Termodynamika – I: podstawy termodynamiki

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-12

9. Termodynamika - I

9.1. Podstawy termodynamiki:

•

gaz doskonały a gaz rzeczywisty,

•

parametry termodynamiczne,

•

zasady termodynamiki,

•

kinetyczna teoria gazów,

•

przemiany gazu doskonałego,

•

ciepło właściwe,

•

statystyczny opis układu,

Gaz doskonały a gaz rzeczywisty

Pojęcie gazu doskonałego:

▪ gaz składa się z cząsteczek, które możemy traktować jako punkty materialne o tej samej masie;

▪ cząsteczki poruszają się chaotycznie i podlegają zasadom dynamiki Newtona;

▪ całkowita liczba cząstek jest bardzo duża;

▪ objętość cząstek gazu jest dużo mniejsza od objętości naczynia;

▪ poza momentem zderzenia cząstki nie oddziaływają ze sobą żadnymi siłami;

▪ zderzenia są sprężyste, a czas ich trwania krótki.

Pojęcie podstawowe:

Masa atomowa (cząsteczkowa) - stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12_C

Mol - ilość danej substancji, która zawiera liczbę atomów (cząsteczek) równą liczbie atomów w 12 gramach (0,012 kg) węgla 12_C

Liczba Avogadro - liczba atomów bądź cząsteczek w jednym molu substancji. Określona doświadczalnie liczba ta wynosi: N_A = 6,0221367·1023 _mol-1

Warunki normalne – ciśnienie: 101 325 Pa i temperatura: 273,15 K

Prawo Avogadro - w warunkach jednakowego ciśnienia i temperatury jednakowe objętości różnych gazów zawierają jednakową liczbę cząsteczek.

Termodynamiczny opis układu

▪ obiekty traktujemy makroskopowo nie wnikając w naturę cząstek z których się składa;

▪ gaz doskonały: cząsteczki gazu traktujemy jako punkty materialne i zakładamy, że zderzenia z innymi cząstkami i ściankami naczynia są sprężyste;

▪ podstawowe makroskopowe parametry stanu układu to: ciśnienie p, objętość V

i temperatura T;

▪ każda zmiana w układzie termodynamicznym (choćby jednego parametru) nazywa się procesem termodynamicznym;

▪ I zasada termodynamiki:

zmiana energii wewnętrznej układu równa jest sumie ilości ciepła i pracy wymienionej przez układ z otoczeniem;

▪ II zasada termodynamiki:

w procesach odwracalnych zachodzących w układzie entropia* pozostaje stała,

a w nieodwracalnych wzrasta.

* Entropia - termodynamiczna funkcja stanu - określająca przebieg procesów spontanicznych w odosobnionym układzie termodynamicznym.

𝑑𝑆 =

1

𝑇

𝑑𝑄

- wyrażenie Pfaffa,

gdzie T – temperatura bezwzględna; dQ ilość ciepła dostarczona do układu. 4

Pierwsza zasada termodynamiki

Energia wewnętrzna układu U wzrasta, jeżeli układ pobiera energię w postaci ciepła Q, i maleje, kiedy wykonuje pracę W

DU = Q - W

dla nieznacznej przemiany

dU = dQ - dW

Przemiana adiabatyczna

Q = 0



DU = -W

W>0

– praca wykonana przez układ

W<0

– praca wykonana nad układem

Rozprężanie swobodne

Przemiany nieodwracalne

Przemiany jednokierunkowe w układzie zamkniętym

nazywamy nieodwracalnymi

O kierunku procesów nieodwracalnych decyduje zmiana entropii DS układu (parametru stanu

takiego jak T, p, V)

nie ma zasady zachowania entropii, w przemianach

nieodwracalnych entropia układu zamkniętego zawsze rośnie ∆𝑆 = 𝑆_𝑘 − 𝑆_𝑝 = න 𝑝 𝑘 _𝑑𝑄 𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝑄 𝑇 6

Przemiana odwracalna

Przy odwracalnym izotermicznym rozprężaniu gazu doskonałego zmiana entropii zależy od całkowitego ciepła dostarczonego ze zbiornika do gazu

Q>0 – przy rozprężaniu entropia gazu rośnie

przy sprężaniu Q<0 (gaz oddaje ciepło) – entropia gazu maleje

lecz entropia zbiornika rośnie

zmiana entropii układu zamkniętego (gaz + zbiornik) jest sumą obydwu wartości i jest równa zeru

