EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI*
NEGACJA NAZWOWA A NIEOKRE LONO !
I NIEOSTRO ! NAZW
*W pracy niniejszej nawi"zuje si# do konstrukcji z dwoma typami negacji – zewn#trznej (~) i wewn#trznej (¬). Maj"c na uwadze przedmiot nale$"cy do danego uniwersum i dany zbiór predykatów, niektóre z nich mu przy-sługuj", inne za% nie. Mog" by& te$ takie predykaty, o których nie mo$na sensownie orzec, $e mu przysługuj" – i to jest tym trzecim przypadkiem (nieokre%lono%&), który konstrukcja ta pozwala wyró$ni&. Jest to niekla-syczna teoria predykacji. W klasycznej teorii predykacji (której standardow" realizacj" jest klasyczny rachunek predykatów) mamy tylko jeden funktor negacji (negacji zewn#trznej).
Mo$na przenie%& t# ide# do rachunku nazwowego. Proponuje si# tu pewne rozszerzenie ontologii elementarnej, gdzie analogiczne dystynkcje w%ród funktorów predykacji i negacji nazwowej pozwalaj" (z perspektywy meta-j#zykowej) uchwyci& fenomen nieokre%lono%ci (nieostro%ci) nazw w nowym %wietle.
ONTOLOGIA ELEMENTARNA
W j#zyku ontologii elementarnej wyst#puj" zmienne nazwowe (x,y,z,u), stałe logiczne (~, , ,∧ ∨ → ↔ ), symbole kwantyfikatorów ( , ),, Π Σ stała spe-cyficzna jest ( )ε i nawiasy.
Dr hab. EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI – Zakład Filozofii Przyrody i Historii Kultury Regio-nalnej, Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołł"taja w Krakowie; adres do korespondencji: al. 29 Listopada 46, 31-425 Kraków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
*
Praca ta była referowana na VIII Polskim Zje'dzie Filozoficznym (Warszawa, 15-20 wrze%-nia 2008 r.).
Aksjomat specyficzny ontologii elementarnej (OE) ma form#: A( x yε ↔ Σz z x( ε )∧ Πzu z x( ε ∧u xε →z uε )∧ Πz z x( ε →z yε ) Definicyjnie przyjmowane s" tu funktory1:
D xε ↔x xε x jest przedmiotem
D! xε!↔x xε ∧ x xε x jest przedmiotem-sprzecznym
Dex ex x( )↔ Σz z x( ε ) x istnieje
Dsol sol x( )↔ Πzu z x( ε ∧u xε →z uε ) istnieje-co-najwy ej-jedno x D ⊂ x⊂y↔ Πz z x( ε →z yε ) x zawiera-si!-w y D = x=y↔x yε ∧y xε x jest-identyczne-z y D ! x!y↔ Πz z x( ε ↔z yε ) x jest-zakresowo-identyczne-z y Dn x yε ↔x xε ∧ x yε x jest nie y D ∩ x yε ∩ ↔z x yε ∧x zε x jest y i z D ∪ x yε ∪ ↔z x yε ∨x zε x jest y lub z
Regułami pierwotnymi systemu s" reguła podstawiania (dla zmiennych nazwowych) i reguła odrywania (MP). System ten jest ufundowany na w#$-szym rachunku predykatów bez identyczno%ci2. Regułami wtórnymi s" tu: R1x y x xε / ε
R2x yε ∧y z x zε / ε
R3x yε ∧y z y xε / ε
IDEE SEMANTYCZNE
Negacja nazwowa (n) przyjmowana w ontologii elementarnej, podobnie jak w innych konstrukcjach b#d"cych interpretacjami algebry Boola, reali-zuje ide# De Morgana: zakres nazwy negatywnej nA jest dopełnieniem za-kresu nazwy A w całym uniwersum (A∪nA= W j#zyku naturalnym ne-). gacja A ( nA ) jest zwykle zrelatywizowana do jakiego% fragmentu
uniwer-1
Z prawej strony podajemy standardowy sposób ich czytania. Za pomoc" ł"cznika (-) sygnalizujemy nieanalizowalno%& danej frazy.
2
Oryginalny system ontologii Le%niewskiego jest ufundowany na prototetyce. Za wst#p do ontologii elementarnej mo$e słu$y& praca J. Słupeckiego St. Le"niewski’s calculus of names, „Studia Logica” 3 (1955), s. 7-70.
sum, który nazwiemy jej zasi!giem. Zasi#g negacji A jest zakresem pewnej nazwyB, takim $e: A∪nA=B.
