Uniforme stroming om slanke omwentelings-lichamen

SCHEEPSBOUWKUNDE

T E C H N I S C V I E H O G E S C H O O L D E L F T

U N I F O R M E S T R O M I N G O M

SLANKE O M W E N T E L I N G S L I C H A M E N

loor IR J. B. VAN DEN B R U G

UNIFURIIE IJTROMIHG QM SLANKE OMWENTELINGSLICHAMEN.

Rapport N r . I l ^ f o

Door I r o J.B. van den Brup;»

L a b o r a t o r i u m voor Scheepsbouwkundeo

l o Het b e p a l e n v a n de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l . 1 2O De a x i a a l - s y m r a e t r i s c h e s t r o m i n g . 6 5O De d r u k v e r d e l i n g op h e t l i c h a a m t e n g e v o l g e v a n a x i a a l -s y m m e t r i -s c h e -stroming» 9 ko De l a t e r a l e s t r o m i n g o 1 0 5 , De s t r o m i n g onder k l e i n e i n v a l s h o e k . 1 1 6O De d r u k v e r d e l i n g op h e t l i c h a a m t e n g e v o l g e v a n een s t r o m i n g o n d e r e e n k l e i n e invalshoeké 1 3 7. De toename v a n de d r u k t e n g e v o l g e v a n de s u p e r p o s i t i e v a n de l a t e r a l e stroming» 1 3 8o De l a t e r a l e k r a c h t en h e t moment op h e t l i c h a a m . l 4 9 . B e r e k e n i n g van 0 ( x , r ) b i j a x i a a l - s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g , a l s de o p p e r v l a k t e v a n de d w a r s d o o r s n e d e n gegeven i s i n een v e e l t e r m v a n Xo 1 ^ A p p e n d i x . 1 ? L i t e r a t u u r l i j s t o 2 7 »

UNIFORME STROMING OM SLANKE OMvVENTELINGSLICHAMEN.

U i t g e w e r k t w o r d t de " s l e n d e r t o d y t h e o r y " v o o r o m w e n t e l i n g s l i c h a m e n , z o a l s deze a f g e l e i d w o r d t door Adams and S e a r s , en t o e -gepast om de d r u k v e r d e l i n g op een o m w e n t e l i n g s l i c h a a m van gegeven a f m e t i n g e n onder een k l e i n e hoek met de s t r o m i n g s r i c h t i n g t e bepa-len» Het b e p a l e n van de s n e l h e i d s p o t e u t i a a l . De continuïteitsvergelijking i n een r o t a t i e v r i j e s t r o m i n g i s : ^ f + + = O, w a a r i n 0 de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l van de v e r s t o r i n g e n is» De v e r s t o -r i n g e n o n t s t a a n doo-r de a a n w e z i g h e i d van h e t l i c h a a m ln de, i n het a e l n -| -| -| p » w i i fo r m e s t r o m i n g , x , y en z z i j n de assen van een r e c h t h o e k i g

coördinaten s t e l s e l . De x-as v a l t samen met de l o n g i t u d i n a l e as van h e t o m w e n t e l i n g s l i c h a a m . ( F i g . 1 ) . Het l i c h a a m s t a a t s t i l en de n i e t g e s t o o r d e s t r o m i n g h e e f t een s n e l h e i d W met component U i n x - r i c h t i n g en V i n y - r i c h t i n g U = W cos oc V = W s i n o c V « U , en oc i s dus klein»

De continuïteitsvergelijking i s i n c i l i n d r i s c h e poolcoördina-t e n ;

3^0 1 90 1 3 0 ^ O 2 2 2 . - z

a r - ' r -

ax'

We passen een F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e t o e en definiëren:

O ö

F(63,r,0)

co x

0(x,r,©)dx.

Door de continuïteitsvergelijking met e'^'*'^ t e v e r m e n i g v u l d i g e n en t e i n t e g r e r e n over x van - o o t o t +<» k r i j g e n we h e t v o l g e n d e : 9

1 a

_{f 3^*^''0(x,r,O) dx .+} r ^ 3 0 ^ r ei«^^0(x,r,O) dx U / e^"''^ ^ dx =

Él

^ - L

£l

og i o x 9 0 j / ® ' ^ 2 oo

ax

(met partiële i n t e g r a t i e ) / iü3x , 90 i c j x 30 / , i ^ ^ x oo + 0 0 i o x 90 /. iiOx,-< iaix'a0 / . , i w x _ / = 5 x * 7 d 0 = - e i^^e 0 / + 00 / - oo eo IÉ 9 a l s we v e r o n d e r s t e l l e n d a t | ^ en 0 v o o r x = + oo^O is» We hebben n u : 3^ F 1 a F 1 9^ F 2 _ _ - 2 r 2 ^ „ 2 ^ a r ^ r

3e

De o p l o s s i n g van deze v e r g e l i j k i n g w o r d t gevonden door m i d d e l van s c h e i d i n g van v a r i a b e l e n ( z i e appendix)» oo F((J,r,©) = Z \ n = O A (cü) K ( o j r ) + B (co) I (cJr) L (C cos n ©+D s i n n © n n K^(£i)r) en I ^ ( t t ) r ) z i j n g e m o d i f i c e e r d e B e s s e l f u n c t i e s . 5

3

-Aangezien voor r = oo F(<»J, r , 0 ) ook moet b e s t a a n kan I^ior)

geen o p l o s s i n g z i j n . Voor co—^ - oo w o r d t K^i+oir) ^ K^CjcoIr)

°« . r 1 F ( s j , r , 0 ) = 51 K^(|t»|r)jA^(co)cos n O + B^(CL))sin n © .

n^O I

K ^ ( j c j r ) i s de g e m o d i f i c e e r d e B e s s e l f u n c t i e van de tweede s o o r t en kan geschreven worden a l s een s t i j g e n d e r e e k s :

n + 2 r r . n+r ^ 1 ^ r = 0 ^ !s=i m=n n-1 (H) -n+2r n - r ( n - r - 1 ) ! r = 0 v o o r k l e i n e u i a : K ^ ( u ) = - l n | + ^ K ( u ) = i ( n - l ) ! ( ^ ) " (-1)'' Xi c. u r ! ( Z i e a p p e n d i x ) . F(c4j,r,©) * - A ^ ( u ) | r — ^ 0 l n M i : . 4 + ^ ^ ( n - 1 ) ! ( ï - f r - ) X oo V . A ( u) c o s n ö + B (cj) s i n n n

e .

2 n

Nu moet weer t e r u g g e t r a n s f o r m e e r d worden. We nemen van e l k e t e r m a p a r t de i n v e r s e t r a n s f o r m a t i e : oo 0 ( x , r , e ) = - 2 ~ J A^(«)ln|e-^^''d^J-•^ƒA^(u5) l n | t o | + ^ • X - i ' ^ x ^ ^ 1 A l f ( n - 1 ) ! ( 2 ) ' x X e f A (w)

X

We definiëren: ^n^***^ s i n n © 1 In n - + • - -TT P l r oo if

-a ( x ) = 1

/

•I 27t J

-00

1 oo B^(co) _i 271 2 n -ioJ x ,n _-icox dtO.

