Wykład V
Twierdzenie 5.1 Taylora 𝑍: 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥0 , (𝑥0+ ) ∈ 𝑈, 𝑓 ∈ 𝐷𝑛+1 𝑈 𝑇: 0 < 𝜃 < 1∃ 𝑓 𝑥0+ =𝑓′ 𝑥0 1! + 𝑓′′ 𝑥 0 2! + ⋯ + 𝑓 𝑛 𝑥 0 𝑛! 𝑛 + 𝑅𝑛 𝑅𝑛=𝑓 𝑛+1 𝑥 0+ 𝜃 𝑛 + 1 ! 𝑛+1− 𝑟𝑒𝑠𝑧𝑡𝑎 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒′𝑎 𝑂𝑧𝑛𝑎𝑐𝑧𝑦𝑚𝑦 𝑥0+ = 𝑥, 𝑜𝑡𝑟𝑧𝑦𝑚𝑎𝑙𝑖ś𝑚𝑦 𝑖𝑛𝑛ą 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎ć 𝑡𝑤𝑖𝑒𝑟𝑑𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 Z: 𝐽𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑠ą 𝑠𝑝𝑒ł𝑛𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑧𝑎ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑎 𝑡𝑤 5.1 𝑇: ∃ 𝑐 𝑝𝑜𝑚𝑖𝑒𝑑𝑧𝑦 𝑥0, 𝑥 𝑓 𝑥 = = 𝑓 𝑥0 +𝑓′ 𝑥0 1! 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓′′ 𝑥 0 2! 𝑥 − 𝑥0 2+ ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥 0 𝑛! 𝑥 − 𝑥0 𝑛 + 𝑅𝑛 𝑅𝑛 = 𝑓 𝑛+1 𝑐 𝑛 + 1 (𝑥 − 𝑥0)𝑛+1 Wniosek z 5.1 𝑍: 𝑓 ∈ 𝐶𝑛+1 𝑈 , 𝑥 0, 𝑥0+ ∈ 𝑈 𝑇: 𝑓 𝑥0+ ≈ 𝑓 𝑥0 +𝑓′(𝑥0) 1! + 𝑓′′(𝑥0) 2! 2+ ⋯ +𝑓𝑛(𝑥0) 𝑛! 𝑛 z dokładnością do 𝑅 𝑛 Wzór Tayora pozwala nam również przybliżać całą funkcje wielomianami.𝑃𝑟𝑧𝑦𝑘ł𝑎𝑑 5.1 Wyznaczyć: 𝑓 𝑥0+ = 26,53 𝑧 𝑑𝑜𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑜ś𝑐𝑖ą 0,001 𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑥0 = 27 𝑥0+ = 26,5 = −0,5 𝑥0+ 𝜃 = 27 ∙ 0,5𝜃 Niech 𝑛 = 1, wówczas 𝑓(𝑥0+h)=f(𝑥0) +𝑓′ 𝑥0 1! + 𝑅1
𝑅1 =𝑓′′ 𝑥0+ 𝜃 2! 2 𝑥0 = 27 𝑓 𝑥0 = 273 = 3 𝑓′ 𝑥 = 1 3 𝑥3 2|𝑥=27 = 1 27 𝑓′′ 𝑥 = −2 9 𝑥3 5|𝑥=27−0,5 = −2 9 27 − 0,5𝜃 3 5 |𝑅1| = |1 2∗ −2 9 27 − 12 𝜃 3 5 0,52 = 1 4 9 27 − 12𝜃 3 5 1 4 9 27 − 12𝜃 3 5 ≤ 𝜃 ∈ 0, 1 𝑠𝑢𝑝 1 36 27 − 𝜃2 3 5 = 1 36 26,5 3 5 = ∗
(27 −12𝜃 ) ↘ zatem kres górny otrzymamy dla 𝜃 = 1
∗ = 1 36 ∙ 26,5 26,5 3 2 < 0,001 26,5 3 ≈ 3 + 1 27∙ − 1 2 𝑧 𝑑𝑜𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑜ś𝑐𝑖ą 𝑑𝑜 0,001
Twierdzenie 5.2 (wzór Maclurina)(szczególny przypadek wzoru Taylora) 𝑍: 𝑥0 = 0, 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 0 , 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛+1 𝑈 , 𝑥 ∈ 𝑈 𝑇: 0 < 𝜃 < 1 ∃ 𝑓 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′ 0 1! 𝑥 + 𝑓′′ 0 2! 𝑥2+ ⋯ + 𝑓𝑛 0 𝑛! 𝑥𝑛 + 𝑅𝑛 𝑅𝑛 = 𝑓 𝑛+1 𝜃𝑥 𝑛 + 1 ! 𝑥𝑛+1
f(x) - nieskończenie małe w otoczeniu pkt x0 ⇔ lim 𝑥→𝑥
0 𝑓 𝑥 = 0
𝑃𝑟𝑧𝑦𝑘ł𝑎𝑑
sin 𝑥 − 𝑛𝑖𝑒𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎ł𝑎 𝑤 𝑜𝑡𝑜𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑢 𝑥0= 0 ( lim 𝑥→0sin 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 = 𝑥2− 𝑛𝑖𝑒𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎ł𝑎 𝑤 𝑜𝑡𝑜𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑢 𝑥 0 = 0 ( lim 𝑥→0x2 = 0 lim 𝑥→0 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥= 0
Dane: f(x), g(x) nieskończenie małe w otoczeniu 𝑥0
1° 𝑓 𝑥 = 𝑜 𝑔(𝑥) ⟺ lim 𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= 0
