Zadania z geometrii, I Geoinformatyka 1. Wykazać, że jeśli dla dowolnego wektora c
jest a c b c
, to ab.
2. Obliczyć pole i kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach:A 1 2 3
, ,
,B 4 1 5
, ,
,C
1 3 2, ,
. 3. Obliczyć objętość czworościanu ABCD, gdzie A
1,2,3 , (2, 1,3), (0,0,2), ( 1, 2,0).
B C D 4. Wykazać, że wektory a b c
, , są komplanarne (leżą w jednej płaszczyźnie). Wyznaczyć liniową zależność między
tymi wektorami:a
2 3 4, , ,b
1 3 2, , , c
5, 9, 10
5. Wyznacz przykładowy trzeci wierzchołek trójkąta prostokątnego ABC, gdzie A(-10, 0, -5), B(0, 7, 3) i kąt prosty jest przy wierzchołku C.
6. Wyznacz przykładowy trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego ABC, gdzie A(-1, 8, 5), B(6, -7, 3).
7. Wyznacz przykładowe dwa pozostałe wierzchołki rombu ABCD, w którym kąt ostry wynosi 60° oraz A=(-1, 3, -5) i B=(1, 7, -1).
8. Dany jest równoległobok ABCD, gdzie A(0, -2, 3), B(2, -7, 3) i C(-1, 4, 4). Wyznacz wierzchołek D i wysokość z wierzchołka A.
9. Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(-1, 1, 5), B(6, -7, 3) i C(-2, 4, 0). Wyznacz wysokość z wierzchołka A.
10.Wyznacz równanie płaszczyzny wyznaczonej przez punkty A B C oraz sprawdź czy punkt D zawiera się w tej płaszczyźnie. A(0, -2, 3), B(2, -7, 3), C(-1, 4, 4) oraz D(-1, 2, 9).
11.Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkty P(8,1,-5) i B(2, -7, 3), która jest prostopadła do płaszczyzny: 1: 2x 3y z 4 0
.
12.Wyznacz równanie prostej, która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn 1: 2 x y 5z 3 0 i 2:x 3y z 3 0
.
13.Wyznacz rzut prostej
l:
1+x
2
=
y−2
1
=
z−1
−1
na płaszczyznę : 2 x y 5z 3 0.14.Wyznacz równanie prostej, będącej dwusieczną kąta między prostymi:
l x
:
1 2 ,
t y
t z t
,
i:
5 2 ,
2
,
3
k x
t y
t z
t
.15.Wyznacz punkt symetryczny do punktu P(-1, 0, 4) względem płaszczyzny : 2 x y 5z 3 0
16.Wyznacz punkt symetryczny do punktu P(1, 0, 4) względem prostej
l:
x
3
=
y+4
−2
=
z−5
5
17.Wyznacz płaszczyznę, w której zawierają się proste: l x:
2 3 ,t y 1 2 ,t z 3 5t
i
: 2 4 , 1 , 3 2
k x t y t z t
18.Wyznacz wspólny punkt płaszczyzn: : 2 x y 2z0, : 3 x y 5z 8 0, : x y 2z 1 0 19.Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1, 2, -3), równoległej do płaszczyzn
:x y 2z 0, : x y 5z 3 0
20.Wykaż, że jeżeli płaszczyzna przecina osie Ox, Oy, Oz odpowiednio w punktach a, b, c, to jej równanie przyjmuje postać:
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
21.Wyznacz równania płaszczyzn dwusiecznych kątów między płaszczyznami
:
4
x
2
y
6
z
10
0
i0
2
2
4
10
:
x
y
z
.22.Wyznacz odległość punktu P(2, 3, -4) od prostej l x:
2 3 ,t y 1 2 ,t z 3 5t
23.Wyznacz punkty wspólne paraboloidy hiperbolicznej2 2
z x y i prostej l x:
