Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 798. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Wit Urban Katedra Informatyki. Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej Streszczenie. Artykuł stanowi próbę uzupełnienia teorii działań arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych. Celem zawartych w nim rozważań jest znalezienie rozwiązania problemu działania odwrotnego w arytmetyce rozmytej oraz związanego z nim zagadnienia równania z jedną niewiadomą. Słowa kluczowe: arytmetyka rozmyta, problem odwrotny.. 1. Wprowadzenie Istotnym problemem badawczym związanym z analizą danych jest wykorzystanie podejścia o charakterze wielowymiarowym. Jedną z teorii, która dostarcza podstaw teoretycznych dla narzędzi wykorzystujących to podejście, jest teoria zbiorów rozmytych, a zwłaszcza stanowiąca jej część arytmetyka rozmyta. Jednak potencjalnie duże możliwości analityczne, którymi dysponują metody oparte na wspomnianej teorii, są ograniczane w praktyce przez różne problemy. Należy do nich kwestia działań odwrotnych w arytmetyce rozmytej oraz związane z nią zadanie rozwiązywania równania z jedną niewiadomą. Niniejsze opracowanie stanowi próbę rozwiązania przedstawionego problemu na drodze uzupełnienia teorii działań arytmetyki rozmytej. Związane z tym rozważania zawiera trzecia część artykułu. Poprzedza ją wprowadzenie w aparat pojęć i definicji arytmetyki rozmytej. 2. Podstawowe pojęcia arytmetyki rozmytej Arytmetyka rozmyta stanowi rozwinięcie teorii zbiorów rozmytych poprzez wprowadzenie pojęcia funkcji przynależności do przestrzeni numerycznych oraz zdefiniowanie operacji arytmetycznych dla pochodzących z nich argumentów. Na.

(2) Wit Urban. 136. podstawie wspomnianego uzupełnienia przestrzeni liczbowych o określone dla nich funkcje przynależności zostały zdefiniowane podstawowe rodzaje liczb rozmytych, a więc całkowite liczby rozmyte oraz rzeczywiste liczby rozmyte. Zakres tematyczny opracowania dotyczy jednak przede wszystkim tej drugiej kategorii liczb, dlatego też im poświęcono dalszą treść artykułu, począwszy od ich formalnej definicji.. Definicja 1 [Zadeh 1965]. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μ α oraz spełniającym warunek wypukłości: ∀x, y, z ∈ R, y ∈ [x; z] . μ α (y) ≥ μ α (x) ∧ μ α (z). (1). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często jako N(R). W literaturze występuje także określenie rozmytej liczby rzeczywistej niewymagające spełnienia warunku wypukłości funkcji przynależności [Chang 1984]. Ponadto w większości publikacji powyższa definicja jest uzupełniana o warunek normalności zdefiniowany w następujący sposób.. Definicja 2 [Kaufmann i Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym, jeżeli. ∃x ∈ X μA(x) = 1.. (2). ∀x ∈ X μA(x) < 1,. (3). Jeżeli natomiast. zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedstawiona definicja rzeczywistej liczby rozmytej stanowi wprowadzenie do zagadnień arytmetyki rozmytej. Ta część teorii zbiorów rozmytych związana z działaniami arytmetycznymi na liczbach rozmytych została oparta na zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1965] zasadzie rozszerzenia.. Definicja 3. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × … × X n → Y, takim że y = f(x1, …, xn); y ∈ Y, xi ∈ X i ∀ i ∈ Nn oraz niech Ai ∈ P(X)∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × … × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności:. ⎧ sup min(μ A (x1 ), …, μ A (xn )) dla f −1 (y) ≠ ∅ ⎪⎪ x ∈ X , …, x ∈ X μ B (y) = ⎨ y = f ( x , …, x ) ⎪ 0 dla f −1 (y) = ∅ ⎪⎩ 1. 1. 1. n. 1. n. n. n. ∀y ∈ Y (4).

(3) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 137. Zasada ta pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji skalarnie określonej zmiennej podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności odpowiadających poszczególnym potencjalnym jej wartościom. Na podstawie powyższej definicji można określić podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych [Klir i Pan 1998]. Podane zostały one również wyłącznie dla klasy rozmytych liczb rzeczywistych z wymienionego wcześniej powodu. Definicja 4. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć:. a) f(x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A+ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1 + x2. (5). b) f(x1, x2) = x1 – x2 dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A– B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1 – x2. (6). c) f(x1, x2) = x1*x2 dla operacji mnożenia A*B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A *B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1* x2. d) f(x1, x2) = x1/x2, x2 ≠ 0 dla operacji dzielenia A/B ∈ N(R), μ A /B (y) =. (7). sup. min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1∈ R, x2∈ R – {0} y = x 1 /x2. (. ). ∀y ∈ R .. (8). Jak wynika z powyższej definicji, jednym z podstawowych problemów dotyczących działań arytmetyki rozmytej jest ich implementacja w formie algorytmów numerycznych. Próbą rozwiązania tych problemów jest podejście do działań arytmetyki rozmytej zaproponowane przez A. Kaufmanna [Kaufmann i Gupta 1985]. Podstawowym elementem tego podejścia jest założenie o spełnianiu przez argumenty działań warunków wypukłości oraz normalności. W takim bowiem przypadku można dla liczby rozmytej x wyznaczyć przedziały związane z wybranymi poziomami α jej funkcji przynależności. Definicja 5 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R), to wielkość α ∈ [0; 1] pozwala wyznaczyć przedział wartości funkcji przynależności xα spełniający następujące warunki:.

(4) Wit Urban. 138. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . {. {. (9). Uwzględniając własność wypukłości liczby rozmytej x, można stwierdzić, że wyznaczony dla zadanego α przedział jest malejącą funkcją przyjętego poziomu przynależności nie mniejszego od wskazanego. Wynika z tego następująca definicja.. Definicja 6 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R) oraz x spełnia warunek wypukłości, to dla każdych α, αʹ ∈ [0; 1] takich, że αʹ > α, jeżeli. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . (10). xαʹ = ⎡⎣ a1(αʹ) ; a2(αʹ) ⎤⎦ = x x ∈R | μ x ( x x ) ≥ αʹ ,. (11). xα' ⊂ xα. (12). ⎡⎣ a1(αʹ) ; a2(αʹ) ⎤⎦ ⊂ ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ .. (13). {. }. {. wówczas. lub inaczej. }. Na podstawie dwu przedstawionych definicji można podać określenia podstawowych działań na liczbach rozmytych. Definicja 7 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . {. }. (14). {. ( ) }. (15). yα = ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = x y ∈ R | μ y x y ≥ α ,. wówczas ∀ α ∈ [0; 1]. x α + yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ + ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) + b1(α ) ; a2(α ) + b2(α ) ⎤⎦. (16). x α − yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ − ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) − b1(α ) ; a2(α ) − b2(α ) ⎤⎦ .. (17). oraz Ze względu na problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem dwóch pozostałych działań, tj. mnożenia i dzielenia przy zastosowaniu zasad prezentowanego podej-.

(5) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 139. ścia, przestrzeń, w której są określane argumenty tych operacji, została zawężona do rzeczywistych liczb dodatnich R +. Definicja 8 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R +) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. {. ( ) }. (18). {. ( ) }. (19). xα = ⎡⎣a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R + | μ x x x ≥ α yα = ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = x y ∈ R + | μ y x y ≥ α ,. wówczas ∀ α ∈ [0; 1]. x α * yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ * ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) * b1(α ) ; a2(α ) * b2(α ) ⎤⎦. (20). x α / yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ / ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) / b1(α ) ; a2(α ) / b2(α ) ⎤⎦ .. (21). oraz Zaletą przedstawionych definicji operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych jest względna łatwość numerycznego wyznaczenia wyników tych działań. Wadą takiego podejścia jest natomiast ograniczenie arytmetyki rozmytej do klasy liczb rozmytych o wypukłej funkcji przynależności, a w przypadku iloczynu i ilorazu charakteryzujących się także zawężeniem przestrzeni zdefiniowania argumentów. 3. Zagadnienie działań odwrotnych w arytmetyce rozmytej Innym ważnym zagadnieniem dotyczącym operacji arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych jest problem działań odwrotnych [Navara i Zabokrtsky 2000]. Jak łatwo zauważyć na podstawie przedstawionych definicji tych działań, a+b= c⇒c−a≠b∧c−b≠ a. a *b = c ⇒ c / a ≠ b ∧ c / b ≠ a a, b, c ∈ N(R). . (22). Zilustrowaniu tego faktu może posłużyć prosty przykład wykorzystujący trójkątne rzeczywiste liczby rozmyte. Zostały one zapisane zgodnie z zasadami notacji zaproponowanymi dla rzeczywistych liczb rozmytych w pracy [Urban 1999], na podstawie formuły zapisu przedstawionej przez L.A. Zadeha [1977] dla zbioru rozmytego. Podstawowa różnica w notacji rzeczywistych liczb rozmytych w stosunku do wyjściowej formy dla zbioru polega na zastąpieniu jego elementów w tzw. sin-.

