Rozpraszanie

(1)

Rozpraszanie

Andrzej Baran 26 stycznia 2017

(2)

(3)

Schemat rozpraszania cząstek

Rysunek 1: Schemat rozpraszania.

(4)

Przekrój czynny na rozpraszanie I

Rozpraszanie kwantowe obiektów opiera sie na równaniu Schroedingera − ¯h 2m∇ 2 + V(~r) ψ(~r) = Eψ(~r) (1)

gdzie V(x) jest potencjałem rozpraszającym. Dla potencjału sferycznie symetrycznego V(~r) = V(r) rozwiązania równania Schroedingera są dane przez ψ(r) = ∞ X l=0 m X l=−m Alm ul(r) r Ylm(θ, φ) (2)

gdzie ul(r) spełnia równanie radialne

−¯h 2 2m d2 dr2+ E − V(r) −¯h 2_{l(l + 1)} 2mr2 ul(r) = 0 . (3)

(5)

Przekrój czynny na rozpraszanie II

Poza obszarem działania potencjału V (tam gdzie jest on już mały)

u(r > rmax) = kr[cos δl· jl(kr) − sin δl· nl(kr)] . (4)

Przesunięcie fazy δl wyznacza się z warunku ciągłości rozwiązania na

granicy potencjału (studni potencjału). Powyższa postać ulwynika z

asymptotycznego zachowania się funkcji Bessela:

kr jl(kr)∼ sin(kr − lπ/2)

kr nl(kr)∼ − cos(kr − lπ/2)

k =√2mE/¯h (5)

(6)

Przekrój czynny na rozpraszanie III

Można to wykorzystać i zapisać (4) w postaci

ul(r) = sin(kr − lπ/2 + δl) . (6)

Widzimy, że dla dużych r, ul zachowuje się jak funkcja sin , a faza tej fali

jest wyznaczona przez δl- stąd nazwa: przesunięcie fazowe dla δl(jeśli

l = 0 to ul jest funkcją sinus dla wszystkich r > rmax).

Faza δl zawiera wszystkie informacje o własnościach rozpraszania dla

potencjału V(r) i w szczególności pozwala wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie.

(7)

Przekrój czynny na rozpraszanie IV

Różniczkowy przekrój na rozpraszanie na potencjale V(r) jest dany przez dσ dΩ = 1 k2 ∞ X l=0

(2l + 1)eiδl_sin(δ

l)Pl(cos θ) 2 (7)

Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie jest

σtot= 2π Z dθ sin θ dσ dΩ(θ) = 4π k2 ∞ X l=0 (2l + 1) sin2(δl) . (8) 6

(8)

Przekrój czynny na rozpraszanie V

Obcięcia sum po l. Dyskusja. ∞ X l=0 → lmaxX l=0

Argumenty fizyczne: klasycznie tylko cząstki o momentach pędu

mniejszych niż ¯hlmax= ¯hkrmax będą rozpraszane. Czątki o momentach

(9)

(10)

Wyznaczanie σ

Rozwiązujemy r. Schroedingera startując z r = 0, gdzie ul(0) = 0.

W punkcie rmax rozwiązanie powinno się zszywać gładko

z asymptotyczną postacią daną przez (4). Stąd δl.

Zszycie osiąga sie porównując funkcje i pochodne lub funkcje w dwóch

różnych punktach r1, r2> rmax.

Użyjemy ostatniej metody zszywania. Wtedy, jak łatwo zauważyć

tan δl= Kj(1)_l − j(2)_l Kn(1)_l − n(2)_l , (9) gdzie K = r1u (2) l r2u(1)l . (10) Tutaj j(1)_l = jl(kr1) etc.

(11)

Program

Budowa programu

Całkowanie r. Schroedingera - dowolna metoda lub preferowana metoda Numerowa

Procedury (funkcje) obliczania funkcji Bessela jl oraz nl

Procedura obliczania przekroju czynnego σ

(12)

Algorytm Numerowa

Zdefiniujmy funkcję

F(l, r, E) = V(r) +¯h

2_{l(l + 1)}

2mr2 − E . (11)

Radialne równanie Schroedingera dla u(r) jest więc ¯

h2

2m

d2

dx2u(r) = F(L, r, E)u(r) . (12)

W jednostkach ¯h2/2m = 1 i po dyskretyzacji r iterujemy w:

w(r + h) = 2w(r) − w(r − h) + h2F(l, r, E)u(r) , (13)

a funkcję u(r) dostajemy z równania (patrz Metoda Numerowa-...) u(r) = 1 −h 2 12F(l, r, E) −1 w(r) (14)

(13)

Testy

Każdy fragment kodu należy przetestowac.

1. Sprawdzić metodę Numerowa dla przypadku oscylatora V(r) = r2_.

W jednostkach ¯h2/2m = 1, E = ¯hω(n + 3/2), ¯hω = 1, stan o l = 0

należący do energii E = 3 jest dany przez Ar exp (−r2/2), gdzie A jest

stałą. Procedura całkowania numerycznego powinna dać rozwiązanie

z A = exp(h2_/2).

2. Sprawdzić dokładność rozwiązań (zbieżność) w przypadku oscylatora

dla malejących h = rmax/N. Dla N = 4, 8, 16, . . . rozwiązania

numeryczne powinny różnić się od dokładnych o czynnik∼ 16 dla

kolejnych N.