Tak" negacj# nazwow" b#dziemy nazywali negacj# okre"lon# (z uwagi na jej zakres).
Nieodró$nianie mi#dzy negacj" pierwsz", któr" mo$emy nazwa& negacj# dopełniaj#c# (n), a negacj" okre%lon" ( )n jest 'ródłem powa$nych bł#dów3.
Nazwy b#dziemy dzieli& na okre%lone i nieokre%lone: Nazwa A jest okre"lona
wtw4 dla pewnej nazwy B, Πx x A( ε →x Bε )∧ Πx x B( ε →x Aε ∨x nAε ). Nazwa A jest nieokre"lona
wtw dla pewnej nazwy B, Πx x A( ε →x Bε )∧ Σx x B( ε ∧ x Aε ∧ x nAε ). Przy negowaniu tego typu dla danego zasi#gu negacji (zwykle przyjmo-wanego implicite), pozostaj"c w jego zasi#gu otrzymujemy nazw# okre%lon". Zwi#kszenie zakresu nazwy b#d"cej zakresem negacji poci"ga za sob" zwyk-le to, $e: negacja okre"lona ( )n przechodzi w negacj! nieokre"lon# ( ).n! Przykładowo nazwa niepal#cy (niepal#ca/niepal#ce) jest okre%lona w za-kresie nazwy człowiek (pal#cy ∪ niepal#cy = człowiek), a staje si# niekre%lo-n" przy zmianie zasi#gu negacji na zakres nazwy ssak, bo przecie$ istnieje takie x, $e xε ssak∧ xε pal#ce∧ xεniepal#ce. Podobnie jak o pewnym człowieku mo$emy sensownie orzec, $e jest szczery lub nieszczery i uzys-kana w ten sposób nazwa nieszczery jest okre%lona w zakresie nazwy czło-wiek, a staje si# nazw" nieokre%lon" przez zwi#kszenie zasi#gu tej negacji np. do całego uniwersum.
Tak zwane nazwy ostre i nazwy nieostre5 traktujemy tu jako szczególne przypadki odpowiednio nazw okre%lonych i nieokre%lonych. Rozró$nienie to jest zrelatywizowane do pewnej własno%ci stopniowalnej6.
Nazwami nieostrymi s" na przykład: ciepły, ci! ki, du y, słodki, łysy, wysoki.
3
Przestrzegali przed tym K. Twardowski (O tre"ci i przedmiocie przedstawie$, [w:] t e n $ e,
Wybrane pisma filozoficzne, PWN, Warszawa 1965, s.18 n.) i T. Cze$owski (O metafizyce jej kierunkach i zagadnieniach, Toru) 1948, s. 72 n.). Zob. równie$ prac# I. D"mbskiej Niektóre poj!cia gramatyki w "wietle logiki ([w:] Szkice filozoficzne. Romanowi Ingardenowi w darze,
Warszawa–Kraków 1964) i W.Stró$ewskiego Z problematyki negacji (tam$e).
4
Wyra$enie wtw jest tu skrótem wyra$enia wtedy-i-tylko-wtedy-gdy.
5
Zob. T. K u b i ) s k i, Nazwy nieostre, „Studia Logica” 7 (1958), s. 115175; T. P a w ł o w -s k i, Tworzenie poj!% w naukach humani-stycznych, War-szawa 1986, -s. 18 n.
6
PRELIMINARIA
Zarysujemy tu pewn" konstrukcj#, b#d"c" rozszerzeniem klasycznego rachunku predykatów.
NEGACJA ZEWN*TRZNA. Funktor negacji zdaniowej (~), wyst#puj"cy w tym
systemie (jak równie$ w klasycznym rachunku predykatów), jest tu nazy-wany negacj# zewn!trzn#.
NEGACJA WEWN*TRZNA. Aksjomat wprowadzaj"cy funktor negacji we-wn!trznej (¬) ma posta&7:
A¬ f(x) → ~¬f(x),
gdzie f reprezentuje tu predykaty.
Aksjomat ten mo$e by& czytany: Je eli f przysługuje x, to nie-prawda- e f nie przysługuje x.