(6) Wit Urban. 140. gletonach rozmytych przez rzędne wierzchołków wykresu funkcji przynależności tych liczb. Oznacza to przyjęcie niejawnego założenia o aproksymacji wspomnianej funkcji przez złożenie funkcji liniowych. Obejmuje ono także funkcje stałe równe 0 dla wartości z przestrzeni liczb rzeczywistych pozostających poza przedziałem wyznaczonym przez rzędne skrajnych wierzchołków. ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) + ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) ⇒. ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) ∧. ( ~ 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / −1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 5). (23). ( 0 / 2 + 1 / 4 + 0 / 8) * ( 0 /1 + 1 / 2 + 0 / 4) = ( 0 / 2 + 1 / 8 + 0 / 32) ⇒ ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ~. ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 8 + ~ 0 / 32) / ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 4 + ~ 0 / 8) = ( ~ 0 / 0, 25 + ~ 1 / 2 + ~ 0 /16) ∧. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 0 / 2 + 1 / 8 + 0 / 32) / ( 0 /1 + 1 / 2 + 0 / 4) = ( 0 / 0, 5 + 1 / 4 + 0 / 32) Podobna sytuacja występuje także w odniesieniu do różnicy rozmytej oraz ilorazu rozmytego.. a−b= c⇒c+b≠ a. a / b = c ⇒ c *b ≠ a a, b, c ∈ N (R). (24). Potwierdzeniem tej sytuacji może być także wcześniejszy przykład.. ( 0 / 3 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 7) − ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) ⇒ ~. ( ~ 0 / 0 + ~ 1 / 3 + ~ 0 / 6) + ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) = ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 5 + ~ 0 / 9). (25). ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 8 + ~ 0 / 32) / ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 4) = ( ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 4 + ~ 0 / 32) ⇒. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 0 / 0, 5 + 1 / 4 + 0 / 32) * ( 0 /1 + 1 / 2 + 0 / 4) = ( 0 / 0, 5 + 1 / 8 + 0 /128) Komplikuje to kwestię poszukiwania niewiadomych rzeczywistych wielkości rozmytych w przypadku, gdy znany jest wynik działania arytmetycznego oraz jeden z argumentów. Istnieją różne metody rozwiązania tego problemu. Jedną z nich jest odwołanie się do przedstawionego w poprzedniej części artykułu podejścia A. Kaufmanna. Pozwala ono na rozkład działania arytmetyki rozmytej na zbiór odpowiadających mu operacji zdefiniowanych dla wielkości skalarnych. Operacje te wykonywane są na wielkościach z dziedziny funkcji przynależności argumentów działania rozmytego odpowiadających wybranym poziomom wartości tych funkcji α. Oczywiście oznacza to posługiwanie się aproksymacją.

