View of O pojęciu liczby

(1)

!"#$#%&(')+*-,./,/&01+324 50".+6&+"7

8:9!;1<=>?>%<(@A=<B>%CD9D=CE>"FHGI>9!J1KLFM>9D=CE>%KONPKLQ79D=R1KLRP9D=>TSUWV7XZY\[PX ]

^1_a`cbd-e1bfgihDj7k

mlnBoqp\rZstIuvswrxy"z

∗

{}|!~)E&|E-~$T&7c&E&LEBE7L&|E7ccww c¡!7L¢!|D£ 7q"7¤57¥cw¡¦¡Ei¢&§cLDc¨-~B¨\©ª«E¬&$¢5&&5-~¬ª¢)D~!7+«£ ¢D&L®«¯~!7|!1§!76E&|!A&§c°¨|!«/&§±E²¬¨³©7E!|!v¥´µ ª«|EEE¶

· E&~5&AE¨-~©ªEA«c¨E&©¢5©§ªLE&c"|!E¢¨²+ªD~¶-¸¹~!7E£ |!L!|¢¨²}ªD~

1

¬L~DDB-~!³©¢©²\ºE&!©BE«c¨E&T1&E |E©~!7AD»¦cL~!7-L~DA&D~!7)ª|!!|Ec&E7

2, 3, 4, . . .

7"&L¨©}©²LE7q" 7¼77Ec"EE½L¢&¾¢E&±|EE§EÄL~D«E5³&B!|!Äc"E?|!£ 7)©²}|!)ªD~cÄE¨½«|!¿«Ec¨©²}|E¨1i»Ai¬D«-E&~D«»|}¨©-«&²ª

À

"&|!~/c±|E)ÁEE5v¨©AEc")¢5©|E)A¨©&$&c1

À

¬«A®«4Â|!¿«Ec¨-©²Ã ª¢²&~DL7¨©?E&D&§¨-Eª¼54¢!|E7q1cL~

À

5©554©²E&/&«¬"± c±|EAD»¦cL7-L~DA&«-ÁEE5v¨©AED&³©«E¬!A§E5³&ic±|EA5!»-ÁEE5£ v¨©¹ED&³©«¹A¨©&&c1¶°Ä±-~Å«"Æ&²6A&!|!²6LE&c"|!E ¢¨²ªD~?v¥´Ç¤5ÈiwÉ7ÊÈiÇc¬a5|!~D±)«c¨§E¨©©$¢¨²-ªD~&~DL&¨ L~5"&E ¨B¢E&¨E}&©&E$E&5&)¢¨²)ªD~¶

Ë &&E/«¨-¢5&²Ec¨6©²/ÌªE«|!cL+A&&w¶?ÍT|!ª«¹©²¬ ªD~4Æ !|D»¦±E+&EE/B©~!&D7A5&§c¬aÎ¨¶AE&~¨-c¨©²A«+¢!c&D&&~ ©~!&-~¹&~¬PAELEEE5~¬ZE&5&1i»©~DD~¬P¢& À &! /E&~D«»|!ÐÏ%ED|!& À L±©²)&A5~1ALc¨AEALDw¬:¢E& ¢LE"!¨c~¬qLAEcL !¨c~«~!|!«v¨w¬qE¢&|!c"EE¬E&~!7q"c£ EB7%5!»¦5³&Ñ¶Ò5qL5©²%E&~\~DMED~D¯¢cE%¢&È«¡ÎÓwÔi&Ê7É7ÊÈi¥qÕÉ¡ 7+ÊÖÔ«&×vÈi¥qÕÉ¡~!7?!¨c&§c¬iÎ¨¶6-«©%57Æ)«|!c1!|!EE¬±&5©c"E «7EcLD~!7!¨c&§cOE5|!~E}A±}|!E&c"|!ÆB|!A©E&E5³&«7¬!|Ec£ ¨¬i±)©~!&Ð!¨c&§cML~!77|!+«|!c1!|!EEB©~!&D76L7|!®£ A&&~!D~!7:¶¼Ø%&¢Ec"E+&O¢5&²¢c"E6ª«|Eq"67«-~Å«"Æ¹v¥´Ç qÓ¦Ù¥ccwÉ7ÊÈiÇc¶

