M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 3/ 4,20(1982)
O WIĘ ZACH WEWNĘ TRZNYCH DLA MATERIAŁÓW TYPU
PRĘ DKOŚ CIOWEGO
ANNA WAC H E C K A- S K O WR O N
Instytut Mechaniki Uniwersytet W arszawski
1. Wstę p
W literaturze znane jest poję cie wię zów wewnę trznych dla materiał ów prostych [1, 2, 3, 4] jako pewnych ograniczeń na klasę dopuszczalnych deformacji. Ograniczenia te mają postać równań @(C) = 0, gdzie C jest miarą deformacji, a 0: R6
-»• Rk
, 1 =g k ^ 6,
znaną róż niczkowalną funkcją . Tak wprowadzone wię zy powodują pewną nieokreś loność naprę ż eń. Zakł ada się , że tensor naprę ż enia T jest sumą dwóch czł onów T = To + 7\ , z których jeden jest dany przez funkcjonał konstytutywny To = # "( C (
( 0
) , a drugi nazy-wamy reakcją wię zów, [2]. Tak wię c z reguł y zakł ada się , że ograniczeniom dla miar de-formacji muszą towarzyszyć stany naprę ż enia reakcyjnego, utrzymują ce te ograniczenia. Jednocześ nie zakł ada się , że praca tensora reakcji wię zów Tx n a dowolnym tensorze prę dkoś ci odkształ cenia Ć, zgodnym z warunkiem &(C) = 0 jest równa 0.
Tematem tego komunikatu jest zagadnienie wię zów wewnę trznych w materiał ach typu prę dkoś ciowego. Bę dziemy rozważ ać materiał typu prę dkoś ciowego, którego równanie konstytutywne ma postać
00 («- i) . c«)
(1.1) T = A,.! T + ... +AlT+BmC+ ... +B1C, to
gdzie T, i = 1, 2, ..., n jest z- tą pochodną czasową drugiego tensora naprę ż enia Pioli-(0
Kirchhoffa, C, / = 1,2, ..., m , /- tą pochodną prawego tensora odkształ cenia G reena, znane operatory A1; ..., An~x, Bx , ..., Bm dział ają ce z R
6
w R6 mogą zależ eć od C i T . Celem pracy jest wprowadzenie poję cia wię zów wewnę trznych dla materiał u zdefinio-wanego równaniem (1.1) i analiza przypadku szczególnego tych wię zów, który prowadzi do pewnych uogólnień poję cia nieś ciś liwoś ci materiał u. W pracy korzystamy z ogólnej koncepcji wię zów wewnę trznych podanej w [5]. Koncepcja t a polega n a uwzglę dnieniu sytuacji, w których ograniczenia dla miar deformacji są przedstawione w zupeł nie ogólnej postaci, tj. postaci, która nie musi wyraż ać się przy pomocy ukł adu równań. Obejmuje ona również przypadki, w których mogą nie wystę pować ograniczenia dla miar deformacji, a mimo to, mogą wystę pować reakcje wię zów.
238 A. WACHECKA- SKOWRON
2. Podstawowe relacje R ównanie (1.1) napiszemy w postaci
(2.1) . a = Ae,
C«) ( 8 - 1 ) . P")
gdzie a = T , e — ( T , ..., T ,C, ..., C), A = A(C , T) jest znanym operatorem linio-wym okreś lonym dla każ dej pary C, Tn a przestrzeni E = J?fc, /c = 6 («+w- z - 1 ) o wartoś ciach w Z" = J?6.
D efinicja 1. Powiemy, że n a wł asnoś cima terialu okreś lone przez (2.1) został y narzucone wię zy wewnę trzne, gdy dana jest multifunkcja W : E - > Is o nastę pują cych wł asnoś ciach
1. K m d o m y7
== {e\ W (e) =£ 0 } jest niepustym, domknię tym podzbiorem E, 2. (Ve e K)(V(e) = {s}) => ({s = 0) A (K = £ ) ) .
Z biór '^(e) jest zbiorem wszystkich moż liwych reakcji wię zów odpowiadają cych deformacji e e K, t j. bę dziemy przyjmować, że
(2.2) a = Ae + s, se!f(e).
M ateriał , którego wł asnoś ci okreś lone są relacją (2.2) bę dziemy nazywać materiał em typu prę dkoś ciowego z przyrostowymi wię zami wewnę trznymi.
D efinicja 2. G dy K = E i (3e eK)(\ P(e) ^ {0}), to ograniczenia narzucone na rów-n a {0}), to ograniczenia narzucone na rów-n ia ko {0}), to ograniczenia narzucone na rów-nstytutyw {0}), to ograniczenia narzucone na rów-ne (2.1) {0}), to ograniczenia narzucone na rów-nazwiemy ą uasi- wię zami.