∆𝑆 = 𝑆_𝑘 − 𝑆_𝑝 = 1 𝑇න_𝑝 𝑘 𝑑𝑄 = 𝑄 𝑇 ∆𝑆_𝑔𝑎𝑧 > 0

∆𝑆

_𝑔𝑎𝑧

= −

|𝑄| 𝑇

∆𝑆

𝑧𝑏𝑖𝑜𝑟

= +

|𝑄| 𝑇

∆𝑆 = 0

Druga zasada termodynamiki

Entropia układu zamkniętego wzrasta w przemianach nieodwracalnych i nie zmienia się w przemianach odwracalnych (entropia nigdy nie maleje)

▪ proces nieodwracalny przebiega w kierunku wzrostu entropii

▪ wzrost entropii – przejście układu do stanu mniejszego uporządkowania cząsteczek (stanu większego chaosu)

▪ z I i II zasady termodynamiki wynika:

zmiany liczby cząstek N w układzie

potencjał

chemiczny

∆𝑆 ≥ 0 ale dS = dQ/T → dQ ≤ TdS

d𝑊 = 𝑝 𝑑𝑉

dU = dQ

– dW ≤ T dS – dW

dU = T dS

– p dV +

m

dN

8

Warunki równowagi termodynamicznej

▪ warunkiem

równowagi jest maksimum entropii

▪

lub minimum energii wewnętrznej układu

Potencjał chemiczny wyraża zmianę energii wewnętrznej układu przy zmianie liczby jego cząstek N o jednostkę w warunkach stałej entropii S i stałej objętości układu V

Warunkiem równowagi takiego układu jest równość potencjałów chemicznych obu układów gazów

Rozpatrzmy układ dwóch gazów o potencjałach chemicznych m₁ i m₂ w których następuje wymiana dN cząstek

𝑆 = 𝑆

_𝑚𝑎𝑥

m=

𝜕𝑈

𝜕𝑁 𝑆,𝑉

Kinetyczna teoria gazów

Rozpatrzmy N cząstek gazu w pudełku o objętości V. Jedna cząstka odbijająca się sprężyście od lewej ścianki naczynia wywiera siłę:

Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z tą samą ścianką wynosi:

Dla N cząstek całkowita średnia siła wynosi:

x

y

L

v

_x

-v

_x

bo cząsteczki zderzają się jednakowo ze wszystkimi ściankami iloczyn pV jest stały jak długo stała jest E_K cząsteczek

𝐹

₁

=

∆𝑝𝑥 ∆𝑡

∆𝑝

𝑥

= 𝑚𝑣

𝑥

− −𝑚𝑣

𝑥

= 2 𝑚𝑣

𝑥

∆𝑡 =

2𝐿 𝑣_𝑥

→ 𝐹

1

=

𝑚𝑣_𝑥2 𝐿

𝐹 = N

𝑚𝑣𝑥2 𝐿

→ 𝑝 =

𝐹 𝑆

= N

𝑚𝑣_𝑥2 𝑉

→ 𝑝V=Nm𝑣

𝑥 2 𝑣2 = 𝑣_𝑥2 + 𝑣_𝑦2 + 𝑣_𝑧2 _{= 3𝑣} 𝑥2 𝑣_𝑥2 = 𝑣_𝑦2 = 𝑣_𝑧2 → 𝑣_𝑥2 = 𝑣 2 3 𝑝V=Nm 𝑣2 3 = 2 3𝑁𝐸𝑘 10

równanie stanu

gazu

doskonałego

k – stała Boltzmana, n – liczba moli, N – liczba cząsteczek, R – stała gazowa

trzy stopnie swobody – trzy współrzędne x, y, z

Zasada ekwipartycji energii – równomierny podział energii na wszystkie stopnie

swobody cząsteczek (½kT na cząsteczkę).

Mierząc temperaturę gazu wyznaczmy jednocześnie średnią energię kinetyczną ruchu postępowego jego cząsteczek

Kinetyczna teoria gazów wiąże właściwości makroskopowe gazu (np. ciśnienie i temp.) z właściwościami mikroskopowymi cząsteczek gazu (np. ich prędkością)

przemiany:

izotermiczna, izochoryczna, izobaryczna, adiabatyczna

T

=const.