Ú57qL-~D~57E¬c~}&~DL³&%A&!|EBE~!«Â¨Z|!5&5©c"«cÃ»c£ ³©E+|!ª«|EE6¢¨²6ªD~¬P6A&!|E!¨c~!«-¨)&5©cL«+~D|! ¢!|E7q4A&&w½&¨©qL5©²P&± 5&&©c¨©~D©!Á&5&c"EªEA&!|}7Zª«c£

∗

ÛÜ\ÝwÞqß àiáÜqâßãÝPá7ä«åæqç1èßé

∗∗

êëæqçBì7âíßÜqîß$ãqéÎívïðá7Ýwá©ñ:ì7Üqá+ñ¼éwì7çBì7âÞ6ãqéÎá7òÎßóÝwæ/ôàiîõðëáöw÷îPøîâíèï/éÎíßâívïñîùÎÝwßúTû«æqüqá©ýáùÎþ ÿ ßüqßóîÜqüþÎàiáÜñ:ìïåå ú áéú! éÎæqÜqüqøì7ðßÜüqßé" ßáçLßvÝwéÎîß$#&%')(*'+,.-/0)(213-54$67(,.89936:;%'"<"=?>A@@)BDCE F

(2)

|EE¬i5&§7)A&!|¨}&~!&E¨©©E¬¨³©P7E!|!/E$ª«|EE¢!|E7q A7«EDaEª6ED~!76|!~!&~DE/¿«~!D~!7:¶

Ä¨©EE ¨%«&²Ec¨©dce¡¦¥gfZqÓ¥ c¡ÎÙhf cv¥qÕÉ¡DÔ«7´¤5¥&¤¡ÎÉ7ÊÈiÙ¥c&Ê5iEÖkj qÓwÉ7ÊÈiÙ"v¥´cB¤5ÈiwÉ7ÊÈiÙl´&m-¥qÓvcv7É7ÊÈi¤5¥%Ôi&Ê7´qÓv7fZ¡ÎÈ«¡Î-¥c&ÊÔ«&×vÈi¤5¥Pm¥&¤¡ÎÉ7Êj Èi¤5¥AÊAn77ÊÔi¡Î7É7ÊÈ«¡Î+w&ÕÉ¡ZÈiqÓ&ÊÙ]fZ¡Î7´Êlpov¥qZÙ7´cÈi v¥´/ qÓ¦Ù¥ccwÉ7ÊÈiÊqÓ©×vÖkj ¤ÖÙ$ÈiÔi¡ÎfPÓ&ÊrEÓsf ¥At

¸ &&a¢¨²)ªD~A&!|EA!¨c~!«-E&~¨-c¨}«&²Ec¨©)¢57Æ?c Ä~!³©-~)$©~!&AB&~i½5«~D"-~&B&~)ª«A«««-~L¨\E&

a, b, c, . . .

¶PÄ~!³©-~-~!7)ª«7)°¢LD~!7)Lc¨AD~!7)¢cLE7:¬q5&§&~!7 |!«»|!E}:¢c»¦E}E&E}«c¨©|!c¨L~D7«&²Ec¨©~!7/!¨c77Nc Ë ¶vuL qÓ¦Ù¥ccwÔ«¥×©ÇÉ7ÊÈ«¡Î Ë ¶w¶"xªD~

a

7}ªD~

b

¢cB7c¨}¢E&hyq´¥´7f cÈ«¡Î?z D&³©«-ª«

c

¬ ©~D-ª¢EAc

a

+ b = c

Eª

c

= a + b.

Ë ¶{!¶ Ò³©

a

7

b

&|ED~DAaª«Aw¬E&&E¨"¨|!«a~D¨|!«ª«

x

¬ -7D±1¨|!«Aa~D\¨|!«Aª«

y

7D¬E±}7E!|!sc

a

+ x = b

!|!¢cL|!E

y

+ a = b.

Ë ¶|E¶ Ë &E¨)D&³©«ª«

À «~D"+©²

0

À 7cE¬a±A|!+c±|!¨

a

7E!|! ¨|!E!³©EAc

a

+ 0 = a

7

0 + a = a.

Ë ¶}«¶~x6ªD~

a

7\ªD~

b

¢cB7c¨«-ED~}¨©}©¢5©§ª:¬D¢E&5y)Èi¥j È«¡Î?z¬«D&³©«$ª«

c

¬«©~D-ª¢EAc

ab

= c

Eª

c

= ab.