W przypadku ą uasi- wię zów nie ma ograniczeń na e, a jednak wystę puje reakcja wię zów sr
Sytuację taką zilustrujemy n a przykł adach w nastę pnym paragrafie.
D efinicja 3. W przypadku gdy istnieje subróż niczkowalna [6] funkcja i/>: E - > R taka,, że dla każ dego e eJSf2biór
x
P{e) jest subróż niczką funkcji — ip w punkcie e, tzn. (2.3) P M ? « ) i VeeZ,
wię zy nazywamy wtedy subpotencjalnymi, a funkcję ^ nazywamy subpotencjał em wię zów.. Relacja (2.2) jest równoważ na relacji
(2.4) (y- e)'S+yi(y)- y(e)ZO, MyeK.
K ropka w ostatnim wzorze oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni E. Z (2.4) wynika, że
(2.5) y s + Y>0>) > e • s + v(c), Vj 6 iś T.
Stą d wyn ika:
Lem at: Jeż eli przyrostowe wię zy wewnę trzne w materiale typu prę dkoś ciowego są subpotencjalne, t o wielkość e e K realizuje minimum funkcjonał u
(2.6) J(y) = y s+ip(y) n a zbiorze K. na zbiorze K.
Powyż sze rozważ ania ogólne zilustrujemy przypadkiem szczególnym przyrostowych wię zów wewnę trznych.
\
3. O pewnym uogólnieniu poję cia nieś ciś liwoś ci
Rozważ my przypadek szczególny równania (1.1), w którym n = 1, m = 1, tj. równanie postaci
O WIĘ ZACH WEWNĘ TRZNYCH 2 3 9
W d a lszym cią gu t r a kt u je m y więc a ja k o t e n so r p r z yr o st u ( p r ę d ko ś c i) n a p r ę ż e n ia o r a z e ja k o t e n so r p r z yr o st u ( p r ę d ko ś c i) o d kszt a ł c e n ia . Z n a n y d la d a n e j p a r y C , T o p e r a -t o r A je s-t o kr e ś lo ny n a p r ze s-t r ze n i E = R6
.
R o z ł ó ż my t e n so r p r z yr o st u o d kszt a ł c e n ia e n a czę ść ku list ą i d e wia t o r
(3.2) e = eD
+ le°, gdzie eD
e ED
c E, c° eR, An a lo gic zn ie p o st ą p imy z t e n so r e m p r zyr o st u n a p r ę ż eń a
(3.3) a = aD
+ l < j °, gd zie aD
ED
c E, a° eR.
P rzyjm u jem y r ó wn a n i a k o n st yt u t ywn e (3.1) w p o st a c i
aD m AD eD , ( 3 '4 ) a° - A°e °. gdzie AD
: E - > E, A° : R- * R są z n a n ym i o p e r a t o r a m i . N a r z u c i m y n a ( 3.4) wię zy d a n e
" p r zez m u lt ifu n kc ję W = ( FD ) Wo), l /y D : £ D - > 2E , V0:R- >2R , k t ó r e z d e fi n i o wa n e są n ast ę p u ją cą relacją (3 5) <T° = A £ + P gdzie ^D e !FD( e D ) , /> e l F0(e°).
P rzyjm u jem y, że VeD
, l
iy D( f
D
) = {0}. Wt ed y relac ja (3.5) m a p o st a ć
( 3
'6 )
' a° = A°e°'+p. Wielko ść p opisują r ea kc ję wię zó w.
N iec h ip: R - » R bę d zie fu n kcją t a ką , że
V0(e°) = - dy>{e°)t' Ve° e R.
Wt e d y relację (2.4) m o ż na z a p isa ć n a st ę p u ją c o:
gd zie p e — 8tp(e°).
R o z wa ż my t e r a z p e wn e p r z yp a d k i szczegó ln e fun kcji %p. 1. P rzyjm iem y, że
I 0 d la r < b wtr\ — } 1 w \ «(r- b) dla r > fe, a = const, a > 0. Wtedy 0 dla /• < b [- a, 0] dla r == b — a d la r > b. Wykr es fun kcji f(.) o r a z m u lt ifu n kcji l
iy
0( . ) p r z e d st a wi o n o n a r ys. 1,
Ar gu m e n t e° m o ż e p r zyb ie r a ć d o wo ln e wa r t o ś c i. R e a kc ja wię zów p e — <9?/)(e°) je st st a ł a d la e° > ft.
J a k wid a ć są t o ą u asi- wię zy, b o n ie m a o gr a n ic ze ń n a d zied zin ę m u lt ifu n kc ji Wo t z n .
K = R, a je d n a k je st r ea kc ja wię zó w. M a t e r ia ł n ie r ea gu je n a wię zy, jeż eli p r z yr o st ku list e j
i
5*240 A. WAC H E C K A- SK O WR O N
czę ś ci tensora odkształ cenia nie przekracza stanu b. Dla e° > b wystę puje reakcja wię zów, która ma wartość stał ą równą — a, jeż eli e° > b.