S u b s t i t u e r e n we d i t i n de u i t d r u k k i n g voor 0, dan v i n d e n we:

oo -iwx , e dui 0 ( x , r , O ) = - a ( x ) l n | - r ! - /*A U ) ( i n UI+<)') /• ?S / N COS n 0 , / s s i n n 0 ^ ,^1^n^^^ —_{1 r r} J T " * ^ ^ ^ ^ —

De i n t e g r a a l u i t de v e r g e l i j k i n g kan gevonden worden door de convo-l u t i e - i n t e g r a a convo-l t o e t e passen; oo -oo ocy = ^ J^ Ya^ (co) i c ^ i ^ L k j ^ De twee f u n c t i e s z i j n : F^(ü) = - iüA^(tó) De c o n v o l u t i e - i n t e g r a a l g e e f t : OO op F^iU»F^(ü»= fe^^^'J f ^ ( x ' ) f 2 ( x - x ' ) d x ' -O© ^-a> op F^Cci?) = ƒ e ^ ' * * f ^ ( x ) dx — oo

co .

F2(<J) = ƒ e ^ ' * ^ f . ( x ) dx - i t O A (CO) = / ' e ^ ^ f , ( x ) d x = / e i ' ^ ^ want ^00 OO dx dx

.^'^'a ( x ) / - / e ^ ^ ^ i t j a ( x ) d x =-iU)A^(co)

i n d i e n :

a ( + Oo) a O O —

-f.,(x) f 2 ( x ) d a t dx ?.% f^-±<Ax ( I n u> \+t , lor ^ f

du =

- ee oo — CO Het e e r s t e d e e l van de u i t d r u k k i n g w o r d t

i w i c j """"^ 2n>jl, i u )

O •'o /• -= - i - I ( l n |x|+/) , -= l ( l n | x | + > ) X > 0 = - 1 • + I" ( I n |x !+<ƒ•) . = - l ( l n | x | + ^ ) x< 0 . Voor h e t tweede d e e l : 0 0

1 / -iöx 1 -i«x

Jr ^ ^

1 / iWx , .

- 00 O +flO

1

/ ; r

e " * - e'^'' _{j / s i n ( ^ dCD}

( 8 5 8 . 6 0 1 ) .

De nummers a c h t e r de f o r m u l e s v e r w i j z e n n a a r : Tables o f I n t e g r a l s and o t h e r M a t h e m a t i c a l Data, by H e r b e r t B r i s t o l Dwight.

f 2 ( x ) = + l ( l n | x | + < r ) + i= t \ l " | x | i x ^ o . Nu i s :

- 00

e-i«^ dCO = +*da ( x ) O _{x - x} d a + voor X ^ X - voor X l{ X

De u i t d r u k k i n g voor de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l van de v e r s t o r i n g w o r d t : 11 0 ( x , r , e ) = - a ( x ) l n ^ + ^ f a (x*)Ln 0 0 / 1

^ / X

cos n 6 , / \ s i n n ö 1 f- | n n ^n

J

x - x dx De s t r o m i n g v l a k b i j h e t l i c h a a m i n v l a k k e n x - c o n s t a n t i s e e n t w e e - d i m e n s i o n a l e p o t e n t i a a l s t r o m i n g . De l a a t s t e t e r m b e s c h r i j f t de a-symmetrische s t r o m i n g , d i e i n i e d e r v l a k x = c o n s t a n t onafhanke-l i j k i s van de s t r o m i n g i n a onafhanke-l onafhanke-l e andere v onafhanke-l a k k e n x = c o n s t a n t . 2 O De a x i a a l - s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g . I n d i e n we de i n v a l s h o e k OC = O maken en a l l e e n een a x i a a l s y m -m e t r i s c h e Gtro-ming b e k i j k e n , dan i s de v e r s t o r i n g s p o t e n t i a a l : 0 = 0 ( x , r ) = - a ( x ) l n ^ + 1 / a * ( x * ) l n x - x dx + voor X > X - " X < x' , Deze s t r o m i n g i n v l a k k e n x i s c o n s t a n t i s w e l a f h a n k e l i j k van de s t r o m i n g s t r o o m a f w a a r t s en s t r o o m o p w a a r t s van h e t beschouwde v l a k X = c o n s t a n t . Deze a f h a n k e l i j k h e i d komt door de i n t e g r a a l over x* t o t u i t d r u k k i n g . U i t de randvoorwaarde op h e t o p p e r v l a k van h e t l i c h a a m v i n d e n we a ^ ( x ) . Op h e t l i c h a a m i s de normaalcomponent van de s n e l h e i d n u l . V = de s n e l h e i d J _ w a n d =,:r-^) c o s OC - ( U + ' ^ ) s i n oC n ^ r 's ^ s

•S0 , -30 -00

-ör ( - ^ ) = ( U . ^ ) t g ^ = ( U > ^ ) ^ = O

r ( x ) z i j n de r - c o o r d i n a t e n van h e t l i c h a a m . We nemen aan d a t

-~ 7

\ k l e i n i s , v e r g e l e k e n met U en daarom i s :

, ^ 0 \ 9 r 0 r s

I n t e g r e r e n we(^^^)over de omtrek van h e t l i c h a a m i n een v l a k x = con-s t a n t :

S ( x ) i s h e t o p p e r v l a k van een l i c h a a m s d o o r s n e d e i n een v l a k x = con-s t a n t . ( ^ a - j v o l g t . u i t : ^ CO 0 ( x o r ) * - a ( x ) l n — + — / a ( x ) l n x - x dx , a o 2 — \J ^ o - 00 en i s : , , 1 — = - a ( x ; . — ^ o r a ^ ( x ) op h e t o p p e r v l a k van h e t l i c h a a m = -s •

ƒ

^ r de = - / a ( x ) d e = - a ( x ) O 2 7C o 276 X OO ^^a^^'^^=2rt -9X ^^2 t T 2 ) l n , | x - x dx - v o o r X > X + " X < X ' .

W« gaan voor de i n t e g r a a l een g e s c h i k t e r e u i t d r u k k i n g zoeken.

- / 1' ' I J ' - v o o r X > X

x- g ***

- S ' ( x ' ) l n ( x -oe oo ^ + S ' ( x ' ) l n ( x ' - x ) I - f ^ x ' - x = x+^ x+£, = -S«(x-6)ln£, + ''/^ ^ l ^ d ( x - x ' ) + / A " X -OO oo - S ' ( x + e ) l n 6 - j ^ J i i l l d x ' = " J_x+t . X ' — X i s

w a a r b i j aangenomen w o r d t d a t V~ = O van - eo t o t 0 en van 1 t o t + » c D i t i m p l i c e e r t scherpe u i t e i n d e n van h e t lichaam» Voor stompe neu-zen moet een c o r r e c t i e i n g e v o e r d worden.