(7) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 141. funkcji przynależności uzyskiwanego rezultatu operacji rozmytej za pomocą złożenia odwzorowań liniowych. Z drugiej jednak strony równoważność działania arytmetyki rozmytej ze zbiorem odpowiadających mu operacji skalarnych znacząco upraszcza wspomniany problem równań z jedną niewiadomą, przynajmniej z punktu widzenia numerycznego rozwiązywania takich zadań. Można bowiem w takim wypadku wykorzystać działania odwrotne do należących do równoważnego operacji rozmytej zbioru działań skalarnych. Zgodnie z przedstawioną ideą, mając zdefiniowane działanie arytmetyki rozmytej z jedną niewiadomą postaci: a• x = b. • ∈ {+, −, *, /} . (26). a, x, b ∈ N (R),. gdzie x jest poszukiwaną wielkością, można je zastąpić zbiorem odpowiednich działań skalarnych. α xaα = [xa,d ; xa,α g ] = {xa ∈ D | μ a (xa ) ≥ α}, α x xα = [x x,d ; x x,α g ] = {x x ∈ D | μ x (x x ) ≥ α}, α xbα = [xb,d ; xb,α g ] = {x x ∈ D | μ b (xb ) ≥ α} ⇒ α α α α α xaα • x xα = [xa,d ; xa,α g ]•[x x,d ; x x,α g ] = [xa,d • x x,d ; xa,α g • x x,α g ] = [xb,d ; xb,α g ] ⇒ α α α xa,d • x x,d = xb,d. xa,α g. •. x x,α g. =. (27). xb,α g. • ∈ {+, −, *, /}. • ∈ {+, −} ⇒ D = R. • ∈ {*, /} ⇒ D = R +. Jak można zauważyć na podstawie przedstawionych wzorów oraz jak wynika to z własności działań arytmetycznych zdefiniowanych dla przestrzeni skalarnych, łatwo daje się obliczyć wartości należące do dziedziny funkcji przynależności nieznanej wielkości rozmytej odpowiadające wybranym poziomom α. x x,α d = xb,α d • xa,α d x x,α g = xb,α g • xa,α g . • ∈ {−, +, /, *}. (28). W ten sposób można wyznaczyć wierzchołki wykresu funkcji przynależności, a tym samym jej aproksymację przez złożenie funkcji liniowych. Problem jest.

(8) Wit Urban. 142. jednak bardziej skomplikowany. By pokazać jego złożoność, należy odwołać się do prostego przykładu następującego równania:. ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) + x = ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 2, 5 + ~ 0 / 3,1) x ∈ N (R). (29). Można je przedstawić jako zbiór działań skalarnych: 0 ⎡⎣10 ; 30 ⎤⎦ + ⎡⎣ x x,d ; x x,0 g ⎤⎦ = ⎡⎣ 2 0 ; 3,10 ⎤⎦. ⎡⎣ 21 ⎤⎦ + ⎡⎣ x1x,d / g ⎤⎦ = ⎡⎣ 2, 51 ⎤⎦ ⇒ 0 ⎡⎣10 + x x,d ; 30 + x x,0 g ⎤⎦ = ⎡⎣ 2 0 ; 3,10 ⎤⎦. ⎡⎣ 21 + x1x,d / g ⎤⎦ = ⎡⎣ 2, 51 ⎤⎦ ⇒ ⎧ 10 + x 0 = 2 0 x,d ⎪ ⎪ 0 0 0 ⎨ 3 + x x, g = 3,1 ⎪ 1 1 1 ⎪⎩ 2 + x x,d / g = 2, 5. . (30). Na podstawie otrzymanego układu równań łatwo daje się wyznaczyć nieznane wartości z dziedziny funkcji przynależności zmiennej x odpowiadające jej poziomom 0 i 1.. ⎧ x 0 = 2 0 − 10 = 10 x, d ⎪ ⎪ 0 0 0 0 ⎨ x x, g = 3,1 − 3 = 0,1 ⎪ 1 1 1 1 ⎪ x x, d / g = 2, 5 − 2 = 0, 5 ⎩. x = ~0/1 + ~1/0,5 + ~0/0,1. (31). Zgodnie z przedstawionymi rozważaniami na podstawie otrzymanych danych można wyznaczyć wierzchołki wykresu funkcji przynależności rozmytej niewiadomej równania (29). Przyjmując, że wyznaczają one aproksymację tej funkcji za pomocą złożenia funkcji liniowych obejmującego także funkcje stałe równe 0 dla wartości rzeczywistych spoza zakresu, dla którego przyjmuje ona wartości niezerowe, otrzymujemy pełną definicję poszukiwanej rzeczywistej liczby rozmytej. Zgodnie z przedstawionymi wcześniej zasadami notacji takich liczb oraz odwołując się do zaprezentowanego podejścia do numerycznego przetwarzania działań arytmetyki rozmytej, można ją zapisać w następujący sposób: (32).