Nieskończenie mała rzędu wyższego niż g(x) 2° 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 ⟺ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 1 Są spełnione założenia Twierdzenie 5.2
𝑅𝑛 =𝑓 𝑛+1 𝜃𝑥 𝑛 + 1 ! 𝑥𝑛+1 𝑅𝑛 = 𝑜 𝑥𝑛 𝐷𝑜𝑤ó𝑑 lim 𝑥→0 𝑅𝑛 𝑥𝑛 = lim𝑥→0 𝑓 𝑛+1 (𝜃𝑥) 𝑛 + 1 ! 𝑥 = 0 Wniosek (wzór Maclurina z resztą Peano)
Są spełnione założenia 5.2 𝑥 ∈ 𝑈, 𝑈 = 𝑜𝑡(0) 𝑓 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′ 0 1! 𝑥 + ⋯ + 𝑓𝑛 0 𝑛! 𝑥𝑛 + 𝑜 𝑥𝑛 ↓ 𝑖𝑛𝑎𝑐𝑧𝑒𝑗 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘 0 𝑘! 𝑥𝑘 + 𝑜 𝑥𝑛 𝑛 𝑘=0
Przykłady 5.1 (rozwinięcia wg wzoru Mac Lurina)
1) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓 0 = 𝑒0 = 1 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥| 𝑥=0 = 1 𝑓 𝑛 𝑥 = 𝑒𝑥| 𝑥=0 = 1 𝑒𝑥 = 𝑥𝑘 𝑘! 𝑛 𝑘=0 + 𝑜 𝑥𝑛 ⟹ 𝑒 = 1 𝑘!+ 𝑜 𝑥𝑛 𝑛 𝑘=0 2) 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) 𝑓 0 = sin 0 = 0 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥 𝑥=0 = 1 𝑓′′ 𝑥 = − sin x 𝑥=0 = 0
𝑓′′′ 𝑥 = − cos 𝑥 𝑥=0 = −1 𝑓 2𝑘 0 = 0 ∧ 𝑓 2𝑘+1 0 = −1 𝑘 sin 𝑥 = −1 𝑘∙ 𝑥2𝑘+1 2𝑘 + 1 !+ 𝑜( 𝑛 𝑘=0 𝑥2𝑛+1) 3) cos 𝑥 , 𝑥 = 0 𝑓 0 = cos 0 = 1 𝑓′ 𝑥 = − sin x 𝑥=0 = 0 𝑓′′ 𝑥 = − cos x 𝑥=0 = −1 𝑓′′′ 𝑥 = − sin x 𝑥=0 = 0 𝑓 2𝑘+1 0 = 0 𝑓 2𝑘 0 = −1 𝑘 cos 𝑥 = (−1)𝑘 𝑥2𝑘 2𝑘 !+ 𝑜(𝑥2𝑛) 𝑛 𝑘=0 Wniosek 5.2 𝑍: 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎,𝑏 , 𝑓 ∈ 𝐷 𝑎,𝑏 𝑇: 1° 𝑠𝑖𝑙𝑛𝑖𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑛ą𝑐𝑎 𝑛𝑎 𝑎, 𝑏 ⇔ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓∀ ′ 𝑥 ≥ 0 𝑓′ 𝑛𝑖𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑢𝑗𝑒 𝑠𝑖ę 𝑛𝑎 𝑟óż𝑛𝑦𝑐 𝑜𝑑𝑐𝑖𝑛𝑘𝑎𝑐 2° 𝑓 − 𝑠𝑖𝑙𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑙𝑒𝑗ą𝑐𝑎 𝑛𝑎 𝑎, 𝑏 ⟺ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑓∀ ′ 𝑥 ≤ 0 ∧ 𝑓′𝑛𝑖𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑢𝑗𝑒 𝑠𝑖ę 𝑛𝑎 ż𝑎𝑑𝑛𝑦𝑚 𝑜𝑑𝑐𝑖𝑛𝑘𝑢 𝑃𝑟𝑧𝑦𝑘ł𝑎𝑑 𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑓′ 0 = 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓′ 𝑥 ≥ 0
𝑓 − 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑎, 𝑏 , 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 1° 𝑓 𝑥0 – max 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒 ⟺ ∃ 𝑈∈𝑜𝑡 𝑥0 ∀𝑥∈𝑈\{𝑥0 } 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 2°𝑓 𝑥0 – min 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒 ⟺ ∃ 𝑈∈𝑜𝑡 𝑥0 ∀𝑥∈𝑈\{𝑥0 } 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 𝑊𝑛𝑖𝑜𝑠𝑒𝑘 𝑤𝑎𝑟𝑢𝑛𝑒𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑖𝑒𝑐𝑧𝑛𝑦 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑛𝑖𝑎 𝑒𝑘𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚 𝑍: 𝑓 ∈ 𝐶 𝑈 , 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥0 , 𝑓 ∈ 𝐷𝑈\{𝑥0 } 𝑓 𝑥0 – max 𝑙𝑢𝑏 min 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒 𝑇: 𝑓′ 𝑥 0 = 0 ∨ 𝑓′ 𝑥0 − 𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒 Wniosek (I warunek wystaczajacy)
