TANDWIELEN DOOR
IR A. J. DONKERS LOOT
LECTOR TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT
UITGEGEVEN IN SAMENWERKING MET DE CENTRALE COMMISSIE VOOR STUDIEBELANGEN
BIJ DE
Leonhard Euler, 1707 -1783, hoogleraar te St. Petersburg en Berlijn, was de eerste die de thans algemeen gebruikelijke evolvente vertanding voorstelde en wetenschappelijk onderzocht.
VOORWOORD
Niet alleen vele studerenden, maar ook vele afgestudeerden die in de . praktijk hun sporen reeds verdiend hebben beschouwen het onderwerp "Tandwielen" als zeer moeilijk.
Twee voorname oorzaken zijn dat vele passages een sterk beroep doen op het voorstellingsvermogen en dat de verschillende delen van dit hoofdstukuit de werktuigbouwkunde zulk een grote samenhang vertonen dat het dikwijls niet mogelijk is een bepaalde paragraaf die men nodig heeft te raadplegen zonder de vrij omvangrijke basistheorie te beheer-sen.
De opzet van dit boek is diegenen te helpen die met deze moeilijkheden te kampen hebben.
Aandacht is dus besteed aan het duidelijk uiteenzetten van de basis-theorie , het be lichten· van consequenties en het doen uitkomen van de onderlinge samenhang.
Gaarne betuig ik mijn dank aan de heer A. E. GERSEN, die met grote toewijding de figuren tekende.
---~~~~~--INHOUD
Symbolen. Hoofdstuk I Inleiding.
Doel, betekenis, ontwikkeling, hoofdvormen. Hoofdstuk II Rechte tandwieloverbrengingen.
Par.
1 Algemene beschouwingen. I-a Hoek en hoeksnelheid. l-b Vertandingsregel.
l-c Constructie van Reuleaux. l-d Basisvertanding.
l-e Steek, modul, diametral pitch, circular pitch. l-f Tandspelingen.
l-g Keuze van het tandprofiel.
2 De evolvente als tandflank. 2-a Ontstaan van een evolvente. 2-b Eigenschappen van de evolvente.
2-c Het construeren van een evolvente tand, fabricage-ingrijplijn, fabricage-ingrijphoek. 2-d Afleiding van de voorwaarde waaraan evolvente
tanden moeten voldoen om correct samen te werken.
2-e Het basisprofiel en het theoretische heugelprofiel van een evolvente tand.
2-f Opmerkingen over par. 2-c en par. 2-d.
2-g Samenvatting der hoedanigheden van de evolvente tandvorm.
2-h Ingrijpquotiënt.
2-j Bruikbaar stuk van de ingrijplijn.
2-k Valse ingrijping, ondersnijding, relatieve kopbaan, voorwaarde voor maximale ondersnijding.
2-1 Principe van de bewerking van evolvente tanden. Constructie van tandflank en voetaansluiting zoals
bladz. 14 17 20 20 20 20 22 23 25 26 27 28 28 . 29 29 30 32 33 35 36 37 38 40
Par. 3 3-a 3-b 3-c 3-d 3-e 3-f 3-f-I 3-f-ll 3-f-m 3-f-1V 3-f-V 3-f-V1 3-f-V11 3-g 3-g-1 3-g-II 3-g-ll1 3-g-1V 3-g-V 3-g-VI 3-g-V11 3-g-Vm
Middelen ter verbetering van de flankvorm van evolvente tanden.
Opsomming der middelen.
Kop verkleinen (een ondeugdelijk middel). Kop van beitel of frees afronden.
Aantal tanden vergroten. Ingrijphoek vergroten. Schuine tanden toepassen.
Afleiding der hoofdmaten uitgaande van de bewerkingsmethode.
Ondersnijding bij schuine tanden.
Benaderde vergelijkingsmaatstaf voor rechte en schuine tanden.
Ingrijpquotiënt bij schuine tanden.
De dragende tandlengte bij schuine tanden. De tandkracht bij schuine tanden, zijn compo-nenten en zijn verdeling over de contactlijnen. Samenvatting van de hoedanigheden van
schuine tanden.
Positieve correctie toepassen (freesver-sChuiving, profielverschuiving. )
Overzicht van tandwielbewerkingsmethoden. Verklaring van de correctie uitgaande van de bewerking.
Het samenwerken van gecorrigeerde wielen met elkander of met ongecorrigeerde wielen.
Voordelen van de positieve correcti~. Nadelen van de positieve correctie.
Getallenvoorbeeld ter illustratie van het verschil tussen een gecorrigeerde en een ongecorrigeerde tand.
Negatieve correctie.
Spelingsvrije ingrijping van positief gecorri-geerde wielen. bladz. 43 43 43 44 45 47 48 48 49 50 52 53 55 56 57 57 60 62 64 66 67 70 70
Par. bladz. 3-g-IX Complicatie bij de berekening van spelings- 78
vrije ingrijping wanneer de wielen met een steekwiel volgens de methode van Fellows gestoken worden.
3-g-X Over de grootte van de positieve correctie. 80
4 Inleiding tot de berekening van rechte tand- 86 wielen met rechte tanden.
5 De oude berekeningsmethode volgens P
=
c.b.t. 875-a De betekenis der letters. 87
5-b De afleiding der formule. 87
5-c Nadere vaststelling van de waarde van de 88 factor c.
5-d De keuze van de tandbreedte b. 91
5-e De keuze van het tandental. 92
5-f Kritiek op en toepasbaarheid van P
=
c.b.t. 935-g Rekenvoorbeeld. 94
6 De moderne berekening van rechte tandwielen 96 met rechte tanden.
6-a De grootte van de omtrekskracht. Dynamische 96 toeslag.
6-a-I Tabellen en formules. 96
6-a-ll Rekenvoorbeelden. 104
6-b De berekening der tandflanken op vlaktedruk. 108 6-b-I Formule van Hertz. Welke raakpuntsligging is 108
maatgevend?
6-b-ll . Aïleiding der formule voor de berekening der 112 tandflanken op vlaktedruk.
6-b-ill Waarden voor het belastingsgetal k. V eiligheids- 114 coëfficiënten.
6-b-IV Rekenvoorbeeld. 119
6-c De berekening der tanden op buiging. 122 6-c-I Welke raakpuntsligging is maatgevend? Formules 122
Par. 6-c-ll 7 7-a 7-b
7-c
7-d 8 9 9-a 9-b 10 11 12 13Waarden voor de toe te laten spanning aan de voet van de tand. Veiligheidscoëfficiënten. Rekenvoorbeeld.
De moderne berekening van rechte tandwielen met schuine tanden.
Inleiding.
De berekening der tartdflanken op vlaktedruk. De berekening der tanden op buiging.
Rekenvoorbeeld. Werktekeninggegevens. De afvoer van de ontwikkelde wrijvingswarmte. Nuttig effect. Badsmering en straalsmering. Glijding bij rechte tandwielen.
Algemene opmerkingen.
Het glijden der tandflanken over elkander. Het verloop van de grootte der loodrecht op de ingrijplijn staande snelheidscomponenten. Het vreten.
Samenvatting van algemene richtlijnen bij het berekenen van cilindrische wielen voor even-wijdige assen.
Constructieve bijzonderheden. De empirische spaakberekening.
Pennenwiel, Lantaarnrad, BOnkelaar, Beukelaar. Hoofdstuk III Kege ltandwie love rbrengingen.
14
15
16
Vergelijking van kegelwielen met rechte tand-wielen.
Tanduitslag. Benaderingsconstructie van Tredgold. Ondersnijding. Principe vervaar-diging. Oktoide.
Correctie of profielverschuiving bij kegel-wielen. bladz. 126 127 127 127 131 133 140 143 143 145 147 149 152 155 158 158 160 162
Par. 17
18
De tandkracht bij kegelwielen met rechte tanden. Zijn ontbinding in drie componenten. Axiale kracht.
De berekening van kegelwielen met rechte tanden' voor een ashoek van 90° .
HoofdstuklV Schroefwieloverbrengingen en wormover-brengingen.
19 Overzicht en algemene opmerkingen.
20 Schroefwielen voor elkander kruisende assen. 20-a De variatie mogelijkheid van tandhoeken en
diameters en het onderlinge verband. 20-b De tandkracht bij schroefwielen voor
lood-rechte askruising. Zijn componenten. Formules voor het nuttig effect.
20-c Nadere bespreking van de formules voor het nuttig effect van schroefwiel- en wormover-brengingen voor elkander loodrecht kruisende assen. Zelfremmendheid en het misleidende van deze benaming.
20-d Puntaanraking.
20-e De berekening van schroefwielen voor elkander loodrecht kruisende assen.
21 Worm en wormwiel.
21-a Algemene opmerkingen. Opsomming van reeds besproken eigenschappen van worm en worm-wiel en aanvulling daarvan.
Gangrichting rechts of links?
Het opgeven van de modul bij worm erl wormwiel.
bladz. 163 164 168 168 169 169 170 175 179 180 183 183
Het opvoeren van het nuttig effect. Meergangigheid. Grootste en kleinste tandentalverhouding.
Benodigde plaatsruimte.
Lijnaanraking. Hogere belastbaarheid.
Worm en wormwiel ongeschikt of minder geschikt voor de aandrijving van grote bewegende massaIs.