= - S ' ( x - e ) l n g = S ' ( x + 5 ) l n £ + d ( x - x ' ) " I — T T T " clx' = - I n t S ' ( x S ' ( x + + x+£, x - x ^ S«(x) - S ' ( x ' ) X - X ' d(: </ x ' - x J ^ x ' - x X - X ' x-.e S' (x -è) + S'(x + t ) ' - J

L J

O . / S ' ( x ) - C > ( x ' ) ^ ^ . ^ s. ( , ) i , ( , . , . ) n x+t 'O ) l n ( x ' - x )

J

^J^'^^

= - Infc -S«(x ]. x+t - ^ 3 . ( x ) - S . ( x ' ) ( x ) - S ' ( x ' ) x - x dx' + S ' ( x ) -S'(x«) ^ S ' ( x - e ) + S ' ( x + £ ) _{. S'} + S'(x)ln£ - S ' ( x ) l n x - S • ( x ) l n ( l - x ) + S • ( x ) l n É/ ^-'^ S ' ( x ) - S ' ( x ' ) ^ j S ' ( x ) - S ' ( x ' ) . - I n Ê x - x ' X ' - X ^ S ' ( x - e ) + S'(x + fe)| x+e. + 2 S ' ( x ) l n 6 - S ' ( x ) l n x ( l - x ) ,

9 -Voor t > O ' /

" I x ' - I ' l ^ " ' ^

dx. - S . ( x ) l n x ( l . X ) , 0 ( x , r ) w o r d t h i e r m e e : i s . ( x ) l n f * ^ ^ . S»(x)-S'(x') dx' U S V V , 1 0 ( x , r ) = 3. r 2 1 / ( x ) - S ' ( x ' ) dx 1 ^ 3 O De d r u k v e r d e l i n g op h e t l i c h a a m t e n g e v o l g e van a x i a a l - s y m m e t r i s c h e omstromingo De d r u k v e r d e l i n g v o l g t u i t de v e r g e l i j k i n g ; v-j.n :BernoüllAg 2 ê0^ 2 ( T ^ ) i s k l e i n t o O . V o U ( ^ ) en daarom t e v e r w a a r l o z e n ; p = p oo 3, 1 ^ ^ a 2 a Ol 10

-De l a t e r a l e stroning»

I n de r i c h t i n g van de y-aa h e e f t de ongestoorde s t r o m i n g een s n e l h e i d V. Er i s geen a x i a a l s y m m e t r i s c h e component. De r a n d v o o r -waarde i s ook. nu weer d a t de s n e l h e i d l o o d r e c h t op h e t o p p e r v l a k

n u l i s ^^'^^ I n i e d e r p u n t i a de s n e l h e i d gegeven door V i n y - r i c h t i n g , 00. Q0 O n t b i n d V i n i»-en O - r i c h t i n g , d i t w o r d t r e s p e c t i e v e l i j k V coa O en -V s i n ö. 00 ^0 ( - ^ ) g e e f t - ( r - r ) a i n i n n o r m a a l r i c h t i n g en: ^0 0 0 , (V cos O + ( 7 7 ^ ) ) g e e f t (V cos Q + ( ^ ) ) c o s O ^ . DUB : a0 00 ( ^ ) ^ t g c ^ = V cos e . ( ^ ) ^ , en met v e r w a a r l o z i n g v a n : ^ 3 T ^ * « ^ = ( ^ ) = - V c o a e . 0 ( x , r , O ) = - a ( x ) l n ^ + 1 / a * ( x ' ) l n | x - x ' l dx' o d. — d. O

^ r

f \

cos n O ^ , a i n a Q + 2_ a ( x ) — ^ + b ( x ) — . O 1 [ n ^n n ^n 11

11 -I \ 1 ^ / \ C O S n 0 -i. I \ s i n n 0 s • . = - V c o s 0, Dus a ( x ) = 0, o b ( x ) = 0 v o o r a l l e n n a ( x ) = 0 v o o r a l l e n b e h a l v e n = 1 , n dan i s : - a ^ ( x ) 1 = - V c o s © , r s De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l 0^(x,r,©) i s b i j l a t e r a l e s t r o m i n g i n y - r i c h t i n g : 0^(x,r,©) = a / x ) ^ = ^ ^ c o s © 0/ x . r , © ) = V S ( x ) c o 3 © ^ I n i e d e r v l a k x = c o n s t a n t i s d i t e e n t w e e d i m e n s i o n a l e s t r o -ming om een o n e i n d i g l a n g e c i l i n d e r , w a a r v a n de d i a m e t e r g e l i j k M s a a n de d i a m e t e r van h e t l i c h a a m t e r p l a a t s e x . De s t r o m i n g i n e e n d e r ; ; e l i j k v l a k i s o n a f h a n k e l i j k v a n de s t r o m i n g v o o r o f a c h t e r d i t v l a k . 5., De s t r o m i n g onder k l e i n e i n v a l s h o e k . Deze s t r o m i n g w o t d t v e r k r e g e n door op de a x i a a l s y m m e t r i s c h e met s n e l h e i d U =W c o s Ot een l a t e r a l e t e s u p e r p o n e r e n met s n e l h e i d

V V = w s i n O* O o t i a k l e i n , dus - < < 1 o De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l van de a x i a a l s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g i s t o t a a l : . ƒ f S ' ( x ) - 3 ' ( x ' ) ] ^ 5 ^ . » O L

J .

- 12

= «fX cos CL +

—^Jf-De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l van de l a t e r a l e s t r o m i n g i s :

0 = V r cos 0 + 0 ( x , r , 0 ) = V r cos 0 + ^ ^ cos 0

X X 1 7^ . S ( x ) = Wrsinoccos© + W s i n o c - r : — cos 0. 71 r De t o t a l e s n e l h e i d s c o m p o n e n t i n x - r i c h t i n g w o r d t op h e t o p p e r v l a k van h e t l i c h a a m : / \ ws' ( x ) . ^ . „ v x 9 s ^ ^ 2 s , ' ^ a . u = Wcos«t+(;r—) + 2 W f sinoccosö, X "^X g S P 0 „ . (

i n h e t kwadraat (met — — ) en Wr s i n c e k l e i n t . o . v . !l cos cC ) :

ÏIX g s 2 C 2 2 2 • ) u = r cos ot + 2W c o s « c ( — + 2W r s i n 2 «.cos © I X t ^ X g s T De t o t a l e s n e l h e i d s c o m p o n e n t i n r - r i c h t i n g : : , ^ ^ a , U s \ x ) Wcosec27lr^ r ^ s a 8

90^

(Van de l a t e r a l e s t r o m i n g i s h i e r n a t u u r l i j k geen b i j d r a g e - r - — = 9 ^ = - V cos O). 2 2 2 '2 u = W cos oc r r *^ s De t o t a l e s n e l h e i d s c o m p o n e n t i n ©-richting i s : « 0 T 1 ^ ^ 1 » = ^ r g ë ^ ^ = ( ^ r ? ê ^« - «^s = = -Wsinot s i n © - W s i n ot s i n ö = = - 2W'«infl(sin 6. 2 , . „ 2 . 2 , 2

'^©

k s i n QC s i n ©< 13

13

-De d r u k v e r d e l i o g op h e t l i c h a a m t e n g e v o l g e van een s t r o m i a K onder een k l e i n e i n v a l s h o e k o

De d r u k v e r d e l i n g w o r d t gegeven door de v e r g e l i j k i n g van Ber-n o u l l i .