𝑍: 𝑓 ∈ 𝐶 𝑈 , 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥0 , 𝑓 ∈ 𝐷𝑈\{𝑥0 } ⇒ 𝑇: 1° 𝑓′ 𝑥 > 0 𝑤 𝑙𝑒𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥0 𝑓′ 𝑥 < 0 𝑤 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥 0 ⟹ 𝑓 𝑥0 – max 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒 ⟹ 2° 1° 𝑓′ 𝑥 < 0 𝑤 𝑙𝑒𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥0 𝑓′ 𝑥 > 0 𝑤 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥 0 ⟹ 𝑓 𝑥0 − min 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒
Definicja 5.2 (zbiór wypukły)
ℝ2 ⊃ 𝐴 − 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑦 ⇔ ∀
𝑃1,𝑃2 ∈ 𝐴 𝑜𝑑𝑐𝑖𝑛𝑒𝑘 𝑜 𝑘𝑜ń𝑐𝑎𝑐 𝑃1,𝑃2 ⊂ 𝐴
Definicja 5.3 (wypukłość funkcji)
1° 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 − 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑔ó𝑟𝑧𝑒, 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑛𝑎𝑑 𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑦, 𝑎 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑝𝑜𝑑 𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠𝑒𝑚 𝑛𝑖𝑒 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑦 2° 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 − 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑑𝑜ł𝑜𝑤𝑖, 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑝𝑜𝑑 𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑦, 𝑎 zbiór 𝑛𝑎𝑑 𝑤𝑦𝑘𝑟𝑒𝑠𝑒𝑚 𝑛𝑖𝑒 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑦
Wniosek 1° 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑔ó𝑟𝑧𝑒 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ⟺ ∀ 𝑥0, 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑥0 ≠ 𝑥 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥 0 𝑥 − 𝑥0 To znaczy że, wykres leży pod styczną w punkcie (𝑥0, 𝑓(𝑥0) )
𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑑𝑜ł𝑜𝑤𝑖 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑎, 𝑏 ⟺ ∀ 𝑥0, 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 𝑥0 ≠ 𝑥 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥 0 𝑥 − 𝑥0 To znaczy że, wykres leży pod styczną w punkcie (𝑥0, 𝑓(𝑥0) )
Ze wzoru Taylora (dla n=1) ∃ 0 < 𝜃 < 1𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +𝑓 ′ 𝑥 0 1! 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓′′ 𝑥 0+𝜃 2! 𝑥 − 𝑥0 2 wynika Wniosek: 𝑓 ∈ 𝐷2(𝑎, 𝑏) ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓′′ 𝑥 > 0 ⟹ 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 − 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑔ó𝑟𝑧𝑒 w (a,b) 𝑓 ∈ 𝐷2(𝑎, 𝑏) ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓′′ 𝑥 > 0 ⟹ 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑎 𝑓 − 𝑤𝑦𝑝𝑢𝑘ł𝑎 𝑘𝑢 𝑑𝑜ł𝑜𝑤𝑖 w (a,b) Uzasadnienie
Z twierdzenia Taylora dla n=1 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +𝑓′ 𝑥0 1! 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓′′ 𝑥0+𝜃 2! 𝑥 − 𝑥0 2 > 𝑓 𝑥 0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 a to oznacza, że wykres leży nad styczną.
