Zadania różne
1. Liczby 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta. Wykaż, że 𝑏+𝑐−𝑎𝑎 +𝑐+𝑎−𝑏𝑏 +𝑎+𝑏−𝑐𝑐 ≥ 3.
2. Jaki czworokąt można rozciąć linią prostą na dwa czworokąty podobna do siebie?
3. Wewnątrz kwadratu o boku 1 umieszczono pewną liczbę okręgów o sumie długości równej 10. Wykaż, że istnieje prosta przecinająca co najmniej cztery z tych okręgów.
4. Wykaż, że dla wszystkich liczb naturalnych 𝑛 > 1: √22 2𝑛1 <1∙3∙…∙(2𝑛−1) 2∙4∙…∙2𝑛 <√3
2 1 2𝑛 .
5. W zbiorze 𝑛 – elementowym wybrano 2𝑛−1 podzbiorów, z których każde trzy mają punkt wspólny. Wykaż, że wszystkie wybrane podzbiory mają punkt wspólny.
6. Wykaż, że na płaszczyźnie nie można rozmieścić siedmiu prostych i siedmiu punktów tak, aby przez każdy z punktów przechodziły trzy proste i na każdej prostej leżały trzy punkty.
7. Danych jest pięć odcinków takich, że z każdych trzech z nich można zbudować trójkąt. Wykaż, że przynajmniej jeden z tych trójkątów jest ostrokątny.
8. Dwa różne prostokąty są położone tak, że ich obwody przecinają się w ośmiu punktach.
Wykaż, że pole części wspólnej obu prostokątów jest większe od połowy pola każdego z nich.
9. Wykaż, że dla dowolnej liczby nieparzystej 𝑎 istnieje liczba naturalna 𝑏, taka że 2𝑏− 1 dzieli się przez 𝑎.
10. W pewnej grupie 𝑛 osób każde dwie, które się nie znają, mają dokładnie dwóch wspólnych znajomych, a każde dwie osoby znajome nie mają więcej wspólnych znajomych. Wykaż, że każda osoba ma taką samą liczbę znajomych.
11. Trzy okręgi o jednakowych promieniach przechodzą przez jeden punkt. Wykaż, że trzy inne punkty, w których przecinają się pary tych okręgów, leżą na okręgu o takim samym
promieniu.
12. Każda z liczb 𝑥1, 𝑥2, … ¸𝑥𝑛 jest równa 1 lub −1 oraz 𝑥1𝑥2+ 𝑥2𝑥3+ ⋯ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛+ 𝑥𝑛𝑥1= 0.
Wykaż, że 𝑛 dzieli się przez 4.
13. Wykaż, że nie istnieje wielościan wypukły, w którym każda ściana ma przynajmniej cztery krawędzie i przynajmniej cztery krawędzie schodzą się w każdym wierzchołku.
14. Wewnątrz trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą takie dwa punkty 𝑃 i 𝑄, że odcinki 𝐴𝑃 i 𝐴𝑄 tworzą równe kąty z dwusieczną kąta 𝐴, a odcinki 𝐵𝑃 i 𝐵𝑄 tworzą równe kąty z dwusieczną kąta 𝐵. Wykaż, że odcinki 𝐶𝑃 i 𝐶𝑄 tworzą równe kąty z dwusieczną kąta 𝐶. (Mówimy, że punkty 𝑃 i 𝑄 są izogonalnie sprzężone w trójkącie 𝐴𝐵𝐶)
15. Wykaż, że jeśli liczby 𝑝1, 𝑝2, 𝑞1, 𝑞2 spełniają nierówność
(𝑞1− 𝑞2 )2+ (𝑝1− 𝑝2)(𝑝1𝑞2− 𝑞1𝑝2) < 0,
to trójmiany kwadratowe 𝑥2+ 𝑝1𝑥 + 𝑞1 i 𝑥2+ 𝑝2𝑥 + 𝑞2 mają pierwiastki rzeczywiste oraz między dwoma pierwiastkami każdego z nich leży pierwiastek innego.
16. W wierzchołkach pewnego wielokąta rozmieszczono liczby. Jeśli dla pewnych czterech liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 stojących w kolejnych wierzchołkach okaże się, że (𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑) < 0, to liczby 𝑏 i 𝑐 można zamienić miejscami. Wykaż, że taką operację można wykonać tylko skończenie wiele razy.
17. Dany jest 𝑛 − kąt wypukły 𝑊1. Łącząc środki kolejnych jego boków otrzymujemy 𝑛 − kąt 𝑊2. Wykaż, że:
a) obwód wielokąta 𝑊2 jest równy co najmniej połowie obwodu wielokąta 𝑊1 (𝑛 ≥ 3);
b) pole wielokąta 𝑊2 jest równe co najmniej połowie pola wielokąta 𝑊1 (𝑛 ≥ 4).