(9) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 143. Oczywiście przedstawiony wzór nie wskazuje faktycznie na żadną liczbę rozmytą. Byłoby tak, gdyby powyższą zależność zapisać w poniższy sposób:. Wówczas jednak. x = ~0/0,1 + ~1/0,5 + ~0/1. (33). (~0/1 + ~1/2 + ~0/3) + (~0/0,1 + ~1/0,5 + ~0/1) ≠ (~0/2 + ~1/2,5 + ~0/3,1). (34). Przedstawiony problem jest charakterystyczny dla licznych zagadnień związanych z wykorzystaniem metod teorii zbiorów rozmytych. Dlatego też jego rozwiązanie ma istotne znaczenie dla szerszego zastosowania tej teorii w praktyce. W tym celu można wykorzystać podejście polegające na uzupełnieniu definicji działań arytmetyki rozmytej. Wiąże się to z przyjęciem założenia, że takie działania są złożonymi odwzorowaniami rozmytymi. Specyfika tego założenia polega jednak na tym, że określone działanie stanowi zbiór rozmyty utworzony z różnych sposobów zdefiniowania tej samej operacji rozmytej. Zgodnie z definicją takiego zbioru każdy ze sposobów ma przypisaną wartość funkcji przynależności określaną w zależności od rozwiązywanego zagadnienia. Dodatkowym dość oczywistym warunkiem, który można stawiać zbiorowi rozmytemu, będącemu specyficznym złożeniem odwzorowań rozmytych, jest konieczność istnienia wspólnej dziedziny oraz przeciwdziedziny tworzących go przekształceń. Tego typu rozwiązanie zostało bardziej szczegółowo przedstawione dla sumy rozmytej. W przypadku pozostałych działań postępowanie wygląda podobnie. Do istniejącej definicji sumy rozmytej można dodać inną definicję tego działania. Definicja 9. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć: f(x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R),. μ A+ B (y) = inf min μ A ( x1 ) , μ B ( x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1 + x2. (. ). ∀y ∈ R .. (35). Taka definicja sumy pociąga za sobą zmianę w zakresie numerycznego przetwarzania tego działania zgodnie z przedstawionymi wcześniej zasadami. W rozważanym przypadku definicja 7 przyjmuje więc następującą postać.. Definicja 10. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy zadanym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . {. }. (36). {. ( ) }. (37). yα = ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = x y ∈ R | μ y x y ≥ α ,.