1

r ?

P P P •

= t^p. '« -W cos ce - aWco6 0 t ( - ~ ) - 2 r s i n 2 o < r cos O

d' [ 9 x a s

' ^ , 2 2 2

- r

coe ec r _ - k s i n et sin"" 0 •

^ sin^ot -k M^sln^ Q sin^et - 2 W ^ s i n

aflt

r ^ cos O

90^ (— -De d r u k v e r d e l i n g b i j a x i a a l s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g was ( b l Z o 1 0 ) : - 2W cos O A ( - ~ ) - cos ot r a o o 2 r W g x g ;#2 0 r g r

e0„ «0

2 f ( ; r ^ ) s 9 r g 2f ®x s 9 r

De toename van de d r u k t e n g e v o l g e van de s u p e r p o s i t i e van de laterale s t r o m i n g . ^^T -

V

- ^^a - ^0C> = = l p w ^ ( i _ k a i n ^ © ) B i n 2 2 • o<c-2 * s i n 2 o < r cos 6 + s

aN ,.,c /„ «i.

+ 2 W ( l - c o s o c ) ( — s ) + w'^r ( l - c o s ' ^ o c ) ^ g x s s ^^a . 2 o u d a t (1 - cosoc) » (1 - cos e t ) , ( T—) en r k l e i n z i j n v i n d e n we u i t e i n d e l i j k :

^^T - P^^- ^^a - ^oo^ = Pot

= IjO >¥ ^, ( 1 - if s i n ^ 9 ) s i n ^ o c - 2 s i n 2 o t r ^ cos 9 ,

2 2

8 0 De l a t e r a l * k r a c h t en momanto

^ = - ƒ I f * ^ - (1 - 4 s i n ^ e)sin^oC- 2 r ^ ( x) 8 i n 2«.cos 0 - X

X r C O B

e do

= 1/? W ^ a i n 2 a r ^ . 2 . r g (^)7Z^= l p 'V^gin 2t?(S ' ( x ) 0 De t o t a l e Icracht i n y - r i c h t i n g geïntegreerd o v e r x ) i e n u l ( p o t e n t i a a l s t r o m i n g ) . Er i s w e l een r e s u l t e r e n d moment. I n t e g r e -• X O)

r e n we

4^

x over x ( d u s moment van a l l e k r a c h t e n

4^

t . O o V o de

dx dx neus^x

• W^sin 2 ( t ^ ^ ^ X dx =

^ f \? W-sin 2<XdS(x).x = 1/0 W^ain 2ot S ( x ) x /

- ^ W^sin 2«S(x) dx = - 1/C» W^sin 2 X V

V = ^ S ( x ) dx = volume d a t h e t l i c h a a m i n n e e m t .

M = -

1/)

W^ a i n 2 a V.

Het moment h e e f t een d r a a i r i c h t i n g , z o d a n i g d a t h i j een b e p a a l d e OC, h e t moment deze oC z a l t r a c h t e n t e v e r g r o t e n (instabiliteit)»

9» B e r e k e n i n g van 0 n ( x , r ) b i j a x i a a l s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g , a l s de op¬ p e r v l a k t e van de dwarsdoorsneden gegeven i s i n een v e e l t e r m van x .

De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l 0 i s : ( b l z . 10) s. ^ a ^ ' ' " - ' ^ • ' ï ; r T f ^ S ( x ) = -tt r ^ ( x ) s ^ , O k S ( x ) = 2: a, x = a, X S ( x ) = O v o o r x = O» K=U K k=1 * 15

-15 =

Naar L a i t o n e en NeuBark o n t w i k k e l e n we de v a r i a t i e van h e t door-j anode o p p e r v l a k i n een T n . y l o r r e e k s : 3 ( x ) = S ( x ) S ( x ) ( x - x ) + ~ S ( x ) ( x

~ xr + . . .

n=1 Do i n t e g r a a l i n de f o r m u l e voor 0 ( x , r ) w o r d t , i n d i e n t e r m s g e w i j o i n t e g r e r e n t o e g e s t a a n i s : rf \ ^ ' N I d x ' ^fc'f ^ a\ ' N1 d ( x - x * ) y | ( x ) - S ( x ) j ^ - _ ; ^ = - ^ j s ( x ) - S ( x ) j 3 , , ^ . + / f c V ^ c'/- ' x } d ( x - x * ) ,-, w ' ^n ,/ / f = / n ^ 1 ^ ^ ^ " ^ n l " " ^ i f e ^ -1 ^ s^ " ^ ^ ^ ( x ) ( x ' - x ) " d ( x - x ' ) ; ^ g s ^ " - ^ ^ \ x ) ( - 1 ) ^ ( x - x ' ) " - ' ^ d ( x - x ' ) . n=1 ( x ' - x ) = ^ n t i n ! j ^ g S^°^^\x)(-l)"(x-x')"-^d(x-x') ^ S ^ ^ " ' ^ \ x ) ( - l ) " ( x - x ' ) ' ; f "/n=1 n l " n ^ i n l n

6

. S ^ " ^ ^ ^ x ) ( - l ) " ( x - x ' ) " / = "n=1 ^ ,(n+1) oo „(n+l) = - 5: ^ n=1 n=1 n O n ! i ï H f i ^ l / x - . ( x - l ) " l . n o n ! ^ U S ' ( ^ ) . ü S ^ " ^ ^ \ x ) ( - 1 ) " f n . . . f

-90^

- 5— ( x , r ) = s n e l h e i d i n de x - r i c h t i n g : ! f a _ U s " ( x ) r i _ ^ ü ', . r ^ ^ ( l - x ) - i f x ^ ^ x - •^'^ i f x ( l - x ) - ^ ^ ^''^ 4 x ( l - x ) 2 * U • O- „^n+2)( w -N"^ /• 1 r 3 (X) x " + ( x - + n=1 n O n l 00 (n+1) n=1 n n I [ J 16

-=-4[^'^^^ ^ - ^ " ^ ^ ^ { ^^^^^

? S^ " ^ ^ \ x) ( - 1 ) " ƒ n , , , n | •f 2. ^'—'4 ' X + ( x = l ) V + n=1 H o n !