Ë ¶!¶PÒ³©

a

b

&|!c1D~DA!|ED~DAEª«AE7

a

EZ¨

0

¬&}&E¨Z¨|!« a~D\¨|!«Aª«

x

¬«)7D±1¨|!«)a~D\¨|!«Aª«

y

7D¬!±}7E!|!sc

ax

= b

!|!¢cL|!E

ya

= b.

Ë ¶E¶ Ë &E¨)D&³©«ª« À «~D"+©²

1

À 7cE¬a±A|!+c±|!¨

a

7E!|! ¨|!E!³©EAc

a · 1 = a

7

1 · a = a.

Ë©Ë ¶vuL qÓ¦Ù¥ccw&ÉiE¥7f cÈ«¡Î Ò³©

a

¬

b

¬

c

&)|!c1D~DAiª«Aw¬!&AqB©}7E!|!-«&²Ec¨©Á&-i»¦~vc

Ë©Ë ¶w¶

a

+ (b + c) = (a + b) + c

Ë©Ë ¶{!¶

a

+ b

= b + a

Ë©Ë ¶|E¶

a(bc)

= (ab)c

Ë©Ë ¶}«¶

a(b + c)

= ab + ac

Ë©Ë ¶!¶

(a + b)c

= ac + bc

Ë©Ë ¶E¶

ab

= ba

(3)

A?

Ë©Ë©Ë ¶$uL qÓ¦Ù¥ccwÖÔ«¥c&ÊÇ´ ¥7f cÈ«¡Î

Ë©Ë©Ë ¶w¶%Ò³©

a

¬

b

&)|!L)&§±D~DAiª«Aw¬!&AqB©D&³©«L¨|!«)}E7

E:¶

a

¨BL²!©

!||!&E¨¬!7A57c&EA«~D")©²$"&|!~+AE¨©©E¬¢©~D)£ ª¢EAc

a > b

Eª

b < a.

Ë©Ë©Ë ¶{!¶%Ò³©

a > b

7

b > c

¬!&)7D±

a > c

¶ Ë©Ë©Ë ¶|E¶%Ò³©

a > b

¬D&AqB©

a

+ c > b + c

7

c

+ a > c + b.

Ë©Ë©Ë ¶}«¶%Ò³©

a > b

7

c >

0

¬D&AqB©

ac > bc

7

ca > cb.

a >

0

7

b >

0

a

+ a + . . . + a > b.

Ë ¶{!¶ uL qÓ¦Ù¥cc"ÊÖÔ«&×vÈi¥qÕÉ¡ h

\¨}A±1-EE¢c»¦EEA©~!&-ª¢£ E&"|!!|EE EE}©~!&-$&~7i¬ªD~}Å¢cB7D»¦~DME&1¢!»E1©~!&£ A©¢c»¦EE}ªD~«»¦~B©~!&D}!¨c~ Ë ¬ Ë©Ë ¬ Ë©Ë©Ë ¬ Ë ¶w¶½!Eª6D&§&!cªD~1& ©~!& &~¬:5&§&~E&~7Ec"EB©~!&D74!¨c&§c E}¨$|!D~|! ±|!EA|E©)&©&EE¶

5&§&6!¨c&§c Ë wD£E¬ Ë©Ë wD£E¬ Ë©Ë©Ë wD£.}«¬ Ë wD£{¹&¹«©D1«v¨©¢£ 57D»¦~!7:¬L¢cB7c¨L²|EEA§cLE4E¨±E5³&BL~DAED~!7 !¨c&§c¶\ª«|EE&|A&~5&A~DDE|EEL&-|!577¢LE$Ec1 :c1!E-EEE5&6L|!EE¶ · «c¨-~E&~D«»|!c1$«&²Ec¨©ÁÎ5~vc Ë &EEBªD~

0

Ë &EEBªD~

1

!¨c Ë

Ø%7q1+E&AEE5³&Z|!!|Eq"E

!¨c Ë©Ë {

(a + b)(1 + 1) = (a + b)1 + (a + b)1 = a + b + a + b

¬

= a(1 + 1) + b(1 + 1) = a + a + b + b

½ «©D1«v¨

a

+ b + a + b = a + a + b + b,

)}&A«)A!~ Ë {

b

+ a = a + b.