V=

const

. p

=const.

Q

=0

𝑝V=Nm𝑣 2 3 = 2 3𝑁𝐸𝑘 𝐸_𝑘 = 2 3𝑘𝑇 → 𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝑇 𝑁𝑘 = 𝑛𝑅 → 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

Przemiana izotermiczna

V Zbiornik cieplny W Q T = const T = const dW = Fds = p(Sds) = pdV 𝑊 = න 𝑑𝑊 = න 𝑉𝑝𝑜𝑐𝑧 𝑉𝑘𝑜ń𝑐 𝑝𝑑𝑉 p = nRT/V 𝑊 = න 𝑉_{𝑝𝑜𝑐𝑧} 𝑉_{𝑘𝑜𝑛𝑐} 𝑛𝑅𝑇 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 න 𝑉_{𝑝𝑜𝑐𝑧} 𝑉_{𝑘𝑜𝑛𝑐} 𝑑𝑉 𝑉 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 ln𝑉𝑘𝑜𝑛𝑐 𝑉_{𝑝𝑜𝑐𝑧} p = nRT/V p pocz konc

T

V

Warunek -

stała temperatura T

_konc

=T

_pocz

Przemiana izohoryczna

Zbiornik cieplny W Q V = const T = const 𝑊 = න 𝑑𝑊 = න 𝑉_{𝑝𝑜𝑐𝑧} 𝑉_{𝑘𝑜ń𝑐} 𝑝𝑑𝑉 W = 0

Warunek -

stała objętość V

_konc

=V

_pocz

dostarczone ciepło = zmiana energii wewnętrznej

Przemiana izobaryczna

Zbiornik cieplny W Q p = const T = const 𝑊 = න 𝑑𝑊 = න 𝑉𝑝𝑜𝑐𝑧 𝑉_{𝑘𝑜𝑛𝑐} 𝑝𝑑𝑉 𝑊 = 𝑝 න 𝑉𝑝𝑜𝑐𝑧 𝑉_{𝑘𝑜𝑛𝑐} 𝑑𝑉 = 𝑝(𝑉_{𝑘𝑜𝑛𝑐} − 𝑉_{𝑝𝑜𝑐𝑧})

Warunek – stałe ciśnienie p

_konc

=p

_pocz

Ciepło właściwe

𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊

𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 𝑑𝑈 + 𝛿𝑊 = 𝛿𝑄

Jeśli gaz wykonuje pracę, to jest ona ujemna:

𝑚𝑐_𝑉𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑉 = 𝑚𝑐_𝑝𝑑𝑇 𝑝𝑑𝑉 = 𝑚

𝑀𝑅𝑑𝑇 𝑝𝑉 = 𝑚

𝑀𝑅𝑇

I zasada termodynamiki dla przemiany izobarycznej:

n moli

𝑚𝑐_𝑉𝑑𝑇 + 𝑚

𝑀𝑅𝑑𝑇 = 𝑚𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑐_𝑝 − 𝑐_𝑉 = 𝑅

𝑀 różnica ciepeł właściwych

𝑀𝑐_𝑝 − 𝑀𝑐_𝑉 = 𝑅

𝐶_𝑝 − 𝐶_𝑉 = 𝑅 różnica ciepeł molowych 𝐶_𝑝

𝐶 = 𝑐_𝑝

𝑈 = 𝑖 2𝑅𝑇

Energia wewnętrzna 1 mola gazu doskonałego:

Dla ogrzewania przy V = const:

𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 = 𝑀𝑐_𝑉𝑑𝑇 = 𝐶_𝑉𝑑𝑇𝑈 = 𝐶_𝑉𝑇

𝐶𝑉 =

𝑑𝑈 𝑑𝑇 _𝑉

Ciepło molowe przy stałej objętości:

𝑖 2𝑅𝑇 = 𝐶𝑉𝑇𝐶𝑉 = 𝑖 2𝑅 𝐶_𝑝 = 𝐶_𝑉 + 𝑅 = 𝑖 2𝑅 + 𝑅 = 𝑖 + 2 2 𝑅 Wykładnik adiabaty: cząsteczka i C_V C_p  1-atomowa 3 1.67 2-atomowa – sztywne wiązanie (3 translacyjne + 2 rotacyjne) 5 1.40 2-atomowa – sprężyste wiązanie (3 translacyjne + 2 rotacyjne + 1 oscylacyjny) 7 1.29 3 2𝑅 5 2𝑅 5 2𝑅 7 2𝑅 7 2𝑅 9 2𝑅 𝜅 = 𝐶𝑝 𝐶_𝑉= 𝑖+2 2 >1 16

