Rachunek pstwa w4-2012

(1)

1

RACHUNEK

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

WYKŁAD 4.

PARAMETRY ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

(2)

Wartość oczekiwana.

Oznaczenie EX lub m.

Dla zmiennej losowej skokowej

∑

= i i i p x EX

(jeśli ewentualny szereg jest zbieżny

bezwzględnie, takie szeregi są "odporne"

(3)

3

Dla zmiennej losowej ciągłej

EX = xf x dx

−∞ ∞

∫

( )

(jeśli ewentualna całka niewłaściwa jest

(4)

Przykład

Dla zmiennej losowej o funkcji prawdopodobieństwa xk -1 2 3 pk 0,2 0,6 0,2 6 , 1 2 , 0 3 6 , 0 2 2 , 0 1⋅ + ⋅ + ⋅ = − = EX _.

(5)

5 Interpretacja.

Wartość oczekiwana wyznacza środek ciężkości masy jednostkowej rozłożonej w punktach skokowych.

-1

0,2 0,6 0,2

2 3 1,6

(6)

Przykład

Dla zmiennej losowej o gęstości

f x x x x ( ) , , = ∈< > ∉< >    2 01 0 01 EX =

∫

x ⋅2xdx =2

∫

x dx =2 x = 3 1 0 2 3 0 1 2 0 1 ₃

(7)

7 Przykład

    < ≥ = 1 0 1 1 ) ( 2 x x x x f

wartość oczekiwana nie istnieje bo

∞ = ∞ = = ⋅

_∫

∫

∞ ∞ 1 ln 1 1 1 1 2 dx x x dx x x _.

(8)

Własności wartości oczekiwanej a) Ec = c; c – stała, b) E(aX) = aE(X), c) E(X + Y) = EX + EY, d) Jeśli a ≤ X ≤ b, to a ≤ EX ≤ b , jeśli X ≤ Y _{, to} EX ≤ EY _, e) EX ≤ E X , EX ≤ E X f) X, Y – niezależne, to E(XY) = EX

⋅

EY g) Jeśli Y = g( X ), to       =

∫

∑

∞ ∞ − ciagla X gdy dx x f x g skokowa X gdy p x g EY i i i ) ( ) ( ) ( ciągła

(9)

9 Uwaga.

(

)

_∫

∫

∞ − ∞

−

=

0 0

)

(

)

(

1 F

x

dx

F

x

dx

EX

(10)

Bardziej ogólną definicję wartości oczekiwanej otrzymamy stosując całkę Stieltiesa

( )

∫

∞ ∞ −

=

xdF

x

EX

przy założeniu, że powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.

Ponieważ sumy całkowe definiujące całkę

( )

∫

b a x xdF mają postać

( ) ( )

(

)

∑

= − − = n i i i i n x F x F x S 1 1 ˆ

to dla dystrybuanty kawałkami stałej wartość oczekiwana określona za pomocą całki Stieltiesa jest równa sumie iloczynów skoków dystrybuanty przez punkty skokowe i pokrywa się z określeniem podanym wcześniej.

Natomiast dla dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej mamy

( ) ( )

xi − F xi−1 = F′

( )(

xˆi xi − xi−1

) ( )(

= f xˆi xi − xi−1

)

F

czyli dF

( )

x = f dx′

(11)

11

Z addytywności całki Stieltiesa względem funkcji F mamy następującą własność:

Jeśli zmienna losowa X jest skokowo - ciągła tzn. jej dystrybuanta da cię przedstawić

w postaci F(x) = cF1(x) + (1-c)F2(x), c > 0,

F1- dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X1,

F2- dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X2.

Wtedy

(12)

Inny sposób liczenia wartości oczekiwanych zmiennych losowych skokowo - ciągłych jest następujący:

Jeśli dystrybuanta F jest przedziałami ciągła i różniczkowalna wewnątrz przedziałów ciągłości to

( )

∑

(

( )

)

∫

′ + − = ∞ + ∞ − i i i i F x F x x dx x F x EX ,

gdzie x_i - punkty skokowe dystrybuanty.

Wzór ten pozwala też na wyznaczanie wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y = g(X) bez znajomości rozkłady Y, mianowicie

( ) ( )=

_∫

( ) ( )′ +

∑

( )

(

( )

− ( )

)

= ∞ + ∞ − i i i i F x F x x g dx x F x g X g E EY

gdzie x_i - punkty skokowe dystrybuanty F zmiennej losowej X.

(13)

13 Przykład.

Jeśli zmienna losowa ma dystrybuantę

     > ≤ < + ≤ = 1 1 1 0 5 , 0 25 , 0 0 0 ) ( x x x x x F to F(x) = 0,5F₁(x) + 0,5F₂(x), gdzie      > ≤ < ≤ = 1 1 1 0 5 , 0 0 0 ) ( 1 x x x x F      > ≤ < ≤ = 1 1 1 0 0 0 ) ( 2 x x x x x F Zatem EX = 0,5⋅0,5+0,5⋅0,5 = 0,5.