(14)

(15)

Problem rozpraszania wodoru na kryptonie

Rozpraszanie obojętnego wodoru (H, A = 1) na obojętnym Kryptonie (Kr, A = 36) można modelować z użyciem potencjału Lennarda-Jonesa.

(16)

Potencjał Lennarda-Jonesa

Potencjał dwuatomowy Lennarda-Jonesa jest:

VLJ(r) = " ζ r 12 − 2 ζ r 6# (15) gdzie = 5.9meV, a ζ = 3.57Å.

Problem numerycznego całkowania równania Schroedingera (RS) od r = 0 (osobliwość V) da się rozwiązać jeśli całkowanie rozpoczniemy od pewnego

rmin> 0. W obszarze r < rmin w V(r) przeważa człon 1/r12. RS jest wtedy

dane przez

d2_u

dr2 ≈ α

1

r12u(r)

Tutaj α = 6.12. Rozwiązaniem jest

u(r) = exp(−Cr−5)

gdzie C =pα/25. Wartość rmin wybieramy tak by człon 1/r12był

(17)

Przykład obliczeń -6 -4 -2 0 2 4 6 3 4 5 6 7 8 9 10 V(r) [meV] r [σ] f(l,x) f(0, x) f(4, x) f(8, x) f(10, x)

Rysunek 2: Potentiał Lennarda-Jonessa dla różnych l.

(18)

Przykład obliczeń 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 σ Energy [meV] ’sigmadat’

Rysunek 3: Całkowity przekrój w funkcji energii dla potencjału Lennarda-Jonesa w modelu rozpraszania H-Kr. Piki odpowiadają stanom rezonansowym. (h = 0.01, rrmax= 5, lmax= 6)

(19)

Zadania I

Napisać procedurę obliczania sferycznych funkcji Bessela jl(x) i nl(x).

Wykorzystać związek rekurencyjny

sl+1(x) + sl−1(x) =

2l + 1

x sl(x) , (16)

gdzie sloznacza albo jl, albo nl. Wykorzystać wyrażenia dla jl, nl, l = 0, 1:

j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x (17) j1(x) = sin x x2 − cos x x , n1(x) = − cos x x2 − sin x x . (18)

Relacje rekurencyjne mają dwa niezależne rozwiązania, z których jedno może silnie rosnąć z l. Dlatego też, ze względu na błędy numeryczne, rozwiązanie, które nas interesuje, może być niestabilne (błędy zaokrągleń).

Zdarza się to w przypadku jl dla l znacznie większych niż x. Dla obliczenia

jl(x) należy więc stosować metodę zstępującą. Kładziemy sl_max+1= 0,

a sl_{max = δ, gdzie δ jest małą liczbą. Rekurencję prowadzimy w dół, aż do}

(20)

Zadania II

interesującej nas wartości l. Zauważmy, że normalizacja rozwiązania jest wyznaczona przez δ, a więc jest w tym sensie dowolna. Aby uzyskać

właściwą wartość jl(x) należy rekurencję prowadzić do l = 0 i następnie,

korzystając z faktu, że (j0(x) − xj1(x)) cos x + xj0(x) sin x = 1 wyznaczyć

stałą normalizacyjną.

Górna wartość Lmax, od której zaczynamy rekurencję, powinna być w miarę duża. Przyjąć, że

Lmax = max 3[x] 2 + 20, l + 20 ,

gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą od x, a l odpowiada wartości l obliczanej funkcji Bessela.

Napisać funkcję obliczającą jl(x). Sprawdzić wynik, przyjmując, że

(21)

Literatura

Thijsen, J.M. Computational Physics. Cambridge U.P., 2000. J.L. Quiroz Gonzáles, D. Thompson: Getting started with Numerov Method, Computers in Physics, 11, Sep/Oct 1997.

Stephen B. Haley, An Underrated entanglement: Riccati and Schrödinger equations, Am. J. Phys., 65, March 1997, pp 237–243.

(22)

(23)

Przekrój I W dalekich odległościach ψ(~r)∼ ei~k·~r+ f(θ)e ikr r . (19) Jednocześnie (patrz (2)) ψ(~r) =X l Al ul(r) r Pl(cosθ) . (20)

(24)

Przekrój II Dla r > rmax, V(r)→ 0, i ul(r)≈ sin(kr − lπ/2 + δl) (21) Porównujemy (19) i (20): X l Al sin(kr − lπ/2 + δl) r Pl(cosθ) = e i~k·~r + f(θ)e ikr r . (22)

Amplitudę f(θ) i ei~k·~rmożna rozwinąć w szeregi wielomianów Legendre’a.

f(θ) = =X l flPl(cos θ) (23) ei~k·~r = X l (2l + 1)iljl(kr)Pl(cos θ) (24)

(25)

Przekrój III

Wstawiając jl(kr)≈ sin(kr − lπ/2)/kr do (22) otrzymamy

X l Al sin(kr − lπ/2 + δl) r Pl(cos θ) = (25) X l 2l + 1 kr (−1) l+1 e−ikr+ fl+ 2l + 1 2ik eikrPl(cos θ). (26) Stąd Al = (2l + 1)eiδlil, (27) fl = 2l + 1 k e iδl_{sin δ} l, (28)

(26)

Przekrój IV

Różniczkowy przekrój na rozpraszanie jest więc dσ dΩ = 1 k2 X l (2l + 1)e iδl_sin(δ l)Pl(cos θ) 2 (29)

a całkowity przekrój czynny jest

σtot= 2π Z dθ sin θdσ dΩ(θ) = 4π k2 X l (2l + 1) sin2δl. (30)