Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej Seria 5. – na wtorek 8.04.2014 Wszystkie punkty prostej przechodzącej przez punkty

Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej

Seria 5. – na wtorek 8.04.2014

Wszystkie punkty prostej przechodzącej przez punkty A = [a₁, a2, a3] i B = [b₁, b2, b3] są postaci λA + µB dla wszelkich równocześnie nieznikających λ i µ.

Dwustosunkiem (inaczej: stosunkiem anharmonicznym) czterech (różnych) punktów P, Q, R, S prostej AB nazywamy liczbę

(P, Q; R, S) := (λ_Pµ_R− λ_Rµ_P)(λ_Qµ_S− λ_Sµ_Q) (λ_Pµ_S− λ_Sµ_P)(λ_Qµ_R− λ_Rµ_Q).

Identycznie definiujemy dwustosunek czterech prostych współpękowych (dlaczego ta defi- nicja jest poprawna?).

Czwórka punktów lub prostych, których dwustosunek jest równy −1, to czwórka harmo- niczna.

Jeśli w zadaniu nie jest powiedziane inaczej, to rozważane punkty i proste leżą na płasz- czyźnie rzutowej – można je opisać za pomocą współrzędnych barycentrycznych. W niektó- rych zadaniach działamy na płaszczyźnie afinicznej, czyli również możemy używać współ- rzędnych barycentrycznych, ale rozważamy tylko punkty o niezerowej sumie współrzęd- nych. Czasem dochodzą do tego pojęcia metryczne z geometrii euklidesowej.

Zadanie 1. Sprawdź, że

a) (A, B; C, D) = (C, D; A, B) = (B, A; D, C);

b) (A, B; C, D) = 1 (A, B; D, C); c) (A, B; C, D) = 1 − (A, C; B, D).

Zadanie 2. Dane są cztery różne współliniowe punkty. Ile najwięcej, a ile najmniej różnych wartości może przyjąć ich dwustosunek przy ich różnych permutacjach?

Zadanie 3. Dane są punkty A = [1, −3, 1], B = [1, 2, 11] i C = [1, 1, 9]. Obliczyć współrzędne punktu P , dla którego

a) (A, B; C, P ) = −2;

b) (A, B; C, P ) = 3;

c) (A, B; C, P ) = n.

Zadanie 4. (na płaszczyźnie afinicznej) Wykazać, że dla współliniowych punktów zacho- dzi

(A, B; C, D) =

−→AC−−→

−−→BD AD−−→

BC.

Uwaga: wektory równoległe są proporcjonalne, więc ich iloraz jest dobrze określony.

Zadanie 5. (na płaszczyźnie afinicznej) Wykazać, że (A, B; C, D) jest ilorazem stosunków w jakich C i D dzielą odcinek AB, co uzasadnia nazwę dwustosunku.

Zadanie 6. (na płaszczyźnie afinicznej) Wykazać, że dla współliniowych punktów A, B, C, D zachodzi

−−→ AB ·−−→

CD +−→

AC ·−−→

DB +−−→ AD ·−−→

BC = 0.

Zadanie 7. Wykazać, że dla współliniowych punktów A, B, C, D, E zachodzi

(A, B; C, D)(A, B; D, E)(A, B; E, C) = 1.

1

Zadanie 8. Wykazać, że dla współliniowych punktów A, B, C, X, Y zachodzi

(A, B; X, Y ) = −1 ⇐⇒ (A, B; C, X) + (A, B; C, Y ) = 0.

Zadanie 9. Dane są cztery współliniowe punkty (A, B, C, D) i cztery proste a, b, c, d, poprowadzone odpowiednio przez te punkty i niewspółliniowy z nimi punkt P . Wykazać, że (a, b; c, d) = (A, B; C, D).

Zadanie 10. Wykaż, że rzut środkowy zachowuje wartość dwustosunku.

Zadanie 11. (na płaszczyźnie afinicznej) Wykazać, że dla punktów i prostych z zadania 9 ma miejsce

1. (a, b; c, d) = ∆_{P AC} · ∆_{P BD}

∆_{P AD}· ∆_{P BC}, gdzie ∆_{XY Z} to zorientowane pole trójkąta XY Z;

2. (a, b; c, d) = sin^ac · sin ^bd sin^ad · sin ^bc.

Zadanie 12. (na płaszczyźnie afinicznej) Dane są punkty o współrzędnych afinicznych A = (−3, −1), B = (4, −1), C = (0, 3), D = (−2, 1). Oblicz dwustosunek kierunków prostych AB, BC, CD, DA.

2