Metody interpolacji

(1)

Animacja Komputerowa. Interpolacja

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdańsk

(2)

Interpolacja

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Wykorzystanie Ścieżek

2 / 47

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

(3)

Zagadnienie Interpolacji

Zagadnienie Interpolacji Zagadnienie interpolacji Sterowanie Ruchem Wykorzystanie Ścieżek

(4)

Zagadnienie interpolacji

4 / 47

Dane są wartości parametrów w klatkach kluczowych

współrzędne położenia, kąt nachylenia, obrót ręki

robota, etc

Określić wartości w klatkach pośrednich

(5)

Interpolacja a aproksymacja

Interpolacja: krzywe przechodzą dokładnie przez punkty

krzywe sklejane, interpolacja Hermite’a

Aproksymacja: dane są punkty kontrolne

(6)

Złożoność funkcji

6 / 47

Wielomiany trzeciego stopnia

można podawać położenia i prędkości punktów

końcowych

Wielomiany niższego stopnia

nie mają punktów przegięcie

krzywe są płaskie

Wielomiany wyższego stopnia

nie dają istotnych korzyści

(7)

Ciągłość

Ciągłość zerowego rzędu

Ciągłość pierwszego rzędu: ciągły kierunek stycznej

(prędkość)

(8)

Globalna i lokalna kontrola kształtu

8 / 47

Kontrola lokalna

zmiana jednego punktu ma wpływ na ograniczoną część

splajny Catmulla-Roma, sklejane parabole, B-spline

Kontrola globalna

zmiana jednego punktu ma wpływ na całą krzywą

(9)

Sterowanie Ruchem

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Sterowanie ruchem Obliczanie długości łuku Metody numeryczne Sterowanie prędkością Rozpędzanie i zatrzymanie Ogólne funkcje odległości Interpolacja kwaternionów Wykorzystanie Ścieżek

(10)

Sterowanie ruchem punktu wzdłuż krzywej

10 / 47

Określona jest funkcja interpolacyjna P (u) ∈ R

3 równomierna zmiana parametru u nie oznacza ruchu ze

stałą prędkością

(11)

Obliczanie analityczne

length(u

1 , u

2 ) =

u

1

R

u

₁

| ˙

P (u)| du =

u

1

R

u

1

r

_dx

_(u)

du

2 +

dy

_du

(u)

2 +

dz

_du

(u)

2 du

krzywa kubiczna

(12)

Przybliżone obliczanie

12 / 47

Dane są węzły u

0 ¬ u

1 ¬ · · · ¬ u

n

Obliczamy P (u

0 ), . . . , P (un

)

Tablica odległości:

G(0) = 0,

G(1) = dist(P

0 , P

1 ),

G(2) = G(1) + dist(P

1 , P

2 ),

etc

Dla oszacowania długości używana jest interpolacja liniowa

length(u

1 , u

2 ) ≈ G(u

2 ) − G(u

1 )

(13)

Przykład

i

u

G

0 0,00 0,000

1 0,05 0,080

2 0,10 0,150

3 0,15 0,230

4 0,20 0,320

5 0,25 0,400

6 0,30 0,500

7 0,35 0,600

8 0,40 0,720

9 0,45 0,800

10 0,50 0,860

i

u

G

11 0,55 0,900

12 0,60 0,150

13 0,65 0,920

14 0,70 0,932

15 0,75 0,944

16 0,80 0,959

17 0,85 0,972

18 0,90 0,984

19 0,95 0,998

20 1,00 1,000

s(0,73) ≈ 0, 953

u(0,75) ≈ 0, 41875

(14)

Błędy obliczeniowe

14 / 47

Gęstsze tablicowanie

Interpolacja wyższego rzędu

Adaptacja

kP (0) − P (1)k −

kP (0) − P

1

2 k + kP

1

2 − P (1)k

< ε

(15)

Całkowanie numeryczne

Kwadratura Gaussa

1 R

−

1 f (u) du ≈

P

i

w

i

f (i)

Dowolny przedział

Adaptacja

(16)

Rozwiązywanie równań

16 / 47

length(u

0 , u) = s

Metoda Newtona f(t) = 0

t

n

+1

= t

n

−

f (t

n

)

f

′

(t

n

)

Metoda siecznych

Wyszukiwanie binarne

(17)

Sterowanie prędkością

s(t), gdzie t —czas

Ruch ze stałą prędkością

s(t) jest funkcją liniową

ease-in/ease-out

P (u(s(t)))

Funkcja odległości powinna być monotoniczna

Funkcja odległości powinna być ciągła

(18)

sin t

18 / 47

s(t) = ease(t) =

sin

(

πt−

π 2

)

+1

2

(19)

Fragmenty funkcji sinusoidalnej

ease(t) =











2k

1

πf

sin

πt

2k

1

−

π

2 + 1

,

dla t < k

₁

2k

1

π

+ t − k

1 .

f,

dla k

₁

¬ t < k

₂

2k

1

π

+ k

2 − k

1 +

2(1−k

2

)

π

sin

π

(t−k

2

)

2(1−k

2

)

.

f,

dla k

₂

¬ t

gdzie f = 2k

₁

/π + k

₂

− k

₁

+ 2(1 − k

₂

)/π.