21-b Het bewerken van worm en wormwiel. 188 De worm. Het wormwiel. De afwikkelfrees. Het
- - - ---~--- ---~ . -Par. 21-c 21-c-I 21-c-II 21-c-lli 21-c-IV 21-c-V 21-c-VI 21-c-VlI
Verschillende profielen van de draad van de worm.
De exacte spiraalworm of A- worm. De worm. Het wormwiel. Het ingrijpveld. Ondersnijdingsprobleem bij onjuiste keuze van de gegevens van de worm. Ondersnijdings-probleem bij onjuiste keuze van de gegevens van het wormwiel.
Beperkt toepassingsgebied van de exacte spiraal-worm.
De benaderde spiraalwormen.
Verklaring van de variatie in benaderde spiraal-wormen.
1. De benaderde spiraalworm voor het geval het wormwiel met een afwikkelfrees wordt bewerkt. N-worm.
2. De benaderde spiraalworm voor het geval het wormwiel met een slagmes wordt bewerkt. 3. Een tussenvorm van de onder 1 en 2 besproken
benaderde spiraalwormen. .
4. De benaderde spiraalworm voor het geval dat de worm met een schijffrees wordt bewerkt. K-worm.
Aanbevolen waarden voor de modul, ingrijphoek, correctie en kop- en voethoogte van de exacte en benaderde spiraalwormoverbrenging.
De evolvente worm of E-worm.
Definities en meetkundige beschrijving van de evolvente worm.
Het vervaardigen van de evolvente worm en het daarbij behorende wormwiel.
Het frezen van cilindrische wielen met evolvente tanden op een afwikkelfreesbank.
Vergelijking van de afwikkelfrezen voor het ver-vaardigen van rechte tandwielen en wormwielen.
bladz. 190 190 197 200 203
De worm met holle flanken of H-worm. 209
De globoiäe worm of G-worm. 210
De berekening van de exacte en benaderde spiraal- 212 en van de evolvente- wormoverbrenging.
Controle van de afvoer van de ontwikkelde wrijvings-warmte.
Par.
De buigspanning en de doorbuiging van de wormas.
VVerktekeninggegevens.
Badsmering en straalsmering. Keuze van de olie.
- - - - \
-SYMBOLEN
a hartafstand. mm
ao hartafstand indien deze gelijk is aan de som der fabri- mm cagesteekcirke lstralen.
a v hartafstand indien deze groter is dan de som der fa- mm bricageste ekcirke lstralen.
b tandbreedte. mm 1 )
c belastingsgetal in de praktijkformules kgf/cm 2 PNUT" :=:c.b.t. enPw:! :=:c.fz.b.tAX•
D diameter fabricagesteekcirkel. mm
diameter bedrijfssteekcirkel (rolcirkel).
EW bij rechte tandwielen met rechte tanden het punt op de ingrijpweg waar een tandflank zich bevindt wanneer een naastgelegen gelijkgerichte tandflank in een eindpunt van de ingrijpweg staat.
mm f
HB
wrijvingscoëfficient. Brinell hardheid. onbenoemd kgf/mm2 i tandentalverhouding Z2 ZlMw
wringmoment berekend uit het nominaal vermogen. kgf mm 1 )M WERK wringmoment berekend uit het nominaal vermogen, kgf mm
vermeerderd met een toeslag waarmede de onregelma -tigheden van de aandrijvende machine, de aangedreven machine en de overbrenging zelf in aanmerking worden genomen.
m fabricagemodulus. mm
m AX bij wormen de fabricagemodulus in het axiale vlak. mm bij wormwielen de fabricagemodulus in het
transv8r-sale vlak.
mb bedrijfsmodulus. mm
mn bij cilindrische wielen met schuine tanden, bij wormen mm en bij wormwielen de fabricagemodulus in het
norma-le vlak.
mo bij cilindrische wielen met schuine tanden de fabricage- mm modulus in het transversale vlak.
N pk
1 __ _ _ _ _ _ _ _
P NUT bomtrekskracht aan de bedrijfssteekcirkel berekend uit kgf het nominaal vermogen.
P NUT fomtrekskracht aan de 'fabricagesteekcirkel berekend kgf uit het nominaal vermogen.
P WERK omtrekskracht aan de bedrijfssteekcirkel berekend uit kgf het nominaal vermogen vermeerderd met een toeslag waarmede de onregelmatigheden van de aandrijvende machine, de aangedreven machine en de overbrenging zelf in aanmerking worden gènomen.
Pw ~ de in rekening te brengen omtrekskracht aan de steek- kgf cirkel van een wormwiel waarbij de onregelmatigheden van de aandrijvende en de aangedreven machine in aan-merking zijn genomen.
r straal van de fabricagesteekcirkel. mm I )
rb straal van de bedrijfssteekcirkel. mm
t steek. cm
t AX steek in het axiale vlak van een worm. cm
u
v
y
z
ex. AX
kopverlaging uitgedruktin de modul, Xl + X2 - y,
ins chui vingsfactor . snelheid.
glijsnelheid
correctie of profielverschuiving uitgedrukt in de modul.
vergroting van de hartafstand uitgedrukt in de modul" av ~ ~Q., asverschuivingsfactor aantal tanden"van een tandwiel.
Zl + Z2
- - -
.
"
drukhoek, fabricage-ingrijphoek, ingrijphoek van het theoretisch heugelprofiel, ingrijphoek van het gereedschap, in de tekst kortweg "de ingrijphoek". bij wormen de fabricage-ingrijphoek in het axiale vlak, bij wormwielen de fabricage-ingrijphoek in het transversale vlak.
bedrijfsdrukhoek, bedrijfsingrijphoek;
bij cilindrische wielen met schuine tanden, bij wormen en bij wormwielen de fabricage-ingrijp-hoek in het normale vlak.
onbenoemd m'sec m;sec onbenoemd onbenoemd graad graad graad graad
Q!io bij cilindrische wielen met schuine tanden de fa- graad bricage-ingrijphoek in het transversale vlak.
f3 tandhoek op de steek cilinder , in de tekst kortweg graad "de tandhoek" .
f3
g tandhoek op de grondcilinder basistandhoek. graadY spoedhoek, hellingshoek op de steekcilinder , in graad de tekst kortweg "de hellingshoek".
Yg spoedhoek, hellingshoek op de grondcilinder, graad
e: ingrijpquotiënt. onbenoemd
p kromtestraal. mm
w hoeksnelheid. radialen per sec
index b heeft betrekking op de bedrijfssteekcirkel. index f heeft betrekking op de fabricagesteekcirkel.
index 1 heeft betrekking op het rondsel of de worm,
index 2 heeft betrekking op het tandwiel of het wormwiel.
1) Uitgezonderd bij het gebruik van de praktijkformules p :::: c. b.
t.
en P ~ :::: c. f . b. t .NUT' W:.. Z AX
HOOFDSTUK I INLEIDING
DOEL, BETEKENIS, ONTWIKKELING, HOOFDVORMEN In fig. 1 is een stel samenwerkende tandwielen schematisch weer-gegeven. Wanneer het rondsel het wiel drijft dan oefent het rondsel op het wiel uit de omtrekskracht P2. Het wiel oefent op het rondsel uit de reactiekracht Pl. Wanneer er geen wrijving is dan geldt: P1:=: P2. Nu kan de index vervallen en spreken we verder van P.
Het wringmoment op wiel 1 is nu P x r1 en het wringmoment op
wiel 2 is P x r2 , zij verhouden zich dus als de stralen.
Tevens stellen we vast dat de toerentallen zich verhouden omge-keerd als de stralen.
Samenvattende: Gewoonlijk is het doel van tandwielen het overbren-gen van een draaiende beweging van de ene as op de andere, waarbij men heel dikwijls tevens streeft naar een verandering van wringmo-ment en toerental.
Reeds lang voor onze jaartelling hadden tandwielen een grote bete-kenis en wel voornamelijk als wringmoment-vergroters bij hefwerk-tuigen, wateropvoerwerkhefwerk-tuigen, molens enz. Het aantal omwentelingen per minuut was van secundair Qelang.
In de 1ge en 20e eeuw werd ook het toerental van groot belang en nam de betekenis der tandwielen geweldig toe, omdat de mens er naar streefde zich paardekracht-opwekkers te verschaffen tegen een zo laag mogelijke prijs.
Optwee manieren werd deze prijs verlaagd, namelijk door opvoering
van het toerental en door standaardisatie. Uit de formule Mw :=: 716200 ~ kgfmm (Mw is het wringmoment in kgfmm, N is het aantal pk, een pk is 75 kgfm/sec, n is aantalomw. per minuut)volgt dat wanneer men een vermogen van N pk opwekt bij een hoog toerental n, het wringmo-ment Mw (en daarmede de vereiste afmetingen) laag uitvallen. Standaardisatie maakt serievervaardiging mogelijk.
De situatie werd dus dat voor een werktuig nodig was een zeker wringmoment hij een zeker toerental, waardoor dus het vereiste aan-tal pk vastlag. Maar dat dit aanaan-tal pk ter beschikking werd gesteld bij een ander aantalomw. per min. dat gewoonlijk hoger was waardoor het wringmoment evenredig kleiner werd. Het tussenschakelen van een reductor ter verkleining van het toerental en gelijktijdige verhoging van het wringmoment was nodig en hiervoor is een stel tandwielen ge-woonlijk uitermate geschikt.