(10) Wit Urban. 144. wówczas ∀ α ∈ [0;1]. x α + yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ + ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) + b2(α ) ; a2(α ) + b1(α ) ⎤⎦ .. (38). Przy tej okazji warto zauważyć, że przy zastosowaniu tak określonego rozumienia dodawania rozmytego wartość zmiennej x określona wzorem (33) rozwiązuje równanie (29). Oczywiście obie definicje sumy rozmytej wzajemnie się wykluczają. Przy przyjęciu jednak przedstawionego założenia o potraktowaniu tego działania jako złożonej funkcji rozmytej opartej na definicji zbioru rozmytego uzupełniają się one. W takim przypadku sumę rozmytą można przedstawić zgodnie z zasadami notacji dla zbioru rozmytego, traktując każdy ze sposobów określenia tej operacji jako osobny jego element. Dla rozróżnienia każde z działań dodawania zostaje oznaczone innym symbolem odwołującym się do jego własności, które jednak nie są w tym miejscu szerzej omawiane. Są one jednak stosunkowo łatwe do zrozumienia. Suma rozmyta przedstawiona w definicji (4) została oznaczona symbolem + , natomiast ta zgodna z określeniem zawartym max. w definicji (9) + . W ten sposób działanie sumy rozmytej można ogólnie przedmin. stawić jako zbiór rozmyty stanowiący złożenie funkcji rozmytych.. )( + ) =. ( ( ) )( ( ) ) μ (+ ) +. max. + + μ (+ ) +. max. min. + ∧. min. ( + ) : N ( R ) → N ( R ) ∧ ( + ) : N ( R ) → N ( R )) ⇒ max. min. . (39). (+) : N ( R ) → N ( R ) ∧ ( a, b ∈ N ( R ) ⇒ a + b = ( + ) ( a, b )). Problemem, który w tym kontekście wymaga rozwiązania, jest kwestia wyniku sumy rozmytej traktowanej jako rezultat złożenia zgodnego z powyższym schematem różnych przekształceń rozmytych. Należy przy tym pamiętać, że każdemu z tych odwzorowań jest przyporządkowana wartość funkcji przynależności wynikająca z bycia elementem zbioru rozmytego. Wartość ta powinna być uwzględniona w konstrukcji wyniku takiego odwzorowania przed jego dalszym wykorzystaniem w procedurze wyznaczania rezultatu sumy. Propozycja, którą można wysunąć w odniesieniu do tak postawionego problemu, sprowadza się do założenia, że przynależność przekształcenia rozmytego do zbioru rozmytego będącego w ten sposób złożeniem funkcji rozmytych definiuje dodatkowe odwzorowanie. Jest ono przekształceniem wyniku takiego składowego odwzorowania do postaci uwzględniającej wymieniony warunek. W odniesieniu do prezentowanego przypadku sumy rozmytej traktowanej jako złożenie działań rozmytych zgodnie ze schematem (39) będą zachodziły następujące zależności..

(11) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. (( + ) =. 145. ( ( ) ) ( ( ) ) μ (+ ) +. max. +. max. + μ (+ ) +. min. + ∧. min. ( + ) : N ( R ) → N ( R ) ∧ ( + ) : N ( R ) → N ( R )) ∧ max. ( + ) : N ( R ) → N ( R )) ⇒. ( + )∈(+ ) (. F. max. min. ). ( + )∈(+ ) (. a + b : N (R)→ N (R)∧F max. . (40). ). a + b : N (R)→ N (R). min. min. a, b ∈ N ( R ). By prawidłowo zdefiniować postać funkcji F. (+) max. należy skorzystać z definicji T-normy.. ∈ (+ ). (a + b) oraz F( ) (a + b), + ∈ (+ ). max. min. min. Definicja 11 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję T dwóch zmiennych. T :[0,1] × [0,1] → [0,1]. (41). nazywamy T-normą, jeżeli dla a, b, c, d ∈ [0,1]: 1) jest to funkcja niemalejąca względem obu parametrów, to znaczy:. T(a, c) ≤ T(b, d) dla a ≤ b, c ≤ d, 2) spełnia warunek przemienności:. (42). T(a, b) = T(b, a), 3) spełnia warunek łączności:. (43). T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)), 4) spełnia warunki brzegowe:. (44). T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.. (45). W rozważanym przypadku odwzorowanie T w powyższej definicji należy zastąpić funkcją min. Tak określone przekształcenie dla podkreślenia związku z T-normą można oznaczyć symbolem Τ . min Zdefiniowane w ten sposób odwzorowanie można wykorzystać do określenia funkcji przynależności rozmytych wartości obu poszukiwanych przekształceń.. ( ) ( ( ) ( + )) = min ( μ ( a + b ) , μ ( + )) (46) a + b = Τ μ a + b , μ + = min μ a + b , μ + ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )). μF. + b = Τ μ + a + b , μ (+ ) ( ) a max min max max. μF. ( ). ⎞ ⎛ ⎜ + ⎟∈ ( + ) ⎝ max ⎠. ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟∈ ( + ) ⎝ min ⎠. a, b ∈ N ( R ). min. min. +. min. min. (+ ). max. min. +. max. +. min. max. min. (+ ). (+ ). max. min.