Przemiana adiabatyczna

W

Izolacja cieplna

Z I zasady termodynamiki wynika, że:

𝛿𝑊 = 𝑑𝑈

Dla 1 mola gazu doskonałego:

𝑑𝑈 = 𝐶_𝑉𝑑𝑇

Zmiana energii wewnętrznej = wykonanej pracy

Brak wymiany ciepła: 𝛿𝑄 = 0

𝐶_𝑉𝑑𝑇 = −𝑝𝑑𝑉 𝑝𝑉 = 𝑅𝑇 𝐶_𝑉𝑑𝑇 = −𝑅𝑇𝑑𝑉 𝑉 𝐶𝑉 𝑑𝑇 𝑇 = −𝑅 𝑑𝑉 𝑉 න 𝑇₂ 𝐶_𝑉 𝑑𝑇 𝑇 = − න 𝑉₂ 𝑅𝑑𝑉 𝑉 𝐶𝑉 ln 𝑇₂ 𝑇₁ = 𝑅 ln 𝑉₁ 𝑉₂ 17

W Izolacja cieplna 𝐶_𝑉 ln𝑇2 𝑇₁ = 𝑅 ln 𝑉₁ 𝑉₂ 𝐶𝑉 ln 𝑇₂ 𝑇₁ = 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 ln 𝑉₁ 𝑉₂ ln 𝑇₂ 𝑇₁ = 𝐶_𝑝 𝐶_𝑉 − 1 ln 𝑉₁ 𝑉₂ ln𝑇2 𝑇₁ = ln 𝑉₁ 𝑉₂ 𝜅−1 𝑇₂ 𝑇₁ = 𝑉₁ 𝑉₂ 𝜅−1 𝑇₁𝑉₁𝜅−1 = 𝑇₂𝑉₂𝜅−1 𝑇𝑉𝜅−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Prawo Poissona dla przemiany adiabatycznej łączące temperaturę gazu i objętość

𝑉 = 𝑅𝑇 𝑝 𝑇₁𝜅𝑝₁1−𝜅 = 𝑇₂𝜅𝑝₂1−𝜅 𝑇𝜅𝑝1−𝜅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑇₁ 𝑅𝑇1 𝑝₁ 𝜅−1 = 𝑇₂ 𝑅𝑇2 𝑝₂ 𝜅−1

Przemiana adiabatyczna

0 2 4 0 2 4 p V izoterma adiabata 𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝𝑉𝜅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑𝑝𝑉 + 𝑝𝑑𝑉 = 0 𝑑𝑝𝑉𝜅 + 𝑝𝜅𝑉𝜅−1𝑑𝑉 = 0 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = − 𝑝 𝑉 𝑑𝑝 𝑑𝑉 = − 𝜅𝑝𝑉𝜅−1 𝑉𝜅 = −𝜅 𝑝 𝑉

Współczynniki kierunkowy adiabaty jest  razy większy od współczynnika kierunkowego izotermy

Izoterma

Układy zwyrodniałe i niezwyrodniałe

▪ Na N jednakowych cząstek przypada G różnych stanów;

▪ N/G << 1 , to cząstki spotykają się rzadko, właściwości kwantowe nie ujawniają się

-układ jest niezwyrodniały;

▪ gdy liczba stanów jest tego samego rzędu co cząstek N/G >1, to układ nazywamy zwyrodniałym;

▪ obiekty klasyczne tworzą tylko układy niezwyrodniałe;

▪ obiekty kwantowe zazwyczaj tworzą układy zwyrodniałe, choć w pewnych warunkach mogą być niezwyrodniałe np. półprzewodniki

▪ rozróżniamy dwa rodzaje cząstek kwantowych:

▪ fermiony - o spinie połówkowym podlegają zakazowi Pauliego, dążą do „samotności”;

▪ bozony - o spinie całkowitym dążą do „łączenia się”, nieograniczenie mogą zapełniać ten sam stan.

