WYKAZ ZAGADNIEŃ Z ANALIZY DLA I-GO ROKU INFORMATYKI – studia niestacjonarne
1. Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej
1. Zbieżność ciągów nieskończonych, tw. o granicach, kresy górne, kresy dolne, maksima, minima, punkt skupienia zbioru, otoczenie punktu sąsiedztwo, podciągi, tw. Bolzano Weirstrassa, nierówność Bernoulliego, granice ciągów specjalnych, podstawa logarytmów naturalnych,
2. Szeregi liczbowe i ich zbieżność, warunek konieczny zbieżności, kryteria porównawcze, kryterium Cauchy’go, kryterium de’Alemberta, kryterium Leibniza, bezwzględna zbieżność szeregów.
3. Granica funkcji w sensie Cauchy’go, Heinego, granice niewłaściwe, tw. o granicach, granice funkcji specjalnych, funkcje ciągłe, własności funkcji ciągłych, własność
Darboux.
4. Definicja pochodnej, pochodna sumy, iloczynu, ilorazu, pochodna funkcji złożonej, pochodna funkcji odwrotnej, pochodne funkcji elementarnych, tw. Rolle’a, tw.
Lagrange’a o wartości średniej, wnioski z tw. Lagrange’a, wzór Taylora, pochodna a maksima i minima, warunek konieczny i wystarczający ekstremum funkcji, wypukłość i punkty przegięcia, asymptoty ukośne i pionowe, symbole nieoznaczone, uogólnione tw. Lagrange’a o wartości średniej, reguła de l’Hospitala.
5. Definicja całki oznaczonej, własności całek oznaczonych, tw. o wartości średniej dla całek, funkcja granicy
całkowania, związek między całka oznaczoną a nieoznaczoną, całki niewłaściwe, tw. o przejściu do różniczkowania pod znakiem całki, objętość bryły obrotowej, pole powierzchni bryły obrotowej.
6. Rachunek różniczkowy i funkcji wielu zmiennych
Podstawowe pojęcia topologiczne, granica i ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych wielu zmiennych, tw. Kantora,
własność Darboux dla funkcji wielu zmiennych, tw.
Weirstrassa, różniczka i jej własności pochodna kierunkowa, pochodna funkcji złożonej wielu zmiennych, pochodne
wyższych rzędów, różniczki wyższych rzędów, wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
ekstrema funkcji wielu zmiennych warunki konieczne i wystarczające, ekstrema funkcji dwóch zmiennych warunki konieczne i wystarczające
Przykładowy zestaw egzaminacyjny z Analizy Matematycznej dla I-go roku Informatyki – część zadaniowa
Z A D A N I E 1
a ) Z n a l e ź ć g r a n i c ę c i ą g u :
13)
( 2
n
n n
a n
b ) Z b a d a ć z b i e ż n o ś ć s z e r e g u
1 2 23
3 3
n nn
n
Z A D A N I E 2
D l a f u n k c j i f o k r e ś l i ć : a ) d z i e d z i n ę ,
b ) m i e j s c a p r z e c i ę c i a w y k r e s u f u n k c j i z o s i a m i u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h , c ) p r z e d z i a ł y , w k t ó r y c h f u n k c j a p r z y j m u j e w a r t o ś c i d o d a t n i e l u b u j e m n e , d ) g r a n i c e i w y n i k a j ą c e z n i c h a s y m p t o t y .
ln( 5 ) 4
x x x
f
Z A D A N I E 3 O b l i c z y ć c a ł k ę :
x 2 5x 4 x 7 5 dxZ A D A N I E 4
O b l i c z y ć p o l e p o w i e r z c h n i b r y ł y o b r o t o w e j
.2
1, 2
)( xxx
f
Z A D A N I E 5
P o d a ć p r z e p i s y n a p o c h o d n e c z ą s t k o w e r z ę d u p i e r w s z e g o i d r u g i e g o f u n k c j i z .
y y x
x
z x y
sin 5 1
),( 3
2
3
Z A D A N I E 6
Z n a l e ź ć e k s t r e m u m f u n k c j i u w i k ł a n e j
.0
4
),( 245 xyyxyx
f
Przykładowy zestaw pytań do części teoretycznej
1. Podać definicję granicy funkcji.
2. Sformułować kryterium de’Alemberta zbieżności szeregów.
3. Znaleźć zbiór punktów skupienia zbioru [0,1)(3,7).
4. Podać wzór obliczania powierzchni obrotowej.
5. Sformułować i udowodnić tw. o wartości średniej dla całek.
6. Podać przykład zbioru 1, i 2-spójnego na płaszczyźnie.
7. Obliczyć pochodne do rzędu 2 następującej funkcji:
f(x)sin(ln(xxy)y)..
8. Jaki jest warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych?
9. Podać warunek wystarczający ekstremum funkcji dwóch zmiennych.
10.Obliczyć pochodną funkcji uwikłanej f(x,y)=sin(x+y)=0.