(14)

II sposób. (0 0,25 1 0,25) 0,25 0,25 0,5 5 , 0 1 0 = + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

_∫

x dx EX

(15)

15

Miarą rozrzutu wartości zmiennej

losowej jest wariancja.

Wariancja.

Oznaczenie D2X lub

σ

2 lub VX. D2X = E(X – EX)2

Dla zmiennej losowej skokowej

D X

2

=

∑

(

x

_i

−

EX

)

2

p

_i

Dla zmiennej losowej ciągłej

D X2 = x − EX 2 f x dx

−∞ ∞

(16)

Własności wariancji a)D2c = 0; c – stała, b)D2(aX) = a2 D2(X), c)D2(X + b) = D2X , b – stała, d)X, Y – niezależne, to D2(X ± Y) = D2X + D2Y e) D2X = E(X2) – (EX)2.

(17)

17 Wykorzystanie własności e)

( )

      − − =

∫

∑

∞ ∞ − ciagla X gdy EX dx x f x skokowa X gdy EX p x X D i i i 2 2 2 2 2 ) ( ciągła

(18)

Odchylenie standardowe.

Oznaczenie DX lub

σ

.

(19)

19 Własność

Jeśli X ma wartość oczekiwaną

m i odchylenie standardowe

σ

> 0 to zmienna losowa Y X m = − σ ma EY = 0 i DX = 1.

Zmienną losową Y nazywamy zmienną losową standaryzowaną.

(20)

Przykład

f x x x x ( ) , , = ∈< > ∉< >    2 01 0 01 mamy ₃ 2 = EX _zatem 18 1 9 4 3 4 2 2 3 2 1 0 2 3 1 0 2 2

∫

 =      + − = ⋅       − = x xdx x x x dx X D

(21)

21

II sposób (na podstawie własności e))

18 1 9 4 2 1 9 4 2 3 2 2 1 0 3 1 0 2 2 2 = − = − =       − ⋅ =

_∫

x xdx

_∫

x dx X D

(22)

Przykład

Jeśli niezależne zmienne losowe Xi

(i = 1, 2, ..., n) mają taką samą wartość oczekiwaną m i takie samo odchylenie standardowe

σ

> 0 to zmienna losowa X

będąca ich średnią

X

_n

_i

X

i

n

=

∑

1

1 ma

EX

=

m

; DX = _n

σ

(23)

23

Nierówność Czebyszewa.

Jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe

σ

> 0 to dla dowolnego

ε

> 0 mamy

(

)

2 2

ε

σ

ε

≤ ≥ − m X P

(24)

Moment rzędu k ( k - liczba naturalna)

( )

k

E

X

m

=

własność e) wariacji można zapisać

(25)

25

Własność. Jeśli istnieje mk to istnieje ms

(26)

Moment centralny rzędu k ( k - liczba naturalna)

(

)

(

k

)

k

=

E

X

−

EX

µ

Zauważmy, że w szczególności

µ1 = 0,

(27)

27

współczynnik asymetrii (skośności)

3 3

σ

µ

=

(28)

i współczynnik skupienia (kurtozę) 4 4

σ

µ

= k

(29)

29

Zależności między momentami zwykłymi

i centralnymi.

∑

=  −     = k i i i k k m i k m 0 1 µ

(30)

w szczególności 2 1 2 2

m

=

µ

+

_, 3 1 1 2 3 3

3 m

m

=

µ

+

µ

+

_, 4 1 2 1 2 1 3 4 4 4 m 6 m m m = µ + µ + µ + _,

(31)

31

( )

∑

=  −     − = k i i i k k k m m i k 0 1 1 µ w szczególności 2 1 2 2

=

m

−

m

µ

_, 3 1 1 2 3 3 = m − 3m m + 2m µ _, 4 1 2 1 2 1 3 4 4 = m − 4m m + 6m m −3m µ _,

(32)

Kwantylem rzędu p (0 < p < 1) zmiennej

losowej X o dystrybuancie F nazywamy liczbę x_p, taką, że

( )

_≤ _≤

( )

+

p p p F x

x F

(33)

33

Zauważmy, że dla zmiennej losowej ciągłej xp wyznaczymy z równości

( )

x

p

F

_p

=

Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy medianą. Kwantyle rzędu 0,25 ; 0,5; 0,75 nazywamy

(34)

Kwantyle istnieją dla każdej zmiennej losowej, lecz nie zawsze są wyznaczone jednoznacznie.

Przykład.

Dla zmiennej losowej o gęstości    > < ∪ > ∉< > < ∪ > ∈< = 3 , 2 1 , 0 0 3 , 2 1 , 0 5 , 0 ) ( x x x f _{medianą jest}