Przestrzeń fazowa

▪ przestrzeń fazowa jest to 6N wymiarowa przestrzeń o osiach współrzędnych x, y, z, p_x, p_y, p_z;

▪ każdy punkt przestrzeni fazowej jednoznacznie określa mikrostan cząstki, tzn. podaje jej położenie i pęd;

▪ sekwencja mikrostanów, które przyjmował układ w czasie tworzy pewną krzywą zwaną trajektorią fazową;

▪ dla ruchu jednowymiarowego stan cząstki określa x, p_x;

▪ badania trajektorii fazowej pozwalają znaleźć jego podstawowe własności dynamiczne.

x

p

_x

t

₁

Statystyczny opis układu

▪ makroskopowe właściwości gazów można opisać odwołując się do zjawisk mikroskopowych;

▪ stan każdej cząstki opisujemy przez (x, y, z, p_x, p_y, p_z);

▪ szukamy prawdopodobieństwa zajścia danego zdarzenia;

▪ osobliwością statystycznych prawidłowości jest ich probabilistyczny charakter;

▪ rozkład cząstek w zależności od ich energii opisuje statystyczna funkcja rozkładu;

▪ ze znajomości funkcji rozkładu wyznaczmy wartości średnie energii, pędu, prędkości cząstek;

▪ statystyczna funkcja rozkładu dla cząstek o temperaturze T i potencjale chemicznym m określa średnią ilość cząstek przypadającą na jeden stan układu o energii E;

▪ dla gazu niezwyrodniałego stosuje się statystyką klasyczną (rozkład

Maxwella-Boltzmanna):

𝑓(𝐸)_𝑀𝐵 = 𝑒𝑥𝑝 −(𝐸 − 𝜇)

𝑘𝑇 = 𝑁𝑒

−_𝑘𝑇𝐸

▪ fizyka statystyczna, która bada właściwości układów zwyrodniałych, nazywa się statystyką kwantową;

▪ statystyka Bosego-Einsteina ▪ statystyka Fermiego-Diraca 𝑓(𝐸)_𝐵𝐸 = 1 𝑒𝑥𝑝 (𝐸 − 𝜇)_𝑘𝑇 − 1 𝑓(𝐸)_𝐹𝐷 = 1 𝑒𝑥𝑝 (𝐸 − 𝜇)_𝑘𝑇 + 1

W dostatecznie wysokich temperaturach funkcje rozkładu F-D i B-E przechodzą w klasyczną funkcję M-B, układy zwyrodniałe przechodzą w niezwyrodaniałe

FD

m

f(E)

MB

-m

BE

0

1

𝑓(𝐸) = 1 𝑒𝑥𝑝 (𝐸−𝜇)_𝑘𝑇 ±1 = 𝑒𝑥𝑝෕ −(𝐸−𝜇) 𝑘𝑇 = 𝑁𝑒 −𝐸/𝑘𝑇 ෕ =dla 𝑒𝑥𝑝 (𝐸−𝜇) 𝑘𝑇 ≫ 1

Dla rozkładu Bosego-Einsteina potencjał chemiczny jest zawsze ujemny

Im większa energia tym mniejsze pdp. obsadzenia danego stanu

Gaz elektronów swobodnych

▪ elektrony swobodne w metalu spełniają warunki gazu doskonałego

▪ elektrony są fermionami (s=1/2) więc stosujemy statystykę Fermiego-Diraca

▪ przestrzeń fazowa obiektów kwantowo-mechanicznych jest skwantowana, zaś elementarna komórka fazowa zgodnie z zasada nieoznaczoności Heisenberga ma objętość

dG=dx dy dz dp_x dp_ydp_z=dG_V dG_p=h3

przestrzeń koordynacyjna i pędu w komórce tej mogą znajdować się dwa elektrony o różnych spinach

Jeśli elektron porusza się swobodnie w objętości V to jego pęd jest określony z dokładnością do

dG_V= V 𝑑Γ_𝑝 = 𝑑Γ 𝑑Γ_𝑉 = ℎ3/2 𝑉 24

G(E₀)

całkowita liczba stanów o energii E₀

Funkcja gęstości stanów

V

h

d

G

_p

=

3

2

( )

dp

h

V

p

dp

p

g

3 2

8

=

Funkcję g(p) nazywamy funkcją gęstości stanów w przestrzeni pędów – liczba komórek elementarnych (liczba stanów) w objętości V w jednostkowym przedziale pędów

m

p

E

=

2

2

mE

p

2

=

2

dp

=

1

₂

2

_E

m

dE

( )