Gemakkelijk is deze ontwikkeling der tandwielen niet geweest. In de Duitse literatuur van die dagen noemt men de tandwielafdeling wel de "Verdruszabtheilung". .
H. E. Merritt schrijft hierover in "The Engineer" van 19 october 1956:
"Reference to textbooks of a century or more ago shows that the design
of gears was already an extremely controversial topic, and that the
respective supporters of involute and cycloidal teeth, for example,
continued the mode of discussion reported of scientific societies in
still earlier times. Vide "Rasselas": "their manners were somewhat coarse, but their conversation instructive, though sometimes too
violent, and often continued until neither controvertist remembered upon what subject they began. "
De toepassing der snellopende verbrandingsmotoren, electromoto-ren en turbines heeft dikwijls moeten wachten op het oplossen der tandwielproblemen. Het minste wat kon gebeuren was dat de wielen een hels lawaai maakten, maar dikwijls vlogen de tanden er af.1
)
Nauwe samenwerking tussen theorie en praktijk was hier de enige
op-lossing. Men heeft een tandvorm vast te stellen die theoretisch zojuist mogelijk is en daarna heeft de werkplaats de opgave deze theoretische vorm zo nauwkeurig mogelijk te vervaardigen.
Deze zeer zuivere tandwielen monteert men gewoonlijk in geheel
gesloten gietijzeren of gelaste stalen kasten, waardoor uitstekende sme-ring en stevige ondersteuning der assen verkr~gen kunnen worden. De uit de kast stekende assen worden met koppelingen, bij voorkeur elas-tische, aan motor en werktuig verbonden. Voor wielen die langzamer lopen is dit inbouwen eventueel niet nodig, terwijl de bewerking ook
niet aan zulke hoge eisen behoeft te voldoen.
Het toepassingsgebied der tandwielen breidt zich nog steeds uit: zowel vÇ>or' wat betreft de omvang der productie (in Groot Brittannië wordt 1 " van het nationale inkomen aan tandwielen en tandwielkasten besteed) als voor wat betreft de grootte der doorgeleide vermogens (duizenden pk) en de grootte der omtrekssnelheden. (tientallen meters
per sec. ) Het aantal tandwielen momenteel in auto's in bedrijf begroot
men op meer dan een half milliard.
We kunnen drie hoofdvormen onderscheiden naar de plaats die de
assen ten opzichte van elkaar innemen.
1. De assen zijn evenwijdig aan elkaar: re c h te tandwie
lover-b ren gin gen, fig. 2 en Hoofdstuk 1I.
De grondvormen van deze wielen zijn twee elkaar volgens een
beschrij-vende lijn rakende cilinders; de tanden kunnen evenwijdig zijn aan deze beschrijvende lijn: rechte tanden; of er een hoek mede maken: schuine tanden, soms ook schroeftanden genaamd; twee stel schuine wielen samen kunnen een stel wielen vormen met V -, visgraat- of pijltanden. 2. De hartlijnen der assen snijden elkaar: kege ltandwie
lover-brengingen , fig. 3 en Hoofdstuk lil.
De grondvormen zijn twee e!kaar volgens een beschrijvende lijn ra-kende kegels met gemeenschappelijke top. Ook hier kunnen de tanden
recht zijn d. w. z. de tandflanken worden begrensd door een stelsel
rechte lijnen die allen door de top gaan of de tanden liggen schuin op
de kegelmantel. Tenslotte is hier ook nog een variant op mogelijk: men freest namelijk de tanden soms wel gebogen op de kegelmantel en
verkrijgt dan zogenaamde conische tandwielen met spiraalvormige
tan-den (auto! s).
3. De assenkruisen elkaar: schroefwieloverbrengingen en wor move rb rengingen, fig. 4 en 5 en Hoofdstuk IV.
Opmerkingen:
a. Wanneer men cilindrische wielen van schuine tanden voorziet en men maakt het ene wiel evenveel schuin rechts als het andere wiel schuin links dan heeft men een stel wielen volgens hoofdvorm 1 en men spreekt gewoonlijk van rechte wielen met schuine tanden. Wanneer men echter de schuintes niet gelijk en tegengesteld neemt dan heeft men een stel wielen voor kruisende assen dus volgens hoofdvorm 3 en men spreekt dan gewoonlijk van schroefwielen omdat nu inderdaad het ene wiel het andere voortschroeft.
bo Minder voorkomende varianten zijn niet in voorgaand overzicht op-genomen.
- --- - -
.
HOOFDSTUK 11
RECHTE TANDWIELOVERBRENGINGEN Par. 1 ALGEMENE BESCHOUWINGEN
Par. I-a HOEK EN HOEKSNE LHEID
In technische beschouwingen geeft men dikwijls een hoe k niet aan in graden, minuten en seconden, maar men geeft van een hoek op het quotiënt van de booglengte gedeeld door de straal. In fig. 6 is de
boog-lengte ar, de straal r en men zegt nu dat de hoek a radialen groot is.
Wanneer de boog een lengte heeft van precies eenmaal de straal, dan is a gelijk één en de hoek is dus groot één radiaal. Omdat de omtrek van een cirkel 27Tr is komt 3600 ovp.reen met 21T radialen.
(1 rad
=
57° I7'44,81f ).Het grote voordeel van deze manier van aangeven is dat, wanneer men de booglengte wenst te weten die bij een bepaalde middelpuntshoek behoort, deze gevonden wordt door de straal met het aantal rad. te vermenigvuldigen. (Zou men de hoek in graden opgegeven hebben, dan moet men eerst delen door 360 en daarna vermenigvuldigen met 2 TT r).
Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt verstaat men onder hoe k s nel hei d (gewoonlijk aangeduid met w) het aantal radialen dat de voerstraal van dat punt doorloopt per tijdseenheid. De afgelegde
booglengte wordt dan dus w r per tijdseenheid. Men kan dus ook zeggen: de hoeksnelheid
w
is het verhoudingsgetal waarmede de straal verme-nigvuldigd moet worden om de afgelegde booglengte per tijdseenheid of de omtrekssnelheid te verkrijgen.boog per tijdseenheid afgelegd
w
=
straal=
omtrekssnelheid straalPar. I-b VERTANDINGSREGEL
In Hoofdstuk I werd vermeld dat tandwielen die met hoge omtreks-snelheden samenwerken, zeer hinderlijk lawaai kunnen maken en dat zelfs tandbreuk gemakkelijk voor kan komen. Het is duidelijk dat het nodig is dat de tanden op onderling nauwkeurig gelijke afstanden staan, dat de tand van het ene wiel nauwkeurig in de tandholte van het andere wiel past en dat de tandoppervlakte glad is. Voor rustig lopen is dit alles nog' niet voldoende. Daarnaast moet het tandprofiel aan een be-paalde eis voldoen: de vertandingsregel.
In fig. 7 zijn twee samenwerkende tandflanken getekend. De eis
rus-w2
tig lopen betekent: -
=
constant. (Bij onrustig lopen immers is de w1situatie zo, dat wanneer één der hoeksnelheden constant is, de andere het niet is: het desbetreffende wiel loopt nu eens voor, dan weer ach-ter). De tandflanken raken elkaar in punt C. Denkt men zich punt C
vast aan wiel 1 dan bedraagt zijn snelheid v;l. :=: wl X MI C en deze
snelheid staat loodrecht op MI C.
Denkt men zich punt C vast aa!1 wiel 2 dan bedraagt zijn snelheid V2 :=: W2 X M2C welke loodrecht staat op M2C.
De tandflanken raken elkaar, dus de raaklij n in C aan de flank van wiel 1 valt samen met de raaklijk in C aan de flank van wiel 2. We ont-binden nu de snelheden Vl en v2 volgens deze raaklijn en loodrecht er
op. De componenten worden voor wiel 1: CBl en CAl en voor wiel 2:
CB:;:! en CA:;:!. Beschouwen we nu eerst CBl en CB2 dan stellen we vast
dat de ongelijkheid van die twee componenten de oorzaak zal zijn dat punt C van wiel 1 gaat schuiven langs de flank van wiel 2 en omgekeerd. Dit geeft aanleiding tot verlies ten gevolge van wrijving en daarmede samenhangend warmte ontwikkeling en eventueel slijtage. Een voordeel is dit zeker niet, maar dit snelheidsverschil is toch in geen geval de oorzaak van het eerdergenoemde lawaai en de tandbreuken. Bovendien zal goede smering het bezwaar geheel of gedeeltelijk kunnen opheffen. Geheel anders staat het met de componenten CAI en CA • Wanneer in fig. 7 wiel 1 wiel 2 aandrijft zal wiel 1, omdat hier CAl
;f
CA2 , zich drukken in wiel 2. Populair gezegd: wiel 2 schiet naar de zin van wiel 1 niet vlug genoeg op, dus wiel 1 poogt wiel 2 te versnellen.Zou CAI
<
CAg dan is de situatie dat wiel 1 wiel2 niet met eensnel-heid voortduwt die groot genoeg is om W:;:! te handhaven, zodat wiel 2
vertraagt. Maar dit zijn nu juist de kenmerken van onrustig lopen! Conclusie: CAI moet gelijk zijn aan CA:;:! .