π

⁄

2 π

⁄

2

1.0 k

k

₁

π

⁄

2 ---k

₂

–

k

₁

1.0 –

k

₂

π

⁄

2

(20)

---Wielomian trzeciego stopnia

20 / 47

ease(t) = −2t

3 + 3t

2 Styczne w końcach przedziału [0, 1] są poziome

brak przedziału ze stałą prędkością

(21)

Stałe przyśpieszenie

a(t) =











a

+

dla 0 < t < t

1 ,

0 dla t

₁

< t < t

2 ,

a

−

dla t

2 < t < 1.

v(t) =











v

₀

_t

t

₁

dla 0 < t < t

₁

,

v

₀

dla t

₁

< t < t

₂

,

v

0 1 −

t−t

₂

1−t

2

dla t

₂

< t < 1.

s(t) =











v

₀

_2t

t

2₁

dla 0 < t < t

₁

,

v

0 t

₂

1

+ v

0 (t − t

1 )

dla t

1 < t < t

2 ,

v

₀

t

21

2 + v

0 (t − t

1 ) + v

0 1 −

1

2 t−t

2

1−t

2

(t − t

₁

)

dla t

₂

< t < 1.

(22)

Dopasowanie do danej prędkości

22 / 47

0.0 1.0 0.0 1.0 5.0 0.0 1.0 0.0 1.0 5.0

User specified velocities Possible solution to enforce total_{distance covered equal to one}

0.0 1.0

0.0 1.0 5.0

User specified velocities

0.0 1.0

0.0 1.0 5.0

Possible solution to enforce total distance covered (signed area velocity time time time time velocity velocity velocity

(23)

Przykłady funkcji odległości

a) starts and ends abruptly b) backs up

c) stalls d) smoothly starts and stops s t t t s s s t t s s

(24)

Warunki na ruch

24 / 47

(t

i

, s

i

, v

i

, a

i

)

s t s t s t s t resulting curve

(25)

Dopasowanie do par położenie-czas

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Sterowanie ruchem Obliczanie długości łuku Metody numeryczne Sterowanie prędkością Rozpędzanie i zatrzymanie Ogólne funkcje odległości Interpolacja kwaternionów Wykorzystanie Ścieżek P1 P2 P3 P4 time = 0 time = 10 time = 35 time = 60 P5 P6 time=50 time=55

Warunki (P

i

, t

i

), i = 1, . . . , j.

Krzywe B-sklejane P (t) =

n

+1

P

l

=1

B

l

N

l,k

(t), 2 ¬ k ¬ n + 1 ¬ j

Układ P = NB

B = N

−

1 P

Regularyzacja

N

T

P = N

T

N B

B = (N

T

N )

−

1 N

T

P

(26)

Interpolacja kwaternionów

26 / 47

Linowa: q(u) = (1 − u)q

0 + uq

1 Łukowa (slerp): q(u) =

sin(1−u)θ

_{sin θ}

q

1 +

sin uθ

_{sin θ}

q

2 Interpolacja krzywymi B´eziera

(27)

Wykorzystanie Ścieżek

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Wykorzystanie Ścieżek Ruch po ścieżce Zorientowanie wzdłuż ścieżki Kamera Wygładzanie Ścieżka na powierzchni

(28)

Ruch po ścieżce

28 / 47

Dany jest tor ruchu obiektu (kamery), sparametryzowany

długością łuku oraz funkcja przesunięcia

ustalić zmianę położenia oraz zorientowania

jeżeli punkty na torze pochodzą z pomiarów, trzeba tor

wygładzić

dodatkowo ścieżka może leżeć na powierzchni innego

obiektu

(29)

Zorientowanie wzdłuż ścieżki

Lokalny układ współrzędnych (u, v, w) (prawoskrętny)

Początek jest na ścieżce P (s)

v

w

POS

P(s)

u

(30)

Układ Freneta

30 / 47

Jean Fr´ed´eric Frenet, 1847

w =

P

′

(s)

|P

′

(s)|

u =

P

′′

(s) × P

′

(s)

|P

′′

(s) × P

′

(s)|

v = u × w

(31)

Układ Freneta, problemy

Brak naturalnego kierunku „do góry”

Punkty spłaszczenia (P

′′

(s) = 0)

interpolacja na odcinku

v

_i

v

_j

w

_i

w

_j

u

_i

_u

j

Nieciągłość wektoru normalnego (dwa półokręgi)

Wektor styczny nie określa kierunku, do którego podąża

obiekt

(32)

Układ Freneta, ważna informacja

32 / 47

Wektor normalny wskazuje kierunek skrętu

można pochylić obiekt w tę stronę

(33)