( )

E

dE

h

m

V

dE

E

g

1 2 3 2 3

2

4

=

( )

( )

1 2 3 2 3

2

4

_E

_/

h

m

V

E

g

=



Obliczmy liczbę elementarnych komórek fazowych o pędach z przedziału p, p + dp

Przechodząc do przestrzeni energii:

gęstość stanów w przestrzeni energii: p p+dp dp p x p y p z

V

h

dp

p

d

dp

p

p 3 2 2

8

4



₌



G

=

objętość sfery objętość stanu g(E) 0 E₀ 25 E

Kryterium zwyrodnienia

N/G << 1

Obliczmy liczbę stanów cząstek gazu doskonałego (elektronów) o energii E = (3/2)kT:

( )

( )

3 2 3 2 3 0 3 2 2 4 _E h m V dE E g E G( ) = E

_

= 

( )

1 2

( )

3 2 3 2 3 2 3 2 4 _kT h m V E G        = ) (

( )

( )

1 2 2 1 2 3 2 4 2 3 2 2 3 2 1 2 3 3           =        = mkT h V N kT m V h N G N

Azot w warunkach normalnych: n=1025 _m–3_{, m=10}–26 _{kg, to N/G=10}-6_<<1

Dla elektronów o koncentracji n=N/V=1028 _m-3 _{i m=10}-30 kg powyższy warunek jest spełniony dla temperatury przekraczającej 10 000°C

W takich temperaturach metale nie mogą istnieć w stanie stałym, więc gaz elektronowy w metalach jest zawsze zwyrodniały - opisywany jest statystyką Fermiego-Diraca

Całkowita funkcja rozkładu

Całkowita funkcja rozkładu N_m,T(E) jest to funkcja określająca ilość cząstek obsadzających stany o energii E w całym układzie o temperaturze T i potencjale chemicznym m:

( )

(

)

)

(

_, ,

E

g

E

f

E

N

_{m T}

=



_{m T}

Całkowita ilość cząstek w całym układzie określa się wzorem:

( )

E

f

E

dE

g

dE

E

N

N

_o

=



_

_{m T}

=



_



_{m T} 0 0

)

(

)

(

_, ,

Znajomość całkowitej funkcji rozkładu pozwala nam określić średnią wartość energii lub prędkości cząsteczek – uśrednianie statystyczne:

czastek

sumę

energii

suma

dE

E

N

dE

E

N

E

E

=



=





  0 0

)

(

)

(

0 0

N

dv

v

N

v

v







=

)

(

Gaz elektronowy w T = 0 K

Dla

elektronów swobodny metal jest swego rodzaju jamą

potencjału. Zgodnie z zasadą Pauliego w temperaturze 0 K

elektrony

zajmują kolejno wszystkie stany od najniższego do

ostatniego

obsadzonego,

który nazywamy poziomem Fermiego,

a

odpowiadającą mu energię –

energią Fermiego

(

E

_F

)

Analizując funkcję rozkładu Fermiego-Diraca w T = 0 K otrzymujemy:

( )

₍

₎

= +      m − = 1 0 1 k E E f _FD exp 1 1 1 ₌ +  − e 0 1 1 ₌ +  + e

gdy

E < m

gdy

E > m

ten sam rezultat przy założeniu m = E_F (obie wielkości są liczone względem dna jamy

potencjału). Dla E = E_F f(E_F) = 1/2

Poziom Fermiego jest poziomem o prawdopodobieństwie obsadzenia = 1/2

E

_F

Położenie E

_F

w funkcji T

( )

1

2

1

_{ E}

_f

_

( )

2

1

=

E

f

( )

2

1

0

 E

f



dla

E < E

_F

dla

E = E

_F

dla

E > E

_F

Ze wzrostem temperatury poziom Fermiego nieznacznie się obniża a funkcja rozkładu staje się coraz bardziej wygładzona, część elektronów przechodzi na wyższe poziomy energetyczne

E

_F

Jak pamiętamy dla bardzo wysokich temperatur rozkład FD przechodzi w rozkład MB

f(E)

E

E

0 F T=0 300 1000 2000 10 000

1

½

0