2. N iech teraz 0 dla r < b, Wtedy \ F0(r) = 0 dla r < b, R- dla r = b, 0 dla r > b.
Funkcja ip{.) oraz multifunkcja !fo( - ) są przedstawione na rys. 2. Jeż eJi czę ść kulista
e° przyrostu tensora odkształ cenia nie przekracza stanu b, to nie ma reakcji wię zów. Przekroczenie staau b jest fizycznie niemoż liwe.
O WIĘ ZACH WEWN Ę TRZN YCH 241 3. Przyjmijmy, że O a(r— a) dla r < a, /? = const, d la r e [a, b] dla r > b, a = const, /? > 0 a > 0. Wtedy [- <x,0] 0 — a dla r < a, dla r — a, dla r e(a, i dla r = b, dla r > b. N a rysunku 3 przedstawiono wykresy funkcji y> i multifunkcji XFQ. W rozpatrywanym przykł adzie, podobnie jak w przypadku 1, nie ma ograniczeń na dziedzinę multifunkcji l
F0; K = R są to wię c quasi- wię zy. Jeś li e° e (a, 6), to nie ma reakcji wię zów. N iezerowa reakcja wię zów pojawia się , gdy e° $ (a, b).
Rys. 3
4. Materiał „czę ś ciowo" nieś ciś liwy definiujemy nastę pują co: 0 dla r e [a, b] l + oo dla r $ [a, b].
(rp jest po prostu funkcją indykatorową przedział u [a, b].)
Wtedy 0 R+ 0 R-0 dla dla dla dla dla r < a r — a re(a, r = b r>b. b) Przebieg funkcji y>( .) oraz multifunkcji l F0( . ) ilustruje rys. 4. W tym przypadku nie jest moż liwe, by czę ść kulista przyrostu stanu odkształ cenia materiał u osią gnę ł a stan e°,
242 A. WAC H H C K A- SK O WU O N
który nie należ ał by do przedział u [a, b]. Uniemoż liwiają to reakcje wię zów. Rozważ ane w tym przykł adzie wię zy są wię zami w tradycyjnym znaczeniu tego sł owa, gdyż
K = [a,b] * R. t a % b f Rys. 4
5. G ranicznym przypadkiem dla 4 jest materiał nieś ciś liwy, [1], dla którego 0 dla r = 0 oraz Ą•('•) = 0 dla )• # 0 dla r < O R dla r = O 0 dla ?• > 0. Rys. 5
O WIĘ ZACH WEWNĘ TRZNYCH 243
Rysunek 5 przedstawia wykresy funkcji yi(.) oraz multifunkcji !?o( • )• D la stanu e° = 0 reakcja wię zów p może być równa dowolnej liczbie rzeczywistej. Materiał nieś ciś liwy nie może osią gną ć stanu e° ^ 0.
Zauważ my, że ograniczenia (wię zy) nakł adaliś my tylko na czę ść kulistą tensora przy-rostu odkształ cenia, dewiator eD tego tensora może przebierać dowolne wartoś ci z prze-strzeni ED.
Literatura cytowana w tekś cie
1. C. TRUESDELL, W. N OLL, The non linear field theories of mechanics, H andbuch der Physik I I I / 3, B e r li n -H eidelberg—N ew York, Springer Verlag (1965).
2. T. MANACORDA, Zagadnienia elastodynamiki, Ossolineum (1978).
3. A. SIGNORINI, Transformazioni termoelastiche finite, Mem. 3 , Ann. M at. P ura Appl. (4), 39, 147 (1955). 4. A. E. G REEN , P. M. N AG H D I, J. A. TRAPP, Thermodynamics of a continuum with internal constraints
Int. J. Engng. Sci. 8, 891, (1970).
5. Cz. WoŹ NIAK, On the non- classical boundary value problems in structural and solid mechanics, R aport serii P RE nr 3/ 81, Wrocł aw (1981).
P e 3 TO M e
O BH YTPEH H BIX CB*I3flX MATEPH AJIOB C KOP OC TH OrO TH TIA
PaSoTa nocBH meH a B Beflemno IIOHHTHH BHyTpeHHBix CBH3eń fljiH MaTepaajia on pe^ejieH H oro yp a s-()
= A„_i T + ... +
cBH 3en BCfleT K Hei- coTOpOMy o6o6m eH H
io noHHTHH Hec>HH-S u m m a r y
I N TE R N AL CON TRAIN TS F OR RATE- TYPE M ATERIALS
The motioa of the internal constraints has been introduced for materials governed by the equation
(.») (n- D . ("0
r = A „ _ ! T + . . . + A i r + BAC + . . . + BXC