I

n=2 n ' I J _ --•m ï T Ï ^ - ( i - T s r é r * ^ • f n - 1 ) ( n - 1 ) I

P

, g S ' " ' ^ ' ( x ) ( - 1 ) " f n-1 . < . . , , n - l ] - ^ n=a n l [ J ^ 21 ^ ( x (1) r n1 ^ ( , _ i ) n 1 , . + 1 , -n=2 ^' t

J J,

n=2 ( n - l ) n l [ J — — ( x . r ) = s n e l h e i d i n r a d i a l e r i c h t i n g : ^^a , s U s ' ( x ) ^ Us'Cx) — ( x , r ) = ^ = o 17

17

-APPEHDIX.

Een o p l o s s i n g van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g !

3 r r ÖO

De v e r g e l i j k i n g w o r d t o p g e l o s t op de m a n i e r , z o a l s d i e beschreven i s op h e t c o l l e g e van P r o f . S.C« van Veen: " B i j z o n d e r e Functies"»

VVe s c h e i d e n de v a r i a b e l e n : F ( C J , r , 0 ) = f ( t o ) . R ( r ) o ©(ö) en s u b s t i t u e r e n d i t i n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g : TT^^N d^R N :s,„N 1 dR f (cJ) R ( r ) d^Ö ,2 f ( W ) o 0 ( e ) o — r + f ( « j ) o O ( e ) - T - + 5 T = k o j 2 r dr et dr r dO t/.f ( a ; ) J ? ( r ) 5 ( 0 ) v e r i a e n i g v u l d i g i n g n e t : 2 r R ( r ) c 5 ( e ) . f ( c * 7 ) g e e f t : r ^ ' d^R ^ r dR _^ 1 d^Ö i,2,2 2

•R- — 2 ^ R dF ^ ÏÏToT =

dr dO r ^ d^R r dR ,2 2 2 1 d^Ö

T T T

* R dr - ^ = - 0 ( 0 ) ,_2 " dr dO Het r e c h t e r l i d i s a l l e e n a f h a n k e l i j k van 0 en s t e l l e n we g e l x j k p o 2-( i ) o + P^ê = 0 dO 2 d^R dR ,,2 2 2 2. „ ^ ( 2 ) . r — X + r r j p - ( k < 4 > r + p ) R = O o dr De o p l o s s i n g van v e r g e l i j k i n g ( 1 ) : <i^Ö 2Q ^ — r + p 0 = 0, dO^ kö 2 2 S t e l 0 =6^*^, dan i s k + p = 0 ^ k = + i p o 0 = X e^ P ®+ 1 e"^ P ® = A cos p 0 + B s i n p 0 . 18

-De o p l o s s i n g van v e r g e l i j k i n g ( 2 ) : r ^ i ^ , r ^ . ( u ^ . / ) l l - 0 u = k « r , £ a r d r 2 d^R dR . 2 2 N ^ _ u — ^ + u - T - - ( u + p ) R = 0 . du D i t i s de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g van B e s s e l . R w o r d t o n t w i k k e l d i n een machtreeks i n u : R = X G u O m :+ m. Om G t e b e p a l e n s u b s t i t u e r e n we R =: O m i n de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g : 2 „ ^ 2 ^ OC+ m - p R = ^ -P G^ u - u R = 2_ - m O tiR ^ n f . \ ÖC+ra u2 dfR (c. + m ) ( ( X + m - D u^"^^» du^ ° " O p g e t e l d g e e f t d i t n u l . U i t g e s c h r e v e n k r i j g e n we:

C <s<(<K-l)u'^+ G^Coc+Doc u*^*''+o . .+G (oc+mXCK+m-Du^*-^"*

O 1 m O 1 -G. u'*^^^ ^ „+ . _ .-G . u " ^ * " + O C O m-2 - p ^ G ^ u » ' - p ^ u * * ' ^ ^ + . . . .-cy u ^ ^ ^ . O O , ï O, H i e r u i t v o l g t > 2 2 .C = O en ot - p = w i l l e k e u r i g o f °2 2 - p = O en = w i l l e k e u r i g - 19

(

tseCet- 1) + « - p^ . = O J

1 9 -We v e r o n d e r s t e l l e n h e t l a a t s t e . 2 2 et = p > oc= + p e n i s willekeurig» 1) p o c - p G / (tv + m) (0C+ n i - l ) + o c + m - p ^ l - G -, = 0 G^ f(«^ + m)^ - p ^ l - G = O G ^ [ m( 2 p + m ) j -G^_2 = O = roTTlïT «««t p - f G^ I (Oi.+ 1 )0C + (Ot+ 1 ) - p = 0 G^ i (0C+ 1 ) ^ - p ^ j = 0 » G^ = O, i n d i e n p / -O v e r z i c h t : G = G O G = O G^ G^ ^ 2 = 2 ( 2 p % 2 ) = - ^ ^ ^ ^ G^ = O G . 1 , - I R 2 T 7 T T - ^ 2 ^ ^ ° 2 2 . 2 ( 2 + p ) 2 \ 2 ! ( 1 + p ) ( 2 + p ) G = O G^ G C ^6 = M 2 p . 6 ; = 2. 3 o 2( 3 . . p ) = 2 ^ 5 K W P ) ( 2 . P ) ( 3. P ) G O 2^ \ l( 1 + p) ( 2+ p) ( 3 + p ) O » O ( k + p ) u P = g 0 u*^^"^ = G uP/l + - T — ^ ""^^ " ° l 2^ ( l + p ) 2 ^ » 2 ! ( 1 + p) ( 2 + p ) , 2 k -) — — + • • • . u + . O 2 ^ ^ ! ( 1 •»-p)(2 +p)» O o ( k w a a r i n G^ w i l l e k e u r i g i s . Men k i e s t m e e s t a l : G =

° 2 P r ( p + i )

Dan w o r d t : ,_n r . A/- ; TT = I O Besselfunctie»

2 ) o = - P o C \ m) (oc+ m - 1) +©(.+ a i - p ^ l - G -, = 0 ffi I JB.—C. C ( (Oi+ffi)^ _ p 2 ] _ c - = 0 i J j^m(ni-2p) J -C^_2= 0 ^ffi = m(l°'-"2\) * f ' ^ ( o t + 1)0C + (0C+ 1) - p ^ J = 0 ^ j^(o<+1)^ - p ^ l = 0 ^ | p ^ - 2 p + 1 - p ^