Ruch kamery po ścieżce

Wybrać środek zainteresowania (COI) w ustalonym pinkcie

sceny (w srodku jednego z obiektów)

w = COI − POS

Niech oś Oy określa kierunek „do góry”

u = w × y

(34)

Kierunek patrzenia

34 / 47

Kierunek do COI

przechodzenie blisko COI może spowodować gwałtowne

zmiany kierunku

Punkty na krzywej

Punkty na innej krzywej

Interpolowane punkty na scenie

Kierunek „do góry”:

w płaszczyźnie w i y

(35)

Wybór środka zainteresowania

Punkt na krzywej z wyprzdzeniem P (s + ∆s)

wykorzystać parametryzację łukową

na końcu ścieżki można użyć interpolacji z wektorem

stycznym w końcowym punkcie

chwiejąca się kamera

uśrednienie kilka punktów krzywej

za mało punktów (albo blisko siebie) — efekt

pozostaje

za dużo punktów — kamera będzie zbyt

statyczna

Wprowadzenie dla COI funkcji C(s)

Można wprowadzić dla kierunku „do góry” funkcję U(s)

(36)

Wygładzanie ścieżki

36 / 47

Jeżeli kolejne punkty pochodzą z pomiarów, to może być

(37)

Interpolacja liniowa

p

′

_i

=

1 ₂

p

i

+

p

i−1

+p

₂

i+1

=

1

4 p

i−

1 +

1

2 p

i

+

1

4 p

i

+1

(38)

Interpolacja sześcienna

38 / 47

P (u) — wielomian stopnia 3, przechodący przez sąsiadujące

punkty P (0) = pi−

1 , P (

1 ₄

) = pi−

1 , P (

3 ₄

) = pi

+1

, P (1) = pi

+2

p

′

_i

=

1 ₂

P (

1 ₂

) + p

₁

układ równań

wzór Lanrange’a

wzór Newtona

Na końcach przedziału można użyć paraboli P (0) = p

0 ,

P (

2 ₃

) = p

₂

, P (1) = p

₃

, p

′

1 =

1 ₂

P (

1 ₃

) + p

₁

Pierwszy punkt bez zmian

można użyć krzywej drugiego stopnia:

p

′

(39)

Interpolacja sześcienna, przykład

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Wykorzystanie Ścieżek Ruch po ścieżce Zorientowanie wzdłuż ścieżki Kamera Wygładzanie Ścieżka na powierzchni x y

(40)

Użycie splotu

40 / 47

p

i

= f(x

i

)

Splot: f ⋆ g(x) =

∞

R

−∞

f (x + u)g(u) du

g(u) — ﬁltr,

∞

R

−∞

g(u) du = 1

Całkę można obliczyć numerycznie

(41)

Przykłady ﬁltrów

Zagadnienie Interpolacji Sterowanie Ruchem Wykorzystanie Ścieżek Ruch po ścieżce Zorientowanie wzdłuż ścieżki Kamera Wygładzanie Ścieżka na powierzchni 20 1/20 10 1/10 20 1/10

Metody interpolacji

Animacja Komputerowa. Interpolacja

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gdańsk

Interpolacja

2 / 47

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

Zagadnienie Interpolacji

Zagadnienie interpolacji

4 / 47

Dane są wartości parametrów w klatkach kluczowych

współrzędne położenia, kąt nachylenia, obrót ręki

robota, etc

Określić wartości w klatkach pośrednich

Interpolacja a aproksymacja

Interpolacja: krzywe przechodzą dokładnie przez punkty

krzywe sklejane, interpolacja Hermite’a

Aproksymacja: dane są punkty kontrolne

Złożoność funkcji

6 / 47

Wielomiany trzeciego stopnia

można podawać położenia i prędkości punktów

końcowych

Wielomiany niższego stopnia

nie mają punktów przegięcie

krzywe są płaskie

Wielomiany wyższego stopnia

nie dają istotnych korzyści

Ciągłość

Ciągłość zerowego rzędu

Ciągłość pierwszego rzędu: ciągły kierunek stycznej

(prędkość)

Globalna i lokalna kontrola kształtu

8 / 47

Kontrola lokalna

zmiana jednego punktu ma wpływ na ograniczoną część

splajny Catmulla-Roma, sklejane parabole, B-spline

Kontrola globalna

zmiana jednego punktu ma wpływ na całą krzywą

Sterowanie Ruchem

Sterowanie ruchem punktu wzdłuż krzywej

10 / 47

Określona jest funkcja interpolacyjna P (u) ∈ R

3

równomierna zmiana parametru u nie oznacza ruchu ze

stałą prędkością

Obliczanie analityczne

length(u

1

, u

2

) =

u

R

u

| ˙

P (u)| du =

u

R

u

r



dx

(u)

du



2

+



dy

du

(u)



2

+



dz

_dx

_(u)

_du

_du