We laten uit MI en M2 loodlijnen neer op C Al dan is !l MI Dl C '" A CAI El want L Dl :=: LAl:=: 90° en LElCAl:=: L CMI D1 daar EIC l.M,C.
Nu geldt: CAI: CEl:=: MlDI : MIC Evenzo:
Nu moet :=:
Vul in: CEl :=: Vl := w1M1 C en CE:;) :=: v2 == w2M2C dan komt er:
wl x MIDI == W2 X M2D2
Nu is ~ MIDIP ~. A M:;:!D2P zodat MIDI: MIP :=: M:;:!D? M2P zodat WI X MI P := W2 X M2 P
of - - "" M1P --=: w., p cons an t t M2P W1
P is het snijpunt van CAI en CA:;:! met M1 M:;:! en verdeelt dus M1 M2 in
een constante verhouding en wel omgekeerd evenredig met de hoek-snelheden, dat is recht evenredig met de tandentallen der wielen.
CAl en CA:;:! vallen langs de gemeenschappelijke normaal in het punt van aanraking op de tandprofielen opgericht.
C was een willekeurig genomen raakpunt der tandflanken, zodat we
uitgaande van wa ::: consfant waaruit volgde CAI w "" CAa nu gekomen l
z~ntclde vertandingsregel:
De gemeenschappelijke normaal op de tandflanken in het momentele raakpunt gaat door een vast punt
op de verbindingslijn der wielmiddelpunten. Dit punt
verdeelt deze centraal in 2 delen omgekeerd even-redig met de hoeksnelheden, dat is recht evenredig
met de tandentallen.
Denkt men zich P vast aan wiel 1 dan bedraagt zijn snelheid WI x M1P, denkt men zich P vast aan wiel 2 dan bedraagt zijn snelheid Wa X MaP.
Nu is wl MI P ::: Wa Ma P dus de cirkels met MI P en Ma P als stralen
rollen zuiver op elkaar af.
Op ieder stel samenwerkende tandwielen is één stel elkander
raken-de cirkels aan te wijzen (en ook niet meer dan
één
stel) die gelijke omtrekssnelheden hebben. Immers trekken we de cirkels door X (opde centraal meer naar MI gelegen) dan zal X met wiel 1 medebewegen-de een kleinere omtrekssnelheid hebben dan het punt X met wiel 2 me-debewegende. Deze cirkels zullen dus over elkander rollen èn glijden.
De cirkels met stralen MI P en Ma P, de zuiver op elkander rollende
cirkels dus, noemen we bed rij f sst eek c ir kei s (Soms noemt men
hen rolcirkels ). Punt P heet bed rijf spooL
Opmerking: Gewapend met de begrippen: bedrijfssteekcirkel en
be-drijfspool kunnen we volgens Rötscher de juistheid van de vertandings
-regel ook langs andere weg inzien: De relatieve beweging der
tand-wielen is dezelfde wanneer men wiel 1 stil houdt en wiel 2 over wiel 1
laat rollen.
Hierbij moet dus bedrijfssteekcirkel lv1:aP rollen 0ver
bedrijfssteek-cirkel MIP. In de getekende stand draait dan het gehele wiel 2 heel
even om punt P. (onmiddellijk daarna is het momentele draaiingsmid-delpunt iets verplaatst).
Dit draaien is alleen mogelijk wanneer de raaklijn in C langs de
tandflanken loodrecht staat op CP of wel: de gemeenschappelijke
nor-maal moet door de bedrijfspool gaan.
Par. l-c CONSTRUCTIE VAN REULEAUX
Wanneer van wiel 1 gegeven is: bedrijfssteekcirkel en tandflank en
van wiel2 de bedrijfssteekcirkel dan levert de constructie van Reuleaux de tandflank van wiel 2. In fig. 8 is gemakshalve de gegeven tandflank door P getekend.
Beschouwen we nu punt 1: Van dit punt tekenen we de loodlijn I-A
op het tandprofiel. Volgens de vertandingsregel moet deze loodlijn door de bedrijfspool P gaan op het ogenblik dat punt 1 de andere flank raakt. Echter deze normaal zal alleen door P kunnen gaan wanneer wiel MI
-
.
---~-~ - - ~ --zo ver naar links is gedraaid dat de afgelegde boog op de bedrijfs -steekcirkel AP is. We wentelen nu wiel 1 zo ver door~ maar constru-eren in de verwentelde stand alleen punt 1 (door cirkel met straal Nfl-1 vanuit MI en cirkel met straal A-l uit P).
Dit verwentelde punt noemen we 11
.• In dit punt 11 raakt dus de tand-flank van wiel 2 de tandtand-flank van wiel 1. Dit punt }I heet in g rij p p u n t.
We hebben dus nu een punt van de flank van wiel 2, maar in verwentelde toestand.
Willen we er dus wat aan hebben dan moeten de wielen weer terug-gewenteld worden. We weten dat de afgelegde afstanden op de bedrijfs-steekcirkels steeds gelijk zijn, deze cirkels rollen immers zuiver op elkaar. We wentelen dus wiel 2 zoveel terug dat de afgelegde boog op de bedrijfssteekcirkel van 2 gelijk is aan de afgelegde boog AP op de bedrijfssteekcirkel van 1. Maak dus boog PB gelijk aan boog PA (niet koorde PB
=
koorde PA).Hiertoe verdeelt men de boog in een aantal stukken, neemt hiervan de koorden en brengt deze koorden over 0 Men benadert dus de
cirkel-boog door een regelmatige veelhoek. Bij kleine koorden is de afwijking niet te groot, men moet ook weer niet met teveel koorden de boog be-naderen, omdat ieder "overprikken" met een zekere onnauwkeurigheid gepaard gaat.
Draai nu punt 1 r met wiel 2 terug en cirkel vanuit B om met de
leng-te PI r, hierdoor vinden we punt 1" en dit is het eerste punt van de ge-zochte tandflank van wiel 2. Dezelfde constructie herhalen we voor punt 2.
Punt P geeft als punt van de tegenflank punt P zelf, vandaar dat we de gegeven flank in de bedrijfspool geplaatst hebben.
De constructie voor punt 4 en voor punt 5 verloopt analoog~ alleen moet wiel 1 nu telkens naar rechts gedraaid worden. De kromme door
1" 2" P 4" 5" is de gezochte tandflanko
De kromme lijn door 11 21 P 41 51 is de m.p. der
punten, waar achtereenvolgens aanraking tussen de flanken optreedt en heet ingrijplijn.
Wanneer op de tandflank van wiel 1 gegeven is punt 2 en men vraagt zich af welk punt van de tandflank van wiel 2 daarmede samenwerkt dan is dat punt als volgt te vinden: wentel eerst het punt met wiel 1 mede tot dat het punt op de ingrijplijn komt (21) en wentel punt 21 dan met wiel 2
terug totdat de nu ontstane cirkelboog de tandflank van wiel 2 snijdt (2"). Par. 1-d BASISVERTANDING
Uit de constructie van Reuleaux volgt dat men een tandwiel geheel bepaald heeft door het verstrekken van de volgende gegevens: zijn be-drijfssteekcirkel alsmede de bebe-drijfssteekcirkel en de flankvorm van het ermede samenwerkende wiel.
_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ t _
wanneer gegeven is de diameter en de flankvorm van één op al die wie-len passend "Reuleaux" wiel.
Van dit feit maakt men gebruik wanneer men de tandvorm wil vast-leggen met het oog op normalisatie en aangeven op de werktekening~ De diameter van het "Reuleaux" wiel neemt men oneindig groot zodat het een tandstang of heugel wordt, fig. 9. De vertanding van deze heu-gel heet bas i s ver t a n din g .
. Het op deze manier vastleggen van de tandvorm is enerzijds een zeer bruikbare en algemeen aanvaarde methode gebleken, brengt ech-ter anderzijds in tweeërlei opzicht complicaties met zich mede, waar-van men zich thans ter dege rekenschap moet geven omdat anders grote delen van de later volgende theorie onbegrijpelijk zijn.
De eerste complicatie is dat terwijl in fig. 8 het wiel 2 onmiddellijk passend werd gemaakt op wiel 1 daarentegen in fig. 9 wiel 1 passend is op de heugel en wiel 2 eveneens, daarna is het echter de bedoelingwiel 1 met wiel 2 te laten samenwerken! In fig. 9 rolt één cirkel van wiel 1 (en ook weer niet meer dan één cirkel) over een rechte lijn van de heugel.
Deze zuiver rollende cirkel heet fabricagesteekcirkel. Later laten we wiel 1 en wiel 2 samenwerken en op dit samenwerkende stel tandwielen is één stel cirkels aan te wijzen die zuiver op elkaar rollen, deze cirkels heten bedrijfssteekcirkels. In het geval van fig. 8 vallen fabricagesteekcirkel en bedrijfssteekcirkel samen. Bedient men zich echter van de methode van fig. 9 dan behoeven deze cirkels niet samen te vallen.
De fa b r i c a ges tee kc ir keI s zijn aan de orde gekomen tijdens de constructie of de fabricage van de wielen en moe ten dus 0 p de
werktekening vermeld worden.
De bedrijfssteekcirkels komen eerst aan de orde wanneer gegeven is welke wielen komen samén te werken en hoe groot men de hartaf-stand der twee wielen gaat nemen. De bedrijfssteekcirkels immers verdelen de hartafstand in stukken die zich verhouden als de tanden-tallen.