Wniosek ( II warunek wystarczający isnienia ekstremum) 𝑍: 𝑓 ∈ 𝐷2 𝑈 , 𝑈 ∈ 𝑜𝑡 𝑥 0 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′′ 𝑥 0 = ⋯ = 𝑓 2𝑘−1 𝑥0 = 0 ∧ 𝑓 2𝑘 𝑥0 ≠ 0 𝑇: 1° 𝑓 2𝑘 𝑥 0 > 0 ⇒ 𝑓 𝑥0 − min 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒 2° 𝑓 2𝑘 𝑥 0 < 0 ⇒ 𝑓 𝑥0 − max 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙𝑛𝑒
Asymptoty
Definicja 5.4 (asymptota pionowa)
1° 𝑥 = 𝑥0− 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑎 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 ⟺ 𝑓 − 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎 𝑤 𝑙𝑒𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥0 ∧ lim 𝑥→𝑥0−𝑓 𝑥 = ∞ 2° 𝑥 = 𝑥0− 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 ⟺ 𝑓 − 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎 𝑤 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑦𝑚 𝑠ą𝑠𝑖𝑒𝑑𝑧𝑡𝑤𝑖𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑢 𝑥0 ∧ lim 𝑥→𝑥0+𝑓 𝑥 = ∞ 1° ∧ 2° − 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑎 𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑎
Definicja 5.5 (asymptota ukośna)
1° 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 𝑢𝑘𝑜ś𝑛𝑎 𝑎 ≠ 0 , 𝑙𝑢𝑏 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑜𝑚𝑎(𝑎 = 0) 𝑓 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎 𝑤 𝑜𝑡𝑜𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑢 −∞ ∧ lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 2° 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 𝑢𝑘𝑜ś𝑛𝑎 𝑎 ≠ 0 , 𝑙𝑢𝑏 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑜𝑚𝑎(𝑎 = 0) 𝑓 𝑜𝑘𝑟𝑒ś𝑙𝑜𝑛𝑎 𝑤 𝑜𝑡𝑜𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑢 ∞ ∧ lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 1° ∧ 2° ⇒ 𝑥0− 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑢𝑘𝑜ś𝑛𝑎 𝑙𝑢𝑏 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 Twierdzenie 5.4 1° 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡ą 𝑢𝑘𝑜ś𝑛ą 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛ą 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗ą 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑒: lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 𝑥 = 𝑎 ∧ lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 (𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑎 = 0 𝑡𝑜 𝑦 = 𝑏 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎) 2° 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑢𝑘𝑜ś𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗ą 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑒: lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 𝑥 = 𝑎 ∧ lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 (𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑎 = 0 𝑡𝑜 𝑦 = 𝑏 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑎) Badanie funkcji (etapy)
I. Dziedzina 𝐷𝑓, granica na końcach przedziałów ⟹ asymptoty pionowe (ewentulnie poziome) punkty przecięcia z osiami, asymptoty ukośne.
II. Monotoniczność i ekstrema (𝑏𝑎𝑑𝑎𝑚𝑦 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑙𝑎 𝐷𝑓 𝑏𝑎𝑑𝑎𝑚𝑦 𝑠𝑔𝑛𝑓′ 𝑥 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝐷𝑓) III. Wypukłość i punkty przegięcia ( czyli punkty w których zmienia się wypukłość)