I =

O o 0^(1 - 2 p ) = O o =0 1 , i n d i e n P / 2 O v e r z i c h t : C = C o o = 0 c c '2 - 2 ( 2 . 2 p ) - 2 2 ( ^ _ ^ j C = 0 G_ . G G C, = k = TUm^ = 2 2 . 3 ( 3 - p ) ° 2''o2!(l - p ) ( 2 - p ) " ? 5 ! G °2k ^ ^ \ \ ( ^ - p ) ( 2 - p ) . . . ( k - p ) = G u'^^"'= G u - P f l + — * ^ ^ ° C 2^(1 - p ) 2 ^ o 2 ! ( l - p ) ( 2 - p ) 2k u 0 0 0 * 2^ k i d - p ) ( 2 - p ) o o o ( k - p ) + o o q , • e t G^ w i l l e k e u r i g en g e w o o n l i j k : C = ' ° 2 - P A ( 1 - P ) (|)-P-^2k ^ ^2 " k=0 k!/-(-p + k + 1) = ^-p" De v o l l e d i g e o p l o s s i n g i s : R = A R^ + B R^ en R^ z i j n o n a f -h a n k e l i j k e o p l o s s i n g e n van de d i f f eren t i a a l v e r g e l i j k van Besjsel,, w a a r b i j l> / + ^ ^

21 -De o p l o s s i n g a l s : 1 ) . 2p = 2n + 1, met n g e h e e l . 2 ) O p = n. 1 ) . 2p = 2n + 1, p e n

+ 1

a ) o oc = p 1 ec ( U ^ n + - + 2 k ^1 ' S o k ! r ( n + k + 3 / 2 ) = b ) o oc = - p„ « ( » - 2 p ) G = C • ( H i - 2 n = 1)C^ = C„ A l s m = 2n + 1, dan i s ^^n+l w i l l e k e u r i g a l s C^^ 1 ~ ^'

I

( C C + l ) O C + (o( + 1) - . = O G^ («+ 1 ) ^ - p^ = O. G^ 1 - 2 p l = Ó o 2p = 2n + 1 — ^ G ^ = O G ^ 2 ^ ( 1 + p ) G3 = O C^ = e t c ^ 2 n - 1 = ° G^ ^ i s w i l l e k e u r i g . G = —7 " ^ ^ r 2n + 1 m m(a - 2n - 1) °2n + 1 °2n + 1 ^ 2 n O = ( 2 n + 3 ) 2 = ^2^^^ 3/2) G^ , G G 2n + 3 _ 2n + 1 2n + 5 ' ( 2 n +

3)^ ~

_{2 ^ . 2 ! ( n + 3 / 2 ) ( n + 5/2)} ^ ( U j 2 k - n - l / 2 2 «2 = k^O k . ^ - ( k - n . l / 2 ) - C2n + 1 ' ' ^ T ^ 7 7 7 7 ~ ^ 2 1 I v,n + u 3 / 2 ) 4 2 ^ o 2! ( n + 3 / 2) ( n + 5 / 2 )

«2 = ^.n.1/2^^> ^ ° ^n + Va^"^ en R2 z i j n ook i n d i t g e v a l o n a f h a n k e l i j k . 2 ) 0 p = n. «1 = kïb k i f n + k ) ! = ^n^"^ + 2 k T C

p " k=0 k!r(p+k + 1 )

V e r o n d e r s t e l p = - n . 1 / r ( a ) h e e f t p o l e n van de e e r s t e orde i n 3 = 0, z = - 1 , - 2 , . . -rxo 1 » 0 v o o r k = 0 , 1 , 2 , 3 . . . . n-1 r(k - n + 1) / 0 v o o r k = n , n+1 o ^ ( f ) - ' ^ ^ 2k ^ - n ^ ^ ^ = l 5 o k i r ( - n + k + l ) d e f i n i t i e : k = n + k . k = 0 a l s k = n k =00 a l s k = 0 0 o ^ ( | ) - n + 2 n + 2k' ^ ^ u j n + 2 k ' ^-n^^^ = k^=0 ( k' - n ) ! r( - n+ n + k' + 1 ) "^k^=0 T k T T T T k T = ^ n ^ ^ ^ I ( u ) = I ( u ) o n -n

De tweede o p l o s s i n g R2 i s dus l i n e - i i r a f h a n k e l i j k van R^ o We noenen R^ en R2 l i n e a i r a f h a n k e l i j k a l s G^R^ + G2R2 ^ 0 a l s G^ en G2 n i e t t e g e l i j k e r t i j d n u l z i j n o G^R^ + C2R2 = 0 G^ en G2 n i e t t e g e l i j k n u l ^1^1 "^2^2 ' ^ a c c e n t d u i d t op de e e r s t e a f g e l e i d e u ) . G^ h i e r u i t o p l o s s e n : C^(R^R2 - ^ 2 ^ 1 ^ " ° ^ ^1^2 ~ ^2^1* °* A l s W r o n s k i ' s d e t e r m i n a n t : 1 2 » ₁ «1 «2 = 0 dan z i j n R^ en R2 a f h a n k e l i j k . 23

23 D i t t o e g e p a s t op de o p l o s s i n g van de B e s s e l d i f f e r e n t i a a l v e r -g e l i j k i n -g : i ; ( w ) I ^ ( u ) - p A

2 ^^^1 ^^1 , 2 2.^

du d^R dR 2

- 7 r

^ - - d # - ( P ^ "

>«2

du = R2 - p

2

O = O (R^ eé R2 z i j n b e i d e o p l o s s i n g van de v e r g e l i j k i n g ) v e r m e n i g v u l d i g d r e s p e c t i e v e l i j k met R2 en R^ g e e f t , a f g e t r o k k e n : d2R. u

^2

T T -

^1

du d2R. ^ du + u dR^ dR2 ^2 i n r •

^1

"17

= O dA(R.R-)

du - A < ^ 1 « 2 ^ = °

dA . r, du du A n d I n A = - d l n u u ( u ) P

- 1

2Pr

( p )

-1

oCuP-^')

(l

)-p

( u T ^ + 0 ( u -p + 2.

-1

2-9T[-P) = r ( - p ) r ( i . p ) " - r ( p ) r ( i - p ) ^

A d U ) , ! ( u ) ) =

_ ^ ^ . o

( u )

= 5

_ 2 s i n f f p - - TJ 2if

W r o n s k i ' s d e t e r m i n a n t v o o r de o p l o s s i n g e n van de B e s s e l d i f f e -r e n t i a a l v e -r g e l i j k i n g i s :

P ' -p

• i l l e n we v o o r h e t g e v a l p = n ( g e h e e l ) twee l i n e a i r o n a f h a n k e l i j k e o p l o s s i n g e n van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g van B e s s e l , dan moet g e z o r g d worden d a t de d e t e r m i n a n t van W r o n s k i van de o p l o s s i n g e n n i e t n u l i s . A l s tweede o p l o s s i n g vau de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g nsmen we: K ( u ) = A I ( u ) + B I ( u ) p p -p en we b e p a l e n A en B z o , d a t ^ ( l ^ C u ) , K^Cu)) voor p = n o n g e l i j k n u l w o r d t O K i e s : A ( I p( u ) , K p ( u ) ) = - £ 2| - E S / O v o o r p = n K ( u ) = A I ( u ) + S £ 2 6 ^ I (^) = p p 2 s i n pTD -p A s i n p y r l ^ ( u ) ^ I p^"^ s i n p i c

