

∞

→ b) ⁿ

nlim n¹⁰ ₋n² ₊12

∞

→ c) ⁿ

nlim 4n² ₊5n₋7

∞

→

d) ^{n n n n}

nlim 2 ₊3 ₊6

∞

→ e) ^{n n n}

nlim 2_⋅3 ₊4_⋅7

∞

→ f) ^{n n n n}

nlim 3_⋅5 ₋3 ₊5_⋅4

∞

→