De fabricagesteekcirkel en de bedrijfssteekcirkel vallen samen wanneer men de hartafstand gelijk maakt aan de som der fabricage-steekcirkelstralen. Maakt men de hartafstand anders en we zullen later zien dat dit heel dikwijls gebeurt omdat daar belangrijke voordelen aan verbonden kunnen zijn, dan zijn de bedrijfssteekcirkels niet gelijk aan de fabricagesteekcirkels.
De bed rij f sst eek c i r keI s moe t men ni et 0 p de we r k-te ken in g ver meI den, men heeft hen bij de bewerking niet nodig en men. zou alleen verwarring kunnen stichten.
De tweede complicatie is dat terwij I in fig.8 de wielen 1 en 2 zonder meer passen, de wielen 1, 2, 3, 4 enz. van fig. 9 volstrekt niet zonder meer passen!
In fig. 10 zijn twee wielen MI en M::1 getekend die afgeleid zijn van dezelfde basisvertanding. Aangegeven zijn de fabricagesteekcirkels
en de fabricage-ingrijplijnen. (Deze laatste zijn natuurlijk congruent). Schuift men nu deze twee wielen in elkander totdat de fabricage-steekcirkels elkander raken dan vallen deze ingrijplijnen 1 en 2 niet samen!
Conclusie is dus dat wanneer men van een bepaalde basisvertanding tandwielen wil afleiden die onderling moeten passen (d. w. z. wissel-wielen zijn) men met de keuze van de basisvertanding daar op moet rekenen. De fabricage-ingrijplijn moet symmetrisch zijn t. o. v. de fa-bricage-pool, zodat de fabricage-ingrijplijnen bij het samen brengen der wielen kunnen· samenvallen.
Opmerking: In het algemeen kan men stellen dat de tandprofielen van wiel M1 en M:a correct samènwerken wanneer zij afgeleid zijn van twee basisvertandingen, waarvan de tand van de ene past in de kuil van de andere als een gietstuk in zijn vorm.
Met het oog op de vervaardiging zal men ver langen dat de twee ba-sisvertandingen gelijk zijn en dan komt de eerder genoemde eis, dat de ingrijplijn en daarmede het heugeltandprofiel symmetrisch moet zijn ten opzichte van de pool naar voren.
Par. 1-e STEEK, MODUL, DIAMETRAL PITCH, CIRCULAR PITCH De steek van een tandwiel is de afstand langs de steekcirkei geme-ten tussen twee opeenvolgende linker (of rechter) tandflanken.
Men onderscheidt bedrijfssteek en fabricagesteek. Op de werkteke-ning moet alleen de fabricagesteek staan, dat is de steek van de basis-vertanding, dus van het gereedschap waarmede het wiel gemaakt wordt, fig.11. Van een wlel met z tanden en een fabricagesteekcirkeldiameter van D mm is de fabricagesteek := 7T D mmo Vanwege het getal 7T geeft
z
men echter niet op de fabricagesteek zelf maar de fabricagesteek ge-deeld door 7T. Deze grootheid heet fabricagemodulus en wordt aange-geven met de letter .m. Fabricagesteek
=
m7T=
7TD, zodat D=
z m.z
Omdat altijd alleen de fabricagemodul op de werktekening voorkomt spreekt men kortweg van de modul. Voor de genormaliseerde waarden van de modul zie tabel I.
In handboeken in de Engelse taal treft men dikwijls aan de groothe-den DP
=
diametral pitch en CP=
circular pitch. Diametral pitch is een quotiënt en wel het aantal tanden gedeeld door de steekcirkelmid-dellijn uitgedrukt in Engelse duimen.dus DP:=. z . _ z x 25,4 25,4
D In Engelse dUImen - D in mm modul
Zodat de betrekking tussen diametral pitch en modul luidt: DP x m
=
25,4Circular pitch is de steek in Engelse duim (een onpractische groot-heid).
Voorbeeld: 20 tanden modul 10 is dus een tandwiel met een fabricage-steekcirkeldiametervan 200 mmeneen fabricagesteek van 31,416 mmo 20 tanden DP 2,5 heeft een fabricagesteekcirkeldiameter van 8" en een
TT" fabricage steek van
25 .
,
Par. 1-f TANDSPELINGENa. Topspeling of kopspeling. Tussen de kopcirkel van wiel 1 en de voetcirkel van wiel 2 moet ruimte zijn, voornamelijk opdat de smeer-olie kan ontwijken wanneer de tandkop van wiel 1 in de tandkuil van wiel 2 dringt. Voor de speling nam men vroeger dikwijls 0,16 of 0,2 modul. Tegenwoordig acht men echter 0,25 modul beter omdat dan de tandflank geleidelijker in de voetcirkel kan overgaan. Deze maat is dan ook genormaliseerd in NEN 1629. Uitzetting ten gevolge van warmte en nastelling bij slijtage zijn bij de gebruikelijke grootte der speling gemakkelijk mogelijk.
b. Flankspeling fig.12. In zijwaartse richting moet de tand iets ruimte hebben in de tandkuil van het andere wiel met het oog op plaats voor smeerolie, uitzetting tengevolge van warmte en bewerkingsonnauw-keurigheid.
Omtrent de orde van grootte van deze speling en de tolerantie die men hierop toestaat het volgende:
Bij nauwkeurig werk zou de flankspeling (het verschil der in fig. 12 aangegeven bogen) bijvoorbeeld gemiddeld kunnen bedragen 0,07 mm voor modul 1 tot 0,18 mm voor modul 12.
staat men een symmetrisch gelegen tolerantie toe van 0,02 tot 0,03 mm, dan zal bij modulI de tanddikte waarmede het wiel wordt afge-leverd 0,025 à 0,045 mm kleiner zijn dan de tanddikte nodig voor spe-lingsvrije ingrijping en bij modul 12 0,075 à 0,105 mmo
C. Intreespeling. In fig. 13 d~ijft wiel 1 wiel 2. Het in aanraking.
staan-I
de tandenpaar a is doorgebogen, daardoor is de velg van wiel 1 iets vóór, en de velg van wiel 2 iets achter.
Wanneer het tandenpaar b in aanraking gaat komen geeft dat een conflict: tand b van wiel 1 is nog niet doorgebogen en staat daardoor iets te ver naar voren, tand b van wiel 2 staat om dezelfde reden iets te ver naar achteren. Hierdoor ontstaat de Z. g. intreestoot. Bij de te-genwoordige ontwikkeling der tandwieltechniek waarbij men steeds ho-gere tanddrukken bij steeds hogere omtrekssnelheden toepast, moet men grote aandacht besteden aan het verhelpen van dit euvel b. V. door bovenaan de tandkop iets af te nemen. Ook andere methoden worden toegepast.
d. Flanklijnspeling. Door elastische vervorming onder belasting is het uitermate moeilijk te bereiken dat de tandkracht gelijkmatig verdeeld
is over de gehele lengte van de tand. Een gevaar is hierbij dat de ein-den van de tand teveel te dragen zouden krijgen, waardoor een hoek kan afbreken. Daarom treft men wel maatregelen om te verzekeren dat de tandbelasting meer in It midden geconcentreerd wordt b.v. door de tanddikte in het midden van de breedte van het wiel iets groter te nemen dan aan de kant. Ook andere methoden worden toegepast. Par. 1-g KEUZE VAN HET TANDPROFIEL
Met behulp van de constructie van Reuleaux kan men een oneindig aantal tandprofielen vaststellen die allen voldoen aan de vertandings-regel. Natuurlijk zijn die profielen niet allen even gunstig en de prak-tijk heeft dan ook reeds lang een keuze gedaan: de evolvente tandvorm 1) is practisch alleenheerser. De enige concur"rent van betekenis de epi-en hypo-cycloiäale tandvorm a) heeft het omstreeks 1900 op moetepi-en geven. Deze komt alleen nog in bijzondere gevallen voor (telwerken, uurwerken). Ter beoordeling van de hoedanigheid van een profiel kan men zich afvragen:
a. Hoe is het gesteld met de glij ding der tandpröfielen over elkander. b. Hoe met richting en grootte der tanddruk.
c. Hoe met de verwisselbaarheid.
d. Hoe met de mogelijkheid van vervaardigen. e. Hoe met de montage.
ad. a. In fig.8 constateren we dat het stuk P-2 van de tandflank van wiel 1 samenwerkt met stuk P-2" van de tandflank van wiel 2. Grote onge-lijkheid van deze stukken is ongunstig, want deze geeft aanleiding tot sterke glijding. Bij toepassing van een evolvente als tandflank is het probleem van het vermijden van te grote glijding bevredigend op te lossen. De epi- en hypo-cycloiäale tandvorm kan echter op dit plmt met succes concurreren met de evolvente tandvorm.
ad. b. Wanneer de tanden elkander in punt 11 raken dan is de kracht
na-tuurlijk gericht loodrecht op de oppervlakte, dus volgens de normaal, dat is volgens lIP (wanneer we de wrijving verwaarlozen). De grootte van de tanddruk is gelijk aan het wringmomentvan wiel 1 gedeeld door M1C.
