ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Przekształcenia linowe
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Wyznacz macierz przekształcenia liniowego w bazie kanonicznej:
(1) x1 x2 x3 x4 7→ x1− 2x2 x2− 4x3+ x4 0 (2) x1 7→ x1 −2x1 x1 −4x1 x1 (3) x1 x2 x3 x4 x5 7→ x1− 2x2 −17x1+ x2 (4) x1 x2 x3 7→ x1− 2x2 x2− x3 x3− x1 (5) x1 x2 x3 x4 x5 7→ x1− 2x2− 4x3+ x4− x5 (6) x1 x2 x3 x4 7→ 0 x1− 2x2 x2− 4x3+ x4
Ćwiczenie 2. Niech W4będzie przestrzenią wielomianów stopnia najwyżej 4. Sprawdź, że dane przekształ-cenie jest liniowym oraz wyznacz jego maceirz w bazie 1, x, x2
, x3
, x4 : (1) P (x) 7→ P (2x), P (x) 7→ P′(x);
(2) P (x) 7→ P (−x), P (x) 7→ P′′(x), P (x) 7→ P′(2x), P (x) 7→ P (x+1), P (x) 7→ P (2x−1), P (x) 7→ P (2x), P(x) 7→ (xP (x))′.
Ćwiczenie 3. Wypisz macierz przekształcenia liniowego wektorów płaszczyzny euklidesowej R2
w bazie kanonicznej:
(1) Obrót o kąt α. (2) Zrzut na oś Ox1. (3) Zrzut na oś Ox2.
(4) Symetria względem osi Ox1.
(5) Symetria względem osi Ox2.
(6) Symetria względem początku układu wspól-rzędnych.
(7) Symetria względem prostej x1= x2.
(8) Przekształcenie tożsamościowe. (9) Jednokładność o współczynniku λ.
Ćwiczenie 4. Niech dana będzie macierz przekształcania liniowego f w pewnej bazie. Wyznacz macierz przekształcenia f−1 w tej samej bazie:
(1) 1 1 0 1 , (2) cos α sin α − sin α cos α , (3) 1 2 −2 1 , (4) 1 2 0 1 5 1 1 4 1 ,
Ćwiczenie 5. Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego f w pewnwej bazie, B będzie macierzą przekształcenia g w tej samej bazie. Wyznacz macierz przekształcenia g ◦ f , gdzie
(1) A =1 1 0 1 , B = −1 1 0 −1 (2) A = cos α sin α − cos α sin α , B= cos β sin β − cos β sin β 1
2 ALEXANDER DENISJUK (3) A =1 0 0 0 , B =0 0 0 1 (4) A = 1 1 0 0 1 0 0 0 −2 , B= 1 0 0 −1 1 0 0 0 −2
E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brze-gi 55, 80-045 Gdańsk