Definicyjnie jest tu wprowadzany funktor nieokre"lono"ci:
D? ?f(x) ↔ ~f(x) ∧ ~¬f(x) f jest-nieokre"lone-wzgl!dem x Do tez b#d"cych bezpo%rednimi konsekwencjami A¬ i D? nale$":
~(f(x) ∧ ¬f(x)) ¬f(x) → ~ f(x) f(x) ∨ ¬f(x) ∨ ?f(x) Ostatni" tez# mo$na czyta&:
f przysługuje x lub f nie przysługuje x lub f jest-nieokre"lone-wzgl!dem x. Rozró$nienie mi#dzy tymi dwoma typami negacji pozwala na traktowanie tak samo zda) typu:
7
Rozró$nienie mi#dzy tymi dwoma funktorami negacji zaproponował Aleksander Zinowiew (w traskrypcji niemieckiej: Sinowjew). Zob. A. S i n o w j e w, Nichttraditionelle
Quantoren-theorie, [w:] Quantoren-Modalitäten-Paradoxien. Beiträge zur Logik, hrsg. H. Wessel. Berlin
1972, s. 179-205. Ide# t# rozwija wraz z nim Horst Wessel (A. S i n o w j e w, H. W e s s e l,
Lo-gische Sprachregeln, Berlin 1975, s. 239 nn. oraz H. W e s s e l, Logik, Berlin 1984). W ostatniej
z prac mo$na znale'& równowa$ne sformułowanie tego aksjomatu (s. 186). Zmienna x wyst#-puj"ca w tej formule mo$e by& zast"piona sekwencj" zmiennych.
Ksi! yc jest szczery – w skrócie – szczery(Ksi! yc) Ksi! yc nie jest szczery – w skrócie – ¬szczery(Ksi! yc),
tj. ich ł"czne zanegowanie (negacja zewn#trzna), a wi#c uznanie za praw-dziwe, w zgodzie z naszymi intuicjami j#zykowymi, zdania
~szczery(Ksi! yc) ∧ ~¬szczery(Ksi! yc). Jego równowa$nikiem jest zdanie
?szczery(Ksi! yc),
które mo$na wyrazi& słownie: bycie-szczerym jest-nieokre"lone-wzgl!dem Ksi! yca8.
PEWNE ROZSZERZENIE ONTOLOGII ELEMENTARNEJ
SYSTEM ROE. System ontologii elementarnej wzbogacimy o nowy aksjo-mat, wprowadzaj"cy funktor okre"lonego negatywnego orzekania ( )ε 9:
Aε x yε → " x yε
Wyra$enie elementarne x yε czytamy: x jest-okre"lenie-nie y. Aksjomat ten znaczy tyle co: Je eli x jest y, to nieprawda, e x jest-okre"lenie-nie y.
W tak rozszerzonym systemie (ROE) przyjmiemy definicyjnie funktory nie-okre"lonego orzekania ( )ε! oraz okre"lonej ( )n i nieokre"lonej negacji ( ) :n! Dε! x yε! ↔" x yε ∧" x yε x jest-nieokre"lenie-nie y Dn x nyε ↔x xε ∧x yε x jest okre"lenie-nie y Dn! x nyε! ↔x xε ∧x yε! x jest nieokre"lenie-nie y
System ten posiada te same reguły pierwotne co poprzedni. Do jego reguł wtórnych nale$": R4 x yε /" x yε R5 x yε /" x yε 8 Por. W e s s e l, Logik, s. 178. 9
WYBRANE TEZY. Do tez systemu ROE nale$": T1 x yε ∨x yε ∨x yε! [D ]ε!
Zgodnie z T1: x jest y lub x jest-okre"lenie-nie y lub x jest-nieokre"lenie-nie y. T2a x nyε →x nyε ∨x nyε! Dem. x nyε →x xε ∧ " x yε [Dn] ( ) x xε ∧ x yε ∨x yε! [T1] x nyε ∨x nyε! [D , D ]n n! T2b x nyε ∨x nyε! →x nyε [D , D ,n n! R5, D ,ε! Dn] T2 x nyε ↔x nyε ∨x nyε! [T2a,T2b]
x jest nie y wtw x jest okre"lenie-nie y lub x jest nieokre"lenie-nie y. T3 x nyε ↔x nyε ∧" xeny! [T2] T4 x nyε! ↔x nyε ∧" x nyε [T2] T5a x nnyε →x yε ∨x nyε! [Dn,T1, D ]n! T5b x yε ∨x nyε! →x nnyε [R1,R4, D ,n Dn, D , D ]n! ε! T5 x nnyε ↔x yε ∨x nyε! [T5a,T5b] T6a " x yε →x yε ∨x yε! [T1] T6b x yε ∨x yε! →" x yε [R5, D ]ε! T6 " x yε ↔x yε ∨x yε! [T6a,T6b]
x nie jest y10 wtw x jest-okre"lenie-nie y lub x jest-nieokre"lenie-nie y.