(4)

Ø%7q1E&AEE5³&EAE±E

!¨c Ë©Ë

¨1«©D1«v¨©!¨c&§c Ë ¬ Ë©Ë wD£!¬ Ë©Ë©Ë ¬ Ë w¬E1¨E±E«©D1«v¨©)!¨c&§c Ë ¬ Ë©Ë wD£!¬ Ë©Ë©Ë ½Ec1)E7q1 A±L57Æ1&L~DE&c"|!E B¢57D»¦~!7A!¨c&§cÅ"&|!~)E~D}"&|!~¬55|!~ ¢5»¦E±~D-~/©²$E&~+~D !¨c&B77EA|!& !¨c

{)&)!|/©ªE}Lc¨IE±E½!E}qL7c¨©$E}±|D£ E¹L7|!E¢¨²°ªE±E5³&1Eª°¹&EE°7E~¬i¨|!«D±+L~DEc +E7:¬i¨©¹A±«¢cÆ¬L7|!E2&7 2¡$ T&EEÅEEE5&T©DEEEE¶ Ø%&Dc¨-~A©²\c&I-!|!E5³&««©$©~!&-ª¢c1$\L~D«»¦~DI©~!£ &A ª6&~DL~!7:¶

BªD~?«|!c1!|!EÆE©E&E5³&ÆE&|E7qLD~!7Å!¨c&§cL~!77~TÂL~5£ &~!7ÆÃZ&5©cL«A!|!~5¿«cv¨²«D~!7A&!|¹|!c1!|!cL~!7:¶$¸ |!c1!|!-~D |!5&&5°¨|!E!³©E"|!c1§!|}&EE\§!»¦ª-&~DL~!7Eª

À

°Á&-!£ »¦c"E{)¶2¢h 2¡$£N2¤v

À

&cL~D

¶

¸¼c&E15³&w¬D5&§&}~DEE&-1ª¢&EE)§!»¦B©~!&D7+ª/&~5£ L~!77$ªE&§cME©®«D~!7(§E5³&:&7(L~D±¨\E&D~D c¨² ¨©DL?E&|!EEAc4ªE&/ªº&~DL~!7°E-~Å-~!³©Æ-¨© E:¶§1B©~!&D7)A±L~!7)E7q¬1|!"5&§&~!7)A5\¢5&²¢c"Æ A5~ 5¢!|E7q1c1«¬E-L)ª«7|!¨

À

Â¨©Ã ©~!&A &~¬c5&§&~!7Lc¨AE LD5¢!|EE1&B¢E& ¢cL~D±©~-Ó& ¥7riÉ7Ê¥cÈ« ¡%Êc$ cÈ«¡Îµw-©~!&3!¨c&§c Ë £ Ë ¬iP+5&§&~!7Ec1-L7|!EA~D+"&|!~ c¨©$" ¢E7qLE5³&w¬5|!~A±«"¨L~DE&c"|!ÆL$¢A!-©®«E¨ZªD~ LE5©"®D~!7+cL~!7/!¨c&§c¶ {}|!~DªD~!³©-~¼7« ¢!|!ªED~¼©¢5©§ª¯E&E&c"|!Æ|!c1§!|¼&EE°§!»¦ B©~!&D7OA!~ Eª¼B©~!&D7¥¢h 2¡$£N2¤¢cB©D7OÁ§c ¬"&ÅªD~«»ªD~°&ÅE&§ª« 7D~DªE«dcT&~DL&5³&D§!»«B©~!&D7AA!~-EL&E¨¬5Eª

À

ºÁ&-i»¦c"c£ E¦¢h 2¡$£N2¤i

À

E&cL~D

¶

∗ ∗ ∗

ØP!|E7q"¹E&«»|!Nc«Bª¢©¬5-¶c¬Bª¢/|!®xiEª¢&¯P¶±°!iD&Ó.n7¡ÎÉiD´ ² Ö!ÎÓÉiEÈ³eciEcw¡ j7´¢&¡¦È«¡¤Ö!ÈD¤gµ:¬$wªA¶A¶E¬vw©A¶c£w©?}«¶

·X¸S¹?º»¼½¾¿ÀD¾ÁÂA¾Ã½ÅÄÆJÇÈÇ.¿kÇ.ÉNÊËÀ Ìv»Ë¸D»ÍÏÎXÇÈ.ÀËÀNÐÑDÇ.ÊÅÇ.É».¿d¾ÒÔÓdÕ~Ö ¾Å×º».ÀSØAÙkÚÛÚÜkÝ"Þ.ßPà!áâãAà!áÙä å?æ ÉNÃ½¾ç¿À» åAèéè Ãê ëÅ ÿ