De richting van 2rp is geheel anders, dus wanneer de tanden
elkan-der raken in punt 21 dan is de tanddruk anders gericht en heeft dan
automatisch ook een andere grootte. Maakt een rondsel van 24 tanden 1500 omw. per min. dan wordt het ingrijpgebied dus 600 x per sec. door een tand doorlopen en dus treedt de boven beschreven variatie 1) Het eerste voorgesteld en uitvoerig behandeld door Leonhard Euler
(1707 - 1783).
a) Philipp de la Hire (1640-1718) en M.Camus (1690-1768) zie Conrad Matschosz: Geschichte des Zahnrades.
~ _ _ _ _ _ _ t _
600 x per sec. op. Alléén wanneer de ingrijplijn een rechte is treedt
dit verschijnsel niet op. Later wordt bewezen dat dan de tandflank
evolvent moet zijn.
ad. c. In de paragraaf over basisvertanding werd reeds gewezen op de
wenselijkheid dat alle wielen die van dezelfde basis-vertandingsheugel
waren afgeleid onderling zouden passen. Later zal bewezen worden dat
evolvente vertanding hieraan gemakkelijk kan voldoen.
ad. d. De industrie heeft de mogelijkheid weten te scheppen van
nauw-keurige vervaardiging van evolvente tanden tegen een aanvaardbare prijs.
ad. e. Bij alle tot nog toe bekende tandprofielen heeft men te zorgen
voor een pijnlijk nauwkeurig aanhouden van de hartafstand waarvoor de
wielen ontworpen zijn. Alléén de evolvente maakt hierop een
uitzon-dering: bij variatie der hartafstand blijft de samenwerking aan de
ver-tandingsregel voldoen. (Natuurlijk moet men er wel op letten dat de
tanden niet gaan klemmen of elkander ontijdig loslaten).
Men kan nog meer vraagpunten aan de orde stellen, bovenstaande
opsomming echter verklaart wel reeds voldoende waarom de evolvente
nauwelijks mededingers heeft.
Par. 2. DE EVOLVENTE ALS TANDFLANK
I
Par. 2-a ONTSTAAN VAN EEN EVOLVENTE
Wanneer men een strak gespannen draad van een cilinder afwikkelt
dan beschrijft ieder punt van die draad een evolvente, fig. 14, of:
Wanneer men een lijn over een cirkel laat rollen dan beschrijft ie-der punt van die lijn een evolvente, fig. 14, fig. 15, of:
Wanneer in fig. 16 de cirkel eenparig draait en de rechte lijn zich met een snelheid gelijk' aan de omtrekssnelheid van de cirkel in zijn
eigen richting verplaatst, dan beschrijft punt Q van deze rechte lijn
ten opzichte van de cirkel een evolvente.
De cirkel waarover de lijn rolt heet g ron d c i r k eL (basiscirkel,
ontwikkelcirkel, constructiecirkel). In fig. 14 en 15 zijn twee
construc-ties aangegeven waarvan dè constructie van fig. 14 misschien wel de
handigste is, wanneer men een tanduitslag moet maken, omdat men
minder met cirkelbogen en meer met rechte lijnen werkt. (Over het
benaderen van een cirkelboog door koorden zie Par.l-c). Wanneer men de boven aangegeven bewegingen de andere kant op laat geschieden dan ontstaat de 2de tak van de evolvente.
Par. 2-b EIGENSCHAPPEN VAN DE EVOLVENTE
Alle evolventes van dezelfde grondcirkel zijn congruent. Wanneer . men in fig. 14 dus de banen tekent van de punten 1, 2, 3, 4 enz. dan zijn die banen ook evolventes, draait men de evolvente van punt 1 naar links om het middelpunt van de grondcirkel, dan valt die evolvente op zeker moment geheel met de evolvente van punt A samen.
Een evolvente is dus volkomen bepaald wanneer de grondcirkel ge-geven is. Beschouwt men in fig. 14 punt A4 dan draait tijdens het af-wikkelen punt A4 heel even om punt 4, waaruit volgt dat de lijn A4-4 de kromtestraal is van de evolvente in punt A4 en dat dus de lijn A4-4 tevens de normaal is van de evolvente in punt A4' In een willekeurig punt van de evolvente vindt men dus de normaal en de kromtestraal door uit dat punt de raaklijn aan de grondcirkel te trekken.
Hoe verder van de grondcirkel af hoe groter de kromtestraal, hoe flauwer de kromming.
Par. 2-c HET CONSTRUEREN VAN EEN EVOLVENTE TAND, FABRICAGE -INGRIJP LIJN , FABRICAGE -INGRIJPHOEK Aangenomen wordt dus dat de basis -vertandingsheugel van een zo-danige tandvorm was voorzien, dat aan het wiel dat hiervan afgeleid werd een evolvente tandflank ontstond.
We veronderstellen dat de basisheugel voorzien is van modul 5 en dat het te maken wiel 26 tanden moet hebben. Dan wordt de fabricage-steekcirkeldiameter 26 x 5 := 130 mmo
In fig. 17 is deze fabricagesteekcirkel aangeduid met "Steekc. 1ste wiel". Volgens Norm NEN 1629 is de kophoogte gelijk te maken aan de modul, zodat de kopcirkel 140 mm wordt.
Voor de voetspeling nemen we de genormaliseerde waarde van 0,25 modul, zodat de voethoogte wordt 6,25 mm en de voetcirkel 117,5 mmo Nu nog de grondcirkel die de evolvente bepaalt. Men zal inzien dat de grondcirkel beslist kleiner moet zijn dan de fabricagesteekcirkel , an-ders zou devoetflank onmogelijk tot dezelfde evolvente kunnen behoren als de kopflank. Later zal bovendien nog blijken dat men op slechte verhoudingen komt wanne~r de grondcirkel nog maar weinig kleiner genomen wordt dan de fabricagesteekcirkel en dat een groter verschil gunstiger is, al kan men het verschil niet willekeurig groot nemen.
In fig. 17 is als grondcirkeldiameter 116 mm genomen.
Punt P is het raakpunt tussen de fabricagesteekcirkel van het tandwiel en de steeklijn van de heugel waarover die cirkel rolt d.i. de fabricage-pool. Gemakshalve construeren we de flank wanneer deze door P gaat. Construeer de raaklijn door P aan de grondcirkel en laat deze lijn naar links en r~chts rollen waardoor punt P de evolvente flank beschrijft. Over de overgang van de evolvente naar de voetcirkel moet straks heel wat gezegd worden, in dit stadium maken we ons er van af door het tekenen van een afrondingscirkelboogje met straal 0,25 modul. Op de
fabricagesteekcirkel zetten we nu vanuit P de halve steek af, dit is
2,5 TT mm en tekenen de tweede flank symmetrisch. Nu de ingrijp lijnen:
eerst de fabricage-ingrijplijn, dat is de m.p. der punten waar de basi
s-heugeltand en de wieltand elkander achtereenvolgens raken. Van een
punt van de kopflank construeren we de normaal, d. i. de raaklijn door
dat punt aan de grondcirkel.
Deze normaal gaat niet door de fabricage-pool P, het punt is dus
niet in ingrijping. Wanneer het wiel naar links gedraaid wordt zal op
zeker moment deze normaal wel door de fabricage-pool gaan.
Nu raakt het medegedraaide tandflankpunt het tandprofiel van de
heugel wèl en nu is dat punt dus een punt van de ingrijplijn. Tijdens
het draaien blijft de normaal aan de grondcirkel raken en dus ligt het
ingrijppunt op de raaklijn CD door de fabricage-pool aan de grondcirkel.
Het flankpunt was willekeurig gekozen, alle flankpunten zullen dus in
hun ingrijpstand liggen op een rechte lijn en wel op de raaklijn CD door
de fabricage-pool aan de grondcirkel. Dit is dus de fabricage-ingrijp-lijn.
De fabricage-ingrijplijn maakt een hoek a met de steeklijn van de
heugel. Deze hoek heet fabricage-ingrijphoek. (Wanneer de heugel een
kracht zou overbrengen op het rondsel dan zou die kracht gericht zijn
volgens de ingrijplijn, omdat bij de evolvente op het moment van
aan-raken de normaal steeds langs de ingrijplijn valt. Daarom noemt men
a ook drukhoek). Om aan te geven hoeveel de grondcirkel kleiner is
dan de fabricagesteekcirkel, vermeldt men de fabricage-ingrijphoek op de werktekening. Nu geldt:
---. Straal grondcirkel :=: straal fabricagesteekcirkel x cos fabricage-ingrijphoek. Voor de bedrijfsingrijplijn tussen wiel 1 en een daarop-lopend wiel 2 wordt verwezen naar paragraaf 2-f, daar eerst afgeleid moet worden waaraan de evolvente wielen 1 en 2 moeten voldoen om correct samen te werken.
Par. 2-d AFLEIDING VAN DE VOORWAARDE WAARAAN
EVOLVENTE TANDEN MOETEN VOLDOEN OM CORRECT SAMEN TE WERKEN
Met behulp van de constructie van Reuleaux zou men in fig. 17 de
flank van wiel 2 kunnen construeren, daarna bewijzen dat men 'een
evolvente heeft verkregen, vervolgens de grondcirkel ervan bepalen en dan conclusies trekken.
De hier volgende afleiding echter brengt ons veel sneller tot het
doel. Het betreft dus twee wielen met evolvente tandflanken. Volgens
Par. 2-b -is een evolvente volkomen bepaald door zijn grondcirkel. We
tekenen dus in fig. 18 van de twee wielen de twee aangenomen
grond-cirkels GRC, en GRC~ op een eveneens aangenomen hartafstand a.