K p ( u ) moet b e s t a a n voor p = n en daarom e i s e n we: A s i n pTSlpCu) I p^^^ voor p = n. A s i n p i ï = - cos p r r . re. c o s p j r 2, K ( u ) = ? ( - 1 (u) + I C u » c o t g p T T o P £i P -P K ^ ( u ) = f ( - I p ( u ) + I . p ( u ) ) c o t g p T ï o ^n<"> = Ê ? i " o f ^^-n-e^"^ "^n+e^^^^ 2 5

2 5 -oo ^ U j - n - C +

2k

-n-fc " k=0 k i r ( - n - £ + k + 1 ) ^ n + 6 + 2 k H ^ 2 _ n + e ~ k=0 k ! r ( n +£ + k + 1) n / U s - n- 6 + 2 k ^ , U N n + 6 + 2 k l i m ir *^ 2 ? ^ 2 ( ^ ) = £ _ ^ 0 2 | k & k! H- n - £ + k + l 5 - k = 0

k

! r ( n

+ £ + k+ l ) ^^^«^'^ ^Uv|n + £ + 2 k _ ^u^n + 2k^u^£ _ ^u^n + 2 k I n ^ i _

/Uxn + 2 k f ^ u ^ 2 T 2 U = ( - ) 1 + I n ^ + I n ^ + o o • voor S p o s i t i e f g e h e e l : i

e

( T a y l o r )

1

w a n t :

r

(s + 1

)

= r

( s )

+ s

r

(s)

r

(s

-n)

1

r

(s)

1 ^ 1 ^ 1 r

d )

r

( s

+

1 )

- s

7=TsT

s

r r r

" ^ 3 - 2 ° ° *

TUT

1 1 1

+ . . . + 4

_{= r}

( i ) 1 " m=i m v o o r t n e g a t i e f g e h e e l :

PTtTiTTy - -

'-^^m^

r ( - t . 6 )

=

(-D'^^erc-t).

1 „ / X l i m TZ K„(u)=^__^Qf 00 (-) ( 1 - £ I n - T ) k! n - n + k + 1 ) ^ K=n , U s n+ 2 k C 2 ^ k= 0 k!

\ , , ( i

- e ( - n ^ ^ "

I )

r ( n + k + 1) 1^ m=1 m 2 6

-^u^ n + 2k ^u^-n + 2k oc (^)n + 2k r ^ k ^ ^ k+n ^ 1 ^ n ^ " ^ = - kïo k T G T T r r r t ^ ' ^ 2*<''-2 m^l m - 2 m^l m J ,Uv-n + 2k : 1 '^^^ ^2^ , ..k-n + r _{2 k=0 k!} ( _ l ) ' ^ - " ( n - k - l ) ! K ( u ) i s de g e m o d i f i c e e r d e B e s s e l f u n c t i e van de tweede s o o r t o De n c o m p l e t e o p l o s s i n g vans S f F

^ 1 | F

1 ^ j^2 2 ^ ^

A a n g e z i e n F e e n d u i d i g moet z i j n , due voor © = O d e z e l f d e waarde ge-ven a l s voor 6 = Zit , moet p = n» De o p l o s s i n g g e l d t v o o r a l l e n^ dus :

F ( o , r , ö ) = ? f(&>)(A K ( O k r ) + B I (o k r ) X n=0 " n

X Ü cos n O + B s i n n © ) .

n n

A a n g e z i e n F(ic,d,r,©) ook moet b e s t a a n v o o r r i s I ^ C t a k r ) geen o p l o s s i n g o

F(0,r,©) = T K ( C ? k r ) ( A (tO) cos n © + B (Cc) s i n 9 ) c n=0 " "

-- 2.1

-LITSKATUURLIJSTo

Adams 5 Mae.C. and Sears, W.R,

"Slender Body Theory - Review and E x t e n s i o n " . J.A.S. Volume 2 0 , f e b r u a r y 1953 number 2 „

T h w a i t e s , B.

" I n c o m p r e s s i b l e Aerodynamics". O x f o r d Clarendon Press I 9 6 O 0

W h i t t a k e r , E.T. and Watson, G.N. "A Course o f Modern A n a l y s i s " o Cambridge U n i v e r s i t y Press I 9 6 2 .

Dwight, H.B.

"Tables o f I n t e g r a l s and o t h e r M a t h e m a t i c a l D a t a " o M a c m i l l e n New York 196l„

Carslaw, H.C. and Jaeger, J.C.

" O p e r a t i o n a l Methods i n A p p l i e d Mathematics". O x f o r d U n i v e r s i t y Press 1953»

"MIFORME STROMING OM SLANKE OM'^-JENTELINGSLIGHAMEN" „ H o o f d s t u k 1 0 : De l a t e r a l e k r a c h t en aoment op h e t l i c h a a m i n d i e n de v o o r -w a a r t s e s n e l h e i d U c o n s t a n t en de l a t e r a l e s n e l h e i d V een f u n c t i e van de t i j d is» 1 H o o f d s t u k 1 1 :

Het b e p a l e n van de a x i a a l - s y m m e t r i s c h e s t r o m i n g met b e h u l p van een a x i a l e bronnen en p u t t e n verdeling»

j a n u a r i 1 9 6 5 »

1 -l O o De -l a t e r a -l e k r a c h t en moment op h e t -l i c h a a m i n d i e n de v o o r w a a r t s e s n e l h e i d U c o n s t a n t en de l a t e r a l e s n e l h e i d V een f u n c t i e van de t i j d i s . I n de s t i l s t a a n d e v l o e i s t o f h e e f t h e t o m w e n t e l i n g s l i c h a a m een s n e l h e i d -ü i n x - r i c h t i n g en een s n e l h e i d -V i n y - r i c h t i n g . U = c o n s t a n t , V = f ( t ) ; i n y - r i c h t i n g i s de s t r o m i n g n i e t u n i f o r m . / c _Oo ! ^

^o^o-^o^o ®*" ^^^^ a s s e n s t e l s e l ; O x y z i s een met h e t omwen-t e l i n g s l i c h a a m meebewegend a s s e n s omwen-t e l s e l o De v e r s t o r i n g s p o t e n t i a a l i s 0 = 0 + P,-2 1, 5 b l z . 10 0^ = V s ( x ) ^ c o s O . ^^^^ w a a r i n s ( x ) = T r ^ en r ^ de s t r a a l r van h e t o m w e n t e l i n g s l i c h a a m t e r p l a a t s e x i s . U i t de Wet van B e r n o u l l i v o l g t de d r u k v e r d e l i n g op h e t l i c h a a m : •at * p ^ 2 [ ''öx'' * ^t>T^ * VSö'^ J -•30 w a a r i n ^ de a f g e l e i d e van de v e r s t o r i n g s p o t e n t i a a l naar de t i j d i s i n

h«t v a s t * ass*n»tel8*lc, T«n o p z i c h t e van h * t a t * l s e l i s l ^ : "St "dt 9x 3 y E - c ( t ) =

. | f

- ^ | ^ - v | | - l

/ l l ) ^ ( | f ) ^ ( | l , ) ^ ]

0 = 0 ^ . 0,.