10
Jest to dopuszczalny sposób czytania tej formuły – zgrabniejszy ni$ nieprawda- e x jest y. Fraz# x nie jest y nale$y odró$nia& tu od frazy x jest nie y.
SYSTEM QOE. Tadeusz Kubi)ski zaproponował pewien system rachunku nazw, zawieraj"cy fragment ontologii elementarnej, który nazwał quasi-onto-logi# (QOE)11. System QOE oprócz aksjomatu Aε oraz definicji D ∩ i D ∪ posiada aksjomaty specyficzne determinuj"ce funktor negacji nazwowej (v)12: A1 x yε → " x vyε
A2a x v yε ( ∪z)↔x vyε ∧x vzε
A2b x v yε ( ∩z)↔x vyε ∨x vzε
A2c x vvyε ↔x yε
Posiada on te same reguły pierwotne jak OE.
Scharakteryzowana tu aksjomatycznie negacja nazwowa (v) jest w intencji Kubi)skiego formalnym odpowiednikiem negacji nazwowej (okre"lonej lub nieokre"lonej – w naszym uj#ciu) wyst#puj"cej w j#zyku naturalnym.
QOE JAKO FRAGMENTROE. Zachodzi twierdzenie:
Twierdzenie 1. System QOEzawiera si! inferencyjnie w systemie ROE. Przyjmiemy na gruncie ROE definicj#:
Dv x vyε ↔x nyε ∨x nyε! Otrzymujemy natychmiast: T7 x vyε ↔x nyε Dem. x vyε ↔x nyε ∨x nyε! [Dv] x xε ∧(x yε ∨x yε! ) [D , D ]n n! x xε ∧ " x yε [R5, D ,ε! T1] x nyε [Dn]
Tez" systemu QOE jest:x vyε →x xε ∧ " x yε . W odró$nieniu od systemu ROE implikacja odwrotna tam nie zachodzi. ROE jest systemem istotnie bogatszym. T8 x yε → " x vyε (=A1) [Dn,T7]
11
Zob. K u b i ) s k i, Nazwy nieostre, s. 126 nn.
12
Aksjomaty tego systemu zapiszemy inaczej, zmieniaj"c przy tym w sposób nieistotny notacj#.
Poniewa$ na gruncie OE mamy, na mocy definicji Dn, D ∩ i D ,∪ tezy b#-d"ce odpowiednikami aksjomatów A2a,A2b i A2c dla funktora n, to z uwagi na T7, aksjomaty A2a, A2b i A2c s" ich równowa$nikami. Ko)czy to dowód tego twierdzenia.
NIESPRZECZNO ! ROE. System ROE mo$na zinterpretowa& w prototetyce13. Translacja (ϕ) z formuł ROE na formuły prototetyki b#dzie miała posta&:
1. Zmienne nazwowe przechodz" w zmienne zdaniowe, 2. Stałe
!
,
s" interpretowane odpowiednio przez stałe: 1 i 0,3. Funktory , ,ε ε ex sol, , , , , , ,⊂ = " n ∩ ∪ s" interpretowane odpowiednio przez funktory prototetyki: , ,∧ ∧ as vr, ,→ ∧ ↔, , , , , ," ∧ ∨
4. Funktory , , ," ∧ ∨ → ↔, pozostaj" bez zmian przy tej interpretacji. Funktor ∧ jest zdefiniowany nast#puj"co:
D ∧ p∧q↔" (p∧q),
a funktory as i vr s" odpowiednio funktorami asercji i verrum.
Aksjomaty i definicje ROE przechodz" przy tej interpretacji w tezy pro-totetyki: A ϕ ε p∧q↔ Σr r( ∧p)∧ Πrs r( ∧p∧ ∧s p→ ∧r s)∧ Πr r( ∧p→ ∧r q) A ϕ ε p∧q→~ (p∧q) D ϕ p∧1 ↔ p D ϕ ! p∧0 ↔ p∧~ p Dex ϕ as p
( )
↔ Σr r( ∧ p) Dsol ϕ vr p( )
↔ Πrs r( ∧p∧ ∧s p→ ∧r s) D ϕ ⊂(
p→q)
↔ Πr r( ∧ p→ ∧r q) D ϕ = p∧q↔(p∧q)∧(q∧p) D ϕ "(
p↔q)
↔ Πr r( ∧p↔ ∧r q) Dn ϕ p∧~q↔ p∧~ (p∧q) D ϕ ∩ p∧(q∧r)↔(p∧q)∧(p∧r) D ϕ ∪ p∧(q∨r)↔(p∧q)∨(p∧r) 13W sprawie prototetyki zob. J. S ł u p e c k i, St. Le"niewski’s protothetics, „Studia Logica” 1 (1953), s. 44-112.