Vervolgens construeren we de gemeenschappelijke inwendige
raak-lijn Hl H" die de centraal M, M" snijdt in het punt X. Nu construeren
Hiertoe laten we de lijn H1X naar links en rechts rollen, de baan van punt X is dan~ tandflank van wielt. Dan construeren we de evol-vente door X die GRC:; tot grondcirke 1 heeft. Dat is dan de tandflank
van wiel 2. -
-Deze twee evolventes hebben punt X gemeen. We bewijzen nu eerst dat deze evolventes elkaar raken en niet elk~ snijden. Krachtens de constructie van de evolvente is de normaal van de evolvente van wiel 1 in punt X de lijn Hl X. Evenzo is de normaal van de evolvente van wiel 2 in punt X de lijn H~. Krachtens de opzet van de figuur is HIX H2 een rechte lijn en dus vallen de twee normalen samen1 waaruit volgt dat inderdaad de evolventes elkaar in X raken en niet elkander snijden. Moeten we nu aan de vertandingsregel voldoen dan zouden deze sa-menvallende normalen door de bedrijfspool van de twee wielen moeten gaan, d. w. z. door dàt punt op de centraal dat de I?:artafstand verdeelt in stukken die evenredig zijn met de tandentalleri.
Dat betekent dat X zodanig gelegen zou moeten zijn dat M1X : M2X ::::
= Zl : Z2- Nu is echter fj, M1H'1X ,-..J ~ M~H2X zodat MIX: MaX :::: "" MI Hl : M2 H2• De voorwaarde gaat dus over in: MI Hl : M2 H2 ::::
:::: Zl : za of straal GRC 1 : straal GRC2 :::: Zl : Z:J •
Dat betekent dat wanneer we, zoals hiervoren gedaan, de grond-cirkels aangenomen hebben, wij niet meer vrij zijn in het kiezen van de tandentalverhouding. Deze moe t nu gelijk zijn aan de verhouding der grondcirkelstralen.
Voor de constructeur die een stel wielen moet maken is echter uiter-aard de tandentalverhouding een gegeven grootheid.
Conclusie: hij is niet vrij in de keuze der grondcirkelstralen, maar hij moet zorgen dat deze stralen zich verhouden als de tandentallen.
Nu nemen we op de lijn HIH~ een willekeurig punt Y en construeren door dit punt Y evolventes met behulp van GRC1 en GRC2 precies zo
als we dit in punt X gedaan hebben. In paragraaf 2-b hebben we gezien dat deze evolventes congruent zijn met de evolventes door X en ook verkregen hadden kunnen worden door de evolventes van X te draaien om de wielmiddelpunten.
M. a. w. de situatie als getekend in Y ontstaat ook wanneer we wiel MI naar links draaiend wiel M2 laten voortduwen.
De evolventes door Y raken elkander, immers de ene flank heeft Hl Y tot normaal en de ander H2 Y. Deze normalen liggen in elkanders
verlengde. De samenvallende normalen snijden de centraal in X zodat wanneer we aan de eerder vermelde voorwaarde voldoen de aanraking in punt Y ook plaats heeft op de wijze vereist door de vertandingsregel. Punt Y was willekeurig gekozen dus is hiermede aangetoond dat bij voldoen aan de gevonden voorwaarde, de evolventes van 1 en 2 elkaar in alle opeenvolgende standen correct raken en dat die aanraking plaats heeft op de rechte lijn Hè Rë; de bed rij f sin g rij p I i j n i s dus een rechte en wel de inwendi.ge raaklijn der twee grondcirkels.
De voorwaarde straal GRC I : straal GRCa '" Zl : Za kan in nog een -voudiger vorm gebracht worden. We noemen de fabricagemodul van wiel 1 : mI en van wiel 2 : ma de fabricage-ingrijphoek van wiel 1 : al en van wiel 2 : ar:, dan moet dus:
zm zm
r GRC1 : r GRCa
=-r
cos al :-r
cos aa=
Zl : Za . Hieraan wordt voldaan wanneer mI cos al :::: ma COS a:a •Natuurlijk krijgen de twee wielen dezelfde fabricagemodul zodat al gelijk moet zijn aan aa .
Conclusie is dus: twee evolvente wielen zullen correct samenwerken wanneer zij dezelfde fabricagemodul en fabricage-ingrijphoek hebben, d. w. z. van dezelfde basisvertanding afgeleid zijn.
Een wel zeer eenvoudige eis en zoals reeds aangeduid in Par. l-d en Par. l-g: we wensen niets liever! .
Opmerking. Men kan de voorwaarden waaraan evolvente tanden moeten voldoen ook afleiden met behulp van de analogie met een kruissnaar-overbrenging fig. 19.
Men denke zich een touw kruiselings gespannen om de twee grond-cirkels. Draait men nu GRC1 eenparig dan draait ook GRC2 eenparig v.olgens de verhouding:
w", : w, ;::: straal GRC 1 : straal GRCa •
Punt Q van het touw verplaatst zich gedurende dit draaien eenparig rechtlijnig langs H1
He
,
.
Daarbij beschrijft Q ten opzichte van GRC1 een evolvente en eveneens t. o. v. GRCa (zie ook fig. 16 par. 2-c).Men kan weer bewijzen dat deze twee evolventes elkaar in Q raken en niet snijden. Wanneer men nu het touw verwijdert en beide grond-cirkels van hunne evolventes voorziet en wanneer men dan GRC1 een-parig draait dan duwt evolvente 1 in punt Q tegen evolvente 2 en nu zal het raakpunt analoog bewegen met het punt van het tevoren genoemde touw, d.w.z. eenparig rechtlijnig. Dus zal ook GRC2 eenparig draaien.
Zodat
w
w" ;::: constant, wat de hoofde is was waaruit de vertandings-1regel afgeleid was.
Verder is w" : w1 ;::: Zl : Za zodat r GRC1 : r GRC2
=
Zl : za enz. Par.2-e. HET BASISPROFIEL EN HET THEORETISCHEHEUGEL-PROFIEL VAN EEN EVOLVENTE TAND
Naarmate men bij een evolvent wiel de diameter groter neemt wordt de kromming van de tandflank flauwer. Bij een oneindig grote diameter is de evolvente overgegaan in een rechte lijn.
Het basisheugelprofiel is dus een trapezium, vanwege de eenvoud voor de vervaardiging een groot voordeel!
Terwijl het basisheugelprofiel het heugelprofiel is waarvan het tand-wiel is afgeleid, is het theoretische heugelprofiel het profiel van het tandwiel zelf voor het geval dat de diameter van dit wiel oneindig groot is.
In de Normen NEN 1628 en NEN 162.9 zijn aangegeven de theoretische
heugelprofielen voor cilindrische tandwielen met evolvente tanden voor waarden van een modulus kleiner dan 1 respectievelijk gelijk aan 1 tot en met 20.
Het theoretische heugelprofiel voor modulus 1 tot en met 20volgens NEN 1629, is aangegeven in fig. 20.
Par. 2-f. OPMERKINGEN OVER PAR. 2-c EN PAR. 2-d
Opmerking 1. Uit een oogpunt van tandwielconstructie bekeken, is een evolvente een zeer opmerkelijke kromme lijn: past men hem toe voor de tandflank van wiel 1, dan wordt wiel 2 ook evolvent. Past men
bijvoorbeeld een rechte lijn of cirkelboog toe voor wiel 1, dan krijgt wiel 2 volstrekt geen rechte lijn, resp. cirkélboog tot tandflank.
Opmerking 2. Vroeger was genormaliseerd een fabricage-ingrijp-hoek van 15° thans van 200. Uit de afleiding van par. 2-d volgt, dat men onmogelijk een wiel 1, vervaardigd met een basisheugel met 15°
ingrijphoek, kan laten lopen op een wiel 2, vervaardigd met een
basis-heugel van dezelfde fabricagemodul, maar met 20° ingrijphoek.
Bij de afleiding volgens fig. 18 blijken de evolventes elkaar in X en Y te kunnen raken, maar de gemeenschappelijke normaal verdeelt de hart afstand in stukken die zich verhouden als Zl cos 15°: Z2 cos 20°. De ene tand neemt dus de andere wel mede, maar metvoor- en achter-waartse versnellingen, d. w. z. met horten en stoten. Bovendien is de spitsheid der tanden verschillend en dat kan conflict geven in de tand-kuilen.
Opmerking 3. In par. 2-d is in het begin van de afleiding sprake van aangenomen grondcirkels en van een aangenomen hartafstand a.
Later komt een eis naar voren ten aanzien van de grondcirkels, maar niet ten aanzien van de hartafstand a. Die mag dus willekeurig zijn. Men kan dan te werk gaan zoals in fig. 171 waarbij de hartafstand
gelijk is gemaakt aan de som der fabricagesteekcirkelstralen. Daar-' door raken de fabricagesteekcirkels elkaar in P en wordt P niet alleen fabricage-pool van wiel 1, maar ook bedrijfspool van wiel 1 en 2 en fabricage-pool van wiel 2. Gevolg is dat de fabricagesteekcirkels te-vens bedrijfssteekcirkels zijn, reden waarom deze cirkels in figuur 17 kortweg met "steekc" zijn aangeduid. Tevens valt de
bedrijfsingrijp-lijn samen met de fabricage-ingrijpbedrijfsingrijp-lijn CD (waarmede het aan het ein-de van par. 2-c nog opengelaten punt behanein-deld iS). Zie ook fig. 22. Men kan echter ook de hartafstand niet gelijk maken aan de som der
fabri-cagesteekcirke lstralen.