^ -^V s ( x ) UV S'(x)coaO 'Sx -a X F r vtÉ v l ' ? ^ d r ^ do ?>y " J ^ r • dy © 0 * dy V ~ 2 ^ cos 0 - cos^ 0 + V ^ s i n ^ 0 i r r i r r IT r TTr ^ïï^r^ T V ^ TT^ r ^ r a o _ 2 ^ TT r D* d r u k v e r d e l i n g i s : '00 a e ( t ) = - | | | i 2 c ) , , 3 ^ - U v M ^ c o s e - U . p &t T T T T r © x . UV f ; i i l cos 0 + v2 il2£l c o s ^ 0 - V^ e i n ^ 0 ^^'^ i r r * TTr^ - 3

3

-, l

( ^ ) ^ l v 2 l s

' ( x ) l

^ ^ ^ 2 ^ _

/ A l l l x )

, , 3 Q 2

^©x ^

2 ^ ^ 2 ^ 2 ^ ^Z>x TTr * 1

^ ü l M f . l v ^ i s i x i i !

^ ^ ^ 2 ^ ^

S

' ( x ) s ( x )

2 ^ T T ^ r ^ 2 i f T f V 2 T r V

1

k ( x ) l !

^^^2 ^

Voor r _ ^ » * 3 w o r d t c ( t ) » c , o n a f h a n k e l i j k van d# t i j d . De d r u k v e r d e l i n g

op h e t l i c h a a m w o r d t nu met v e r w a a r l o z i n g van (—^) ten o p z i c h t e van

p V ^

- = c = = - 7 r cos 9 - 2 UVr' cos 9 - U ( ; ~ )

p © t s s © X g

+ 1

V^ cos^ 9

- I

V^ s i n ^ 9 -

1

r •. 2 2 2 s Tengevolge van de a x i a l e beweging i s :

De toename van de d r u k t e n g e v o l g e van de n i e t a x i a l e beweging: P

- r cos 9 - 2 UV r ' cos 9 + ^ V^ cos 9 - ^ V s i n 9.

P

0 t 3 - ^ 2 • " 2

D* k r a c h t i n y - r i c h t i n g i s :

27r.

dy = - p dx y r ^ cos 9 d 9 =

w a a r i n ^S<x)dicde toegevoegde massa is» De t o t a l e k r a c h t i n ' y - r i c h t i n g i s

O ' O"'

« V

om.

-Ot

Met m = t o t a l e toegevoegde massa = y p s ( x ) d x o

O

Het moment i s :

-+ uv

dpS(x) dx ) xdx = /3_V O S(x)x dx - UVm. Literatuur» H i n z e , J c O . " C o l l e g e d i c t a a t v o o r t g e z e t t e a t r o m i n g s l e e r " . P r a n d t l , L. and T i e t j e n s , O o G . " A p p l i e d h y d r o - and a e r o n e c h a n i c s " , Dover p u b l i c a t i o n s I n c . - 5

5

-110 Het bepalen van de a x l a a l - s y n a m e t r i s c h e s t r o m i n g met behulp van een a x i a l e bronnen en p u t t e n v e r d e l i n g o

De " s l e n d e r body t h e o r y " e i s t d a t de a f g e l e i d e van h e t door-snede o p p e r v l a k voor de beide u i t e i n d e n van h e t l i c h a a m n u l i s ,

( b l z . 9 ) .

Aangezien vaak stompe neuzen voorkomen i s h e t b e l a n g r i j k t e weten i n h o e v e r r e de " s l e n d e r body t h e o r y " i n deze g e v a l l e n nog een goede b e n a d e r i n g i s . Met de methode van Von Karman kan een be-t e r e b e n a d e r i n g gegeven worden i n h e be-t a x i a a l - s y m m e be-t r i s c h e g e v a l .

Op de x-as worden op g e l i j k e a f s t a n d e n t u s s e n x = O sn x * 1 bronnen ( o f p u t t e n ) geplaatst»

De s n e l h e i d van de ongestoorde s t r o m i n g i n h e t o n e i n d i g e i s V| h e t l i c h a a m s t a a t stil»

De s t r o m i n g i s i n i e d e r punt van h e t v e l d bepaald door de h o o f d s t r o o m U en de op de x-as aanwezige bronnen en p u t t e n o Op h e t o p p e r v l a k van h e t l i c h a a m i s de normaalcomponent van de s n e l h e i d nul« Deze e i s l e v e r t de s t e r k t e van de bronnen en p u t t e n en h i e r -u i t kan de s n e l h e i d s - en d r -u k v e r d e l i n g berekend worden.

De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l van een b r o n i s s

w a a r b i j Q de b r o n s t e r k t e i s en r ' de a f s t a n d t o t de b r o n . D i t kan i n g e z i e n worden a l s men bedenkt, d a t door een b o l o p p e r v l a k om de

0 0

b r o n , met s t r a a l r ' , waar de s n e l h e i d i s , ook de h o e v e e l h e i d Q >t s t r o m e n . Dus i s :

= - H - ; : ; ^ .

• o n d e r s t e l d a t de x-as t u s s e n x = O en x « 1 v e r d e e l d w o r d t i n n s t u k j e s , met i n h e t midden van e l k s t u k j e een b r o n met s t e r k t e I n h e t midden van s t u k j e i b e v i n d t z i c h een bron met s t e r k t e i^^. De s n e l h e i d s p o t e n t i a a l i n h e t punt ( x ^ , r ^ ) t e n g e v o l g e van de b r o n

i n i i s :

Voor r ' ^ j b e s t a a t de b e t r e k k i n g :

-Dan I s : -1/2 Gesommeerd over a l l e i :

.'1

-1/2 De t o t a l e p o t e n t i a a l i n h e t punt (x^, r ^ ) i s n u : n % f ^ . 2 ) - V 2 -1/2 De s n e l h e i d i n x - r i c h t i n g i n punt ( x ^ , r ^ ) i«2

^_0.

0

x ^ (""j •

I i ^

2

/ N2

/

r ^ + ( x ^ - | ^ ) j

+ u.

De s n e l h e i d i n r ~ r i c h t i n g i n punt ( x j , r ^ ) i s ;

* i

2T172Op h e t o p p e r v l a k van h e t l i c h a a m i s de normaalcomponent van de s n e l -h e i d n u l , en g e l d t dus:

7

-w a a r b i j r ^ j de r coördinaat van h e t o m -w e n t e l i n g s l i c h a a m is» Noeas

— ^ = Q

c>0.

3>0.

( - - i + U) f i . = (rr-**-) 5 u i t g e s c h r e v e n g e e f t d i t :

^ X 8 J r s

D i t g e l d t voor i e d e r punt ( x . , r .)o We k r i j g e n dus n v e r g e l i j k i n g e n a e t J s j