(12) Wit Urban. 146. Interpretacja wzorów sprowadza się do stwierdzenia, że wartości przekształcenia rozmytego będącego elementem złożenia funkcji rozmytych w rozważanym w opracowaniu sensie należą także do jego rezultatu w stopniu nieprzekraczającym przynależności do niego wspomnianego odwzorowania. Oczywiście może być on niższy, jeśli wynika to z wykonanego na określonych argumentach przekształcenia. W przedstawiony sposób można uzyskać wyniki składowe rozmytego rezultatu złożenia funkcji rozmytych traktowanego jako specyficzny przypadek zbioru rozmytego. Pozwalają one na wyznaczenie jego wartości. Problem sprowadza się podobnie jak poprzednio do podania wzoru na funkcję przynależności wartości takiego złożonego odwzorowania. Tym razem jednak należy wykorzystać pojęcie S-normy.. Definicja 12 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję S dwóch zmiennych: S :[0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (47). nazywamy S-normą, jeżeli podobnie jak w przypadku T-normy jest niemalejąca względem obu argumentów, spełnia warunek przemienności i łączności oraz następujące warunki brzegowe:. S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1. (48). Jak łatwo zauważyć, przekształcenie dane wzorem (47) powinno definiować poziom przynależności przestrzeni liczb rzeczywistych do poszukiwanej wielkości rozmytej, który gwarantują funkcje przynależności obu wyników składowych. Uwzględniając interpretację funkcji przynależności, należy go odnosić do potencjalnie największego możliwego wynikającego z następującego przekształcenia zgodnego z definicją S-normy. ⎞ ⎛ a, b ∈ N ( R ) ⇒ S ⎜ μ F a + b , μF a+b⎟= ( ) ( ) max min max ⎠ ⎝ (49) ⎛ ⎛ = max ⎜ min μ + a + b , μ (+ ) + , min μ + a + b , μ (+ ) + ⎜ max max min min ⎝ ⎝. ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟∈ ( + ) ⎝ max ⎠. (. ). ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟∈ ( + ) ⎝ min ⎠. (. ). ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) max. min. Przedstawiony wzór można zastosować do rozwiązania równania (29). W tym. ( ). ( ). celu wystarczy podać wartości μ( + ) + oraz μ( + ) + . Muszą być one równe 0 i 1. max min. Na poprawność przedstawionych rozważań wskazuje również wykorzystanie metody rozwiązywania problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej opartej na polu pod wykresem funkcji przynależności, a konkretnie wynik takiej operacji [Urban 2009]. Zgodnie z tą metodą zależność zdefiniowaną wzorem (26) można potraktować jako równanie różnicowe w następującej postaci:.

(13) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 147. bt + 1 = bt • a. t = 0, 1, 2, …, n b0 = x b1 = b. (50). • ∈ {+, −, *, /}. a, x, bt ∈ N ( R ). Dla ciągu wartości zmiennej takiego równania istnieje możliwość względnie prostej aproksymacji dynamiki pola pod wykresem jej funkcji przynależności w ogólnym przypadku za pomocą przekształcenia wykładniczego. Pozwala to na wyznaczanie wspomnianego pola dla dowolnej obserwacji w tym ciągu. Fakt ten można wykorzystać do obliczenia pola pod wykresem funkcji przynależności nieznanego argumentu działania rozmytego. Należy w tym celu jednak założyć, że jest on na przykład pierwszą obserwacją we wspomnianym ciągu pól. Do realizacji przedstawionej procedury wystarczy, opierając się na zdefiniowanym wzorze (50) równaniu różnicowym, wyznaczyć rozmyty szereg czasowy dla zmiennej {bt} oraz odpowiadający mu szereg skalarny pól pod wykresem funkcji. { }. przynależności pb . Dalsze wykorzystanie uzyskanych informacji jest z reguły uzależnione od postaci poszukiwanej rzeczywistej liczby rozmytej. Przykładowo w przypadku liczb trójkątnych łatwo zauważyć, że przy znajomości wspomnianego pola dla takiej liczby oraz wierzchołka wykresu jej funkcji przynależności, w którym przyjmuje ona wartość 1 (założenie o normalności liczby), a także z uwzględnieniem założenia, że oba pozostałe wierzchołki pozostają w równej odległości od niego, wyznaczenie nieznanego argumentu działania rozmytego jest proste. Można w tym celu skorzystać ze wzoru na pole trójkąta. Do obliczenia rzędnej środkowego wierzchołka natomiast można wykorzystać definicje odpowiednich działań arytmetyki rozmytej oraz założenia o spełnieniu warunków wypukłości i normalności przez ich argumenty. Zastosowanie przedstawionej metody do przykładowego problemu opisanego zależnością (29) prowadzi do otrzymania szeregu pól pod wykresem funkcji przynależności dla zmiennej równania różnicowego. t. bt + 1 = bt + ( ~ 0 /1 + ~ 1 / 2 + ~ 0 / 3) b0 = x. b1 = ( ~ 0 / 2 + ~ 1 / 2, 5 + ~ 0 / 3,1). bt , x ∈ N ( R ). . (51).