UWAGI KO+COWE
Rozró$nienie mi#dzy nazwami okre%lonymi i nieokre%lonymi, z uwagi na dan" dziedzin# przedmiotów (uniwersum dyskursu), jest tu traktowane jako pierwotne w stosunku do drugiego rozró$nienia – nazwy ostre i nieostre. Drugi z tych podziałów jest szczególnym przypadkiem podziału pierwszego.
Pierwsza z dystynkcji jest filozoficznie istotniejsza. W zgodzie z t" semantyczn" konstatacj", został zaproponowany pewien rachunek nazw, b#d"cy rozszerzeniem ontologii elementarnej.
Konstrukcja ta pozwala na analogiczne dystynkcje pomi#dzy funktorami negacji.
Zarysowuje si# mo$liwo%& wykorzystania tego narz#dzia formalnego w analizie j#zyka naturalnego jak te$ – co warte podkre%lenia – w analizie negatywnych typów predykacji spotykanych w tekstach filozoficznych.
BIBLIOGRAFIA
C z e $ o w s k i T.: O metafizyce jej kierunkach i zagadnieniach, Toru) 1948.
D " m b s k a I.: Niektóre poj#cia gramatyki w %wietle logiki, [w:] Szkice filozoficzne. Romanowi Ingardenowi w darze, Warszawa–Kraków: PWN 1964.
K u b i ) s k i T.: Nazwy nieostre, „Studia Logica” 7 (1958), s. 115-175.
P a w ł o w s k i T.: Tworzenie poj#& w naukach humanistycznych, Warszawa: PWN 1986. S i n o w j e w A.: Nichttraditionelle Quantorentheorie, [w:] Quantoren-Modalitäten-Paradoxien.
Beiträge zur Logik, hrsg. H. Wessel. Berlin 1972, s. 179-205. S i n o w j e w A., W e s s e l H.: Logische Sprachregeln, Berlin 1975.
S ł u p e c k i J.: St. Le%niewski’s protothetics, „Studia Logica” 1 (1953), s. 44-112. — St. Le%niewski’s calculus of names, „Studia Logica” 3 (1955), s. 7-70.
S t r ó $ e w s k i W.: Z problematyki negacji, [w:] Szkice filozoficzne. Romanowi Ingardenowi w darze, Warszawa–Kraków: PWN 1964.
T w a r d o w s k i K.: O tre%ci i przedmiocie przedstawie), [w:] t e n $ e, Wybrane pisma filozoficzne, Warszawa: PWN 1965, s. 3-91.
W e s s e l H.: Logik, Berlin 1984.
NAME NEGATION VERSUS INDEFINITENESS AND VAGUENESS OF CONCEPTS
S u m m a r y
The author refers to the construction that includes two types of negation – external (~) and internal (¬). When we consider an object belonging to a given universe and a given set of pre-dicates, some of them belong to it, and others do not. There may also be such predicates about which it cannot be sensibly stated that they belong to the object – and this is the third case
(vagueness) that can be explained by such a construction. It is a non-classical theory of predica-tion. In the classical theory of predication (whose standard realization is the classical predicate calculus) we only have one negation operator (external negation).
The idea may be transferred to the calculus of names. In the article a certain broadening of elementary ontology is suggested, where analogous distinctions among predication operators and name negation allow (from the meta-linguistic perspective) perceiving the phenomenon of inde-finiteness (vagueness) of names in a new light.
Translated by Tadeusz Karłowicz
Słowa kluczowe: negacja nazwowa, nieokre%lono%& nazw, nieostro%& nazw. Key words: name negation, indefiniteness of concepts, vagueness of concepts.
Information about Author: EUGENIUSZ WOJCIECHOWSKI, Ph.D. – Philosophy of Nature and Regional Culture History Division, Agriculture University of Cracow; address for corres-pondence: al. 29 Listopada 46, PL 31-425 Kraków; e-mail: rlwojcie@cyf-kr.edu.pl