Dan zal de aanraking der profielen toch volkomen correct blijven. Wel kunnen uit anderen hoofde bezwaren optreden. Kleinere hartafstand is bij de gebruikelijke tandafmetingen onmogelijk, omdat de tanden klem komen te zitten.
,
'-Grotere hartafstand is tot op zekere hoogte stellig mogelijk en in de praktijk is dit een groot voordeel van de evolvente tand.
Natuurlijk krijgt men nu ruimte op de tandflanken, waardoor bij wisselende draairichting klapperen optreedt. Een grens wordt aan de vergroting gesteld door het feit dat de middelpuntshoek, die een tand aflegt gedurende de periode dat hij de tand van het andere wiel voort-duwt, bij groter wordende hartafstand kleiner wordt, met als gevolg dat op zeker moment de continuïteit der aandrijving verloren gaat.
In fig. 21 zijn de verschillende karakteristieke grootheden aangege-ven voor een stel uiteengeschoaangege-ven wielen. (Zie ook fig. 23).
De basisheugel raakt wiel 1 dus op de fabricage-ingrijplijn 1 en wiel 2 wordt door zijn basisheugel geraakt op fabricage-ingrijplijn 2. Wiel 1 en wiel 2 raken elkander op de bedrijfsingrijplijn Hl H2 , de inwendige raaklijn der twee uiteengeschoven grondcirkels.
De tandkracht is in ieder punt van aanraken gericht volgens de nor-maal (als we de wrijving der tandflanken langs elkaar buiten beschou-wing laten). De normaal gaat op het moment van ingrijpen door P, valt dus steeds langs Hl Hl;! .
De richting van de tandkracht is dus constant, zodat bij constant wringmoment van wiel 1, de grootte van de tandkracht ook constant is en wel gelijk aan het wringmoment op wiel 1, gedeeld door de grond-cirkelstraal van wiel 1.
Getallenvoorbeeld: Zl ;::: 20 tanden op Z2 ;::: 80 tanden, fabricage·
·mo-dul m
=
10, fabricage-ingrijphoek a=
20° worden ingebouwd niet op 500 mm, maar op de vergrote hartafstand av :::: 505 mmoGevraagd de verschillende grootheden aangegeven in fig. 21 (duide-lijkheidshalve niet in verhouding getekend) te bepalen.
Fabricagesteekcirkel 1 : 20 x 10::: 200 idem 2 : 80 x 10 ;::: 800. Op deze cirkels ligt de fabricagesteek 10 TT ;::: 31,4 mm, de tanddikte op
deze cirkels is met inachtnamevan de in par.1-fvermelde flankspeling 15,5 mm en de kuilwijdte 15,9 mmo Grondcirkel 1: 20 x 10 x cos 20° = J.87,94 Grondcirkel 2: 80 x 10 x cos 20° = 751,76 Zl 20 Bedrijfssteekcirkel 1: 2 a v
=
x 2 x 505=
202 Zl + ZO' 20+80 Bedrijfssteekcirkel 2: z~ 2 av=
- -
80 x 2 x 505=
808 Zl + z~ 20+80 2 a v 2x 505 Bedrijfsmodul mb=
10,1 Zl + Z:? 20+80 B d . ï ' ., h k M1Hl diameter grondcirkel 1 e rlJ s mgrlJp oe ab : cos ab=
-M-1-P-=
d-l-· a-m-e-te-r-b-ed-"'-r-ij-fs-s-t-e-e-k-c-i-rk-e-I1.
••
,
ZI +Z2
- - m
== == - - - cOSQ!== 2 niet vergrote hartafstand ao . cOsQ! ==
av we I vergrote hartafstand av 500 == . ...-- cos 20° 505 Bedrijfsingrijphoek Q!b ::: 21° 351 PI == fabricage-pool wiel 1. P2 :::: fabricage-pool wiel 2. P == bedrijfspool wiel 1 en 2.
P verdeelt de hartafstand av in verhouding der tandentallen en dus ook de afstand PI P2 •
De vergroting der hartafstand zijnde 5 mm is dus bij wijze van spre-ken over de wielen verdeeld naar reden van de tandentallen:
P1P
=
1 mm, P2P :=: 4 mmoPar. 2-g. SAMENVATTING DER HOEDANIGHEDEN VAN ,DE EVOLVENTE TANDVORM Voordelen: 1.
2.
3.4.
5. Nadelen: 6.7.
8.Tandkracht is constant van richting en grootte bij een
constant over te brengen vermogen, tandwrijving buiten beschouwing gelaten.
Eenvoudig basisprofiel, daardoor eenvoudig gereed-schap dus nauwkeurig te verváardigen.
De enkelvoudige kromming van de tandflank bevordert de nauwkeurigheid der vervaardiging.
Bij hartafstandveranderingen blijft de zuivere ingrijping behouden.
Wielen met hetzelfde basisgereedschap vervaardigd, zijn
volkomen verwisselbaar.
Bolle flanken lopen op bolle flanken (behalve bij
inwen-dige vertanding) hierdoor hoge specifieke druk. Ongelijkmatige glijding .
Lage tandentallen mogelijk maar bij sommige profielen zijn nog lagere mogelijk.
. De epi-hypo-cycloiäale tand kan de evolvente overtreffen wanneer het gaat om de punten 6, 7 en 8, maar is de mindere voor wat betreft
de punten 1, 2, 3, 4 en 5.
In uur- en telwerken moet men zeer veel aandacht besteden aan een gunstige glijdingsverhouding en aan het zo laag mogelijk houden van het
rondseltandental. Men past in deze constructies de epi-hypo-cycloiäale tand zeer. veel toe, alhoewel niet uitsluitend, want in bepaalde gevallen
~ ~~~---- -~
____
~' ,-komen evolvente en lantaarn rad vertanding voor. Zie W.O. Davis Gears for small mechanisms.
Par. 2-h INGRLJPQUOTIENT
In fig. 22 is L1 L2 de bedrijfsingrijplijn, hiervan wordt slechts
ge-bruikt het stuk AB dat door de kopcirkels van beide wielen wordt inge-sloten.
In fig. 23 zijn de wielen uiteengeschoven getekend, hier is Hl H2 de bedrijfsingrijplijn en wordt gebruikt het stuk CD.
De gebruikte stukken van de bedrijfsingrijplijn heten bed rij f s -in g rij p weg. Komt een tand van wiel Ivan rechts dan komt deze tand in punt B, resp. punt D, voor het eerst in aanraking en wel raakt een punt van zijn voet aan het uiterste koppunt van een tand van wiel 2.
Doordraaiende naar links, verplaatst het aanrakingspunt zich over de lijn AB resp. CD; langs de tandflank 1 verplaatst dit punt zich van de voet naar de kop en in punt A resp. punt C gekomen,gaat de tand
loslaten. Bij het begin van ingrijpen, punt B resp. punt D, is de flank
l'
gestippeld getekend en ook bij het eindpunt A resp. punt C.Deze gestippelde flanklijnen snijden het stuk van de bedrijfssteek-cirkel af waarover de tand zich gedurende zijn ingrijping beweegt. Deze boog noemt men bed r ij fs ingr ij pboog.
Deze bedrijfsingrijpboog moet beslist groter zijn dan de bedrijfs-steek, omdat anders de volgende tand nog niet in aanraking is, terwijl de vorige reeds niet meer ingrijpt.
Het quotiënt bedrijfsingrijpboog gedeeld door bedrijfssteek, noemt men ingr ij pq uotiën t.
Hoe groter dit quotiënt, hoe langer de tandbelastingverdeeld is over meer dan een tand, hoe gemakkelijker iedere volgende tand de belas-ting overneemt en hoe rustiger de gang is.
Een ingrijpquotiënt van 1,15 is als een uiterst minimum te beschou-wen. Stelt men eisen aan de wielen ten aanzien van rustige gang, hoge levensduur en belastbaarheid, vooral bij wat hogere snelheid, dan is een waarde groter dan 1,4 noodzakelijk.
Nu volgt de afleiding van de formule voor het ingrijpquotiënt in het meest algemene geval: de uiteengeschoven wielen van fig. 23.
Denkt men zich de bedrijfsingrijplijn Hl H::> als een strak gespannen touw dat om de grondcirkel 1 wordt opgewikkeld, dan beschrijven de punten C en D tijdens dit opwikkelen de gestippeld getekende evolventes. Zodat de rechte lijn CD komt te liggen langs de boog XY wanneer X en Y de voetpunten van de evolventes op de grondcirkel zijn.
Tijdens de gehele periode van ingrijpen van één tand is de afgelegde boog op de grondcirkel dus de boog XY,
Nu. kan men het ingrijpquotiënt ook definieëren als te zijn het quo-tiënt van de afgelegde boog op een willekeurige cirkel, gedurende de periode van de volledige ingrijping van een tand, gedeeld door de steek op diezelfde cirkel.