(14) Wit Urban. 148. Szereg ten można aproksymować za pomocą funkcji liniowej. Pb = t − 0, 45. t. (52). Na tej podstawie można wyznaczyć pole pod wykresem funkcji przynależności poszukiwanego argumentu x, które wynosi –0,45. Wartość ta wskazuje na specyfikę omawianego problemu. Przyjmując, że wielkość x jest trójkątną rzeczywistą liczbą rozmytą, otrzymaną wartość pola można następnie wykorzystać do wyznaczenia rzędnych wierzchołków wykresu jej funkcji przynależności symetrycznych względem współrzędnej na osi X, dla której funkcja ta przyjmuje wartość maksymalną równą 1. W rezultacie przytoczonych rozważań można uzyskać wartość nieznanego argumentu działania rozmytego. x = ~ 0 / (0, 5 − (−0, 45)) + ~ 1 / 0, 5 + ~ 0 / (0, 5 + (−0, 45)) = = ~ 0 / 0, 95 + ~ 1 / 0, 5 + ~ 0 / 0, 05 = ~ 0 / 0, 05 + ~ 1 / 0, 5 + ~ 0 / 0, 95 ≈. ~ ~ ~ ≈ 0 / 0 + 1 / 0, 5 + 0 / 1. (53). Przedstawiona zależność wskazuje na sugerowaną przez przytoczone wcześniej argumenty konieczność posłużenia się inną definicją sumy rozmytej. 4. Wnioski Przedstawiona w artykule koncepcja zmiany sposobu podejścia do działań arytmetyki rozmytej pozwalająca na rozwiązanie problemu odwrotnego na poziomie rozważań teoretycznych powinna, jak się wydaje, stanowić wstęp do dalszych badań w tym zakresie. Kwestia jest tym bardziej istotna, że stanowić może o powodzeniu szerszego wykorzystania w praktyce tego działu teorii zbiorów rozmytych. Świadczą o tym doświadczenia z zakresu prób modelowania procesów rzeczywistych za pomocą metod tej teorii.. Literatura Biocybernetyka i inżynieria biomedyczna [2000], red. T. Nałęcz, W. Duch, Exit, Warszawa. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic. Theory and Applications, Van Nostrand, New York. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, „Soft Computing”, vol. 2, nr 2. Navara M., Zabokrtsky Z. [2000], Computational Problems of Constrained Fuzzy Arithmetic [w:] The State of the Art in Computational Intelligence, red. P. Sincak i in., Physica-Verlag, Heidelberg–New York..

(15) Teoretyczne aspekty problemu odwrotnego…. 149. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 522, Kraków. Urban W. [2009], Wykorzystanie aproksymacji pola pod wykresem funkcji przynależności do rozwiązania problemu odwrotnego w arytmetyce rozmytej, Kraków (w druku). Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8. Zadeh L.A. [1977], Fuzzy Sets and Their Application to Pattern Classification and Clustering Analysis [w:] Classification and Clustering, red. I. VanRysin, Academic Press, New York. Theoretical Aspects of Inverse Problem in Fuzzy Arithmetic The article submits an attempt at supplementing the theory of arithmetic operations on real fuzzy numbers. The goal of considerations is to find a solution to the problem of inverse operation in a fuzzy arithmetic and to the connected issue of equation with one unknown..

(16)